При изучении преобразований иррационального выражения очень важным является вопрос о том, как освободиться от иррациональности в знаменателе дроби. Целью этой статьи является объяснение этого действия на конкретных примерах задач. В первом пункте мы рассмотрим основные правила данного преобразования, а во втором – характерные примеры с подробными пояснениями.
Понятие освобождения от иррациональности в знаменателе
Начнем с пояснения, в чем вообще заключается смысл такого преобразования. Для этого вспомним следующие положения.
Об иррациональности в знаменателе дроби можно говорить в том случае, если там присутствует радикал, он же знак корня. Числа, которые записаны при помощи такого знака, часто относятся к числу иррациональных. Примерами могут быть 1 2 , - 2 x + 3 , x + y x - 2 · x · y + 1 , 11 7 - 5 . К дробям с иррациональными знаменателями также относятся те, что имеют там знаки корней различной степени (квадратный, кубический и т.д.), например, 3 4 3 , 1 x + x · y 4 + y . Избавляться от иррациональности следует для упрощения выражения и облегчения дальнейших вычислений. Сформулируем основное определение:
Определение 1
Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби – значит преобразовать ее, заменив на тождественно равную дробь, в знаменателе которой не содержится корней и степеней.
Такое действие может называться освобождением или избавлением от иррациональности, смысл при этом остается тем же. Так, переход от 1 2 к 2 2 , т.е. к дроби с равным значением без знака корня в знаменателе и будет нужным нам действием. Приведем еще один пример: у нас есть дробь x x - y . Проведем необходимые преобразования и получим тождественно равную ей дробь x · x + y x - y , освободившись от иррациональности в знаменателе.
После формулировки определения мы можем переходить непосредственно к изучению последовательности действий, которые нужно выполнить для такого преобразования.
Основные действия для избавления от иррациональности в знаменателе дроби
Для освобождения от корней нужно провести два последовательных преобразования дроби: умножить обе части дроби на число, отличное от нуля, а затем преобразовать выражение, получившееся в знаменателе. Рассмотрим основные случаи.
В наиболее простом случае можно обойтись преобразованием знаменателя. Например, мы можем взять дробь со знаменателем, равным корню из 9 . Вычислив 9 , мы запишем в знаменателе 3 и избавимся таким образом от иррациональности.
Однако гораздо чаще приходится предварительно умножать числитель и знаменатель на такое число, которое потом позволит привести знаменатель к нужному виду (без корней). Так, если мы выполним умножение 1 x + 1 на x + 1 , мы получим дробь x + 1 x + 1 · x + 1 и сможем заменить выражение в ее знаменателе на x + 1 . Так мы преобразовали 1 x + 1 в x + 1 x + 1 , избавившись от иррациональности.
Иногда преобразования, которые нужно выполнить, бывают довольно специфическими. Разберем несколько наглядных примеров.
Как преобразовать выражение в знаменателе дроби
Как мы уже говорили, проще всего выполнить преобразование знаменателя.
Пример 1
Условие: освободите дробь 1 2 · 18 + 50 от иррациональности в знаменателе.
Решение
Для начала раскроем скобки и получим выражение 1 2 · 18 + 2 · 50 . Используя основные свойства корней, перейдем к выражению 1 2 · 18 + 2 · 50 . Вычисляем значения обоих выражений под корнями и получаем 1 36 + 100 . Здесь уже можно извлечь корни. В итоге у нас получилась дробь 1 6 + 10 , равная 1 16 . На этом преобразования можно закончить.
Запишем ход всего решения без комментариев:
1 2 · 18 + 50 = 1 2 · 18 + 2 · 50 = = 1 2 · 18 + 2 · 50 = 1 36 + 100 = 1 6 + 10 = 1 16
Ответ: 1 2 · 18 + 50 = 1 16 .
Пример 2
Условие: дана дробь 7 - x (x + 1) 2 . Избавьтесь от иррациональности в знаменателе.
Решение
Ранее в статье, посвященной преобразованиям иррациональных выражений с применением свойств корней, мы упоминали, что при любом A и четных n мы можем заменить выражение A n n на | A | на всей области допустимых значений переменных. Следовательно, в нашем случае мы можем записать так: 7 - x x + 1 2 = 7 - x x + 1 . Таким способом мы освободились от иррациональности в знаменателе.
Ответ: 7 - x x + 1 2 = 7 - x x + 1 .
Избавление от иррациональности методом умножения на корень
Если в знаменателе дроби находится выражение вида A и само выражение A не имеет знаков корней, то мы можем освободиться от иррациональности, просто умножив обе части исходной дроби на A . Возможность этого действия определяется тем, что A на области допустимых значений не будет обращаться в 0 . После умножения в знаменателе окажется выражение вида A · A , которое легко избавить от корней: A · A = A 2 = A . Посмотрим, как правильно применять этот метод на практике.
Пример 3
Условие: даны дроби x 3 и - 1 x 2 + y - 4 . Избавьтесь от иррациональности в их знаменателях.
Решение
Выполним умножение первой дроби на корень второй степени из 3 . Получим следующее:
x 3 = x · 3 3 · 3 = x · 3 3 2 = x · 3 3
Во втором случае нам надо выполнить умножение на x 2 + y - 4 и преобразовать получившееся выражение в знаменателе:
1 x 2 + y - 4 = - 1 · x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 · x 2 + y - 4 = = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 2 = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4
Ответ: x 3 = x · 3 3 и - 1 x 2 + y - 4 = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 .
Если же в знаменателе исходной дроби имеются выражения вида A n m или A m n (при условии натуральных m и n), нам нужно выбрать такой множитель, чтобы получившееся выражение можно было преобразовать в A n n · k или A n · k n (при натуральном k). После этого избавиться от иррациональности будет несложно. Разберем такой пример.
Пример 4
Условие: даны дроби 7 6 3 5 и x x 2 + 1 4 15 . Избавьтесь от иррациональности в знаменателях.
Решение
Нам нужно взять натуральное число, которое можно разделить на пять, при этом оно должно быть больше трех. Чтобы показатель 6 стал равен 5 , нам надо выполнить умножение на 6 2 5 . Следовательно, обе части исходной дроби нам придется умножить на 6 2 5:
7 6 3 5 = 7 · 6 2 5 6 3 5 · 6 2 5 = 7 · 6 2 5 6 3 5 · 6 2 = 7 · 6 2 5 6 5 5 = = 7 · 6 2 5 6 = 7 · 36 5 6
Во втором случае нам потребуется число, большее 15 , которое можно разделить на 4 без остатка. Берем 16 . Чтобы получить такой показатель степени в знаменателе, нам надо взять в качестве множителя x 2 + 1 4 . Уточним, что значение этого выражения не будет 0 ни в каком случае. Вычисляем:
x x 2 + 1 4 15 = x · x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 15 · x 2 + 1 4 = = x · x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 16 = x · x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 4 4 = x · x 2 + 1 4 x 2 + 1 4
Ответ : 7 6 3 5 = 7 · 36 5 6 и x x 2 + 1 4 15 = x · x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 .
Избавление от иррациональности методом умножения на сопряженное выражение
Следующий метод подойдет для тех случаев, когда в знаменателе исходной дроби стоят выражения a + b , a - b , a + b , a - b , a + b , a - b . В таких случаях нам надо взять в качестве множителя сопряженное выражение. Поясним смысл этого понятия.
Для первого выражения a + b сопряженным будет a - b , для второго a - b – a + b . Для a + b – a - b , для a - b – a + b , для a + b – a - b , а для a - b – a + b . Иначе говоря, сопряженное выражение – это такое выражение, в котором перед вторым слагаемым стоит противоположный знак.
Давайте рассмотрим, в чем именно заключается данный метод. Допустим, у нас есть произведение вида a - b · a + b . Оно может быть заменено разностью квадратов a - b · a + b = a 2 - b 2 , после чего мы переходим к выражению a − b , лишенному радикалов. Таким образом, мы освободились от иррациональности в знаменателе дроби с помощью умножения на сопряженное выражение. Возьмем пару наглядных примеров.
Пример 5
Условие: избавьтесь от иррациональности в выражениях 3 7 - 3 и x - 5 - 2 .
Решение
В первом случае берем сопряженное выражение, равное 7 + 3 . Теперь производим умножение обеих частей исходной дроби на него:
3 7 - 3 = 3 · 7 + 3 7 - 3 · 7 + 3 = 3 · 7 + 3 7 2 - 3 2 = = 3 · 7 + 3 7 - 9 = 3 · 7 + 3 - 2 = - 3 · 7 + 3 2
Во втором случае нам понадобится выражение - 5 + 2 , которое является сопряженным выражению - 5 - 2 . Умножим на него числитель и знаменатель и получим:
x - 5 - 2 = x · - 5 + 2 - 5 - 2 · - 5 + 2 = = x · - 5 + 2 - 5 2 - 2 2 = x · - 5 + 2 5 - 2 = x · 2 - 5 3
Возможно также перед умножением выполнить преобразование: если мы вынесем из знаменателя сначала минус, считать будет удобнее:
x - 5 - 2 = - x 5 + 2 = - x · 5 - 2 5 + 2 · 5 - 2 = = - x · 5 - 2 5 2 - 2 2 = - x · 5 - 2 5 - 2 = - x · 5 - 2 3 = = x · 2 - 5 3
Ответ: 3 7 - 3 = - 3 · 7 + 3 2 и x - 5 - 2 = x · 2 - 5 3 .
Важно обратить внимание на то, чтобы выражение, полученное в итоге умножения, не обращалось в 0 ни при каких переменных из области допустимых значений для данного выражения.
Пример 6
Условие: дана дробь x x + 4 . Преобразуйте ее так, чтобы в знаменателе не было иррациональных выражений.
Решение
Начнем с нахождения области допустимых значений переменной x . Она определена условиями x ≥ 0 и x + 4 ≠ 0 . Из них можно сделать вывод, что нужная область представляет собой множество x ≥ 0 .
Сопряженное знаменателю выражение представляет собой x - 4 . Когда мы можем выполнить умножение на него? Только в том случае, если x - 4 ≠ 0 . На области допустимых значений это будет равносильно условию x≠16. В итоге мы получим следующее:
x x + 4 = x · x - 4 x + 4 · x - 4 = = x · x - 4 x 2 - 4 2 = x · x - 4 x - 16
Если x будет равен 16 , то мы получим:
x x + 4 = 16 16 + 4 = 16 4 + 4 = 2
Следовательно, x x + 4 = x · x - 4 x - 16 при всех значениях x , принадлежащих области допустимых значений, за исключением 16 . При x = 16 получим x x + 4 = 2 .
Ответ: x x + 4 = x · x - 4 x - 16 , x ∈ [ 0 , 16) ∪ (16 , + ∞) 2 , x = 16 .
Преобразование дробей с иррациональностью в знаменателе с использованием формул суммы и разности кубов
В предыдущем пункте мы выполняли умножение на сопряженные выражения с тем, чтобы потом использовать формулу разности квадратов. Иногда для избавления от иррациональности в знаменателе полезно воспользоваться и другими формулами сокращенного умножения, например, разностью кубов a 3 − b 3 = (a − b) · (a 2 + a · b + b 2) . Этой формулой удобно пользоваться, если в знаменателе исходной дроби стоят выражения с корнями третьей степени вида A 3 - B 3 , A 3 2 + A 3 · B 3 + B 3 2 . и т.д. Чтобы применить ее, нам нужно умножить знаменатель дроби на неполный квадрат суммы A 3 2 + A 3 · B 3 + B 3 2 или разность A 3 - B 3 . Точно также можно применить и формулу суммы a 3 + b 3 = (а) · (a 2 − a · b + b 2) .
Пример 7
Условие: преобразуйте дроби 1 7 3 - 2 3 и 3 4 - 2 · x 3 + x 2 3 так, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе.
Решение
Для первой дроби нам нужно воспользоваться методом умножения обеих частей на неполный квадрат суммы 7 3 и 2 3 , поскольку потом мы сможем выполнить преобразование с помощью формулы разности кубов:
1 7 3 - 2 3 = 1 · 7 3 2 + 7 3 · 2 3 + 2 3 2 7 3 - 2 3 · 7 3 2 + 7 3 · 2 3 + 2 3 2 = = 7 3 2 + 7 3 · 2 3 + 2 3 2 7 3 3 - 2 3 3 = 7 2 3 + 7 · 2 3 + 2 2 3 7 - 2 = = 49 3 + 14 3 + 4 3 5
Во второй дроби представим знаменатель как 2 2 - 2 · x 3 + x 3 2 . В этом выражении виден неполный квадрат разности 2 и x 3 , значит, мы можем умножить обе части дроби на сумму 2 + x 3 и воспользоваться формулой суммы кубов. Для этого должно быть соблюдено условие 2 + x 3 ≠ 0 , равносильное x 3 ≠ - 2 и x ≠ − 8:
3 4 - 2 · x 3 + x 2 3 = 3 2 2 - 2 · x 3 + x 3 2 = = 3 · 2 + x 3 2 2 - 2 · x 3 + x 3 2 · 2 + x 3 = 6 + 3 · x 3 2 3 + x 3 3 = = 6 + 3 · x 3 8 + x
Подставим в дробь - 8 и найдем значение:
3 4 - 2 · 8 3 + 8 2 3 = 3 4 - 2 · 2 + 4 = 3 4
Подведем итоги. При всех x , входящих в область значений исходной дроби (множество R), за исключением - 8 , мы получим 3 4 - 2 · x 3 + x 2 3 = 6 + 3 · x 3 8 + x . Если x = 8 , то 3 4 - 2 · x 3 + x 2 3 = 3 4 .
Ответ: 3 4 - 2 · x 3 + x 2 3 = 6 + 3 · x 3 8 + x , x ≠ 8 3 4 , x = - 8 .
Последовательное применение различных способов преобразования
Часто на практике встречаются более сложные примеры, когда мы не можем освободиться от иррациональности в знаменателе с помощью всего одного метода. Для них нужно последовательно выполнять несколько преобразований или подбирать нестандартные решения. Возьмем одну такую задачу.
Пример N
Условие: преобразуйте 5 7 4 - 2 4 , чтобы избавиться от знаков корней в знаменателе.
Решение
Выполним умножение обеих частей исходной дроби на сопряженное выражение 7 4 + 2 4 с ненулевым значением. Получим следующее:
5 7 4 - 2 4 = 5 · 7 4 + 2 4 7 4 - 2 4 · 7 4 + 2 4 = = 5 · 7 4 + 2 4 7 4 2 - 2 4 2 = 5 · 7 4 + 2 4 7 - 2
А теперь применим тот же способ еще раз:
5 · 7 4 + 2 4 7 - 2 = 5 · 7 4 + 2 4 · 7 + 2 7 - 2 · 7 + 2 = = 5 · 7 4 + 2 4 · 7 + 2 7 2 - 2 2 = 5 · 7 4 + 7 4 · 7 + 2 7 - 2 = = 5 · 7 4 + 2 4 · 7 + 2 5 = 7 4 + 2 4 · 7 + 2
Ответ: 5 7 4 - 2 4 = 7 4 + 2 4 · 7 + 2 .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Преобразование выражений, содержащих арифметические квадратные корни
Цель урока: создание условий для формирования умений, упрощать выражения, содержащие арифметические квадратные корни в ходе работы в группах сменного состава.
Задачи урока: проверить теоретическую подготовку учащихся, умение извлекать квадратный корень из числа, формировать навыки правильного воспроизведения своих знаний и умений, развивать вычислительные навыки, воспитывать умение работать в парах и ответственности за общее дело.
Ход урока.
I . Организационный момент. « ТАБЛИЦА ГОТОВНОСТИ»
Фиксация уровня готовности к началу занятия.
25 карточек красного цвета (5 баллов), желтого цвета (4 балла), синего
цвета (3 балла).
Таблица готовности
5 баллов (хочу знать, делать, решать)
4 балла (я готов к работе)
3 балла (я не очень хорошо себя чувствую, я не понимаю материал, мне нужна помощь)
II . Индивидуальная работа по карточкам
Карточка 1
Вынести множитель из-под знака корня:
Карточка 2
Внести множитель под знак корня:
Карточка 3
Упростить:
а)
б)
в)
(Проверка после проверки домашнего задания)
III . Проверка домашнего задания.
№166, 167 устно фронтально
(самооценивание с помощью сигнальных карточек: зелёный - всё верно, красный – есть ошибка)
IV . Изучение нового материала. Работа в группах сменного состава.
Самостоятельно изучить материал, чтобы потом суметь объяснить его членам группы. Класс делится на 6 групп по 4 человека.
1, 2 и 3 группы – учащиеся со средними способностями
Как избавиться от иррациональности в знаменателе дроби? Рассмотрим общий случай и конкретные примеры.
Если число или выражение, стоящее под знаком квадратного корня в знаменателе, является одним из множителей, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе и числитель, и знаменатель дроби умножаем на квадратный корень из этого числа или выражения:
Примеры.
1) ;
2) .
4, 5 и 6 группы – учащиеся со способностями выше средних.
Если знаменатель дроби - сумма либо разность двух выражений, содержащих квадратный корень, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе умножаем и числитель, и знаменатель на сопряженный радикал:
Примеры. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:
Работа в новых группах (4 группы по 6 человек, от каждой группы по 1 человеку).
Объяснение изученного материала членам новой группы. (взаимооценивание – прокомментировать объяснение материала учеником)
V . Проверка усвоения теоретического материала. На вопросы отвечают учащиеся, не объясняющие данную часть теоретического материала.
1) Как избавиться от иррациональности в знаменателе дроби, если число или выражение, стоящее под знаком квадратного корня в знаменателе, является одним из множителей?
2) Как избавиться от иррациональности в знаменателе дроби, если знаменатель дроби - сумма либо разность двух выражений, содержащих квадратный корень?
3) как избавиться от иррациональности в знаменателе дроби
4) Как избавиться от иррациональности в знаменателе дроби
VI . Закрепление изученного материала. Проверочная самостоятельная работа.
№81 («Алгебра» 8 класс, А.Абылкасымова, И.Бекбоев, А.Абдиев, З,Жумагулова)
№170 (1,2,3,5,6) («Алгебра» 8 класс, А.Шыныбеков)
Критерии оценивания:
Уровень А – № 81 примеры 1-5 отметка «3»
Уровень В – № 81 примеры 6-8 и №170 примеры 5,6 отметка «4»
Уровень С – № 170 примеры 1-6 отметка «5»
(самооценивание, проверка по образцу в флипчарте)
VII . Домашнее задание.
№ 218
VIII . Рефлексия. « Телеграмма»
Каждому предлагается заполнить бланк телеграммы, получив при этом следующую инструкцию: «Что вы думаете о прошедшем занятии? Что было для вас важным? Чему вы научились? Что вам понравилось? Что осталось неясным? В каком направлении нам стоит продвигаться дальше? Напишите мне, пожалуйста, об этом короткое послание –телеграмму из 11 слов. Я хочу узнать ваше мнение для того, чтобы учитывать его в дальнейшей работе».
Итог урока.
Урок №1 Тема урока: «Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби»
Цели:
Образовательная:
Развивающая:
Воспитательная: воспитание последовательности в своих действиях.
Тип урока: изучение нового
Стандарт урока:
уметь находить способ избавления от иррациональности
понимать смысл «сопряженное выражение»
уметь избавляться от иррациональности в знаменателе.
Оборудование: карточки к самостоятельной работе.
Ход урока
Немного юмора:Извлекать корни умеешь? – спрашивает учитель
Да, конечно. Нужно потянуть за стебель растения посильнее, и корень его извлечётся из почвы.
Нет, я имел в виду другой корень, например, из девяти.
Это будет «девя», так как «ть»-суффикс.
Я имею в виду корень квадратный.
Квадратных корней не бывает. Они бывают мочковатые и стержневые.
Арифметический квадратный корень из девяти.
Так бы и сказали! Квадратный корень из девяти =3!
А вы корни извлекать умеете?
2. «Повторение – мать учения».
(8 мин)
2.Проверка дом/з № 168 1)4; 2)10; 3)4;4) 8
3.Разминка. Выполни действия (Слайд 1). Проверка по кругу против часовой стрелки.
1. Подбери неизвестный множитель (Слайд2)
Деление на группы: по выбранным фигурам.
Проверяют в парах сменного состава.
Работают индивидуально и проверяют, оценивая в баллах.
(Приложение 1)
3. «Книга – книгой, а мозгами двигай» (5 мин)
(Слайд 3) Два друга решали уравнение 
и получили разные ответы. Один из них подобрал х = 
, сделал проверку. Второй находил неизвестный множитель делением произведения на 
и получил х = 
. Кто из них прав? Может ли линейное уравнение иметь два корня? Самым удобным для вычислений является выражение, не содержащее иррациональности в знаменателе.
Тема урока (Слайд 4): Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби
Цели (Слайд 5): ознакомиться со способами избавления от иррациональности в знаменатели дроби. Развитие умения освобождать знаменатель от иррациональности;
Решают и проверяют в парах сменного состава.
Обсуждают ситуацию и приходят к выводу.
Записывают тему
Формулируют цели : ознакомиться со способами избавления от иррациональности в знаменатели дроби.
развитие умения определять способ освобождения от иррациональности;
4. Работа над новым материалом.
(10 мин)
Как избавиться от иррациональности в знаменателе? Хотите узнать?
Работа в группах над новым материалом
Выступление групп
Закрепление (Слайд 6)
Работают с опорным конспектом. (Приложение 2)
Решают примеры.
(Приложение 3)
Обмениваются информацией.
5. Зарядка (3 мин)
Делают зарядку
(10 мин)
По разноуровневым карточкам
1-в: 
2-в: 
3-в: 
Выполняют индивидуально, проверяют меняясь тетрадями с другой группой.
Баллы заносят в оценочную карту группы.
(Приложение 1)
7.Творческое задание
(2 мин)
Мартышка – апельсинов продавщица,(Слайд 7)
Приехав как – то раз к себе на дачу,
Нашла там с радикалами задачу.
Разбрасывать их стала все подряд.
Мы просим вас, девчонки и мальчишки,
Решить задачу на хвосте мартышки.
Как вы думаете мы закончили изучать эту тему? Продолжим на следующем уроке.
Рассуждают о том, что это им предстоит узнать на следующем уроке.
8. Задание на дом: (2 мин)
П.19(Слайд 7)
1 уровень: №170 (1-6)
2 уровень: №170 (1-6 и 9,12)
Творческое задание: Мартышкина задача.
Записывают
9.Итог урока. Рефлексия
(3 мин)
Две звезды и пожелание на стикерах прикрепляются на выбранный смайлик (Слайд 7)
Баллы переводят в оценку и сдают учителю оценочную карту группы.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Оценочная карта группы.
0-8 баллов
Подбери множитель
0-8 баллов
Работа в группе над новым материалом
0-5 баллов
Сам. работа
0-5 баллов
Активность на уроке
0-5 баллов
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Если знаменатель алгебраической дроби содержит знак квадратного корня, то говорят, что в знаменателе содержится иррациональность. Преобразование выражения к такому виду, чтобы в знаменателе дроби не оказалось знаков квадратных корней, называют освобождением от иррациональности в знаменателе
Выражения, преобразование выражений
Как освободиться от иррациональности в знаменателе? Способы, примеры, решения
В 8 классе на уроках алгебры в рамках темы преобразование иррациональных выражений заходит разговор про освобождение от иррациональности в знаменателе дроби . В этой статье мы разберем, что это за преобразование, рассмотрим, какие действия позволяют освободиться от иррациональности в знаменателе дроби, и приведем решения характерных примеров с детальными пояснениями.
Навигация по странице.
Что значит освободиться от иррациональности в знаменателе дроби?
Сначала нужно разобраться, что такое иррациональность в знаменателе и что значит освободиться от иррациональности в знаменателе дроби. В этом нам поможет информация из школьных учебников . Заслуживают внимания следующие моменты.
Когда запись дроби содержит в знаменателе знак корня (радикал), то говорят, что в знаменателе присутствует иррациональность
. Вероятно, это связано с тем, что записанные при помощи знаков корней числа часто являются . В качестве примера приведем дроби , , 
, , очевидно, знаменатели каждой из них содержат знак корня, а значит и иррациональность. В старших классах неизбежна встреча с дробями, иррациональность в знаменатели которых вносят не только знаки квадратных корней, но и знаки кубических корней, корней четвертой степени и т.д. Вот примеры таких дробей: , 
.
Учитывая приведенную информацию и смысл слова «освободиться», очень естественно воспринимается следующее определение:
Определение.
Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби – это преобразование, при котором дробь с иррациональностью в знаменателе заменяется тождественно равной дробью, не содержащей в знаменателе знаков корней.
Часто можно слышать, что говорят не освободиться, а избавиться от иррациональности в знаменателе дроби. Смысл при этом не меняется.
Например, если от дроби перейти к дроби , значение которой равно значению исходной дроби и знаменатель которой не содержит знака корня, то можно констатировать, что мы освободились от иррациональности в знаменателе дроби. Еще пример: замена дроби тождественно равной ей дробью 
есть освобождение от иррациональности в знаменателе дроби.
Итак, начальная информация получена. Остается узнать, что нужно делать, чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби.
Способы освобождения от иррациональности, примеры
Обычно для освобождения от иррациональности в знаменателе дроби используют два преобразования дроби : умножение числителя и знаменателя на отличное от нуля число или выражение и преобразование выражения в знаменателе. Ниже мы рассмотрим, как эти преобразования дробей используются в рамках основных способов, позволяющих избавиться от иррациональности в знаменателе дроби. Затронем следующие случаи.
В самых простых случаях достаточно преобразовать выражение в знаменателе. В качестве примера можно привести дробь, в знаменателе которой находится корень из девяти. В этом случае замена его значением 3 освобождает знаменатель от иррациональности.
В более сложных случаях приходится предварительно выполнять умножение числителя и знаменателя дроби на некоторое отличное от нуля число или выражение, что впоследствии позволяет преобразовать знаменатель дроби к виду, не содержащему знаков корней. Например, после умножения числителя и знаменателя дроби на , дробь принимает вид 
, а дальше выражение в знаменателе можно заменить выражением без знаков корней x+1
. Таким образом, после освобождения от иррациональности в знаменателе дробь принимает вид .
Если говорить про общий случай, то чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби, приходится прибегать к различным допустимым преобразованиям, иногда, довольно специфическим.
А теперь подробно.
Преобразование выражения в знаменателе дроби
Как уже было отмечено, один из способов избавления от иррациональности в знаменателе дроби состоит в преобразовании знаменателя. Рассмотрим решения примеров.
Пример.
Избавиться от иррациональности в знаменателе дроби 
.
Решение.
Раскрыв скобки в знаменателе, придем к выражению 
. Дальше позволяют перейти к дроби 
. Вычислив значения под знаками корней, имеем 
. Очевидно, в полученном выражении можно , что дает дробь , которая равна 1/16
. Так мы избавились от иррациональности в знаменателе.
Обычно решение записывают кратко без пояснения, так как выполняемые действия довольно просты:
Ответ:
.
Пример.
Решение.
Когда мы говорили про преобразование иррациональных выражений с использованием свойств корней , то отметили, что для любого выражения A
при четных n
(в нашем случае n=2
) выражение можно заменить выражением |A|
на всей ОДЗ переменных для исходного выражения. Поэтому, можно выполнить такое преобразование заданной дроби: 
, которое освобождает от иррациональности в знаменателе.
Ответ:
.
Умножение числителя и знаменателя на корень
Когда выражение в знаменателе дроби имеет вид , где выражение A не содержит знаков корней, то освободиться от иррациональности в знаменателе позволяет умножение числителя и знаменателя на . Это действие возможно, так как не обращается в нуль на ОДЗ переменных для исходного выражения. При этом в знаменателе получается выражение , которое легко преобразовать к виду без знаков корней: 
. Покажем применение этого подхода на примерах.
Пример.
Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: а) , б) .
Решение.
а) Умножив числитель и знаменатель дроби на квадратный корень из трех, получим 
.
б) Чтобы избавиться от знака квадратного корня в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на , после чего проведем преобразования в знаменателе:
Ответ:
а) , б) 
.
В случае, когда в знаменателе находятся множители или , где m и n некоторые натуральные числа, числитель и знаменатель надо умножить на такой множитель, чтобы после этого выражение в знаменателе можно было преобразовать к виду или , где k – некоторое натуральное число, соответственно. Дальше легко перейти к дроби без иррациональности в знаменателе. Покажем применение описанного способа избавления от иррациональности в знаменателе на примерах.
Пример.
Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби: а) , б) .
Решение.
а) Ближайшее натуральное число, превосходящее 3
и делящееся на 5
, есть 5
. Чтобы показатель шестерки стал равен пяти, выражение в знаменателе надо умножить на . Следовательно, освобождению от иррациональности в знаменателе дроби будет способствовать выражение , на которое надо умножить числитель и знаменатель:
б) Очевидно, что ближайшее натуральное число, которое превосходит 15
и при этом делится без остатка на 4
, это 16
. Чтобы получить показатель степени в знаменателе стал равен 16
, нужно умножить находящееся там выражение на . Таким образом, умножение числителя и знаменателя исходной дроби на (заметим, значение этого выражения не равно нулю при при каких действительных x
) позволит избавиться от иррациональности в знаменателе:
Ответ:
а) 
, б) 
.
Умножение на сопряженное выражение
Следующий способ освобождения от иррациональности в знаменателе дроби покрывает случаи, когда в знаменателе находятся выражения вида , , , , или . В этих случаях, чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби, надо числитель и знаменатель дроби умножить на так называемое сопряженное выражение .
Осталось узнать, какие выражения являются сопряженными для указанных выше. Для выражения сопряженным выражением является , а для выражения сопряженным является выражение . Аналогично, для выражения сопряженным является , а для выражения сопряженным является . И для выражения сопряженным является , а для выражения сопряженным является . Итак, выражение, сопряженное данному выражению, отличается от него знаком перед вторым слагаемым.
Давайте посмотрим, к чему приводит умножение выражения на сопряженное ему выражение. Для примера рассмотрим произведение 
. Его можно заменить разностью квадратов, то есть, , откуда дальше можно перейти к выражению a−b
, которое не содержит знаков корней.
Теперь становится понятно, как умножение числителя и знаменателя дроби на выражение, сопряженное знаменателю, позволяет освободиться от иррациональности в знаменателе дроби. Рассмотрим решения характерных примеров.
Пример.
Представьте выражение в виде дроби, знаменатель которой не содержит радикала: а) , б) .
Решение.
а) Выражение, сопряженное знаменателю, это . Умножим на него числитель и знаменатель, что позволит нам освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:
б) Для выражения сопряженным является . Умножая на него числитель и знаменатель, получаем
Можно было сначала вынести знак минус из знаменателя, а уже после этого умножать числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю:
Ответ:
а) 
, б) 
.
Обратите внимание: при умножении числителя и знаменателя дроби на выражение с переменными, сопряженное знаменателю, нужно позаботиться, чтобы оно не обращалось в нуль ни при каком наборе значений переменных из ОДЗ для исходного выражения.
Пример.
Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби .
Решение.
Для начала найдем область допустимых значений (ОДЗ) переменной x . Она определяется условиями x≥0 и , из которых заключаем, что ОДЗ есть множество x≥0 .
Выражение, сопряженное знаменателю, есть . Мы можем умножить на него числитель и знаменатель дроби при условии, что , которое на ОДЗ равносильно условию x≠16
. При этом имеем
А при x=16
имеем 
.
Таким образом, для всех значений переменной x
из ОДЗ, кроме x=16
, 
, а при x=16
имеем .
Ответ:
Использование формул сумма кубов и разность кубов
Из предыдущего пункта мы узнали, что умножение числителя и знаменателя дроби на выражение, сопряженное знаменателю, проводится для того, чтобы в дальнейшем применить формулу разность квадратов и тем самым освободиться от иррациональности в знаменателе. В некоторых случаях для освобождения от иррациональности в знаменателе оказываются полезными и другие формулы сокращенного умножения . Например, формула разность кубов a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+b 2)
позволяет избавиться от иррациональности, когда в знаменателе дроби находятся выражения с кубическими корнями вида или 
, где A
и B
– некоторые числа или выражения. Для этого числитель и знаменатель дроби умножается на неполный квадрат суммы или на разность соответственно. Аналогично примеряется и формула сумма кубов a 3 +b 3 =(a+b)·(a 2 −a·b+b 2)
.
Пример.
Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: а) , б) 
.
Решение.
а) Несложно догадаться, что в данном случае освободиться от иррациональности в знаменателе позволяет умножение числителя и знаменателя на неполный квадрат суммы чисел и , так как в дальнейшем это позволит преобразовать выражение в знаменателе по формуле разность кубов:
б) Выражение в знаменателе дроби можно представить в виде 
, из которого хорошо видно, что это неполный квадрат разности чисел 2
и . Таким образом, если числитель и знаменатель дроби умножить на сумму , то знаменатель можно будет преобразовать по формуле сумма кубов, что позволит освободиться от иррациональности в знаменателе дроби. Это возможно сделать при условии , которое равносильно условию и дальше x≠−8
:
А при подстановке x=−8
в исходную дробь имеем 
.
Таким образом, для всех x
из ОДЗ для исходной дроби (в данном случае это множество R
), кроме x=−8
, имеем 
, а при x=8
имеем 
.
Ответ:
Использование различных способов
В примерах посложнее обычно не получается в одно действие освободиться от иррациональности в знаменателе, а приходится последовательно применять метод за методом, в том числе и из разобранных выше. Иногда могут потребоваться и какие-нибудь нестандартные приемы решения. Довольно интересные задания по обсуждаемой теме можно найти в учебнике под авторством Колягина Ю. Н. Список литературы.
- Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 11-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
- Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; под ред. А. Б. Жижченко. - 3-е изд. - М. : Просвещение, 2010.- 368 с. : ил.- ISBN 978-5-09-022771-1.
Рассмотрим задачу из алгебры многочленов.
Задача 4.1
Пусть а является корнем многочлена х 3 + 6х - 3. Нужно освободиться от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби
Т.е. представить дробь в виде многочлена от а с рацио-
нальными коэффициентами.
Решение. Знаменатель дроби есть значение от а многочлена fix) =х 2 + 5, а минимальным многочленом алгебраического элемента а является ф(х) =х 3 + 6х- 3, поскольку этот многочлен неприводим над полем Q (по критерию Эйзенштейна при простом р = 3). Найдем НОДОс 3 + 6х - 3, х 2 + 5) с помощью алгоритма Евклида:
Обобщим ситуацию и рассмотрим общую задачу.
Задача об освобождении от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби
Пусть а - алгебраическая иррациональность над полем Р с ми-
, . „ а к а к +a k _,a k ~ l -f-. + aia + Oo
нимальным многочленом фОО и В = - - 1
Ъ т а т + bro-ioc" 1 - 1 +... + bja + b 0
где коэффициенты многочленов в числителе и знаменателе дроби принадлежат полю Р. Освободиться от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби, т.е. представить (3 в виде
где коэффициенты принадлежат полю Р.
Решение. Обозначим/)*) = b nl x" + b m _ 1 x nl_1 +... + b } x + b 0 и у =/(а). Поскольку у ^ 0, то по свойству минимального многочлена НОД(/(х), ф(х)) = 1. Используя алгоритм Евклида, находим многочлены u(x) и v(x), такие что f(x) и (х) + ф(х)у(х) = 1. Отсюда Да) и (а) + ф(а)у(а) = 1, а так как ф(а) = 0, тоДа)и(а) = 1. Следовательно, умножая числитель и знаменатель данной дроби на ц(а), в знаменателе получим единицу, и задача решена.
Заметим, что общий прием освобождения от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби в случае комплексных а + Ы
чисел-приводит к известной процедуре умножения числи-
теля и знаменателя на число, сопряженное знаменателю.
Исторический экскурс
Впервые существование чисел, трансцендентных над полем Q, обнаружил Ж. Лиувилль (1809-1882) в работах 1844 и 1851 гг. Одним из трансцендентных чисел Лиувилля является число
Ш. Эрмит (1822-
а= У--. Вдесятичнойзаписиа = 0Д100010..
кл 10*
1901) доказал трансцендентность числа е в 1873 г., а К. Ф. Линде- ман (1852-1939) доказал в 1882 г. трансцендентность числа п. Эти результаты были получены очень не просто. В то же время совсем просто Г. Кантор (1845-1918) доказал, что трансцендентных чисел «значительно больше», чем алгебраических: трансцендентных чисел «столько же», сколько всех действительных чисел, в то время как алгебраических чисел «столько же», сколько всех натуральных чисел. Точнее, множество алгебраических чисел счетно, а множество трансцендентных чисел несчетно. Доказательство этого факта, устанавливая существование трансцендентных чисел, не дает рецепта получения ни одного из них. Такого рода теоремы существования чрезвычайно важны в математике уже тем, что вселяют веру в успех поиска объекта, существование которого доказано. Вместе с тем существует направление в математике, представители которого не признают чистых теорем существования, называя их неконструктивными. Наиболее яркими из этих представителей являются Л. Кронекер и Я. Брауэр.
В 1900 г. на Всемирном конгрессе математиков в Париже немецкий математик Д. Гильберт (1862-1943) сформулировал следующую проблему 22: Какова природа числа аР, где а и (3 - алгебраические числа, а ^ 0, а ^ 1 и степень алгебраического числа (3 не меньше 2? А. О. Гельфонд (1906-1968) доказал, что такие числа трансцендентны. Отсюда следует, в частности, что числа 2^, З г являются трансцендентными.
