1. Внутреннее трение (вязкость) жидкости. Уравнение Ньютона.
2. Ньютоновские и неньютоновские жидкости. Кровь.
3. Ламинарное и турбулентное течения, число Рейнольдса.
4. Формула Пуазейля, гидравлическое сопротивление.
5. Распределение давления при течении реальной жидкости по трубам различного сечения.
6. Методы определения вязкости жидкостей.
7. Влияние вязкости на некоторые медицинские процедуры. Ламинарность и турбулентность газового потока при наркозе. Введение жидкостей через капельницу и шприц. Риноманометрия. Фотогемотерапия.
8. Основные понятия и формулы.
9. Задачи.
Гидродинамика - раздел физики, в котором изучают вопросы движения несжимаемых жидкостей и их взаимодействие с окружающими телами.
8.1. Внутреннее трение (вязкость) жидкости. Уравнение Ньютона
В реальной жидкости вследствие взаимного притяжения и теплового движения молекул имеет место внутреннее трение, или вязкость. Рассмотрим это явление на следующем опыте (рис. 8.1).
Рис. 8.1. Течение вязкой жидкости между пластинами
Поместим слой жидкости между двумя параллельными твердыми пластинами. «Нижняя» пластина закреплена. Если двигать «верхнюю» пластину с постоянной скоростью v 1 , то c такой же скоростью будет двигаться самый «верхний» 1-й слой жидкости, который считаем «прилипшим» к верхней пластине. Этот слой влияет на нижележащий непосредственно под ним 2-й слой, заставляя его двигаться со скоростью v 2 , причем v 2 < v 1 . Каждый слой (выделим n слоев) передает движение нижележащему слою с меньшей скоростью. Слой, непосредственно «прилипший» к «нижней» пластине, остается неподвижным.
Слои взаимодействуют друг с другом: n-й слой ускоряет (п+1)-й слой, но замедляет (п-1)-й слой. Таким образом, наблюдается изменение скорости течения жидкости в направлении, перпендикулярном поверхности слоя (ось х). Такое изменение характеризуют производной dv/dx, которую называют градиентом скорости.
Силы, действующие между слоями и направленные по касательной к поверхности слоев, называются силами внутреннего трения или вязкости. Эти силы пропорциональны площади взаимодействующих слоев S и градиенту скорости. Для многих жидкостей силы внутреннего трения подчиняются уравнению Ньютона:
Коэффициент пропорциональности η называют коэффициентом внутреннего трения или динамической вязкостью (размерность η в СИ: Пас).
8.2. Ньютоновские и неньютоновские жидкости.
Кровь
Ньютоновская жидкость
Жидкость, которая подчиняется уравнению Ньютона (8.1), называют ньютоновской. Коэффициент внутреннего трения ньютоновской жидкости зависит от ее строения, температуры и давления, но не зависит от градиента скорости.
Ньютоновская жидкость - жидкость, вязкость которой не зависит от градиента скорости.
Свойствами ньютоновской жидкости обладают большинство жидкостей (вода, растворы, низкомолекулярные органические жидкости) и все газы.
Вязкость определяется с помощью специальных приборов - вискозиметров. Значения коэффициента вязкости η для некоторых жидкостей представлены в таблице.
Значение
вязкости крови, представленное в таблице, относится к здоровому
человеку в спокойном состоянии. При тяжелой физической работе вязкость
крови увеличивается. На величину вязкости крови влияют и некоторые
заболевания. Так, при сахарном диабете вязкость крови увеличивается до
23?10 -3 Пас, а при туберкулезе уменьшается до 1*10 -3 Пас. Вязкость сказывается на таком клиническом параметре, как скорость оседания эритроцитов (СОЭ).
Неньютоновская жидкость
Неньютоновская жидкость - жидкость, вязкость которой зависит от градиента скорости.
Свойствами неньютоновской жидкости обладают структурированные дисперсные системы (суспензии, эмульсии), растворы и расплавы некоторых полимеров, многие органические жидкости и др.
При прочих равных условиях вязкость таких жидкостей значительно больше, чем у ньютоновских жидкостей. Это связано с тем, что благодаря сцеплению молекул или частиц в неньютоновской жидкости образуются пространственные структуры, на разрушение которых затрачивается дополнительная энергия.
Кровь
Цельная кровь (суспензия эритроцитов в белковом растворе - плазме) является неньютоновской жидкостью вследствие агрегации эритроцитов.
Эритроцит в норме имеет форму двояковогнутого диска диаметром около 8 мкм. Он может существенно менять свою форму, например при различной осмолярности среды (рис. 8.2).
В неподвижной крови эритроциты агрегируют, образуя так называемые «монетные столбики», состоящие из 6-8 эритроцитов. Электронно-микроскопическое исследование тончайших срезов монетных столбиков выявило параллельность поверхностей прилежащих эритроцитов и постоянное межэритроцитарное расстояние при агрегации (рис. 8.3).
На рисунке 8.4 показана (зарисовка) агрегация цельной крови во влажных мазках, которая представляет собой большие конгломераты, состоящие из многих монетных столбиков. При перемешивании крови агрегаты разрушаются, а после прекращения перемешивания вновь восстанавливаются.
При протекании крови по капиллярам агрегаты эритроцитов распадаются и вязкость падает.
Вживление специальных прозрачных окошек в кожные складки позволило сфотографировать течение крови в капиллярах. На рисунке 8.5, выполненном по такой фотографии, отчетливо видна деформация кровяных клеток.
Рис. 8.2.
Усредненное поперечное сечение эритроцита при различной осмолярности среды
Рис. 8.3.
Схема электроннограммы агрегата из нормальных эритроцитов
Рис. 8.4.
Агрегация цельной крови
Рис. 8.5.
Деформация эритроцитов в капиллярах
Деформируясь, эритроциты могут продвигаться один за другим в капиллярах диаметром всего 3 мкм. Именно в таких тонких капиллярных сосудах и происходит газообмен между кровью и тканями.
Вблизи стенки капилляра образуется очень тонкий слой плазмы, который играет роль смазки. Благодаря этому сопротивление движению эритроцитов уменьшается.
8.3. Ламинарное и турбулентное течения, число Рейнольдса
В жидкости течение может быть ламинарным или турбулентным. На рисунке 8.6 это показано для одной окрашенной струи жидкости, текущей в другой.
В случае (а) струя окрашенной жидкости сохраняет неизменную форму и не смешивается с остальной жидкостью. В случае (б) окрашенная струя разрывается случайными завихрениями, картина которых меняется с течением времени. К турбулентному течению понятие «трубка тока» неприменимо.
Рис. 8.6.
Ламинарное (а) и турбулентное (б) течения струи жидкости
Ламинарное (слоистое) течение - такое течение, при котором слои жидкости текут, не перемешиваясь, скользя друг относительно друга. Ламинарное течение является стационарным - скорость течения в каждой точке пространства остается постоянной.
Рассмотрим ламинарное течение ньютоновской жидкости в трубе радиуса R и длины L, давления на концах которой постоянны (Р 1 и Р 2). Выделим цилиндрическую трубку тока радиуса r (рис. 8.7).
На жидкость внутри этой трубки действуют сила давления F д = πг 2 (Р 1 - Р 2) и сила вязкого трения F тр = 2πrLηdv/dr (2πrL - пло-
Рис. 8.7.
Трубка тока и действующая на нее сила трения
щадь боковой поверхности). Так как течение стационарное, сумма этих сил равна нулю:
В соответствии с приведенным выражением имеет место параболическая зависимость скорости v
слоев жидкости от расстояния от них до оси трубы r (огибающая всех векторов скорости есть парабола) (рис. 8.8).
Наибольшую скорость имеет слой, текущий вдоль оси трубы (r = 0), слой, «прилипший» к стенке (r = R), неподвижен.
Рис. 8.8.
Скорости слоев текущей через трубку жидкости распределены по параболе
Турбулентное (вихревое) течение - такое течение, при котором скорости частиц жидкости в каждой точке беспорядочно меняются. Такое движение сопровождается появлением звука. Турбулентное течение - это хаотическое, крайне нерегулярное, неупорядоченное течение жидкости. Элементы жидкости совершают движение по сложным неупорядоченным траекториям, что приводит к перемешиванию слоев и образованию местных завихрений.
Структура турбулентного течения представляет собой нестационарную совокупность очень большого числа малых вихрей, наложенных на основное «среднее течение».
При этом говорить о течении в ту или иную сторону можно только в среднем за какой-то промежуток времени.
Турбулентное течение связано с дополнительной затратой энергии при движении жидкости: часть энергии расходуется на беспорядочное движение, направление которого отличается от основного направления потока, что в случае крови приводит к дополнительной работе сердца. Шум, возникающий при турбулентном течении крови, может быть использован для диагностирования заболевания. Этот шум прослушивается, например, на плечевой артерии при измерении давления крови.
Турбулентное движение крови может возникнуть вследствие неравномерного сужения просвета сосуда (или локального выпирания). Турбулентное течение создает условия для оседания тромбоцитов и образования агрегатов. Этот процесс часто является пусковым
в формировании тромба. Кроме того, если тромб слабо связан со стенкой сосуда, то под действием резкого перепада давления вдоль него вследствие турбулентности он может начать двигаться.
Число Рейнольдса
Понятия ламинарности и турбулентности применимы как к течению жидкости по трубам, так и к обтеканию ею различных тел. В обоих случаях характер течения зависит от скорости течения, свойств жидкости и характерного линейного размера трубы или обтекаемого тела.
Английский физик и инженер Осборн Рейнольдс (1842-1912) составил безразмерную комбинацию, величина которой и определяет характер течения. Впоследствии эта комбинация была названа числом Рейнольдса (Re):
Число
Рейнольдса используют при моделировании гидро- и аэродинамических
систем, в частности кровеносной системы. Модель должна иметь такое же
число Рейнольдса, как и сам объект, в противном случае соответствия
между ними не будет.
Важным свойством турбулентного течения (по сравнению с ламинарным) является высокое сопротивление потоку. Если бы удалось «погасить» турбулентность, то удалось бы достичь огромной экономии мощности двигателей кораблей, подводных лодок, самолетов.
8.4. Формула Пуазейля, гидравлическое сопротивление
Рассмотрим, от каких факторов зависит объем жидкости, протекающей по горизонтальной трубе.
Формула Пуазейля
При ламинарном течении жидкости по трубе радиуса R и длины L объем Q жидкости, протекающей через горизонтальную трубу за одну секунду, можно вычислить следующим образом. Выделим тонкий цилиндрический слой радиуса r и толщины dr (рис. 8.9).
Рис. 8.9.
Сечение трубы с выделенным слоем жидкости
Площадь его поперечного сечения равна dS = 2πrdr. Так как выделен тонкий слой, жидкость в нем перемещается с одинаковой скоростью v. За одну секунду слой перенесет объем жидкости
Подставив сюда формулу для скорости цилиндрического слоя жидкости (8.4), получим
Это соотношение справедливо для ламинарного течения ньютоновской жидкости.
Формулу Пуазейля можно записать в виде, справедливом для труб переменного сечения. Заменим выражение (Р 1 - Р 2)/L на градиент давления dP/d/, тогда получим
Как видно из (8.8), при заданных внешних условиях объем жидкости, протекающей по трубе, пропорционален четвертой степени ее радиуса. Это очень сильная зависимость. Так, например, если при атеросклерозе радиус сосудов уменьшится в 2 раза, то для поддержания нормального кровотока перепад давлений нужно увеличить в 16 раз, что практически невозможно. В результате возникает кислородное голодание соответствующих тканей. Этим объясняется возникновение «грудной жабы». Облегчения можно достичь, вводя лекарственное вещество, которое расслабляет мышцы артериальных стенок и позволяет увеличить просвет сосуда и, следовательно, поток крови.
Поток крови, проходящей через сосуды, регулируется специальными мышцами, окружающими сосуд. При их сокращении просвет сосуда уменьшается и соответственно убывает поток крови. Таким образом, незначительным сокращением этих мышц очень точно контролируется поступление крови в ткани.
В организме путем изменения радиуса сосудов (сужения или расширения) за счет изменения объемной скорости кровотока регулируется кровоснабжение тканей, теплообмен с окружающей средой.
Причины движения крови по сосудам
Главная движущая сила кровотока - разность давлений в начале и в конце сосудистой системы: в большом круге кровообращения - разность давлений в аорте и правом предсердии, в малом круге - в легочной артерии и левом предсердии.
Дополнителные факторы, способствующие движению крови по венам в сторону сердца:
1) полулунные клапаны вен конечностей, которые открываются под напором крови только в сторону сердца;
2) присасывающее действие грудной клетки, связанное с отрицательным давлением в ней при вдохе;
3) сокращение мышц конечностей, например, при хотьбе. При этом происходит надавливание на стенки вен, и кровь, благодаря клапанам и присасывающему действию грудной клетки при вдохе, выжимается в участки, расположенные ближе к сердцу.
Гидравлическое сопротивление
Проведем аналогию между формулой Пуазейля и формулой закона Ома для участка цепи тока: I = ΔU /R. Для этого перепишем формулу (8.8) в следующем виде: Q = (P 1 - Р 2)/. Если сравнить эту формулу с законом Ома для электрического тока, то объем жидкости, протекающей через сечение трубы за одну секунду, соответствует силе тока; разность давлений на концах трубы соответствует разности потенциалов; а величина 8ηL/(πR 4) соответствует электрическому сопротивлению. Ее называют гидравлическим сопротивлением:
Гидравлическое сопротивление трубы прямо пропорционально ее длине и обратно пропорционально четвертой степени радиуса.
Если изменением кинетической энергии жидкости на некотором участке можно пренебречь, то рассмотренная аналогия применима и к потоку переменного сечения:
гидравлическим сопротивлением участка называется отношение перепада давлений к объему жидкости, протекающему за 1 секунду:
Наличие гидравлического сопротивления связано с преодолением сил внутреннего трения.
Законы гидродинамики значительно сложнее законов постоянного тока, поэтому и законы соединения труб (кровеносных сосудов) сложнее законов соединения проводников. Так, например, места резкого сужения потока (даже при небольшой длине) обладают большим собственным гидравлическим сопротивлением. Этим и объясняется значительное увеличение гидравлического сопротивления кровеносного сосуда при образовании небольшой бляшки.
Наличие собственного сопротивления у мест резкого сужения потока необходимо учитывать при расчете сопротивления участка, состоящего
Рис. 8.10.
Трубы, соединенные последовательно (а) и параллельно (б)
из труб различного диаметра. На рис. 8.10,а показано последовательное сопротивление трех труб. Места сужения обладают собственным сопротивлением Х 12 и Х 23 . Поэтому сопротивление участка равно
Электрический аналог (8.13) формулы для расчета гидродинамического сопротивления параллельного соединения (рис 8.10, б) также требует учета сопротивлений мест соединения труб.
8.5. Распределение давления при течении реальной жидкости по трубам различного сечения
При течении по горизонтальной трубе реальной жидкости работа внешних сил расходуется на преодоление внутреннего трения. Поэтому статическое давление вдоль трубы постепенно падает. Этот эффект может быть продемонстрирован на простом опыте. Установим в разных местах горизонтальной трубы, по которой течет вязкая жидкость, манометрические трубки (рис. 8.11).
Рис. 8.11.
Падение давления вязкой жидкости в трубах различного сечения
Из рисунка видно, что при постоянном сечении трубы давление падает пропорционально длине. При этом скорость падения давления (dP/dl ) увеличивается при уменьшении сечения трубы. Это объясняется ростом гидравлического сопротивления при уменьшении радиуса.
В кровеносной системе человека на капилляры приходится до 70 % падения давления.
8.6. Методы определения вязкости жидкостей
Совокупность методов измерения вязкости жидкости называется вискозиметрией. Прибор для измерения вязкости называется вискозиметром. В зависимости от метода измерения вязкости используют следующие типы вискозиметров.
1. Капиллярный вискозиметр Оствальда основан на использовании формулы Пуазейля. Вязкость определяется по результату измерения времени протекания через капилляр жидкости известной массы под действием силы тяжести при определенном перепаде давлений.
2. Медицинский вискозиметр Гесса с двумя капиллярами, в которых движутся две жидкости (например, дистиллированная вода и кровь). Вязкость одной жидкости должна быть известна. Учитывая, что перемещение жидкостей за одно и то же время обратно пропорционально их вязкости, вычисляют вязкость второй жидкости.
3. Вискозиметр, основанный на методе Стокса, согласно которому при движении шарика радиуса R в жидкости с вязкостью η при небольшой скорости v сила сопротивления пропорциональна вязкости этой жидкости: F = 6πηRv (формула Стокса). Эритроциты перемещаются в вязкой жидкости - плазме крови. Так как эритроциты имеют дискообразную форму и оседают в вязкой жидкости, то скорость их оседания (СОЭ) можно определить приближенно по формуле Стокса. О скорости оседания судят по количеству плазмы над осевшими эритроцитами. В норме скорость оседания эритроцитов равна: 7-12 мм/ч для женщин и 3-9 мм/ч для мужчин.
4. Вискозиметр ротационный (рис. 8.12) состоит из двух коаксиальных (соосных) цилиндров. Радиус внутреннего цилиндра - R, радиус внешнего цилиндра - R+ΔR (ΔR << R). Пространство между цилин-
Рис. 8.12.
Ротационный вискозиметр (сечения вдоль и перпендикулярно оси)
драми заполняют исследуемой жидкостью до некоторой высоты h. Затем внутренний цилиндр приводят во вращение, прикладывая определенный момент сил М, и измеряют установившуюся частоту вращения ν.
Вязкость жидкости вычисляют по формуле
Применяя ротационный вискозиметр, можно измерять вязкость при разных угловых скоростях вращения ротора. Данный метод позволяет установить зависимость между вязкостью и градиентом скорости, что важно для неньютоновских жидкостей.
8.7. Влияние вязкости на некоторые медицинские
процедуры
Наркоз
В некоторых медицинских мероприятиях используется наркоз. При этом необходимо по возможности уменьшить усилия, затрачиваемые больным на дыхание через эндотрахеальные и другие дыхательные трубки, посредством которых подается дыхательная смесь из аппаратов для наркоза (рис. 8.13).
Для обеспечения плавного газового потока используются плавно изогнутые соединительные трубки. Неровности внутренних стенок трубки, резкие изгибы и изменения внутреннего диаметра трубок
Рис.
8.13.
Дыхание больного через эндотрахеальную трубку
Рис. 8.14.
Возникновение турбулентности газового потока в трубке с резкими неоднородностями по сечению
и соединений часто являются причинами перехода ламинарного потока в турбулентный (рис. 8.14), что затрудняет процесс дыхания у больного.
На рисунке 8.15 приведен рентгеновский снимок головы больного, показывающий, что эндотрахеальная трубка перегнулась в глотке. В данном случае у больного обязательно возникнут затруднения дыхания.
Введение жидкостей через шприц и капельницу
Шприц - очень простой прибор (рис. 8.16), который используют для инъекций. И тем не менее при описании его работы часто допускается ошибка, связанная с нахождением перепада давлений (ΔР) на игле, которая приводит к неверному результату. Считают, что
Рис. 8.15.
Рентгеновский снимок, на котором виден перегиб дыхательной трубки
Рис. 8.16.
Работа шприца
ΔP = F/S, где F - сила, действующая на поршень, а S - его площадь. При этом исходят из следующих соображений: поршень движется медленно и динамическим давлением жидкости в цилиндре можно
пренебречь. Это неверно - на входе в иглу линии тока сгущаются и скорость движения жидкости резко возрастает.
Строгий расчет (см. задачу 8.12) приводит к следующему результату. Перепад давления на игле (ΔР) является решением квадратного уравнения
Значения всех величин подставляются в СИ.
Ниже приводятся результаты расчетов для двух игл длины 4 см, диаметры которых отличаются в 1,5 раза.
Из
результатов, представленных в нижней таблице, видно, что АР вовсе не
равно F/S! При этом увеличение диаметра иглы в 1,5 раза приводит к
увеличению объемной скорости всего в 3,5 раза, а не в 5 раз (1,5 4 = 5,06), как этого можно было ожидать. Ламинарный характер течения имеет место в обоих случаях.
Другим прибором для внутривенного вливания является капельница (рис. 8.17), которая позволяет вводить жидкость самотеком за счет разности давлений, создаваемой при подъеме камеры с препаратом на определенную высоту (~60 см).
Формулы 8.14, 8.15 применимы и здесь, если заменить величину F/S на гидростатическое давление столба жидкости pgh. При этом S - площадь сечения трубки, а u - скорость движения жидкости в ней. Ниже приведены результаты расчетов для h = 60 см.
Полученные
значения являются правильными, но не соответствуют тому, что происходит
на самом деле. В данном случае получается завышенное значение для
объемной скорости ввода препарата - 0,827 см 3 /с. Реальная скорость Q = 0,278 см 3 /с
(из расчета 500 мл за 30 минут). Расхождение получается из-за того, что
не учтено гидравлическое сопротивление, создаваемое устройством,
пережимающим трубку.
Риноманометрия
Полноценное носовое дыхание является необходимой предпосылкой для нормальной функции слуховой трубы, которая во многом зависит от степени аэрации носоглотки и правильного прохождения воздушных потоков в полости носа. Причиной нарушения носового дыхания часто являются некоторые врожденные патологии, например расщелина верхней губы и неба. Часто при лечении этой патологии
Рис. 8.17. Введение препарата через капельницу
используются хирургические методы, например реконструктивная ринохейлопластика (ринопластика - операции восстановления носа). Для объективной характеристики результатов оперативного вмешательства используется риноманометрия - метод определения объема носового дыхания и сопротивления. Скорость воздушного потока характеризуется формулой Пуазейля, при этом учитывается градиент давления, обусловленный изменением давления в носоглоточном пространстве; диаметр и длина носовой полости; характеристики воздушного потока в носоглотке (ламинарность или турбулентность). Данный метод реализуется с помощью прибора - риноманометра, который позволяет регистрировать давление в одной половине носа, пока пациент дышит через другую. Это осуществляется с помощью катетера, который специально крепится в носу. Компьютерная схема риноманометра позволяет автоматически измерить общий объем и сопротивление воздуха на вдохе и выдохе, раздельно проанализировать поток и сопротивление воздуха в каждой половине носа и рассчитать их соотношение. Это позволяет определить носовое дыхание до и после операции и оценить степень восстановления носового дыхания.
Фотогемотерапия
При заболеваниях, сопровождающихся повышением вязкости крови, для уменьшения вязкости крови применяется метод фотогемотерапии. Он заключается в том, что у больного берут небольшое количество крови (примерно 2 мл/кг веса), подвергают ее УФ-облучению и вводят обратно в кровеносное русло. Примерно через 5 мин после введения больным 100-200 мл облученной крови наблюдается значительное снижение вязкости во всем объеме (около 5 л) циркулирующей крови. Исследования зависимости вязкости от скорости движения крови показали, что при фотогемотерапии вязкость сильнее всего снижается (примерно на 30 %) в медленно движущейся крови и совсем не меняется в быстро движущейся крови. УФ-облучение вызывает снижение способности эритроцитов к агрегации и увеличивает деформируемость эритроцитов. Помимо этого происходит снижение образования тромбов. Все эти явления приводят к значительному улучшению как макро-, так и микроциркуляции крови.
8.8. Основные понятия и формулы
Окончание таблицы
8.9. Задачи
1. Вывести формулу для определения вязкости ротационным вискозиметром. Дано: R, ΔR, h, ν, M.
2.
Определить
время протекания крови через капилляр вискозиметра, если вода протекает
через него за 10 с. Объемы воды и крови одинаковы. Плотность воды и
крови равны p 1 = 1 г/см 3 , ρ 2 = 1,06 г/см 3 . Вязкость крови относительно воды равна 5 (η 2 /η 1 = 5).
3.
Допустим,
что в двух кровеносных сосудах градиент давления одинаков, а поток
крови (объемный расход) во втором сосуде на 80% меньше, чем в первом.
Найти отношение их диаметров.
4.
Какова
должна быть разность давлений АР на концах капилляра радиуса r = 1 мм и
длины L = 10 см, чтобы за время t = 5 с через него можно было
пропустить объем V = 1 см 3 воды (коэффициент вязкости η 1 = 10 -3 Пас) или глицерина (η 2 = 0,85 Пас)?
5.
Падение
давления в кровеносном сосуде длины L = 55 мм и радиуса r = 1,5 мм
равно 365 Па. Определить, сколько миллилитров крови протекает через
сосуд за 1 минуту. Коэффициент вязкости крови η = 4,5 мПа-с.
6.
При
атеросклерозе, вследствие образования бляшек на стенках сосуда,
критическое значение числа Рейнольдса может снизиться до 1160.
Определить для этого случая скорость, при которой возможен переход
ламинарного течения крови в турбулентное в сосуде диаметром 2,5 мм.
Плотность крови равна ρ = 1050 кг/м 3 , вязкость крови равна η = 5х10 -3 Пас.
7.
Средняя
скорость крови в аорте радиусом 1 см равна 30 см/с. Выяснить, является
ли данное течение ламинарным? Плотность крови ρ = 1,05х10 3 кг/м 3 .
η = 4х10 -3 Па-с; Rе кр = 2300.
8. При большой физической нагрузке скорость кровотока иногда увеличивается вдвое. Пользуясь данными примера задачи (7), определить характер течения в этом случае.
Решение
Re = 2x1575 = 3150. Течение турбулентное.
Ответ: число Рейнольдса больше критического значения, поэтому течение может стать турбулентным.
10.
Определить
максимальную массу крови, которая может пройти за 1 с через аорту при
сохранении ламинарного характера течения. Диаметр аорты D = 2 см,
вязкость крови η = 4x10 -3 Па-с.
11.
Определить
максимальную объемную скорость протекания жидкости по игле шприца с
внутренним диаметром D = 0,3 мм, при которой сохраняется ламинарный
характер течения.
12.
Найти
объемную скорость жидкости в игле шприца. Плотность жидкости - ρ; ее
вязкость - η; диаметр и длина иглы D и L соответственно; сила,
действующая на поршень, - F; площадь поршня - S.
Интегрируя по r, получим:
Пусть поршень шприца движется под действием силы F со скоростью u. Тогда мощность внешней силы N F = Fu.
Суммарная работа всех сил равна изменению кинетической энергии. Следовательно,
Подставив найденное значение A
P
во второе уравнение, получим все интересующие нас величины: скорость
поршня и, объемную скорость кровотока Q, скорость жидкости в игле v.
Вя́зкость (вну́треннее тре́ние ) - одно из явлений переноса, свойство текучих тел (жидкостей и газов) оказывать сопротивление перемещению одной их части относительно другой. В результате работа , затрачиваемая на это перемещение, рассеивается в виде тепла.
Механизм внутреннего трения в жидкостях и газах заключается в том, что хаотически движущиеся молекулы переносят импульс из одного слоя в другой, что приводит к выравниванию скоростей - это описывается введением силы трения. Вязкость твёрдых тел обладает рядом специфических особенностей и рассматривается обычно отдельно.
Различают динамическую вязкость (единица измерения в Международной системе единиц (СИ) - Па · , в системе СГС - пуаз ; 1 Па·с = 10 пуаз ) и кинематическую вязкость (единица измерения в СИ - м²/с, в СГС - стокс , внесистемная единица - градус Энглера). Кинематическая вязкость может быть получена как отношение динамической вязкости к плотности вещества и своим происхождением обязана классическим методам измерения вязкости, таким как измерение времени вытекания заданного объёма через калиброванное отверстие под действием силы тяжести. Прибор для измерения вязкости называется вискозиметром .
Переход вещества из жидкого состояния в стеклообразное обычно связывают с достижением вязкости порядка 10 11 −10 12 Па·с .
Энциклопедичный YouTube
-
1 / 5
Сила вязкого трения F , действующая на жидкость, пропорциональна (в простейшем случае сдвигового течения вдоль плоской стенки ) скорости относительного движения v тел и площади S и обратно пропорциональна расстоянию между плоскостями h :
F → ∝ − v → ⋅ S h {\displaystyle {\vec {F}}\propto -{\frac {{\vec {v}}\cdot S}{h}}}Коэффициент пропорциональности, зависящий от природы жидкости или газа, называют коэффициентом динамической вязкости . Этот закон был предложен Исааком Ньютоном в 1687 году и носит его имя (закон вязкости Ньютона). Экспериментальное подтверждение закона было получено в начале XIX века в опытах Кулона с крутильными весами и в экспериментах Хагена и Пуазёйля с течением воды в капиллярах .
Качественно существенное отличие сил вязкого трения от сухого трения , кроме прочего, то, что тело при наличии только вязкого трения и сколь угодно малой внешней силы обязательно придет в движение, то есть для вязкого трения не существует трения покоя , и наоборот - под действием только вязкого трения тело, вначале двигавшееся, никогда (в рамках макроскопического приближения, пренебрегающего броуновским движением) полностью не остановится, хотя движение и будет бесконечно замедляться.
Вторая вязкость
Вторая вязкость, или объёмная вязкость - внутреннее трение при переносе импульса в направлении движения. Влияет только при учёте сжимаемости и (или) при учёте неоднородности коэффициента второй вязкости по пространству.
Если динамическая (и кинематическая) вязкость характеризует деформацию чистого сдвига, то вторая вязкость характеризует деформацию объёмного сжатия.
Объёмная вязкость играет большую роль в затухании звука и ударных волн , и экспериментально определяется путём измерения этого затухания.
Вязкость газов
μ = μ 0 T 0 + C T + C (T T 0) 3 / 2 . {\displaystyle {\mu }={\mu }_{0}{\frac {T_{0}+C}{T+C}}\left({\frac {T}{T_{0}}}\right)^{3/2}.}
- μ = динамическая вязкость в (Па·с) при заданной температуре T ,
- μ 0 = контрольная вязкость в (Па·с) при некоторой контрольной температуре T 0 ,
- T = заданная температура в Кельвинах,
- T 0 = контрольная температура в Кельвинах,
- C = постоянная Сазерленда для того газа, вязкость которого требуется определить.
Эту формулу можно применять для температур в диапазоне 0 < T < 555 K и при давлениях менее 3,45 МПа с ошибкой менее 10 %, обусловленной зависимостью вязкости от давления.
Постоянная Сазерленда и контрольные вязкости газов при различных температурах приведены в таблице ниже
Газ C T 0 μ 0 Вязкость жидкостей
Динамическая вязкость
τ = − η ∂ v ∂ n , {\displaystyle \tau =-\eta {\frac {\partial v}{\partial n}},}Коэффициент вязкости η {\displaystyle \eta } (коэффициент динамической вязкости, динамическая вязкость) может быть получен на основе соображений о движениях молекул. Очевидно, что η {\displaystyle \eta } будет тем меньше, чем меньше время t «оседлости» молекул. Эти соображения приводят к выражению для коэффициента вязкости, называемому уравнением Френкеля-Андраде:
η = C e w / k T {\displaystyle \eta =Ce^{w/kT}}Иная формула, представляющая коэффициент вязкости, была предложена Бачинским . Как показано, коэффициент вязкости определяется межмолекулярными силами, зависящими от среднего расстояния между молекулами; последнее определяется молярным объёмом вещества V M {\displaystyle V_{M}} . Многочисленные эксперименты показали, что между молярным объёмом и коэффициентом вязкости существует соотношение:
η = c V M − b , {\displaystyle \eta ={\frac {c}{V_{M}-b}},}где с и b - константы. Это эмпирическое соотношение называется формулой Бачинского .
Динамическая вязкость жидкостей уменьшается с увеличением температуры, и растёт с увеличением давления.
Кинематическая вязкость
В технике, в частности, при расчёте гидроприводов и в триботехнике , часто приходится иметь дело с величиной:
ν = η ρ , {\displaystyle \nu ={\frac {\eta }{\rho }},}и эта величина получила название кинематической вязкости . Здесь ρ {\displaystyle \rho } - плотность жидкости; η {\displaystyle \eta } - коэффициент динамической вязкости (см. выше).
Кинематическая вязкость в старых источниках часто указана в сантистоксах (сСт). В СИ эта величина переводится следующим образом:
1 сСт = 1 мм 2 / {\displaystyle /} 1 c = 10 −6 м 2 / {\displaystyle /} c
Условная вязкость
Условная вязкость - величина, косвенно характеризующая гидравлическое сопротивление течению, измеряемая временем истечения заданного объёма раствора через вертикальную трубку (определённого диаметра). Измеряют в градусах Энглера (по имени немецкого химика К. О. Энглера), обозначают - °ВУ. Определяется отношением времени истечения 200 см 3 испытываемой жидкости при данной температуре из специального вискозиметра ко времени истечения 200 см 3 дистиллированной воды из того же прибора при 20 °С. Условную вязкость до 16 °ВУ переводят в кинематическую по таблице ГОСТ, а условную вязкость, превышающую 16 °ВУ, по формуле:
ν = 7 , 4 ⋅ 10 − 6 E t , {\displaystyle \nu =7,4\cdot 10^{-6}E_{t},}где ν {\displaystyle \nu } - кинематическая вязкость (в м 2 /с), а E t {\displaystyle E_{t}} - условная вязкость (в °ВУ) при температуре t.
Ньютоновские и неньютоновские жидкости
Ньютоновскими называют жидкости, для которых вязкость не зависит от скорости деформации. В уравнении Навье - Стокса для ньютоновской жидкости имеет место аналогичный вышеприведённому закон вязкости (по сути, обобщение закона Ньютона, или закон Навье - Стокса ):
σ i j = η (∂ v i ∂ x j + ∂ v j ∂ x i) , {\displaystyle \sigma _{ij}=\eta \left({\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}\right),}где σ i , j {\displaystyle \sigma _{i,j}} - тензор вязких напряжений.
η (T) = A ⋅ exp (Q R T) , {\displaystyle \eta (T)=A\cdot \exp \left({\frac {Q}{RT}}\right),}где Q {\displaystyle Q} - энергия активации вязкости (Дж/моль), T {\displaystyle T} - температура (), R {\displaystyle R} - универсальная газовая постоянная (8,31 Дж/моль·К) и A {\displaystyle A} - некоторая постоянная.
Вязкое течение в аморфных материалах характеризуется отклонением от закона Аррениуса : энергия активации вязкости Q {\displaystyle Q} изменяется от большой величины Q H {\displaystyle Q_{H}} при низких температурах (в стеклообразном состоянии) на малую величину Q L {\displaystyle Q_{L}} при высоких температурах (в жидкообразном состоянии). В зависимости от этого изменения аморфные материалы классифицируются либо как сильные, когда (Q H − Q L) < Q L {\displaystyle \left(Q_{H}-Q_{L}\right)
Вязкость аморфных материалов весьма точно аппроксимируется двуэкспоненциальным уравнением :
η (T) = A 1 ⋅ T ⋅ [ 1 + A 2 ⋅ exp B R T ] ⋅ [ 1 + C exp D R T ] {\displaystyle \eta (T)=A_{1}\cdot T\cdot \left\cdot \left}с постоянными A 1 {\displaystyle A_{1}} , A 2 {\displaystyle A_{2}} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} и D {\displaystyle D} , связанными с термодинамическими параметрами соединительных связей аморфных материалов.
В узких температурных интервалах недалеко от температуры стеклования T g {\displaystyle T_{g}} это уравнение аппроксимируется формулами типа VTF или сжатыми экспонентами Кольрауша.
Если температура существенно ниже температуры стеклования T < T g {\displaystyle T
η (T) = A L T ⋅ exp (Q H R T) , {\displaystyle \eta (T)=A_{L}T\cdot \exp \left({\frac {Q_{H}}{RT}}\right),}с высокой энергией активации Q H = H d + H m {\displaystyle Q_{H}=H_{d}+H_{m}} , где H d {\displaystyle H_{d}} -
Наиболее трудным и наименее формализованным в задаче автоматической классификации является момент, связанный с определением понятия однородности объектов.
В общем случае понятие однородности объектов определяется заданием правила вычисления величины характеризующей либо расстояние между объектами из исследуемой совокупности либо степень близости (сходства) тех же объектов. Если задана функция , то близкие в смысле этой метрики объекты считаются однородными, принадлежащими к одному классу. Естественно, при этом необходимо сопоставление с некоторым пороговым значением, определяемым в каждом конкретном случае по-своему.
Аналогично используется для формирования однородных классов и упомянутая выше мера близости при задании которой нужно помнить о необходимости соблюдения следующих естественных требований: требования симметрии требования максимального сходства объекта с самим собой и требования при заданной метрике монотонного убывания по , т. е. из должно с необходимостью следовать выполнение неравенства
Конечно, выбор метрики (или меры близости) является узловым моментом исследования, от которого решающим образом зависит окончательный вариант разбиения объектов на классы при заданном алгоритме разбиения. В каждой конкретной задаче этот выбор должен производиться по-своему. При этом решение данного вопроса зависит в основном от главных целей исследования, физической и статистической природы вектора наблюдений X, полноты априорных сведений о характере вероятностного распределения X. Так, например, если из конечных целей исследования и из природы вектора X следует, что понятие однородной группы естественно интерпретировать как генеральную совокупность с одновершинной плотностью (полигоном частот) распределения, и если к тому же известен общий вид этой плотности, то следует воспользоваться общим подходом, описанным в гл. 6. Если, кроме того, известно, что наблюдения извлекаются из нормальных генеральных совокупностей с одной и той же матрицей ковариаций, то естественной мерой отдаленности двух объектов друг от друга является расстояние махаланобисского типа (см. ниже).
В качестве примеров расстояний и мер близости, сравнительно широко используемых в задачах кластер-анализа, приведем здесь следующие.
Общий вид метрики махаланобисского типа. В общем случае зависимых компонент вектора наблюдении X и их различном значимости в решении вопроса об отнесении объекта (наблюдения) к тому или иному классу обычно пользуются обобщенным («взвешенным») расстоянием махаланобисского типа, задаваемым формулой
Здесь - ковариационная матрица генеральной совокупности, из которой извлекаются наблюдения а А - некоторая симметричная неотрицательно-онределенная матрица «весовых» коэффициентов , которая чаще всего выбирается диагональной .
Следующие три вида расстояний, хотя и являются частными случаями метрики все же заслуживают специального описания.
Обычное евклидово расстояние
К ситуациям, в которых использование этого расстояния можно признать оправданным, прежде всего относят следующие:
наблюдения X извлекаются из генеральных совокупностей, описываемых многомерным нормальным законом с ковариационной матрицей вида т. е. компоненты X взаимно независимы и имеют одну и ту же дисперсию;
компоненты вектора наблюдении X однородны по своему физическому смыслу, причем установлено, например с помощью опроса экспертов, что все они одинаково важны с точки зрения решения вопроса об отнесении объекта к тому или иному классу;
признаковое пространство совпадает с геометрическим пространством нашего бытия, что может быть лишь в случаях , и понятие близости объектов соответственно совпадает с понятием геометрической близости в этом пространстве, например классификация попаданий при стрельбе по цели.
«Взвешенное» евклидово расстояние
Обычно применяется в ситуациях, в которых так или иначе удается приписать каждой из компонент вектора наблюдений X некоторый неотрицательный «вес» .
Определение весов связано, как правило, с дополнительным исследованием, например получением и использованием обучающих выборок, организацией опроса экспертов и обработкой их мнений, использованием некоторых специальных моделей. Попытки определения весов только по информации, содержащейся в исходных данных , как правило, не дают желаемого эффекта, а иногда могут лишь отдалить от истинного решения. Достаточно заметить, что в зависимости от весьма тонких и незначительных вариаций физической и статистической природы исходных данных можно привести одинаково убедительные доводы в пользу двух диаметрально противоположных решений этого вопроса - выбирать пропорционально величине среднеквадратической ошибки признака либо пропорционально обратной величине среднеквадратической ошибки этого же признака .
Хеммингово расстояние. Используется как мера различия объектов, задаваемых дихотомическими признаками. Оно задается с помощью формулы
и, следовательно, равно числу несовпадений значений соответствующих признаков в рассматриваемых объектах.
Другие меры близости для дихотомических признаков.
Меры близости объектов, описываемых набором дихотомических признаков, обычно основаны на характеристиках , где - число нулевых (единичных) компонент, совпавших в объектах X, и Так, например, если из каких-либо профессиональных соображений или априорных сведений следует, что все признаков исследуемых объектов можно считать равноправными, а эффект от совпадения или несовпадения нулей такой же, что и от совпадения или несовпадения единиц, то d качестве меры близости объектов используют величину
Весьма полный обзор различных мер близости объектов, описываемых дихотомическими признаками, читатель найдет в .
Меры близости и расстояния, задаваемые с помощью потенциальной функции. Во многих задачах математической статистики, теории вероятностей, физической теории потенциала и теории распознавания образов, или классификации многомерных наблюдений, оказываются полезными некоторые специально устроенные функции от двух векторных переменных X и Y, а чаще всего просто от расстояния между этими переменными, которые будем называть потенциальными.
Так, например, если пространство всех мыслимых значений исследуемого вектора X разбито на полную систему непересекающихся односвязных компактных множеств или однородных классов и потенциальная функция определена для следующим образом:
В противном случае, то с помощью этой функции удобно строить обычные эмпирические гистограммы (оценки плотности распределения по имеющимся наблюдениям Действительно, легко видеть, что
где - число наблюдений, попавших в класс содержащий точку - объем области (геометрическая интерпретация для одномерного случая показана на рис. 5.1).
Если в исследуемом факторном пространстве задана метрика , то можно не связывать себя заранее зафиксированным разбиением на классы, а задавать как монотонно убывающую функцию расстояния .
Например,
Приведем здесь еще лишь одну достаточно общую форму связи между , в которой расстояние выступает как функция некоторых значений потенциальной функции К:
Рис. 5.1, Гистограмма построенная с помощью разбиения на группы выборочной одномерной совокупности
В частности, выбрав в качестве скалярное произведение векторов U и V, т. е. положив
получим по формуле (5.3) обычное евклидово расстояние .
Легко понять, что и в случае задания потенциальной функции в виде соотношений (5.2) формулы (5.1) позволяют строить статистические оценки плотности распределения (5.1), хотя график функции будет уже не ступенчатым, а сглаженным. При отсутствии метрики в пространстве функции могут быть использованы в качестве меры близости объектов и и V, а также объектов и целых классов и классов между собой.
В первом случае эта мера позволяла получить лишь качественный ответ: объекты близки, если U и V принадлежат одному классу, и объекты далеки - в противном случае; в двух других случаях мера близости является количественной характеристикой.
О физически содержательных мерах близости объектов. В некоторых задачах классификации объектов, не обязательно описываемых количественно, естественнее использовать в качестве меры близости объектов (или расстояния между ними) некоторые физически содержательные числовые параметры, так или иначе характеризующие взаимоотношения между объектами. Примером может служить задача классификации с целью агрегирования отраслей народного хозяйства, решаемая на основе матрицы межотраслевого баланса . Таким образом, классифицируемым объектом в данном примере является отрасль народного хозяйства, а матрица межотраслевого баланса представлена элементами где под подразумевается сумма годовых поставок в денежном выражении отрасли в . В качестве матрицы близости в этом случае естественно взять, например, симметризованную нормированную матрицу межотраслевого баланса. При этом под нормировкой понимается преобразование, при котором денежное выражение поставок из отрасли в заменяется долей этих поставок по отношению ко всем поставкам отрасли. Симметризацию же нормированной матрицы межотраслевого баланса можно проводить различными способами. Так, например, в близость между отраслями выражается либо через среднее значение их взаимных нормированных поставок, либо через комбинацию из их взаимных нормированных поставок.
О мерах близости числовых признаков (отдельных факторов). Решение задач классификации многомерных данных, как правило, предусматривает в качестве предварительного этапа исследования реализацию методов, позволяющих существенно сократить размерность исходного факторного пространства, выбрать из компонент наблюдаемых векторов X сравнительно небольшое число наиболее существенных, наиболее информативных. Для этих целей бывает полезно рассмотреть каждую из компонент качестве объекта, подлежащего классификации. Дело в том, что разбиение признаков на небольшое число однородных в некотором смысле групп позволит исследователю сделать вывод, что компоненты, входящие в одну группу, в определенном смысле сильно связаны друг с другом и несут информацию о каком-то одном свойстве исследуемого объекта.
Следовательно, можно надеяться, что не будет большого ущерба в информации, если для дальнейшего исследования оставим лишь по одному представителю от каждой такой группы.
Чаще всего в подобных ситуациях в качестве мер близости между отдельными признаками так же как и между наборами таких признаков, используются различные характеристики степени их коррелированности и в первую очередь коэффициенты корреляции. Проблеме сокращения размерности анализируемого признакового пространства специально посвящен раздел III книги. Более подробно вопросы построения и использования расстояний и мер близости между отдельными объектами рассмотрены в .
Отрезки, прямые
Черти с ней скорей-ка!
Поля без труда
Проведет вам... (линейка)
Три стороны и три угла.
И знает каждый школьник:
Фигура называется,
Конечно, ... (треугольник)
Чтобы сумму получить,
Нужно два числа... (сложить)
Если что-то забираем,
Числа, дети,... (вычитаем)
Если больше раз так в пять,
Числа будем... (умножать)
Если меньше, стало быть,
Числа будем мы... (делить)
Если попадет в дневник —
Провинился ученик:
Длинный нос, одна нога,
Будто Бабушка-Яга.
Портит в дневнике страницу
Всем отметка...(«единица»)
Длинный нос, как клюв у птицы -
Это цифра... («единица»)
Колами, что в моей тетрадке,
Я выстрою забор на грядке.
Я получать их мастерица,
Моя отметка... («единица»)
За отметку эту будет
Дома мне головомойка.
Я скажу вам по секрету:
Цифра с буквой «3» похожи,
Как двойняшки, посмотри.
Даже перепутать можно
Буву «3» и цифру... («три»)
Столько ножек у стола
И углов в квартире,
Догадались, детвора?
Их всегда... (четыре)
Отметки лучше не сыскать!
«Отлично» — это значит... («пять»)
Разрешит сегодня мама
После школы мне гулять.
Я — не много и не мало —
Получил отметку... («пять»)
У цифры голова — крючок,
И даже брюшко есть.
Крючок похож на колпачок,
Перекладину вдоль тела
Цифра на себя надела.
По ветру косынка развевается.
Так похожа на матрешку —
Туловище с головешкой.
— Что за цифра? — Сразу спросим.
— Ну конечно, цифра... («восемь»)
Появилась вдруг в тетрадке
«Шесть» на голове — ... (девятка)
Думает он, что король,
А на самом деле — ... (ноль)
У нее нет ничего:
Нет ни глаз, ни рук, ни носа,
Состоит она всего
Знает это целый мир:
Угол мерит... (транспортир)
Задача, где нужно соображать.
Ученик я хоть куда,
Не балую никогда,
Хоть я и не пионер,
Но ребятам всем... (пример)
Выполнил в тетради я
Четко, словно ритм,
Друг за другом действия.
Это... (алгоритм)
Я с большим старанием
Выполнил... (задание)
Эти знаки только в паре,
Круглые, квадратные.
Мы все время их встречаем,
Пишем многократно.
Заключаем, как в коробки,
Числа в... (скобки)
Это величина.
И только она одна
Размер поверхностей измеряет,
В граммах, килограммах тоже
Измерять ее мы можем. (Масса)
Сантиметров пять — величина,
Называется она... (длина)
Математики урок.
Только прозвенел звонок,
Мы за партами, и вот
Начинаем устный... (счет)
Нужно объяснять кому-то,
Что такое час? Минута?
С давних пор любое племя
Знает, что такое... (время)
Он точку окружности соединяет
С центром ее — это каждый ведь знает.
Он буквою «г» обозначается.
Неизвестное X, неизвестное Y,
Может, «минус» — все равно.
Складываем, вычитаем,
Так... мы решаем. (примеры)
Нужно знаки эти знать.
Десять их, но знаки эти
Арифметическое действие,
Обратное сложению,
Скажу вам без сомнения.
А в результате разность —
Не зря мои старания!
Пример решил я правильно,
И это... (вычитание)
Числа плюсом прибавляем
И ответ потом считаем.
Это действие —... (сложение)
Быстрота перемещения
Созвучна слову «ускорение».
Ответьте, дети, мне сейчас,
Скорость, время — величины знаем,
Результат всех наших знаний —
Посчитали... (расстояние)
Хожу и повторяю,
И снова вспоминаю:
Дважды два — четыре,
Пятью три — пятнадцать.
Чтобы все запомнить,
Нужно постараться.
Это достижение —... (таблица умножения)
Он двуногий, но хромой,
Чертит лишь ногой одной.
В центр встал второй ногой,
В нем четыре стороны,
Меж собою все равны.
С прямоугольником он брат,
Называется... (квадрат)
Циркуль, наш надежный друг,
Если пальцев не хватает,
Мне подружки сосчитают.
Их на парте разложу,
Хоть куда ее веди,
Это линия такая,
Без конца и без начала,
Называется... (прямая)
Он ограничен с двух сторон
И по линейке проведен.
Длину его измерить можно,
Знает каждый карапуз:
Знак сложенья — это... («плюс»)
Он состоит из точки и прямой.
И можем вам сказать сейчас,
Что 60 минут есть... (час)
У треугольника их три,
Но их четыре у квадрата.
Он развернутый бывает,
Острый может быть, тупой.
Просмотр содержимого документа
«Математические загадки.»Загадки про математические принадлежности, про знаки математических действий, загадки о геометрических фигурах, загадки для детей от 9 до 12 лет. Загадки для школьников.
Отрезки, прямые
Черти с ней скорей-ка!
Поля без труда
Проведет вам... (линейка)
Три стороны и три угла.
И знает каждый школьник:
Фигура называется,
Конечно, ... (треугольник)
Чтобы сумму получить,
Нужно два числа... (сложить)
Если что-то забираем,
Числа, дети,... (вычитаем)
Если больше раз так в пять,
Числа будем... (умножать)
Если меньше, стало быть,
Числа будем мы... (делить)
Если попадет в дневник -
Провинился ученик:
Длинный нос, одна нога,
Будто Бабушка-Яга.
Портит в дневнике страницу
Всем отметка...(«единица»)
Длинный нос, как клюв у птицы –
Это цифра... («единица»)
Колами, что в моей тетрадке,
Я выстрою забор на грядке.
Я получать их мастерица,
Моя отметка... («единица»)
За отметку эту будет
Дома мне головомойка.
Я скажу вам по секрету:
Получил в тетради... («двойку»)
Цифра с буквой «3» похожи,
Как двойняшки, посмотри.
Даже перепутать можно
Буву «3» и цифру... («три»)
Столько ножек у стола
И углов в квартире,
Догадались, детвора?
Их всегда... (четыре)
Отметки лучше не сыскать!
«Отлично» - это значит... («пять»)
Разрешит сегодня мама
После школы мне гулять.
Я - не много и не мало -
Получил отметку... («пять»)
У цифры голова - крючок,
И даже брюшко есть.
Крючок похож на колпачок,
И эта цифра... («шесть»)
Яндекс.Директ
Перекладину вдоль тела
Цифра на себя надела.
По ветру косынка развевается.
Как, скажите, цифра называется? («Семь»)
Так похожа на матрешку -
Туловище с головешкой.
Что за цифра? - Сразу спросим.
Ну конечно, цифра... («восемь»)
Появилась вдруг в тетрадке
«Шесть» на голове - ... (девятка)
Думает он, что король,
А на самом деле - ... (ноль)
У нее нет ничего:
Нет ни глаз, ни рук, ни носа,
Состоит она всего
Из условия с вопросом. (Задача)
Знает это целый мир:
Угол мерит... (транспортир)
Задача, где нужно соображать.
Возможно, ее не придется решать.
Нужны здесь не знания, а смекалка,
И не поможет в решении шпаргалка.
Если случится в уме вдруг поломка,
Нерешенной останется... (головоломка)
Ученик я хоть куда,
Не балую никогда,
Хоть я и не пионер,
Но ребятам всем... (пример)
Выполнил в тетради я
Четко, словно ритм,
Друг за другом действия.
Это... (алгоритм)
Я с большим старанием
Выполнил... (задание)
Эти знаки только в паре,
Круглые, квадратные.
Мы все время их встречаем,
Пишем многократно.
Заключаем, как в коробки,
Числа в... (скобки)
Это величина.
И только она одна
Размер поверхностей измеряет,
В квадрате определяет. (Площадь)
В граммах, килограммах тоже
Измерять ее мы можем. (Масса)
Есть отрезок длинный, есть короче,
По линейке его чертим, между прочим.
Сантиметров пять - величина,
Называется она... (длина)
Математики урок.
Только прозвенел звонок,
Мы за партами, и вот
Начинаем устный... (счет)
Нужно объяснять кому-то,
Что такое час? Минута?
С давних пор любое племя
Знает, что такое... (время)
Он точку окружности соединяет
С центром ее - это каждый ведь знает.
Он буквою «г» обозначается.
А вы мне скажите, как он называется? (Радиус окружности)
Неизвестное X, неизвестное Y,
Их можно в равенствах повстречать.
И это, ребята, скажу вам, не игры,
Здесь нужно решенье всерьез отыскать.
С неизвестными равенства, без сомнения,
Называем, ребята, мы как? (Уравнения)
Три плюс три и пять плюс пять,
Есть знак «плюс» и знак «равно»,
Может, «минус» - все равно.
Складываем, вычитаем,
Так... мы решаем. (примеры)
Нужно знаки эти знать.
Десять их, но знаки эти
Сосчитают всё на свете. (цифры)
Арифметическое действие,
Обратное сложению,
Знак «минус» в нем задействован,
Скажу вам без сомнения.
А в результате разность -
Не зря мои старания!
Пример решил я правильно,
И это... (вычитание)
По-латыни это слово «меньше» означает,
А у нас-то этот знак числа вычитает. (Минус)
Числа плюсом прибавляем
И ответ потом считаем.
Если «плюс», то, без сомнения,
Это действие -... (сложение)
Быстрота перемещения
Созвучна слову «ускорение».
Ответьте, дети, мне сейчас,
Что значит 8 метров в час? (Скорость)
Если два объекта друг от друга далеко,
Километры между ними вычислим легко.
Скорость, время - величины знаем,
Их значения теперь перемножаем.
Результат всех наших знаний -
Посчитали... (расстояние)
Хожу и повторяю,
И снова вспоминаю:
Дважды два - четыре,
Пятью три - пятнадцать.
Чтобы все запомнить,
Нужно постараться.
Это достижение -... (таблица умножения)
Он двуногий, но хромой,
Чертит лишь ногой одной.
В центр встал второй ногой,
Чтоб не вышел круг кривой. (Циркуль)
Вместимость тела, часть пространства
Как называем мы? Понятно, то... (объем)
В нем четыре стороны,
Меж собою все равны.
С прямоугольником он брат,
Называется... (квадрат)
Циркуль, наш надежный друг,
Вновь в тетради чертит... (круг)
Раз, два, три, четыре, пять...
Если пальцев не хватает,
Мне подружки сосчитают.
Их на парте разложу,
И любой пример решу. (Счетные палочки)
Хоть куда ее веди,
Это линия такая,
Без конца и без начала,
Называется... (прямая)
Он ограничен с двух сторон
И по линейке проведен.
Длину его измерить можно,
И сделать это так несложно! (Отрезок)
Знает каждый карапуз:
Знак сложенья - это... («плюс»)
Он состоит из точки и прямой.
Ну, догадайтесь, кто же он такой?
Бывает, в дождик он пробьется из-за туч.
Теперь-то догадались? Это... (луч)
Мы на математике время изучали,
О минутах и секундах все-все-все узнали.
И можем вам сказать сейчас,
Что 60 минут есть... (час)
У треугольника их три,
Но их четыре у квадрата.
У всех квадратов меж собой они равны.
О чем я, догадаетесь, ребята? (Стороны)
Он развернутый бывает,
Острый может быть, тупой.
Как два луча, ребята, называют,
Идущие из точки из одной? (Угол)
