Разберем два вида решения систем уравнения:
1. Решение системы методом подстановки.
2. Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы.
Для того чтобы решить систему уравнений методом подстановки
нужно следовать простому алгоритму:
1. Выражаем. Из любого уравнения выражаем одну переменную.
2. Подставляем. Подставляем в другое уравнение вместо выраженной переменной, полученное значение.
3. Решаем полученное уравнение с одной переменной. Находим решение системы.
Чтобы решить систему методом почленного сложения (вычитания)
нужно:
1.Выбрать переменную у которой будем делать одинаковые коэффициенты.
2.Складываем или вычитаем уравнения, в итоге получаем уравнение с одной переменной.
3. Решаем полученное линейное уравнение . Находим решение системы.
Решением системы являются точки пересечения графиков функции.
Рассмотрим подробно на примерах решение систем.
Пример №1:
Решим методом подстановки
Решение системы уравнений методом подстановки2x+5y=1 (1 уравнение)
x-10y=3 (2 уравнение)
1. Выражаем
Видно что во втором уравнении имеется переменная x с коэффициентом 1,отсюда получается что легче всего выразить переменную x из второго уравнения.
x=3+10y
2.После того как выразили подставляем в первое уравнение 3+10y вместо переменной x.
2(3+10y)+5y=1
3.Решаем полученное уравнение с одной переменной.
2(3+10y)+5y=1 (раскрываем скобки)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2
Решением системы уравнения является точки пересечений графиков, следовательно нам нужно найти x и у, потому что точка пересечения состоит их x и y.Найдем x, в первом пункте где мы выражали туда подставляем y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1
Точки принято записывать на первом месте пишем переменную x, а на втором переменную y.
Ответ: (1; -0,2)
Пример №2:
Решим методом почленного сложения (вычитания).
Решение системы уравнений методом сложения3x-2y=1 (1 уравнение)
2x-3y=-10 (2 уравнение)
1.Выбираем переменную, допустим, выбираем x. В первом уравнении у переменной x коэффициент 3, во втором 2. Нужно сделать коэффициенты одинаковыми, для этого мы имеем право домножить уравнения или поделить на любое число. Первое уравнение домножаем на 2, а второе на 3 и получим общий коэффициент 6.
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30
2.Из первого уравнения вычтем второе, чтобы избавиться от переменной x.Решаем линейное уравнение.
__6x-4y=2
5y=32 | :5
y=6,4
3.Находим x. Подставляем в любое из уравнений найденный y, допустим в первое уравнение.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6
Точкой пересечения будет x=4,6; y=6,4
Ответ: (4,6; 6,4)
Хочешь готовиться к экзаменам бесплатно? Репетитор онлайн бесплатно . Без шуток.
Мы проработаем тему — математика 9 класс системы уравнений.
Системы линейных, квадратных и смешанных уравнений
решаются достаточно просто, если знать алгоритмы решения таких систем.
На чём мы сегодня и остановимся подробнее.
Задание 1.
Решить систему уравнений
2х 2 + 4у 2 = 24
4х 2 + 8у 2 = 24х
Решение:
данная система квадратных уравнений с двумя неизвестными решается методом алгебраического сложения.
Домножим правую и левую часть первого уравнения на 2.
Получим:
4х 2 + 8у 2 = 48
4х 2 + 8у 2 = 24х
Левые части обоих уравнений равны, значит, равны и правые части.
48 = 24х
х = 2
Подставляем решение в первое уравнений, получим:
4*2 2 + 8у 2 = 48
8у 2 = 48 – 16
8у 2 = 32
у 1 = 2 у 2 = -2
Ответ: (2;2); (2; -2)
Задание 2.
Решить систему уравнений
7х 2 – 5х = у
7х – 5 = у
Решение:
Правые части уравнений равны, значит равны и левые части. Приравняем их:
7х 2 – 5х = 7х – 5
7х 2 – 12х + 5 = 0
Сумма коэффициентов в данном уравнении равна 7-12+5 = 0
Значит, один из корней равен 1.
х 1 = 1.
Второй корень находим по теореме Виета, где произведение корней приведённого квадратного уравнения равно свободному члену.
х 1 * х 2 = 5/7.
Значит, второй корень равен 5/7.
Находим теперь, чему равен у.
7*1 – 5 = у
у 1 = 2
7*5/7 – 5 = у
у 2 = 0
Ответ: {(1;2) (5/7;0)}
Задание 3.
Решить систему уравнений
х 2 + у 2 + ху = 3
(х + у) 2 = 4
Решение:
Извлечём квадратный корень из правой и левой части второго уравнения, а в первом уравнении к правой и левой части добавим выражение ху
. Получим
х 2 + у 2 + ху + ху = 3 + ху
(х + у) 2 = 3 + ху
4 = 3 + ху
ху = 1
х + у = 2
х + у = — 2
Из первого уравнения имеем: произведение двух чисел равно 1,
из двух других — сумма двух чисел равна 2 и -2.
Это теорема Виета! Решаем порознь:
ху = 1
х + у = 2
х 1 = 1; у 1 = 1
ху = 1
х + у = — 2
х 2 = -1; у 2 = -1
Ответ: {(1;1)(-1;-1)}
Задание 4.
Решить систему уравнений
х 2 + ху + у 2 = 13
х + у = 4
Решение:
возведём правую и левую часть второго уравнения в квадрат, а к правой и левой части первого уравнения прибавим ху.
х 2 + 2ху + у 2 = 13 + ху
(х + у) 2 = 16
(х + у) 2 = 13 + ху
16 = 13 + ху
ху = 3
Теперь объединим уравнения в новую систему:
х + у = 4
ху = 3
х 1 = 3 у 1 = 1
х 2 = 1 у 2 =3
Ответ: {(3;1)(1;3)}
Задание 5.
Решить систему уравнений
х 2 + 7ху + у 2 = 9
3х – 2у = 1
Решение:
выразим у
из второго уравнения
3х – 2у = 1
2у = 3х – 1
у = (3х – 1)/2
Теперь подставим выражение у
в первое уравнение
х 2 + 7х(3х-1)/2 + (3х – 1) 2 /4 = 9
х 2 + (21х 2 – 7х)/2 + (9х 2 – 6х + 1)/4 = 9
4х 2 + 2*(21х 2 – 7х) + 9х 2 – 6х + 1 = 36
4х 2 + 42х 2 – 14х + 9х 2 – 6х + 1 = 36
55х 2 – 20х – 35 = 0
Делим правую и левую часть уравнения на 5
11х 2 – 4х – 7 = 0
Сумма коэффициентов уравнения равна нулю.
Первый корень х 1 = 1
х 2 = — 7/11
у = (3х – 1)/2
у 1 = (3-1)/2 = 1
у 2 = (- 3*7/11 – 1)/2 = — 16/11
Ответ: {(1;1)(-7/11; -16/11)}
Наиболее простым случаем конечной игры является игра 2x2, где у каждого игрока две стратегии. Рассмотрим игру с матрицей:
Здесь могут встретиться два случая:
1) игра имеет седловую точку;
2) игра не имеет седловой точки.
В первом случае решение очевидно: это - пара стратегий, пересекающихся в седловой точке. Нетрудно доказать, что если игра 2x2 имеет седловую точку, то в этой игре всегда какая-нибудь из стратегий может быть отброшена как заведомо невыгодная или дублирующая. Не будем этого доказывать. Предоставим читателю доказать это положение или убедиться в его справедливости на ряде произвольно выбранных примеров.
Рассмотрим второй случай: предположим, что в матрице 2x2 седловой точки нет. При этом нижняя цена игры не равна верхней: . Решение должно быть в смешанных стратегиях. Найдем это решение, т. е. пару оптимальных смешанных стратегий:
Сначала определим оптимальную смешанную стратегию .
Согласно теореме об активных стратегиях (см. § 5), если мы будем придерживаться этой стретегии, то, независимо от образа действий противника (если он только не выходит за пределы своих активных стратегий), выигрыш будет оставаться равным цене игры v. В игре 2x2 обе стратегии противника являются активными (иначе игра имела бы седловую точку). Значит, если мы придерживаемся своей оптимальной стратегии , то противник может, не меняя выигрыша, применять любую из своих чистых стратегий. Отсюда имеем два уравнения:
из которых, принимая во внимание условие получим:
Цену игры v найдем, подставляя значения в любое из уравнений (7.1):
Аналогично находится оптимальная стратегия противника:
из уравнений
Пример 1. Найти решение игры «поиск» (см. пример 1 § 2). Решение. Игра 2 X 2 с матрицей не имеет седловой точки:
Ищем решение в смешанных стратегиях. По формулам (7.2), (7.3), (7.5) получаем:
Следовательно, оптимальная стратегия каждого игрока состоит в том, чтобы случайным образом чередовать свои чистые стратегии, пользуясь каждой из них с вероятностью 1/2; при этом средний выигрыш будет равен нулю (этот вывод уже был получен нами из интуитивных соображений). В следующем примере мы рассмотрим игру, решение которой не является столь очевидным.
Пример 2. Игра «Два бомбардировщика и истребитель».
Сторона А посылает в район расположения противника В два бомбардировщика I и II; I летит спереди, II - сзади. Один из бомбардировщиков (заранее неизвестно, какой) должен нести бомбу, другой выполняет только функцию сопровождения. В районе противника бомбардировщики подвергаются нападению истребителя стороны В (рис. 9.2). Оба бомбардировщика вооружены пушками. Если истребитель атакует задний бомбардировщик, то по нему ведут огонь пушки только этого бомбардировщика, поражающие истребитель с вероятностью 0,3. Если же истребитель атакует передний бомбардировщик, по нему ведут огонь пушки как переднего, так и заднего бомбардировщика; совместно они поражают его с вероятностью
Если истребитель не сбит ответным огнем бомбардировщиков, то он поражает выбранную им цель с вероятностью 0,8.
Задача бомбардировщиков - донести бомбу до цели; задача истребителя - воспрепятствовать этому.
Требуется найти оптимальные стратегии сторон:
Для стороны А - какой бомбардировщик сделать носителем?
Для стороны В - какой бомбардировщик атаковать?
Решение. Составим матрицу игры, для чего найдем средний выигрыш при каждой комбинации стратегий. Выигрыш - вероятность непоражения носителя.
1. - носитель l, атакуется 1.
Носитель не будет поражен, если бомбардировщики собьют истребитель, или же если они его не собьют, но и он не поразит свою цель. Вероятность того, что оба бомбардировщика вместе поразят истребитель, равна 0,51, поэтому
2. - носитель II, атакуется I;
3. - носитель 1, атакуется II;
4. - носитель II, атакуется II;
Матрица игры с добавочным столбцом и строкой:
Нижняя - цена игры верхняя Игра не имеет седловой точки; решение достигается в смешанных стратегиях. По формулам (7.2), (7.3), (7.5) находим (с точностью до третьего знака после запятой):
(В данном случае , в силу того )
Итак, оптимальные стратегии сторон и цена игры найдены:
т. е. наша оптимальная стратегия состоит в том, чтобы в 58,8% всех случаев (с вероятностью 0,588) делать носителем l, а в 41,2% случаев - II. Аналогично противник должен с вероятностью 0,588 атаковать первый бомбардировщик, а с вероятностью 0,412 - второй. При этом сторона А будет выполнять свою задачу - доносить бомбы до цели - с вероятностью 0,768, что больше нижней цены игры 0,608 и меньше верхней цены игры 1.
Решению игры 2X2 можно дать удобную геометрическую интер претацию Пусть имеется игра с матрицей:
Возьмем участок оси абсцисс длиной единица (рис. 9.3). Левый конец участка (точка с абсциссой будет изображать стратегию правый конец участка - стратегию все промежуточные точки участка будут изображать смешанные стратегии игрока А, причем вероятность стратегии будет равна расстоянию от точки до правого конца участка, а вероятность стратегии - расстоянию до левого конца. Проведем через точки два перпендикуляра к оси абсцисс: ось l - I и ось II - II. На оси l - I будем откладывать выигрыш при стратегии а на оси II - II - выигрыши при стратегии
Пусть противник применяет стратегию она дает на осях I-I и II - II соответственно точки с ординатами Проведем через эти точки прямую BXBV Очевидно, при любой смешанной стратегии наш выигрыш выразится точкой М на прямой соответствующей точке на оси абсцисс, делящей отрезок в отношении Прямую условно будем называть «стратегией
Очевидно, точно таким же способом может быть построена и стратегия (рис. 9.4).
Нам нужно найти оптимальную стратегию т. е. такую, при которой наш минимальный выигрыш (при наихудшем для нас поведении В) обращался бы в максимум.
Для этого построим нижнюю границу выигрыша при стратегиях т. е. ломаную , отмеченную на рис. 9.4 жирной линией. На этой границе будет лежать минимальный выигрыш игрока А при любой его смешанной стратегии; точка в которой этот выигрыш достигает максимума, и определяет решение и цену игры. Нетрудно убедиться, что ордината точки есть не что иное, как цена игры v, ее абсцисса равна а расстояние до правого конца отрезка равно , т. е. расстояния от точки ДО концов отрезка равны вероятностям , стратегий и А в оптимальной смешанной стратегии игрока А.
