Следующие правила применяются для правильных и неправильных дробей (смешанную дробь всегда можно перевести в неправильную дробь) с одинаковыми знаменателями.
Правило. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители и оставить тот же знаменатель.
Например:
Правило. Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби и оставить тот же знаменатель.
Например: 
Следующие правила применяются для смешанных дробей с одинаковыми знаменателями.
Правило. Чтобы сложить смешанные дроби, необходимо отдельно сложить их целые и дробные части и записать сумму целых частей и сумму дробных частей смешанной дробью.
Если суммарная дробная часть окажется неправильной дробью, то те следует перевести в смешанную дробь, а выделенную из неправильной дроби целую часть добавить к сумме целых частей. Окончательную сумму целой и дробной частей записать смешанной дробью.
Например, сложить дроби:
Правило, Чтобы вычесть смешанные дроби, необходимо отдельно вычесть их целые и отдельно их дробные части и записать сумму полученных разностей смешанной дробью.
Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, то от целой части уменьшаемого «одалживаем» 1, которую представляем как дробь с тем же знаменателем, что и у дробной части смешанных дробей, и с равным этому знаменателю числителем. Одолженную 1, выраженную неправильной дробью с одинаковыми числителем и знаменателем, суммируем с дробной частью уменьшаемого. После этого производим вычисления согласно правилу вычитания смешанных дробей.
Данная статья начинает изучение действий с алгебраическими дробями: рассмотрим подробно такие действия как сложение и вычитание алгебраических дробей. Разберем схему сложения и вычитания алгебраических дробей как с одинаковыми знаменателями, так и с разными. Изучим, как сложить алгебраическую дробь с многочленом и как произвести их вычитание. На конкретных примерах поясним каждый шаг поиска решения задач.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Действия сложения и вычитания при одинаковых знаменателях
Схема сложения обыкновенных дробей применима и для алгебраических. Мы знаем, что при сложении или вычитании обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями необходимо сложить или вычесть их числители, а знаменатель остается исходным.
К примеру: 3 7 + 2 7 = 3 + 2 7 = 5 7 и 5 11 - 4 11 = 5 - 4 11 = 1 11 .
Соответственно аналогичным образом записывается правило сложения и вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями:
Определение 1
Чтобы осуществить сложение или вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями, нужно соответственно сложить или вычесть числители исходных дробей, а знаменатель записать без изменений.
Данное правило дает возможность сделать вывод, что результат сложения или вычитания алгебраических дробей - новая алгебраическая дробь (в частном случае: многочлен, одночлен или число).
Укажем пример применения сформулированного правила.
Пример 1
Заданы алгебраические дроби: x 2 + 2 · x · y - 5 x 2 · y - 2 и 3 - x · y x 2 · y - 2 . Необходимо осуществить их сложение.
Решение
Исходные дроби содержат одинаковые знаменатели. Согласно правилу, выполним сложение числителей заданных дробей, а знаменатель оставим неизменным.
Сложив многочлены, являющиеся числителями исходных дробей, получим: x 2 + 2 · x · y − 5 + 3 − x · y = x 2 + (2 · x · y − x · y) − 5 + 3 = x 2 + x · y − 2 .
Тогда искомая сумма будет записана как: x 2 + x · y - 2 x 2 · y - 2 .
В практике, как во многих случаях, решение приводится цепочкой равенств, наглядно показывающей все этапы решения:
x 2 + 2 · x · y - 5 x 2 · y - 2 + 3 - x · y x 2 · y - 2 = x 2 + 2 · x · y - 5 + 3 - x · y x 2 · y - 2 = x 2 + x · y - 2 x 2 · y - 2
Ответ: x 2 + 2 · x · y - 5 x 2 · y - 2 + 3 - x · y x 2 · y - 2 = x 2 + x · y - 2 x 2 · y - 2 .
Результатом сложения или вычитания может стать сократимая дробь, в этом случае оптимально ее сократить.
Пример 2
Необходимо вычесть из алгебраической дроби x x 2 - 4 · y 2 дробь 2 · y x 2 - 4 · y 2 .
Решение
Знаменатели исходных дробей равны. Произведем действия с числителями, а именно: вычтем из числителя первой дроби числитель второй, после чего запишем результат, оставляя знаменатель неизменным:
x x 2 - 4 · y 2 - 2 · y x 2 - 4 · y 2 = x - 2 · y x 2 - 4 · y 2
Мы видим, что полученная дробь – сократимая. Осуществим ее сокращение, преобразовав знаменатель при помощи формулы разности квадратов:
x - 2 · y x 2 - 4 · y 2 = x - 2 · y (x - 2 · y) · (x + 2 · y) = 1 x + 2 · y
Ответ: x x 2 - 4 · y 2 - 2 · y x 2 - 4 · y 2 = 1 x + 2 · y .
По такому же принципу складываются или вычитаются три и более алгебраических дробей при одинаковых знаменателях. К примеру:
1 x 5 + 2 · x 3 - 1 + 3 · x - x 4 x 5 + 2 · x 3 - 1 - x 2 x 5 + 2 · x 3 - 1 - 2 · x 3 x 5 + 2 · x 3 - 1 = 1 + 3 · x - x 4 - x 2 - 2 · x 3 x 5 + 2 · x 3 - 1
Действия сложения и вычитания при разных знаменателях
Вновь обратимся к схеме действий с обыкновенными дробями: чтобы выполнить сложение или вычитание обыкновенных дробей с разными знаменателями, необходимо привести их к общему знаменателю, а затем сложить полученные дроби с одинаковыми знаменателями.
К примеру, 2 5 + 1 3 = 6 15 + 5 15 = 11 15 или 1 2 - 3 7 = 7 14 - 6 14 = 1 14 .
Так же по аналогии сформулируем правило сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями:
Определение 2
Чтобы осуществить сложение или вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями, необходимо:
- исходные дроби привести к общему знаменателю;
- выполнить сложение или вычитание полученных дробей с одинаковыми знаменателями.
Очевидно, что ключевым здесь будет навык приведения алгебраических дробей к общему знаменателю. Разберем подробнее.
Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю
Чтобы привести алгебраические дроби к общему знаменателю, необходимо осуществить тождественное преобразование заданных дробей, в результате которого знаменатели исходных дробей становятся одинаковыми. Здесь оптимально действовать по следующему алгоритму приведения алгебраических дробей к общему знаменателю:
- сначала определяем общий знаменатель алгебраических дробей;
- затем находим дополнительные множители для каждой из дробей, разделив общий знаменатель на знаменатели исходных дробей;
- последним действием числители и знаменатели заданных алгебраических дробей умножаются на соответствующие дополнительные множители.
Заданы алгебраические дроби: a + 2 2 · a 3 - 4 · a 2 , a + 3 3 · a 2 - 6 · a и a + 1 4 · a 5 - 16 · a 3 . Необходимо привести их к общему знаменателю.
Решение
Действуем по указанному выше алгоритму. Определим общий знаменатель исходных дробей. С этой целью разложим знаменатели заданных дробей на множители: 2 · a 3 − 4 · a 2 = 2 · a 2 · (a − 2) , 3 · a 2 − 6 · a = 3 · a · (a − 2) и 4 · a 5 − 16 · a 3 = 4 · a 3 · (a − 2) · (a + 2) . Отсюда можем записать общий знаменатель: 12 · a 3 · (a − 2) · (a + 2) .
Теперь нам предстоит найти дополнительные множители. Разделим, согласно алгоритму, найденный общий знаменатель на знаменатели исходных дробей:
- для первой дроби: 12 · a 3 · (a − 2) · (a + 2) : (2 · a 2 · (a − 2)) = 6 · a · (a + 2) ;
- для второй дроби: 12 · a 3 · (a − 2) · (a + 2) : (3 · a · (a − 2)) = 4 · a 2 · (a + 2);
- для третьей дроби: 12 · a 3 · (a − 2) · (a + 2) : (4 · a 3 · (a − 2) · (a + 2)) = 3 .
Следующий шаг - умножение числителей и знаменателей заданных дробей на найденные дополнительные множители:
a + 2 2 · a 3 - 4 · a 2 = (a + 2) · 6 · a · (a + 2) (2 · a 3 - 4 · a 2) · 6 · a · (a + 2) = 6 · a · (a + 2) 2 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2) a + 3 3 · a 2 - 6 · a = (a + 3) · 4 · a 2 · (a + 2) 3 · a 2 - 6 · a · 4 · a 2 · (a + 2) = 4 · a 2 · (a + 3) · (a + 2) 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2) a + 1 4 · a 5 - 16 · a 3 = (a + 1) · 3 (4 · a 5 - 16 · a 3) · 3 = 3 · (a + 1) 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2)
Ответ: a + 2 2 · a 3 - 4 · a 2 = 6 · a · (a + 2) 2 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2) ; a + 3 3 · a 2 - 6 · a = 4 · a 2 · (a + 3) · (a + 2) 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2) ; a + 1 4 · a 5 - 16 · a 3 = 3 · (a + 1) 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2) .
Так, мы привели исходные дроби к общему знаменателю. В случае необходимости далее можно преобразовать полученный результат в вид алгебраических дробей, осуществив умножение многочленов и одночленов в числителях и знаменателях.
Уточним также такой момент: найденный общий знаменатель оптимально оставлять в виде произведения на случай необходимости сократить конечную дробь.
Мы рассмотрели подробно схему приведения исходных алгебраических дробей к общему знаменателю, теперь можем приступить к разбору примеров на сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.
Пример 4
Заданы алгебраические дроби: 1 - 2 · x x 2 + x и 2 · x + 5 x 2 + 3 · x + 2 . Необходимо осуществить действие их сложения.
Решение
Исходные дроби имеют разные знаменатели, поэтому первым действием приведем их к общему знаменателю. Раскладываем знаменатели на множители: x 2 + x = x · (x + 1) , а x 2 + 3 · x + 2 = (x + 1) · (x + 2) , т.к. корни квадратного трехчлена x 2 + 3 · x + 2 это числа: - 1 и - 2 . Определяем общий знаменатель: x · (x + 1) · (x + 2) , тогда дополнительные множители будут: x + 2 и – x для первой и второй дробей соответственно.
Таким образом: 1 - 2 · x x 2 + x = 1 - 2 · x x · (x + 1) = (1 - 2 · x) · (x + 2) x · (x + 1) · (x + 2) = x + 2 - 2 · x 2 - 4 · x x · (x + 1) · x + 2 = 2 - 2 · x 2 - 3 · x x · (x + 1) · (x + 2) и 2 · x + 5 x 2 + 3 · x + 2 = 2 · x + 5 (x + 1) · (x + 2) = 2 · x + 5 · x (x + 1) · (x + 2) · x = 2 · x 2 + 5 · x x · (x + 1) · (x + 2)
Теперь сложим дроби, которые мы привели к общему знаменателю:
2 - 2 · x 2 - 3 · x x · (x + 1) · (x + 2) + 2 · x 2 + 5 · x x · (x + 1) · (x + 2) = = 2 - 2 · x 2 - 3 · x + 2 · x 2 + 5 · x x · (x + 1) · (x + 2) = 2 · 2 · x x · (x + 1) · (x + 2)
Полученную дробь возможно сократить на общий множитель x + 1:
2 + 2 · x x · (x + 1) · (x + 2) = 2 · (x + 1) x · (x + 1) · (x + 2) = 2 x · (x + 2)
И, напоследок, полученный результат запишем в виде алгебраической дроби, заменив произведение в знаменателе многочленом:
2 x · (x + 2) = 2 x 2 + 2 · x
Запишем ход решения кратко в виде цепочки равенств:
1 - 2 · x x 2 + x + 2 · x + 5 x 2 + 3 · x + 2 = 1 - 2 · x x · (x + 1) + 2 · x + 5 (x + 1) · (x + 2) = = 1 - 2 · x · (x + 2) x · x + 1 · x + 2 + 2 · x + 5 · x (x + 1) · (x + 2) · x = 2 - 2 · x 2 - 3 · x x · (x + 1) · (x + 2) + 2 · x 2 + 5 · x x · (x + 1) · (x + 2) = = 2 - 2 · x 2 - 3 · x + 2 · x 2 + 5 · x x · (x + 1) · (x + 2) = 2 · x + 1 x · (x + 1) · (x + 2) = 2 x · (x + 2) = 2 x 2 + 2 · x
Ответ: 1 - 2 · x x 2 + x + 2 · x + 5 x 2 + 3 · x + 2 = 2 x 2 + 2 · x
Обратите внимание еще на такую деталь: перед тем, как алгебраические дроби сложить или вычесть, при наличии возможности их желательно преобразовать с целью упрощения.
Пример 5
Необходимо осуществить вычитание дробей: 2 1 1 3 · x - 2 21 и 3 · x - 1 1 7 - 2 · x .
Решение
Преобразуем исходные алгебраические дроби для упрощения дальнейшего решения. Вынесем за скобки числовые коэффициенты переменных в знаменателе:
2 1 1 3 · x - 2 21 = 2 4 3 · x - 2 21 = 2 4 3 · x - 1 14 и 3 · x - 1 1 7 - 2 · x = 3 · x - 1 - 2 · x - 1 14
Данное преобразование однозначно дало нам пользу: мы явно видим наличие общего множителя.
Избавимся вообще от числовых коэффициентов в знаменателях. Для этого используем основное свойство алгебраических дробей: числитель и знаменатель первой дроби умножим на 3 4 , а второй на - 1 2 , тогда получим:
2 4 3 · x - 1 14 = 3 4 · 2 3 4 · 4 3 · x - 1 14 = 3 2 x - 1 14 и 3 · x - 1 - 2 · x - 1 14 = - 1 2 · 3 · x - 1 - 1 2 · - 2 · x - 1 14 = - 3 2 · x + 1 2 x - 1 14 .
Совершим действие, которое нам позволит избавиться от дробных коэффициентов: умножим полученные дроби на 14:
3 2 x - 1 14 = 14 · 3 2 14 · x - 1 14 = 21 14 · x - 1 и - 3 2 · x + 1 2 x - 1 14 = 14 · - 3 2 · x + 1 2 x - 1 14 = - 21 · x + 7 14 · x - 1 .
Наконец, выполним требуемое в условии задачи действие – вычитание:
2 1 1 3 · x - 2 21 - 3 · x - 1 1 7 - 2 · x = 21 14 · x - 1 - - 21 · x + 7 14 · x - 1 = 21 - - 21 · x + 7 14 · x - 1 = 21 · x + 14 14 · x - 1
Ответ: 2 1 1 3 · x - 2 21 - 3 · x - 1 1 7 - 2 · x = 21 · x + 14 14 · x - 1 .
Сложение и вычитание алгебраической дроби и многочлена
Данное действие сводится также к сложению или вычитанию алгебраических дробей: необходимо представить исходный многочлен как дробь со знаменателем 1 .
Пример 6
Необходимо произвести сложение многочлена x 2 − 3 с алгебраической дробью 3 · x x + 2 .
Решение
Запишем многочлен как алгебраическую дробь со знаменателем 1: x 2 - 3 1
Теперь можем выполнить сложение по правилу сложения дробей с разными знаменателями:
x 2 - 3 + 3 · x x + 2 = x 2 - 3 1 + 3 · x x + 2 = x 2 - 3 · (x + 2) 1 · x + 2 + 3 · x x + 2 = = x 3 + 2 · x 2 - 3 · x - 6 x + 2 + 3 · x x + 2 = x 3 + 2 · x 2 - 3 · x - 6 + 3 · x x + 2 = = x 3 + 2 · x 2 - 6 x + 2
Ответ: x 2 - 3 + 3 · x x + 2 = x 3 + 2 · x 2 - 6 x + 2 .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
На данном уроке будет рассмотрено сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями. Мы уже знаем, как складывать и вычитать обыкновенные дроби с разными знаменателями. Для этого дроби необходимо привести к общему знаменателю. Оказывается, что алгебраические дроби подчиняются тем же самым правилам. При этом мы уже умеем приводить алгебраические дроби к общему знаменателю. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями - одна из наиболее важных и сложных тем в курсе 8 класса. При этом данная тема будет встречаться во многих темах курса алгебры, которые вы будете изучать в дальнейшем. В рамках урока мы изучим правила сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями, а также разберём целый ряд типовых примеров.
Рассмотрим простейший пример для обыкновенных дробей.
Пример 1. Сложить дроби: .
Решение:
Вспомним правило сложения дробей. Для начала дроби необходимо привести к общему знаменателю. В роли общего знаменателя для обыкновенных дробей выступает наименьшее общее кратное (НОК) исходных знаменателей.
Определение
Наименьшее натуральное число, которое делится одновременно на числа и .
Для нахождения НОК необходимо разложить знаменатели на простые множители, а затем выбрать все простые множители, которые входят в разложение обоих знаменателей.
; . Тогда в НОК чисел должны входить две двойки и две тройки: .
После нахождения общего знаменателя, необходимо для каждой из дробей найти дополнительный множитель (фактически, поделить общий знаменатель на знаменатель соответствующей дроби).
Затем каждая дробь умножается на полученный дополнительный множитель. Получаются дроби с одинаковыми знаменателями, складывать и вычитать которые мы научились на прошлых уроках.
Получаем: 
.
Ответ: .
Рассмотрим теперь сложение алгебраических дробей с разными знаменателями. Сначала рассмотрим дроби, знаменатели которых являются числами.
Пример 2. Сложить дроби: .
Решение:
Алгоритм решения абсолютно аналогичен предыдущему примеру. Легко подобрать общий знаменатель данных дробей: и дополнительные множители для каждой из них.
.
Ответ: .
Итак, сформулируем алгоритм сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями :
1. Найти наименьший общий знаменатель дробей.
2. Найти дополнительные множители для каждой из дробей (поделив общий знаменатель на знаменатель данной дроби).
3. Домножить числители на соответствующие дополнительные множители.
4. Сложить или вычесть дроби, пользуясь правилами сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.
Рассмотрим теперь пример с дробями, в знаменателе которых присутствуют буквенные выражения.
Пример 3. Сложить дроби: .
Решение:
Поскольку буквенные выражения в обоих знаменателях одинаковы, то следует найти общий знаменатель для чисел . Итоговый общий знаменатель будет иметь вид: . Таким образом, решение данного примера имеет вид:.
Ответ: .
Пример 4. Вычесть дроби: .
Решение:
Если «схитрить» при подборе общего знаменателя не удаётся (нельзя разложить на множители или воспользоваться формулами сокращённого умножения), то в качестве общего знаменателя приходится брать произведение знаменателей обеих дробей.
Ответ: .
Вообще, при решении подобных примеров, наиболее сложным заданием является нахождение общего знаменателя.
Рассмотрим более сложный пример.
Пример 5. Упростить: .
Решение:
При нахождении общего знаменателя необходимо прежде всего попытаться разложить знаменатели исходных дробей на множители (чтобы упростить общий знаменатель).
В данном конкретном случае:
Тогда легко определить общий знаменатель: 
.
Определяем дополнительные множители и решаем данный пример:
Ответ: .
Теперь закрепим правила сложения и вычитания дробей с разными знаменателями.
Пример 6. Упростить: .
Решение:
Ответ: .
Пример 7. Упростить: .
Решение:
.
Ответ: .
Рассмотрим теперь пример, в котором складываются не две, а три дроби (ведь правила сложения и вычитания для большего количества дробей остаются такими же).
Пример 8. Упростить: .
Инструкция
Сначала вспомните что дробь – это всего лишь условная запись деления одного числа на другое. В от сложения и умножения, при делении двух целых чисел не всегда получается целое число. Вот и называть эти два «делящихся» числа . То число, которое делят, числителем, а то, на которое делят - знаменателем.
Чтобы записать дробь, напишите сначала ее числитель, затем проведите под этим числом горизонтальную черту, а под чертой напишите знаменатель. Горизонтальная , разделяющая числитель и знаменатель, называется дробной чертой. Иногда ее изображают в виде наклонной черты «/» или «∕». При этом, числитель записывается слева от черты, а знаменатель справа. Так, например, дробь «две третьих» запишется как 2/3. Для наглядности числитель обычно пишут в верхней части строки, а знаменатель - в нижней, то есть вместо 2/3 можно встретить: ⅔.
Если числитель дроби больше ее знаменателя, то такую «неправильную» дробь обычно записывают в виде «смешанной» дроби. Чтобы получить из неправильной дроби смешанную, просто разделите числитель на знаменатель и запишите полученное частное. После чего поместите остаток от деления в числитель дроби и запишите эту дробь справа от частного (знаменатель не трогайте). Например, 7/3 = 2⅓.
Чтобы сложить две дроби с одинаковым знаменателем, просто сложите их числители (знаменатели не трогайте). Например, 2/7 + 3/7 = (2+3)/7 = 5/7. Аналогично производите и вычитание двух дробей (числители при этом вычитаются). Например, 6/7 – 2/7 = (6-2)/7 = 4/7.
Чтобы сложить две дроби с разными знаменателями, умножьте числитель и знаменатель первой дроби на знаменатель второй, а числитель и знаменатель второй дроби – на знаменатель первой. В итоге у вас получится сумма двух дробей с одинаковыми знаменателями, сложение которых описано в предыдущем пункте.
Например, 3/4 + 2/3 = (3*3)/(4*3) + (2*4)/(3*4) = 9/12 + 8/12 = (9+8)/12 = 17/12 = 1 5/12.
Если знаменатели дробей имеют общие делители, то есть делятся на одно и то же число, выберите в качестве общего знаменателя наименьшее число, делящееся на первый и второй знаменатель одновременно. Так, например, если первый знаменатель равен 6, а второй 8, то в качестве общего знаменателя возьмите не их произведение (48), а число 24, которое делится как на 6, так и на 8. Числители дробей при этом умножаются на частное от деления общего знаменателя на знаменатель каждой дроби. Например, для знаменателя 6 таким числом будет 4 – (24/6), а для знаменателя 8 – 3 (24/8). Более наглядно этот процесс виден на конкретном примере:
5/6 + 3/8 = (5*4)/24 + (3*3)/24 = 20/24 + 9/24 = 29/24 = 1 5/24.
Вычитание дробей с разными знаменателями производится совершенно аналогично.
Чтобы умножить две дроби, перемножьте между собой их числители и знаменатели.
Например, 2/3 * 4/5 = (2*4)/(3*5) = 8/15.
Чтобы разделить две дроби, умножьте первую дробь на перевернутую (обратную) вторую дробь.
Например, 2/3: 4/5 = 2/3 * 5/4 = 10/12.
Чтобы сократить дробь, разделите ее числитель и знаменатель на одно и то же число. Так например, результат предыдущего примера (10/12) можно записать как 5/6:
10/12 = (10:2)/(12:2) = 5/6.
Дробью называют число, состоящее из одной или нескольких частей единицы. Существует 2 формата записи дробей: обыкновенный (отношение двух целых чисел, их еще называют числителем и знаменателем, например 2/3) и десятичный, например 1,4567. Так как сложение десятичных дробей происходит так же как и обычных, то рассмотрим сложение обыкновенных.
Вам понадобится
- Элементарные знания по математике.
Инструкция
Приведем дроби к общему знаменателю. Для этого умножим числитель первой дроби на знаменатель второй, а числитель второй дроби на знаменатель первой, при этом знаменатели обеих дробей станут равными 21. Получим следующее: 3/21 и 14/21.
Сложим эти дроби, в результате чего получим одну дробь с общим знаменателем. Для этого сложим числители приведенных дробей. При этом знаменатель останется таким же. То есть получим: 3/21+14/21=17/21. 17/21 и будет результатом сложения 1/7 и 2/3.
Обратите внимание
При получении неправильной дроби, когда числитель больше знаменателя, не забывайте выделять целую часть, а также сокращать дробь.
Для сложения целого числа и дроби необходимо целое число привести к знаменателю дроби, а потом сложить как и обыкновенные дроби.
Дробные числа позволяют выражать в разном виде точное значение величины. С дробями можно выполнять те же математические операции, что и с целыми числами: вычитание, сложение, умножение и деление. Чтобы научиться решать дроби, надо помнить о некоторых их особенностях. Они зависят от вида дроби, наличия целой части, общего знаменателя. Некоторые арифметические действия после выполнения требуют сокращения дробной части результата.
Вам понадобится
- - калькулятор
Инструкция
Внимательно посмотрите на числа. Если среди дробей есть десятичные и непрвильные, иногда удобнее вначале выполнить действия с десятичными, а затем перевести их в неправильный вид. Можете перевести дроби в такой вид изначально, записав значение после запятой в числитель и поставив 10 в знаменатель. При необходимости сократите дробь, разделив числа выше и ниже на один делитель. Дроби, в которых выделяется целая часть, приведите к неправильному виду, умножив её на знаменатель и прибавив к результату числитель. Данное значения станет новым числителем дроби. Чтобы выделить целую часть из первоначально неправильной дроби, надо поделить числитель на знаменатель. Целый результат записать от дроби. А остаток от деления станет новым числителем, знаменатель дроби при этом не меняется. Для дробей с целой частью возможно выполнение действий отдельно сначала для целой, а затем для дробной частей. Например, сумма 1 2/3 и 2 ¾ может быть вычислена :
- Переведение дробей в неправильный вид:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Суммирование отдельно целых и дробных частей слагаемых:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5/12.
Для с разными значениями под чертой найдите общий знаменатель. Например, для 5/9 и 7/12 общим знаменателем будет 36. Для этого числитель и знаменатель первой дроби надо умножить на 4 (получится 28/36), а второй – на 3 (получится 15/36). Теперь можете выполнить необходимые расчёты.
Если вы собираетесь вычислять сумму или разность дробей, для начала запишите найденный общий знаменатель под черту. Выполните необходимые действия между числителями, а результат запишите над чертой новой дроби. Таким образом, новым числителем станет разность или сумма числителей первоначальных дробей.
Для расчёта произведения дробей перемножьте числители дробей и запишите результат на место числителя итоговой дроби. То же самое проделайте для знаменателей. При делении одной дроби на другую запишите одну дробь, а затем умножьте её числитель на знаменатель второй. При этом знаменатель первой дроби умножается соответственно на числитель второй. При этом происходит своеобразный переворот второй дроби (делителя). Итоговая дробь будет состоять из результатов умножения числителей и знаменателей обеих дробей. Несложно научиться решать дроби, записанные в условии в виде «четырёхэтажной» дроби. Если черта разделяет две дроби, перепишите их через разделитель «:» и продолжите обычное деление.
Для получения конечного результата полученную дробь сократите, разделив числитель и знаменатель на одно целое число, наибольшее возможное в данном случае. При этом выше и ниже черты должны быть целые числа.
Обратите внимание
Не выполняйте арифметические действия с дробями, знаменатели которых отличаются. Подберите такое число, чтобы при умножении на него числителя и знаменателя каждой дроби в результате знаменатели обеих дробей были равны.
Полезный совет
При записи дробных чисел делимое пишется над чертой. Эта величина обозначается как числитель дроби. Под чертой записывается делитель, или знаменатель, дроби. Например, полтора килограмма риса в виде дроби запишется следующим образом: 1 ½ кг риса. Если знаменатель дроби равен 10, такую дробь называют десятичной. При этом числитель (делимое) пишется справа от целой части через запятую: 1,5 кг риса. Для удобства вычислений такую дробь всегда можно записать в неправильном виде: 1 2/10 кг картофеля. Для упрощения можно сократить значения числителя и знаменателя, поделив их на одно целое число. В данном примере возможно деление на 2. В результате получится 1 1/5 кг картофеля. Удостоверьтесь, что числа, с которыми вы собираетесь выполнять арифметические действия, представлены в одном виде.
Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
Начнем с рассмотрения самого простого примера — сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями. В данном случае необходимо просто произвести действия с числителями — сложить их или вычесть.
При сложении и вычитании дробей с одинаковыми знаменателями знаменатель не изменяется!
Главное не производить никакие операции сложения и вычитания в знаменателе, но некоторые школьники забывают об этом. Чтобы лучше понять это правило, прибегнем к принципу визуализации, или говоря простыми словами, рассмотрим жизненный пример:
У Вас есть половина яблока — это ½ от всего яблока. Вам дают еще одну половину, то есть еще ½. Очевидно, что теперь у Вас целое яблоко (не считая, что оно разрезано 🙂). Поэтому ½ + ½ = 1, а не что-то другое, как, например, 2/4. Или же у Вас забирают эту половину: ½ — ½ = 0. В случае вычитания с одинаковыми знаменателями получается вообще особый случай — при вычитании одинаковых знаменателей, мы получим 0, а на 0 делить нельзя, и данная дробь не будет иметь смысла.
Приведем напоследок пример:
Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
Что же делать, если знаменатели разные? Для этого нам необходимо вначале привести дроби к одному знаменателю, а затем действовать как я указал выше.
Приводить дробь к общему знаменателю можно двумя способами. Во всех способах используется одно правило — при умножении числителя и знаменателя на одно и то же число дробь не изменяется .
Существует два способа. Первый — самый простой — так называемый «крест-накрест». Он заключается в том, что первую дробь мы умножаем на знаменатель второй дроби (и числитель и знаменатель), а вторую дробь умножаем на знаменатель первой (аналогично и числитель и знаменатель). После этого действуем как в случае с одинаковыми знаменателями — теперь они действительно одинаковые!
Предыдущий способ универсален, однако в большинстве случаев у дробей знаменателей можно найти наименьшее общее кратное — число, на которое делится и первый знаменатель и второй, причем самое маленькое. В данном методе нужно уметь видеть такие НОКи, потому что специальный поиск их достаточно ёмкий и уступает по скорости методу «крест-накрест». Но в большинстве случаев НОКи довольно хороши видны, если набить глаз и достаточно тренироваться.
Надеюсь, что теперь Вы в совершенстве владеете методами сложения и вычитания дробей!
