Возьмем две буквы x и y. Произведение a*xk*yl где а - число, называется одночленом. Его степень равна k+l . Сумма одночленов называется многочленом. В отличие от многочленов с одной переменной, для многочленов с большим числом переменных нет общепринятой стандартной записи. Так же, как и многочлены от одной переменной, многочлены от двух переменных могут раскладываться на множители. Важным разложением является разложение разности n-ых степеней, которое вам известно для n=2 и 3: x2-y2=(x-y)*(x+y) x3-y3=(x-y)*(x2+x*y+y2) Эти формулы легко обобщаются для произвольного n: xn-yn=(x-y)*(xn-1+xn-2*y+…+x*yn-2+yn-1) Сумма n-ых степеней легко раскладывается в случае, когда n нечетно. Слагаемое yn можно представить в виде -(-y)n и воспользоваться формулой разложения разности n-ых степеней. Пример.
x5+y5=x5-(-y)5=(x-(-y))*(x4+x3(-y)+x2*(-y)2+x*(-y)3+(-y)4)=(x+y)*(x4-x3*y+x2*y2-x*y3+y4)
Это тождество проверяется прямым перемножением скобок правой части.
Симметричные многочлены
Среди многочленов от двух переменных важную роль играют симметричные многочлены, т. е. многочлены, не меняющиеся при перестановке букв x и y.
Примеры симметричных многочленов 0) 1; 1) x+y; 2) x*y; 3) x2-x*y+y2; 4) x3+5*x2*y+5*x*y2+y3; 5) (x-y)10 Первые три многочлена называются основными: Их роль состоит в том, что любой симметричный многочлен от двух переменных может быть выражен через и с помощью операция сложения и умножения.
Рассмотрим в качестве примера разложение суммы степеней через суммы и произведение Пусть Умножим на Так как то Получаем тождество Зная и мы последовательно сможем вычислить для любого k. и т. д. С помощью теоремы Виета мы можем выразить любой симметричный многочлен от корней квадратного трехчлена через коэффициенты p и q, так как Например, найдем где - корни трехчлена Воспользуемся полученной ранее формулой для суммы 5-ых степеней: По теореме Виета Подставляя, получим От Ньютона идет другой способ решения этой (и аналогичной ей) задачи без использования формулы для Подставим корни и в уравнение. Получим равенства Сложим: умножим равенства на и и сложим: Продолжаем аналогично.
Понятие многочлена
Определение 1
Одночлен -- это числа, переменные, их степени и произведения.
Определение 2
Многочлен -- это сумма одночленов.
Пример: ${31xy}^5+y^6+{3xz}^5$.
Определение 4
Стандартный вид одночлена -- запись одночлена в виде произведения числа и натуральных степеней переменных, входящих в одночлен.
Определение 5
Многочленом стандартного вида называют многочлен, состоящий из одночленов стандартного вида, который не имеет подобных членов.
Определение 6
Степень одночлена -- сумма всех степеней переменных, входящих в одночлен.
Определение 7
Степень многочлена стандартного вида -- наибольшая степень из степеней входящих в него одночленов.
Для понятия многочлена нескольких переменных можно выделить частные случаи: двучлен и трехчлен.
Определение 8
Двучлен -- многочлен, состоящий из двух членов.
Пример: ${6b}^6+{13aс}^5$.
Определение 9
Трехчлен -- многочлен, состоящий из трех членов.
Пример: ${xy}^5+y^6+{xz}^5$
Над многочленами можно проводить следующие действия: многочлены можно складывать друг с другом и вычитать друг из друга, перемножать между собой, а также умножать многочлен на одночлен.
Сумма многочленов
Многочлены можно складывать друг с другом. Рассмотрим следующий пример.
Пример 1
Сложим многочлены ${3xy}^5+\ {6y}^6+{13x}^5$ и ${6y}^6-{xy}^5+{3x}^5$
Первым шагом нам необходимо записать эти многочлены как сумму:
\[\left({3xy}^5+\ {6y}^6+{13x}^5\right)+({6y}^6-{xy}^5+{3x}^5)\]
Раскроем скобки:
\[{3xy}^5+\ {6y}^6+{13x}^5+{6y}^6-{xy}^5+{3x}^5\]
\[{2xy}^5+\ {12y}^6+{16x}^5\]
Видим, что результатом суммы этих двух многочленов получили также многочлен.
Разность многочленов
Пример 2
Вычтем из многочлена ${3xy}^5+\ {6y}^6+{13x}^5$ многочлен ${6y}^6-{xy}^5+{3x}^5$.
Первым шагом нам необходимо записать эти многочлены как разность:
\[\left({3xy}^5+\ {6y}^6+{13x}^5\right)-({6y}^6-{xy}^5+{3x}^5)\]
Раскроем скобки:
Напомним, что если перед скобками стоит знак минус, то, при раскрытии скобок, знаки в скобках будут меняться на противоположные.
\[{3xy}^5+\ {6y}^6+{13x}^5-{6y}^6+{xy}^5-{3x}^5\]
Приведем подобные слагаемые, в результате получим:
\[{4xy}^5+{10x}^5\]
Видим, что результатом разности этих двух многочленов получили также многочлен.
Произведения одночлена и многочлена
В результате перемножения одночлена с многочленом всегда получается многочлен.
Схема умножения одночлена на многочлен.
- составляется произведение.
- раскрываются скобки. Для того чтобы раскрыть скобки, при умножении необходимо перемножить каждый одночлен на каждый член многочлена и сложить их между собой.
- группируются числа с числами, одинаковые переменные друг с другом.
- перемножаются числа и складываются степени соответствующих одинаковых переменных.
Пример 3
Умножим одночлен $(-m^2n)$ на многочлен $(m^2n^2-m^2-n^2)$
Решение.
Составим произведение:
\[(-m^2n\)\cdot (m^2n^2-m^2-n^2)\]
Раскроем скобки:
\[\left(-m^2n\ \right)\cdot m^2n^2+\left(-m^2n\ \right)\cdot (-m^2)+(-m^2n\)\cdot (-n^2)\]
Перемножив, получим.
Многочлены от одного и нескольких переменных детально изучаются в курсе высшей алгебры. В этой главе мы рассмотрим лишь некоторые вопросы теории многочленов с числовыми коэффициентами от нескольких переменных, которые в курсе высшей алгебры не освещаются, но с которыми, однако, должен быть знаком каждый учитель математики.
Пусть -произвольное числовое поле, некоторые независимые переменные, принимающие любые значения из поля
Всякое произведение вида
где А - некоторое число из поля некоторые целые неотрицательные числа, называется одночленом от переменных над полем Числовой множитель А называют коэффициентом одночлена.
Если коэффициент А одночлена равен нулю, то одночлен при любых численных значениях переменных равен нулю, т. е. тождественно равен нулю; его называют нуль-одночленом и обозначают символом 0. Если же коэффициент А отличен от нуля, то одночлен называют отличным от нуль-одночлена или кратко отличным от нуля.
Показатель степени с которым переменное входит в отличный от нуля одночлен назыьают степенью одночлена относительно переменного Сумму всех показателей степеней, с которыми переменные входят в этот одночлен, называют степенью одночлена относительно совокупности переменных
Так, например, есть одночлен четвертой степени относительно и десятой степени относительно совокупности переменных
Нуль-одночлену не приписывают никакой степени.
Два отличные от нуля одночлена от переменных
называются подобными, если каждое из переменных входит в оба одночлена в одной и той же степени, если Иначе говоря, отличные от нуля одночлены от одних и тех же переменных называются подобными, если они отличаются один от другого лишь своими коэффициентами.
Так, например, одночлены -подобные.
нескольких подобных одночленов от переменных над числовым полем может быть заменена тождественным ей одночленом
в который каждое из переменных входит в той же степени, что и в слагаемые, и коэффициент которого равен сумме коэффициентов слагаемых.
Действительно, так как коэффициенты принадлежат числовому полю а операции сложения и умножения чисел ноля связаны дистрибутивным законом,
при любых значениях переменных принадлежащих полю Например:
Так как операция умножения в числовом поле коммутативна и ассоциативна, то произведение
нескольких одночленов от переменных над числовым полем тождественно одночлену
коэффициент которого равен произведению коэффициентов одночленов-сомножителей, а каждое из переменных входит в одночлен-произведение в степени, равной сумме показателей степеней этого переменного во всех одночленах-сомножителях. Следовательно, произведение нескольких одночленов вида (1) всегда можно заменить тождественным ему одночленом вида (2).
Так, например,
Выражение, которое получается из переменных посредством операций сложения и умножения, называется многочленом от переменных над полем
Так, например,
есть многочлен от переменных над полем действительных чисел.
Иногда один и тот же многочлен можно рассматривать над различными числовыми полями. Так, если коэффициентами многочлена являются рациональные числа, а переменные принимают лишь рациональные значения, то этот многочлен считается заданным над полем рациональных чисел. Но так как рациональные числа содержатся в поле действительных, а также и в поле комплексных чисел, то этот многочлен можно рассматривать над полем действительных или комплексных чисел, считая, что независимые переменные принимают любые действительные или комплексные значения. Так, например, многочлен можно рассматривать над полем рациональных, действительных или комплексных чисел. Так как в результате умножения и сложения чисел поля мы получаем числа этого же поля то значения многочлена при любых численных значениях независимых переменных принадлежат тому же числовому полю, над которым рассматривается многочлен.
В соответствии с определением тождественности двух аналитических выражений два многочлена от одних и тех же переменных называются тождественными (или тождественно равными), если при любых численных значениях этих переменных значения многочленов равны.
Замена многочлена тождественным ему многочленом называется тождественным преобразованием данного многочлена. Числа, входящие в многочлены от переменных заданные над числовым полем и значения переменных которые они принимают, принадлежат к числовому полю Поэтому тождественные преобразования многочленов, заданных над числовым полем выполняются на основании законов операций над числами поля и правил, вытекающих из этих законов, т. е. на основе коммутативного и ассоциативного законов
сложения и умножения и дистрибутивного закона умножения относительного сложения, а также правил действий над числами, вытекающих из этих законов.
По определению всякий многочлен от переменных над числовым полем образуется из чисел поля и независимых переменных посредством операций сложения и умножения. Раскрыв в многочлене скобки, если они имеются, и выполнив умножение одночленов, мы получим тождественную заданному многочлену сумму вида
где некоторые числа из поля а некоторые целые неотрицательные числа.
Следовательно, всякий многочлен от переменных над числовым полем Может быть записан в виде суммы одночленов от над полем Р:
Поэтому иногда дают следующее определение многочлена:
Многочленом от переменных над числовым полем называется функция которая может быть представлена в виде суммы нескольких одночленов от переменных над полем Р:
Если среди одночленов входящих в многочлен (1), есть подобные, то сгруппируем их, переставив в случае необходимости слагаемые, и заменим каждую группу подобных одночленов тождественным ей одночленом, т. е. приведем подобные члены.
После приведения подобных членов коэффициенты некоторых одночленов-слагаемых могут быть равными нулю, т. е. некоторые из слагаемых могут быть
нуль-одночленами. Такие слагаемые мы исключим. В результате всего этого многочлен запишется в виде суммы не подобных попарно одночленов, тождественно равной заданному многочлену. Если же после приведения подобных членов все слагаемые многочлена будут нуль-одночленами, то многочлен будет тождественно равным нулю. Такой многочлен называется нуль-многочленом и обозначается символом 0.
Запись многочлена в виде суммы не подобных попарно одночленов или в виде нуль-многочлена называется канонической формой или каноническим представлением многочлена. Например, запись является канонической формой многочлена
Из изложенного выше вытекает, что всякий многочлен от нескольких переменных может быть записан в канонической форме. Всякий одночлен от переменных является частным случаем многочлена, а именно многочленом, в канонической форме которого есть лишь одно слагаемое.
Возьмем две буквы x
и y
. Произведение где а
– число, называется одночленом. Его степень равна k+l
. Сумма одночленов называется многочленом. В отличие от многочленов с одной переменной, для многочленов с большим числом переменных нет общепринятой стандартной записи.
Так же, как и многочлены от одной переменной, многочлены от двух переменных могут раскладываться на множители. Важным разложением является разложение разности n-
ых степеней, которое вам известно для n=2
и 3
:
Эти формулы легко обобщаются для произвольного n
:
Сумма n-
ых степеней легко раскладывается в случае, когда n
нечетно. Слагаемое можно представить в виде 
и воспользоваться формулой разложения разности n-
ых степеней.
Симметричные многочлены
Среди многочленов от двух переменных важную роль играют симметричные многочлены, т. е. многочлены, не меняющиеся при перестановке букв x
и y
.
Симметри́ческий многочле́н - многочлен от n переменных , не изменяющийся при всех перестановках входящих в него переменных.
Примеры
- Основные симметрические многочлены - многочлены вида
определённые для 
, то есть такие:
От нескольких переменных. Напомним сначала понятие многочлена и связанные с этим понятием определения.
Определение 1
Многочлен -- это сумма одночленов.
Определение 2
Члены многочлена -- это все одночлены, входящие в многочлен.
Определение 3
Многочленом стандартного вида называют многочлен, состоящий из одночленов стандартного вида, который не имеет подобных членов.
Определение 4
Степень многочлена стандартного вида -- наибольшая степень из степеней входящих в него одночленов.
Введем теперь непосредственно определение многочлена от двух переменных.
Определение 5
Многочлен, члены которого имеют только две различные переменные называется многочленом от двух переменных.
Пример: ${6y}^6+{13xy}^5$.
Над двучленами можно проводить следующие действия: двучлены можно складывать друг с другом и вычитать друг из друга, перемножать между собой, а также умножать двучлен на одночлен и возводить в какую-либо степень.
Сумма многочленов от двух переменных
Рассмотрим сумму двучленов на примере
Пример 1
Сложим двучлены ${xy}^5+{3x}^5$ и ${3x}^5-{xy}^5$
Решение.
Первым шагом нам необходимо записать эти многочлены как сумму:
\[\left({xy}^5+{3x}^5\right)+({3x}^5-{xy}^5)\]
Раскроем скобки:
\[{xy}^5+{3x}^5+{3x}^5-{xy}^5\]
\[{6x}^5\]
Ответ: ${6x}^5$.
Разность многочленов от двух переменных
Пример 2
Вычтем из двучлена ${xy}^5+{3x}^5$ двучлен ${3x}^5-{xy}^5$
Решение.
Первым шагом нам необходимо записать эти многочлены как разность:
\[\left({xy}^5+{3x}^5\right)-({3x}^5-{xy}^5)\]
Раскроем скобки:
Напомним, что если перед скобками стоит знак минус, то, при раскрытии скобок, знаки в скобках будут меняться на противоположные.
\[{xy}^5+{3x}^5-{3x}^5+{xy}^5\]
Приведем подобные слагаемые, в результате получим:
\[{2xy}^5\]
Ответ: ${2xy}^5$.
Произведения одночлена и многочлена от двух переменных
В результате перемножения одночлена с многочленом всегда получается многочлен.
Схема умножения одночлена на многочлен
- составляется произведение.
- раскрываются скобки. Для того, чтобы раскрыть скобки при умножении необходимо перемножить каждый одночлен на каждый член многочлена и сложить их между собой.
- группируются числа с числами, одинаковые переменные друг с другом.
- перемножаются числа и складываются степени соответствующих одинаковых переменных.
Пример 3
Умножим одночлен $x^2y$ на многочлен $(x^2y^2-x^2-y^2)$
Решение.
Составим произведение:
Раскроем скобки:
Перемножив, получим:
Ответ: $x^4y^3+x^4y\ +{x^2y}^3$.
Произведение двух многочленов с двумя переменными
Правило умножения многочлена на многочлен : Для того, чтобы умножить многочлен на многочлен, необходимо каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлен, сложить полученные произведения и полученный многочлен привести к стандартному виду.
