Данный метод состоит в последовательном выделении в квадратичной форме полных квадратов.
Пусть дана квадратичная форма
Напомним, что, ввиду симметричности матрицы
,
Возможны два случая:
1. Хотя бы один из коэффициентовпри квадратах отличен от нуля. Не нарушая общности, будем считать(этого всегда можно добиться соответствующей перенумерацией переменных);
2. Все коэффициенты,
но есть коэффициент , отличный от нуля (для определённости пусть будет).
В первом случае преобразуем квадратичную форму следующим образом:
,
а через обозначены все остальные слагаемые.
представляет собой квадратичную форму от (n-1) переменных .
С ней поступают аналогичным образом и так далее.
Заметим, что
Второй случай заменой переменных
сводится к первому.
Пример 1:Квадратичную форму привести к каноническому виду посредством невырожденного линейного преобразования.
Решение.
Соберём все слагаемые, содержащие
неизвестное
,
и дополним их до полного квадрата
.
(Так как .)
или
(3)
или
(4)
и
от неизвестных
форма
примет вид.
Далее полагаем
или
и
от неизвестных
форма
примет уже канонический вид
Разрешим
равенства (3) относительно
:
или
Последовательное
выполнение линейных преобразований
и
,
где
,
имеет матрицей
Линейное
преобразование неизвестных
приводит
квадратичную форму
к каноническому виду (4). Переменные
связаны с новыми переменными
соотношениями
С LU - разложением мы познакомились в практикуме 2_1
Вспомним утверждения из практикума 2_1
Утверждения (см.Л.5, стр. 176)
Данный скрипт призван понять роль LU в методе Лагранжа, с ним нужно работать в блокноте EDITOR с помощью кнопки F9.
А в прилагаемых ниже заданиях лучше создать свои М-функции, помогающие вычислению и осознанию задач линейной алгебры (в рамках данной работы)
Ax=X."*A*X % получаем квадратичную форму
Ax=simple(Ax) % упрощаем ее
4*x1^2 - 4*x1*x2 + 4*x1*x3 + x2^2 - 3*x2*x3 + x3^2
% найдем LU разложение без перестановки строк матрицы A
% При преобразовании матрицы к ступенчатому виду
%без перестановок строк, мы получим матрицу M1 и U3
% U получается из A U3=M1*A,
% вот такой матрицей элементарных преобразований
0.5000 1.0000 0
0.5000 0 1.0000
%мы получим U3=M1*A, где
4.0000 -2.0000 2.0000
% из M1 легко получить L1, поменяв знаки
% в первом столбце во всех строках кроме первой.
0.5000 1.0000 0
0.5000 0 1.0000
% L1 такое, что
A_=L1*U % вот это и есть нужное нам LU разложение
% Элементы, стоящие на главной диагонали U -
% это коэффициенты при квадратах y i ^2
% в преобразованной квадратичной форме
% в нашем случае, есть один только коэффициент
% значит, в новых координатах будет только 4y 1 2 в квадрате,
% при остальных 0y 2 2 и 0y 3 2 коэффициенты равны нулю
% столбцы матрицы L1 - это разложение Y по X
% по первому столбцу видим y1=x1-0.5x2+0.5x3
% по второму видим y2=x2; по третьему y3=x3.
% если транспонировать L1,
% то есть T=L1."
% T - матрица перехода от {X} к {Y}: Y=TX
0.5000 1.0000 0
1.0000 -0.5000 0.5000
% A2 – матрица преобразованной квадратичной формы
% Заметим U=A2*L1." и A=L1* A2*L1."
4.0000 -2.0000 2.0000
|
1.0000 -0.5000 0.5000 |
% Итак, мы получили разложение A_=L1* A2*L1." или A_=T."* A2*T
% показывающее замену переменных
% y1=x1-0.5x2+0.5x3
% и представление квадратичной формы в новых координатах
A_=T."*A2*T % T=L1." матрица перехода от {X} к {Y}: Y=TX
isequal(A,A_) % должно совпасть с исходной A
4.0000 -2.0000 2.0000
2.0000 1.0000 -1.5000
2.0000 -1.5000 1.0000
Q1=inv(T) % находим матрицу перехода от {Y} к {X}
% Найдем преобразование,
% приводящее квадратичную форму Ax=X."*A*X
% к новому виду Ay=(Q1Y)."*A*Q1Y=Y." (Q1."*A*Q1)*Y=Y." (U)*Y
Ay =4*y1^2 - y2*y3
x1 - x2/2 + x3/2
% матрица второго преобразования,
% которая составляется значительно проще.
4*z1^2 - z2^2 + z3^2
% R=Q1*Q2, X=R*Z
R=Q1*Q2 % невырожденное линейное преобразование
% приводящее матрицу оператора к каноническому виду.
det(R) % определитель не равен нулю - преобразование невырожденное
4*z1^2 - z2^2 + z3^2 ok
4*z1^2 - z2^2 + z3^2
Сформулируем алгоритм приведения квад ратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием:
определяет на плоскости кривую. Группа членов называется квадратичной формой, 
– линейной формой. Если в квадратичной форме содержатся только квадраты переменных, то такой ее вид называется каноническим, а векторы ортонормированного базиса, в котором квадратичная форма имеет канонический вид, называются главными осями квадратичной формы.
Матрица 
называется матрицей квадратичной формы. Здесь a 1 2 =a 2 1 . Чтобы матрицу B привести к диагональному виду, необходимо за базис взять собственные векторы этой матрицы, тогда 
, где λ 1 и λ 2 – собственные числа матрицы B.
В базисе из собственных векторов матрицы B квадратичная форма будет иметь канонический вид: λ 1 x 2 1 +λ 2 y 2 1 .
Эта операция соответствует повороту осей координат. Затем производится сдвиг начала координат, избавляясь тем самым от линейной формы.
Канонический вид кривой второго порядка: λ 1 x 2 2 +λ 2 y 2 2 =a , причем:
а) если λ 1 >0; λ 2 >0 – эллипс, в частности, при λ 1 =λ 2 это окружность;
б) если λ 1 >0, λ 2 <0 (λ 1 <0, λ 2 >0) имеем гиперболу;
в) если λ 1 =0 либо λ 2 =0, то кривая является параболой и после поворота осей координат имеет вид λ 1 x 2 1 =ax 1 +by 1 +c (здесь λ 2 =0). Дополняя до полного квадрата, будем иметь: λ 1 x 2 2 =b 1 y 2 .
Пример
. Дано уравнение кривой 3x 2 +10xy+3y 2 -2x-14y-13=0 в системе координат (0,i,j), где i
=(1,0) и j
=(0,1).
1. Определить тип кривой.
2. Привести уравнение к каноническому виду и построить кривую в исходной системе координат.
3. Найти соответствующие преобразования координат.
Решение
. Приводим квадратичную форму B=3x 2 +10xy+3y 2 к главным осям, то есть к каноническому виду. Матрица этой квадратичной формы 
. Находим собственные числа и собственные векторы этой матрицы:
Характеристическое уравнение:
; λ 1 =-2, λ 2 =8. Вид квадратичной формы: 
.
Исходное уравнение определяет гиперболу.
Заметим, что вид квадратичной формы неоднозначен. Можно записать 8x 1 2 -2y 1 2 , однако тип кривой остался тот же – гипербола.
Находим главные оси квадратичной формы, то есть собственные векторы матрицы B. 
.
Собственный вектор, отвечающий числу λ=-2 при x 1 =1: x
1 =(1,-1).
В качестве единичного собственного вектора принимаем вектор 
, где – длина вектора x
1 .
Координаты второго собственного вектора, соответствующего второму собственному числу λ=8, находим из системы
.
1 ,j
1).
По формулам (5) пункта 4.3.3. переходим к новому базису:
или
; 
. (*)
Вносим выражения x и y в исходное уравнение и, после преобразований, получаем:
.
Выделяем полные квадраты :
.
Проводим параллельный перенос осей координат в новое начало:
, 
.
Если внести эти соотношения в (*) и разрешить эти равенства относительно x 2 и y 2 , то получим:
, 
. В системе координат (0*, i 1 , j 1) данное уравнение имеет вид: 
.
Для построения кривой строим в старой системе координат новую: ось x 2 =0 задается в старой системе координат уравнением x-y-3=0, а ось y 2 =0 уравнением x+y-1=0. Начало новой системы координат 0 * (2,-1) является точкой пересечения этих прямых.
Для упрощения восприятия разобьем процесс построения графика на 2 этапа:
1. Переход к системе координат с осями x 2 =0, y 2 =0, заданными в старой системе координат уравнениями x-y-3=0 и x+y-1=0 соответственно.
2. Построение в полученной системе координат графика функции.
Окончательный вариант графика выглядит следующим образом (см. Решение :Скачать решение
Задание
. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет эллипс, и найти координаты его центра С, полуоси, эксцентриситет, уравнения директрис. Изобразить эллипс на чертеже, указав оси симметрии, фокусы и директрисы.
Решение
.
