В ситуации риска нам известны исходы той или иной альтернативы и вероятности, с которыми данные исходы могут наступить. То есть нам известно вероятностное распределение исходов, поэтому они могут быть представлены (смоделированы) в виде случайной величины . В этом параграфе мы напомним сведения из теории вероятностей о случайных величинах и способах их определения, которые будут необходимы для дальнейшего изучения материала книги.
Согласно классическому определению, случайной называется величина, значение которой может меняться от опыта к опыту случайным образом. То есть в каждом "испытании" она может принимать одно единственное значение из некоторого множества. При этом нельзя предсказать, какое именно значение она примет.
Случайные величины делятся на дискретные и непрерывные. Дискретная СВ может принимать только конечное или счетное множество значений. Непрерывная СВ может принимать любое значение из некоторого замкнутого или открытого интервала, в том числе и бесконечного.
3.2.2. Закон распределения случайной величины
Случайная величина определяется своим законом распределения. Закон распределения считается заданным, если указаны:
- множество возможных значений случайной величины (в т.ч. бесконечное) и
- вероятность попадания случайной величины в произвольную область этого множества, либо закон (формула), позволяющая рассчитать такую вероятность.
По сути, вероятность представляет собой показатель, характеризующий возможность появления случайной величины в данной области.
Наиболее общим и распространенным способом определения вероятностей различных значений случайной величины является задание функции распределения вероятностей , которую сокращенно называют функцией распределения .
Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x) , задающая вероятность того, что СВ примет значение меньше конкретного значения х , то есть:
F(x) = P(X < x)
Х ("икс большое") - обозначает случайную величину,
х ("икс маленькое") - конкретное значение из множества возможных значений случайной величины.
Функция распределения неубывающая. При х , стремящемся к минус бесконечности, она стремится к нулю, а при х , стремящемся к плюс бесконечности - к единице.
Форма представления закона распределения случайной величины может быть различна и зависит от того, какая это СВ - дискретная или непрерывная.
Из определения функции распределения следуют следующие зависимости:
вероятность того, что случайная величина примет значения в интервале от а до b :
Р(a ≤ Х < b) = F(b) - F(a)
вероятность того, что случайная величина примет значения не меньше, чем а :
3.2.3. Способы представления распределения дискретной случайной величины
Дискретная случайная величина может быть полностью задана своей функцией распределения или рядом (таблицей) распределения. Они могут быть представлены в табличной, аналитической или графической формах.
Допустим, случайная величина Х может принять три возможных значения 25 , 45 и 50 с вероятностями 25% , 35% и 40% соответственно. Ряд распределения этой СВ будет выглядеть следующим образом:
Функция распределения этой же случайной величины, которая показывает вероятность непревышения конкретного значения, может быть записана так:
На рис.3.1 представлены графические способы задания закона распределения этой дискретной случайной величины Х .
Рис.3.1.
На графике ряда распределения вероятности p j реализации каждого возможного значения х j представлены столбиками, высота которых равна вероятности. Сумма высот всех М столбиков (т.е. всех вероятностей) равна единице, поскольку они охватывают все возможные значения х :
Иногда вместо столбиков изображают ломанную, соединяющую вероятности реализации значений СВ.
Вероятность того, что дискретная случайная величина примет значение меньше, чем а , равна сумме вероятностей всех исходов, меньших а :
По определению, это равно значению функции распределения в точке х = а . Если мы нанесем на координатную плоскость значения функции распределения, когда х "пробегает" все значения от минус бесконечности до плюс бесконечности, мы получим график функции распределения. Для дискретной СВ он ступенчатый. На интервале от минус бесконечности до первого возможного значения х 1 она равна нулю, поскольку принять какое-либо значение на этом интервале невозможно.
Далее каждое возможное значение х j увеличивает функцию распределения на величину, равную вероятности наступления этого значения p j . Между двумя последовательными значениями х j и x j+1 функция распределения не изменяется, поскольку других возможных значений х там нет, и скачков не происходит. В конечном итоге, в точке последнего возможного значения х М происходит скачок на величину вероятности р М , и функция распределения достигает предельного значения, равного единице. Далее график идет на этом уровне параллельно оси х . Выше он никогда не поднимается, так как вероятность не может быть больше единицы.
3.2.4. Способы представления распределения непрерывной случайной величины
Непрерывная случайная величина также задается своей функцией распределения, представленной, как правило, в аналитическом виде. Кроме того, она может быть полностью описана функцией плотности вероятности f(x) , которая представляет собой первую производную от функции распределения F(x) :
Функция плотности вероятности неотрицательна, а ее интеграл в бесконечных пределах равен единице.
Возьмем в качестве примера непрерывную случайную величину, распределенную по нормальному закону.
Ее функция плотности вероятности задается аналитически формулой вида:
Здесь m X и σ X параметры распределения. m X характеризует местоположение центра распределения, а σ X - рассеивание относительно этого "центра".
Основные распределения
Случайных величин
Методические указания для самостоятельной работы студентов
всех форм обучения
Составитель В.А. Бобкова
Иваново 2005
Составитель В.А. Бобкова
Основные распределения случайных величин: Методические указания для самостоятельной работы студентов всех форм обучения/ Сост. В. А. Бобкова; ГОУВПО Иван. гос. хим.-технол. ун-т. – Иваново, 2005. 32 с.
Методические указания посвящены одному из важных разделов курса «Теория вероятностей и математическая статистика», а именно: основным распределениям случайных величин. Дано понятие случайной величины, описаны способы задания дискретных и непрерывных случайных величин, приведены определения математического ожидания, дисперсии, среднеквадратического отклонения. Далее рассмотрены основные распределения дискретных случайных величин: распределение Бернулли, биномиальное распределение, распределение Пуассона, геометрическое и гипергеометрическое распределения, а также основные распределения непрерывных случайных величин: равномерное, показательное, нормальное распределения. Выведены формулы для числовых характеристик рассмотренных распределений, приведены графические иллюстрации и примеры решения задач. Даны задачи для самостоятельного решения.
Методические указания предназначены для самостоятельной работы студентов всех специальностей вуза.
Библиогр.: 4 назв.
Рецензент доктор технических наук, профессор А. Н. Лабутин
(Ивановский государственный химико-технологический университет)
Основные сведения о случайных величинах
Понятие случайной величины
Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, заранее не известное и зависящее от случайных причин, которые не могут быть учтены.
Случайные величины обозначаются прописными латинскими буквами X,Y, Z, …, а их возможные значения – соответствующими строчными буквами x, y, z, … .
Примеры случайных величин:
1) число вызовов, поступивших от абонентов на телефонную станцию в течение определённого времени;
2) вес наугад взятого зерна пшеницы;
3) число отличных оценок у студентов одной группы на экзамене;
4) расстояние от точки метания диска до точки падения;
5) число опечаток в книге.
Разнообразие случайных величин велико. Число принимаемых ими значений может быть конечным, счётным или несчетным; эти значения могут быть расположены дискретно или заполнять интервалы (конечные или бесконечные).
Дискретные случайные величины – это случайные величины, которые могут принимать только конечное или счетное множество значений. Например, число появлений герба при пяти подбрасываниях монеты (возможные значения 0, 1, 2, 3, 4, 5); число выстрелов до первого попадания в цель (возможные значения 1, 2, … , n, где n – число имеющихся в наличии патронов); число отказавших элементов в приборе, состоящем из трех элементов (возможные значения 0, 1, 2, 3) – это дискретные случайные величины.
Непрерывные случайные величины – это случайные величины, возможные значения которых образуют некоторый конечный или бесконечный интервал. Например, время безотказной работы прибора, дальность полёта снаряда, время ожидания автобуса – это непрерывные случайные величины.
Способы задания случайных величин
Для того, чтобы задать случайную величину, надо знать те значения, которые она может принимать, и вероятности, с которыми случайная величина принимает свои значения. Любое правило (таблица, функция, график), позволяющее находить вероятности отдельных значений случайной величины или множества этих значений, называется законом распределения случайной величины (или просто распределением ). Про случайную величину говорят, что «она подчиняется данному закону распределения».
Пусть X –дискретная случайная величина, которая принимает значения (множество этих значений конечно или счетно) с некоторыми вероятностями 
. Закон распределения дискретной случайной величины
удобно задавать с помощью формулы 
i = 1, 2, 3, … , n, … , определяющей вероятность того, что в результате опыта случайная величина X примет значение . Для дискретной случайной величины закон распределения может быть задан в виде таблицы распределения
:
| X | … | … | |||
| P | … | p n | … |
Здесь первая строка содержит все возможные значения (обычно в порядке возрастания) случайной величины, а вторая – их вероятности. Такую таблицу называют рядом распределения .
Так как события несовместны и образуют полную группу событий, то сумма их вероятностей равна единице.
Закон распределения дискретной случайной величины можно задать графически, если на оси абсцисс отложить возможные значения случайной величины, а на оси ординат – их вероятности. Ломаную, соединяющую последовательно полученные точки, называют многоугольником распределения .
Очевидно, что ряд распределения можно построить только для дискретных случайных величин. Для непрерывных случайных величин нельзя даже перечислить все возможные значения.
Универсальным способом задания закона распределения вероятностей, пригодным как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин, является её функция распределения.
Пусть Х – случайная величина, х - действительное число. Функцией распределения вероятностей случайной величины Х называют вероятность того, что эта случайная величина примет значение, меньшее, чем х:
(1)
Геометрически это равенство можно истолковать так: F(x) есть вероятность того, что случайная величина X примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки x, то есть что случайная точка X попадёт в интервал .
Свойства функции распределения:
1. Значения функции распределения принадлежат отрезку :
2. F(x) – неубывающая функция, то есть 
если .
Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей оси х, то справедливы следующие предельные соотношения: Lim F(х) = 0; Lim F(х) = 1. х- х+
Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Способ задания непрерывной случайной величины с помощью ф-ции распределения не является единственным. Непрерывную случайную величину можно также задать, используя другую ф-цию, которую называют плотностью распределения или плотностью вероятности (иногда ее называют дифференциальной функцией).
Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют ф-цию f(х) – первую производную от ф-ции распределения F(х): f(х) = F"(х). Отсюда функция распределения является первообразной для плотности распределения.
π/2. Найти плотность распределения f(х). 0 при х π/2." title="Пример. Дана ф-ция распределения непрерывной случайной величины Х 0 при х 0 F(x) = sinx при 0 π/2. Найти плотность распределения f(х). 0 при х π/2." class="link_thumb"> 18 Пример. Дана ф-ция распределения непрерывной случайной величины Х 0 при х 0 F(x) = sinx при 0 π/2. Найти плотность распределения f(х). 0 при х π/2. π/2. Найти плотность распределения f(х). 0 при х π/2."> π/2. Найти плотность распределения f(х). 0 при х π/2."> π/2. Найти плотность распределения f(х). 0 при х π/2." title="Пример. Дана ф-ция распределения непрерывной случайной величины Х 0 при х 0 F(x) = sinx при 0 π/2. Найти плотность распределения f(х). 0 при х π/2."> (x) = cosx при 0 π/2." title="Пример. Дана ф-ция распределения непрерывной случайной величины Х 0 при х 0 F(x) = sinx при 0 π/2. Найти плотность распределения f(х). 0 при х π/2.">
Свойства плотности распределения Плотность распределения – неотрицательная функция: f(x) 0. График плотности распределения называют кривой распределения Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от - до равен 1. f(x)dx = 1. -
Вероятностный смысл плотности распределения Функция f(x) определяет плотность распределения вероятности для каждой точки х. Для достаточно малых x. F(x + x) - F(x) f(x)x. Т.к. разность F(x + x) - F(x) определяет (см. выше) вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (х; x + x), то эта вероятность, след-но, приближенно равна произведению плотности вероятности в т. х на длину интервала х.
Формула Бернулли (частная теорема о повторении опытов)
Пример 23
Имеется три лотерейных билета. Вероятность выигрыша для любого билета одинакова и равна р. Вероятность того, что билет не выиграет q = 1 – p – как вероятность противоположного события. Определить вероятность того, что из трех билетов выиграют ровно два.
Искомую вероятность обозначим .
Интересующее нас событие произойдет, если выиграет первый И второй билет И не выиграет третий ИЛИ не выиграет первый билет И выиграют второй И третий ИЛИ не выиграет второй билет И выиграют первый И третий. Вероятность каждого из этих вариантов может быть найдена по формуле умножения, а ответ подсчитан по формуле сложения для несовместных событий:
= ppq + qpp + pqp = 3p 2 q .
Анализируя решение задачи, выясняем, что она была решена в следующем порядке:
Составлены различные варианты осуществления интересующего события;
Подсчитано количество этих вариантов;
Определена вероятность появления события, путём осуществления любого варианта;
Найдена искомая вероятность путём умножения вероятности появления события по одному из вариантов на общее количество вариантов.
Фактически, задача была решена по, так называемой, формуле Бернулли . Запишем ее в общем виде.
Пусть производится серия из n опытов (испытаний). Опыты проводятся неоднократно, независимо один от другого и в одинаковых условиях, так что вероятность появления события А от опыта к опыту не меняется и равняется р . Обозначим вероятность не появления события А в одном опыте- q = 1-p . Требуется определить вероятность того, что в серии из n опытов событие А повторится k раз – обозначим это событие как В.
Событие В может осуществиться различными способами (вариантами). Например, таким:
или таким:
Важно то, что в любом варианте количество появлений события А равно n , а количество появления события равно n – k , хотя появляться и не появляться они будут в разных вариантах в различной последовательности.
Для определения числа подобных вариантов можно воспользоваться формулой комбинаторики - числом сочетаний из n элементов по k .
Сочетания – это такие комбинации из k объектов (элементов), выбранных из некоторого множества в n объектов, которые содержат одинаковое число объектов, но отличаются друг от друга хотя бы одним из них.
Число сочетаний из n элементов по k обозначается, как и может быть найдено по формуле: = . (15)
Важным свойством определения числа сочетаний является следующее:
В рассматриваемой задаче элементами, отличающимися друг от друга, являются номера опытов. Общее число вариантов равно .
Вероятность появления события А n раз для каждого варианта одинакова и может быть найдена по формуле умножения вероятностей исходя из фразы «Событие А произошло k раз и не произошло n – k раз»: p k q n - k
Суммируя эти одинаковые вероятности раз получаем формулу, называемую формулой Бернулли :
=p k q n - k . (16)
Необходимо помнить, что р – это вероятность появления интересующего нас события в опыте, а q – вероятность непоявления этого события в опыте.
Формулу Бернулли.(Якоб Бернулли исследовал её в своей книге «Искусство предположений») также называют частной теоремой о повторении опытов . Это значит, что каждый последующий опыт проводится при тех же условиях, что и все предыдущие, т.е. вероятность появления события от опыта к опыту не меняется и остаётся равной р.
Наряду с частной существует общая теорема о повторении опытов (вероятность появления события от опыта к опыту меняется), рассмотрение которой выходит за рамки настоящего курса.
Пример 24
В цехе имеется 10 электродвигателей, вероятность отключенного состояния каждого из которых равна 0,1.Двишгатели включаются в сеть независимо один от другого. Определить вероятность того, что отключены сразу три электродвигателя.
Решение . Условие задачи соответствует схеме повторных испытаний Я. Бернулли. Решаем задачу с использованием частной теоремой о повторении опытов, учитывая, что отключенных двигателей три (вероятность отключенного состояния 0,1), а включенных – 7 (вероятность включенного состояния 0,9):
=p 3 q 10-3 =q 3 (1-q) 10-3 =120∙(0,1) 3 ∙(0,9) 7 =0,0574.
Случайные величины и их законы распределения
Наряду со случайными событиями другим важнейшим понятием теории вероятностей является понятие «случайная величина» (СВ).
Величина – это количественная характеристика результата опыта.
Все величины делятся на две большие группы: неслучайные и случайные.
Неслучайные (детерминированные) – это такие величины, которые в результате опыта принимают заранее определенное, известное значение. Например, время восхода и захода солнца, дата наступления нового года, количество пальцев на руках у новорожденного, число экзаменов и зачётов в семестре.
Случайные(стохастические) – это такие величины, о которых заранее неизвестно, какое значение они примут в результате опыта.
Случайные величины, в свою очередь, могут быть дискретными и непрерывными.
Дискретными называют такие СВ, которые в опыте принимают какое-то одно из множества возможных значений, причем эти значения при желании можно перечислить или пронумеровать, т.е. это множество является конечным. Чаще всего (хотя не обязательно) - это целые, неотрицательные значения. Например,о ценка студента на экзамене; количество волос на голове, число работающих в цехе ЭД.
Непрерывными называют такие СВ, которые в опыте принимают какое-то одно из возможных значений, причем количество этих значений даже в очень малом интервале бесконечно велико. Иначе говоря, множество возможных значений непрерывной СВ является несчётным. Например, уровень напряжения в сети, длительность работы ЛЭП до отказа, рост и вес человека, масса авторучки.
Названия случайных величин принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита – X, Y ; а значения , которые случайные величины принимают в опыте, – строчными - x, y .
Различные значения одной и той же случайной величины наблюдаются не одинаково часто. Например, мужчины носят 42-й размер обуви гораздо чаще, чем 46-й; напряжение в сети гораздо чаще лежит в интервале 215- 225 В, чем в интервале 225 –235 В.
Взаимосвязь между значениями случайной величины и вероятностями их появления устанавливает закон распределения случайной величины. Говорят, что СВ распределена (подчиняется) по тому или иному закону распределения. Существует несколько форм задания закона распределения:
· в виде таблицы (таблично);
· виде рисунка (графически);
· формулой (аналитически).
Способы задания законов распределения случайных величин
Все способы задания законов распределения СВ условно можно разделить на теоретические и статистические. Теоретические законы распределения отражают истинные законы, существующие в природе. Для их установления, согласно закону больших чисел, необходимо переработать близкий к бесконечному объём информации. Практически такие законы устанавливаются на основании ограниченного объёма статистических данных и оформляются теми или иными статистическими способами. Статистические данные часто называют экспериментальными (эмпирическими ). Каждый теоретический способ задания закона распределения (ТЗР) имеет статистические аналогии (СтЗР). Рассмотрим эти способы.
ТЗР-1. Ряд распределения СВ
Ряд распределения – это таблица, в которой с одной стороны указаны значения случайной величины, а с другой – их вероятности (табл. 2). В ряду распределения значения СВ располагаются упорядочено – по мере их возрастания.
Между всеми возможными значениями СВ делится суммарная вероятность этих значений, равная единице. Поэтому сумма всех вероятностей ряда распределения равна единице:= 1
Таблица 2. Ряд распределения СВ
