Работа первой силы на перемещении ее точки приложения, вызванном второй силой равняется работе второй силы на перемещении ее точки приложения, вызванном первой силой.

(Линейно-упругие системы всегда консервативны, если загружены консервативными силами, т.е. силами, имеющими потенциал).

В качестве модели системы выберем консольную балку. Перемещения будем обозначать - перемещение по направлению силы , вызванное силой .

Нагрузим систему вначале силой , а затем приложим силу . Работа сил, приложенных к системе запишется:

(Почему два первых члена имеют множитель , а последний нет?)

Затем первой приложим силу а второй - .

Т.к. система консервативна, а также потому, что начальные и конечные состояния в обоих случаях совпадают, то работы необходимо равны, откуда следует

Если положить , то получим частный случай теоремы Бетти – теорему о взаимности перемещений.

Перемещения, вызванные единичными силами, мы будем обозначать (смысл индексов прежний). Тогда

Потенциальная энергия деформации плоской

Стержневой системы.

Будем рассматривать плоскую систему, т.е. систему все стержни которой и все силы лежат в одной плоскости. В стержнях такой системы в общем случае могут возникать при внутренних силовых факторах:

Упругая система деформируясь накапливает при этом энергию (упругую энергию) называемую потенциальной энергией деформации .

а) Потенциальная энергия деформации при растяжении и сжатии.

Потенциальная энергия накопленная в малом элементе длиной dz будет равняться работе сил приложенных к этому элементу

Потенциальная энергия для стержня:

Замечание. и - необязательно постоянные величины.

б) Потенциальная энергия при изгибе.

Для стержня:

в) Поперечные силы вызывают сдвиги, и им соответствует по

тенциальная энергия сдвига. Однако, эта энергия в большинстве случаев невелика и мы не будем ее учитывать.

Замечание. В качестве рассматриваемых объектов у нас фигурировали прямые стержни, но полученные результаты применимы и криволинейным стержням малой кривизны, у которых радиус кривизны приблизительно в 5 раз и более превосходит высоту сечения.

Потенциальная энергия для стержневой системы может быть записана:

Здесь учтено то обстоятельство, что при растяжении и сжатии сечения не поворачиваются, следовательно, изгибающие моменты при этом работы не совершают, а при изгибе не меняется расстояние по оси между смежными сечениями и работа нормальных сил равна нулю. Т.е. потенциальную энергию изгиба и растяжения – сжатия можно вычислить независимо.

Знаки стимулирования означают, что потенциальная энергия вычисляется для всей системы.

Теорема Кастельяно.

Выражение (3) показывает, что потенциальная энергия деформации является однородной квадратичной функцией и , а те в свою очередь линейно зависят от сил, действующих на систему таким образом является квадратичной функцией сил.

Теорема. Частная производная от потенциальной энергии по силе равняется перемещению точки приложения этой силы по направлению последней.

Доказательство:

Пусть - потенциальная энергия, соответствующая силам системы Рассмотрим два случая.

1) Вначале приложены все силы а затем одна из них получает малое приращение тогда полная потенциальная энергия равна:

2) Вначале приложена сила а затем прикладываются силы В этом случае потенциальная энергия равна:

Т.к. начальное и конечное состояние в обоих случаях одинаково, а система консервативна, то потенциальные энергии надо приравнять

Отбрасывая малые второго порядка, получаем

Интеграл Мора.

Теорема Кастельяно дала нам возможность определять перемещения. Эту теорему используют для отыскания перемещений в пластинках, оболочках. Однако, вычисление потенциальной энергии громоздкая процедура и мы сейчас наметим более простой и наиболее общий путь определения перемещений в стержневых системах.

Пусть задана произвольная стержневая система и нам нужно определить в ней перемещение точки по направлению , вызванное всеми силами системы -

Теорема о взаимности работ. Теорема о взаимности перемещений

Рассмотрим линейно-деформируемую систему в двух различных состояниях, отвечающих двум различным нагрузкам (рис. 5.15).Для простоты выкладок рассмотрим простую двухопорную балку, последовательно нагружаемую двумя сосредоточенными силами.

Рис 15. Прямой и обратный порядок приложения нагрузки

Приравнивая полные работы при прямом и обратном порядке приложения нагрузок, получим

Работа, фактически совершаемая силой на перемещениях, вызываемых другой силой или силами, называется дополнительной работой.

Согласно теореме о взаимности работ, работа сил первого состояния на перемещение второго состояния равна работе сил второго состояния на перемещение первого состояния.

Аналогичным образом может быть доказана также взаимность дополнительной работы внутренних сил.

Рис 16. Взаимность дополнительной работы внутренних сил.

Используя закон сохранения энергии, можно показать, что дополнительная работа внешних сил равна по абсолютному значению дополнительной работе внутренних сил:

Принимая

получим теорему о взаимности перемещений.

Перемещение точки приложения единичной силы по ее направлению, вызванное второй единичной силой, равно перемещению точки, приложения второй единичной силы по направлению последней, вызванному действием первой единичной силы.

Определение перемещений методом Мора

Вместо системы сил F 1 и F 2 ,введем грузовое и вспомогательное состояния:

Рис 17. Введение грузового и вспомогательного состояний

Запишем теорему о взаимности работ для этих двух состояний:

После суммирования по отдельным участкам балки получим интеграл Мора

Пример 5.2. Рассмотрим пример на использование интеграла Мора на определение перемещений для консольной балки, нагруженной сосредоточенной силой

Рис 18. Построение грузовой и вспомогательной эпюры для консольной балки

Используем интеграл Мора.

На практике использование такого подхода затруднено. Эта трудность преодолевается организацией интегрирования, интегрирование легко реализуется на компьютере.

Графоаналитический способ определения перемещения при изгибе. Способ Верещагина

Введем два упрощающих обстоятельства:

Линейная функция в пределе рассматриваемого участка.

Рис 19 Графоаналитическое вычисление интеграла Мора

Последний интеграл представляет собой статический момент фигуры ABCD относительно оси y. Произведение

представляет собой ординату, взятую на вспомогательной эпюре под центром тяжести грузовой.

гдеn - номер участка.

Пример 5.3. Еще раз рассмотрим консольную балку

Рис 20. Использование способа Верещагина для консольной балки

Более сложные случаи:

1. Умножение трапеции на трапецию

Рис. 21. Умножение трапеции на трапецию

Для умножения трапеции на трапецию можно перейти к умножению прямоугольника на трапецию и треугольника на трапецию.

Определение умножения прямоугольника на трапецию означает, что А f берем по прямоугольнику, а M к с по трапеции.

Правило перестановок действует только на линейных эпюрах.

2. Параболический сегмент

Рис 22. Площадь и положение центра тяжести для параболического сегмента

3. Вогнутый параболический треугольник

Рис 23. Площадь и положение центра тяжести для вогнутого параболического треугольника

4. Выпуклый треугольник

Рис 24. Площадь и положение центра тяжести для выпуклого параболического треугольника

5. Выпуклая параболическая трапеция.

Рис 25. Разбиение площадей и положение центров тяжести для выпуклой параболической трапеции

Пример: 5.4. Рассмотрим более сложный случай нагружения консольной балки, кода действуют все три вида внешних нагрузок. Необходимо определить максимальный угол поворота балки

Рис. Консольная балка при одновременном действии трех нагрузок

I способ. Заменим эпюру М f совокупностью более простых фигур.

то есть вершина параболы находится за пределами балки.

Для построения вспомогательной эпюры необходимо:

1. Рассмотрим некоторую балку без внешних нагрузок.

2. В заданной точке прикладываем F=1 или М=1 соответственно для определения прогиба или угла поворота. Направление действия внешних нагрузок - произвольно.

3. Считая единичную нагрузку внешней, определяем реакции и строим эпюры.

Формула для определения угла поворота способом Верещагина примет следующий вид

где - ордината, взятая на вспомогательной эпюре М к под центром тяжести грузовой эпюры - с учетом разбития грузовой на элементарные фигуры

При построении изогнутой оси балки мы используем:

1. Знак обобщенного перемещения. Для рассмотренного случая точка поворачивается по часовой стрелке.

2. Используем знак изгибающего момента на грузовой эпюре.

Примерный вид изогнутой оси балки показан на рис. 5.24.

II способ. Использование принципа суперпозиций.

Рис Использования принципа суперпозиции

Пусть в первом состоянии к системе приложена сила, а во втором - (рис.6). Обозначим перемещения, вызванные единичными силами (или единичными моментами) символом. Тогда перемещение рассматриваемой системы по направлению единичной силы в первом состоянии (то есть вызванное силой) - , а перемещение по направлению силы во втором состоянии - .

На основании теоремы о взаимности работ:

Но, поэтому, или в общем случае действия любых единичных сил:

Полученное равенство (1.16) носит название теоремы о взаимности перемещений (или теоремы Максвелла): для двух единичных состояний упругой системы перемещение по направлению первой единичной силы, вызванное второй единичной силой, равно перемещению по направлению второй силы, вызванному первой силой.

Вычислений перемещений методом Мора

Излагаемый ниже метод является универсальным методом определения перемещений (как линейных так и угловых), возникающих в любой стержневой системе от произвольной нагрузки.

Рассмотрим два состояния системы. Пусть в первом из них (грузовое состояние) к балке приложена любая произвольная нагрузка, а во втором (единичное состояние) - сосредоточенная сила (рис.7).

Работа А21 силы на перемещении, возникающем от сил первого состояния:

Используя (1.14) и (1.15), выразим А21 (а, значит, и) через внутренние силовые факторы:

Знак «+», полученный при определении, означает, что направление искомого перемещения совпадает с направлением единичной силы. Если определяется линейное смещение, то обобщенная единичная сила представляет собой безразмерную сосредоточенную единичную силу, приложенную в рассматриваемой точке; а если определяется угол поворота сечения, то обобщенная единичная сила - это безразмерный сосредоточенный единичный момент.

Иногда (1.17) записывается в виде:

где - перемещение по направлению силы, вызванное действием группы сил. Произведения, стоящие в знаменателе формулы (1.18), называются соответственно жесткостями при изгибе, растяжении (сжатии) и сдвиге; при постоянных по длине размерах сечения и одинаковом материале эти величины можно выносить за знак интеграла. Выражения (1.17) и (1.18) называются интегралами (или формулами) Мора.

Наиболее общий вид интеграл Мора имеет в том случае, когда в поперечных сечениях стержней системы возникают все шесть внутренних силовых факторов:

Алгоритм вычисления перемещения методом Мора состоит в следующем:

• 1. Определяют выражения внутренних усилий от заданной нагрузки как функций координаты Z произвольного сечения.
• 2. По направлению искомого перемещения прикладывается обобщенная единичная сила (сосредоточенная сила - при вычислении линейного перемещения; сосредоточенный момент - при вычислении угла поворота).
• 3. Определяют выражения внутренних усилий от обобщенной единичной силы как функций координаты Z произвольного сечения.
• 4. Подставляют выражение внутренних усилий, найденные в п.п.1,3 в (1.18) или (1.19) и интегрированием по участкам в пределах всей длины конструкции определяют искомое перемещение.

Формулы Мора пригодны и для элементов, представляющих собой стержни малой кривизны, с заменой элемента длины dz в подынтегральном выражении элементом дуги ds.

В большинстве случаев плоской задачи используется только один член формулы (1.18). Так, если рассматриваются конструкции, работающие преимущественно на изгиб (балки, рамы, а частично и арки), то в формуле перемещений с соблюдением достаточной точности можно оставить только интеграл, зависящий от изгибающих моментов; при расчете конструкций, элементы которых работают, в основном, на центральное растяжение (сжатие), например, ферм, можно не учитывать деформации изгиба и сдвига, то есть в формуле перемещений останется только член, содержащий продольные силы.

Аналогично, в большинстве случаев пространственной задачи существенно упрощается формула Мора (1.19). Так, когда элементы системы работают преимущественно на изгиб и кручение (например, при расчете плоско-пространственных систем, ломаных стержней и пространственных рам) в (1.19) остаются только первые три члена; а при расчете пространственных ферм - только четвертый член.

Теорема Максвелла - это теорема о взаимности работ для частного случая нагружения системы, когда F 1 =F 2 =1. Очевидно, что при этом δ 12 =δ 21 .

Перемещение точки первого состояния под действием единичной силы второго состояния равняется перемещению точки второго состояния под действием единичной силы первого состояния.

38. Формула для определения работы внутренних сил (с пояснением всех входя­щих в формулу величин).

Теперь определим возможную работу внутренних сил. Для этого рассмотрим два состояния системы:

1) действует сила P i и вызывает внутренние усилия M i , Q i , N i ;

2) действует сила P j , которая в пределах малого элемента dx вызывает возможные деформации

D Mj = dx, D Qj =m dx, D Nj = dx.

Внутренние усилия первого состояния на деформациях (возможных перемещениях) второго состояния совершат возможную работу

–dW ij =M i D Mj +Q i D Qj +N i D Nj = dx+m dx+ dx .

Если проинтегрировать это выражение по длине элемента l и учесть наличие в системе n стержней, получим формулу возможной работы внутренних сил:

–W ij =
dx .

EI – жесткость при изгибе

GA – Жесткость при сдвиге

Е – модуль упругости характер физ параметры

Е – модуль упругости характер геометрич параметры

G- модуль сдвига

A- площадь сечения

EA –продольная жесткость

39. Формула Мора для определения перемещений (с пояснением всех входящих в формулу величин).

Рассмотрим два состояния стержневой системы:

1) грузовое состояние (рис. 6.6 а), в котором действующая нагрузка вызывает внутренние усилия M P , Q P , N P ;

2) единичное состояние (рис. 6.6 б), в котором действующая единичная сила P=1 вызывает внутренние усилия .

Внутренние силы грузового состояния на деформациях единичного состояния , , совершают возможную работу

–V ij =
dx.

А единичная сила P=1 единичного состояния на перемещении грузового состояния D P совершает возможную работу

W ij =1×D P =D P .

По известному из теоретической механики принципу возможных перемещений в упругих системах эти работы должны быть равными, т.е. W ij = –V ij . Значит, должны быть равны и правые части этих выражений:

D P =
dx .

Эта формула называется формулой Мора и используется для определения перемещений стержневой системы от внешней нагрузки.

40. Порядок определения перемещений в С.О.С. с использованием формулы Мора.

N p , Q p , M p как функции координаты х произвольного сечения для всех участков стержневой системы от действия заданной нагрузки.

Приложить по направлению искомого перемещения соответствующую ему единичную нагрузку (единичную силу, если определяется линейное перемещение; сосредоточенный единичный момент, если определяется угловое перемещение).

Определить выражения для внутренних усилий как функции координаты х произвольного сечения для всех участков стержневой системы от действия единичной нагрузки.

Найденные выражения внутренних усилий в первом и втором состоянии подставляют в интеграл Мора и интегрируют по участкам в пределах всей стержневой системы.

41. Применение формулы Мора для определения перемещений в изгибаемых сис­темах (со всеми пояснениями).

В балках (рис. 6.7 а) возможны три случая:

− если > 8 , в формуле оставляется только член с моментами:

D P = ;

− если 5≤ ≤8 , учитываются и поперечные силы:

D P =
dx ;

2. В рамах (рис. 6.7 б) элементы в основном работают только на изгиб.Поэтому в формуле Мора учитываются только моменты.

В высоких рамах учитывается и продольная сила:

D P =
dx .

3. В арках (рис. 6.7 в) необходимо учитывать соотношение между основными размерами арки l и f :

1) если £ 5 (крутая арка), учитываются только моменты;

2) если >5 (пологая арка), учитываются моменты и продольные силы.

4. В фермах (рис. 6.7 г) возникают только продольные силы. Поэтому

D P = dx = = .

42. Правило Верещагина для вычисления интегралов Мора: суть и условия ис­пользования.

Правило Верещагина для вычисления интегралов Мора: суть и условия ис­пользования.

c- центр тяжести площади грузовой эпюры.

y c -ордината взята из единичной эпюры, расположенной под центром тяжести площади грузовой эпюры.

EI- жесткость при изгибе.

Для вычисления полного перемещения необходимо сложить произведения грузовой эпюры на ординату поединично всех простых участков системы.

В данной формуле приведены определенные перемещения от действий только изгибающего момента. Это справедливо для изгибающих систем, для которых основное влияние на перемещение точек оказывает величина изгибающего момента, а влияние поперечной и продольных сил незначительно,которыми на практике пренебрегают.

Рассмотрим два состояния упругой системы, находящейся в равновесии. В каждом из этих состояний на систему действует некоторая статическая нагрузка (рис.4,а). Обозначим перемещения по направлениям сил F1 и F2 через, где индекс «i» показывает направление перемещения, а индекс «j» - вызвавшую его причину.

Обозначим работу нагрузки первого состояния (сила F1) на перемещениях первого состояния через А11, а работу силы F2 на вызванных ею перемещениях - А22:

Используя (1.9), работы А11 и А22 можно выразить через внутренние силовые факторы:

Рассмотрим случай статического нагружения той же системы (рис.5,а) в такой последовательности. Сначала к системе прикладывается статически возрастающая сила F1 (рис.23,б); когда процесс ее статического нарастания закончен, деформация системы и действующие в ней внутренние усилия становятся такими же, как и первом состоянии (рис.23,а). Работа силы F1 составит:

Затем на систему начинает действовать статически нарастающая сила F2 (рис.5,б). В результате этого система получает дополнительные деформации и в ней возникают дополнительные внутренние усилия, такие же, как и во втором состоянии (рис.5,а). В процессе нарастания силы F2 от нуля до ее конечного значения сила F1 , оставаясь неизменной, перемещается вниз на величину дополнительного прогиба и, следовательно, совершает дополнительную работу:

Сила F2 при этом совершает работу:

Полная работа А при последовательном нагружении системы силами F1, F2 равна:

С другой стороны, в соответствии с (1.4) полную работу можно определить в виде:

Приравнивая друг к другу выражения (1.11) и (1.12), получим:

А12=А21 (1.14)

Равенство (1.14) носит название теоремы о взаимности работ, или теоремы Бетти: работа сил первого состояния на перемещениях по их направлениям, вызванных силами второго состояния, равна работе сил второго состояния на перемещениях по их направлениям, вызванных силами первого состояния. Опуская промежуточные выкладки, выразим работу А12 через изгибающие моменты, продольные и поперечные силы, возникающие в первом и втором состояниях:

Каждое подинтегральное выражение в правой части этого равенства можно рассматривать как произведение внутреннего усилия, возникающего в сечении стержня от сил первого состояния, на деформацию элемента dz, вызванную силами второго состояния.