Что плоская волна. Сферические и плоские волны

Эта функция должна быть периодической как относительно времени, так и координат (волна – это распространяющееся колебание, следовательно периодически повторяющееся движение). Кроме того, точки, отстоящие друг от друга на расстоянии l, колеблются одинаковым образом.

Уравнение плоской волны

Найдем вид функции x в случае плоской волны, предполагая, что колебания носят гармонический характер.

Направим оси координат так, чтобы ось x совпадала с направлением распространения волны. Тогда волновая поверхность будет перпендикулярна оси x . Так как все точки волновой поверхности колеблются одинаково, смещение x будет зависеть только от х и t : . Пусть колебание точек, лежащих в плоскости , имеет вид (при начальной фазе )

(5.2.2)

Найдем вид колебания частиц в плоскости, соответствующей произвольному значению x . Чтобы пройти путь x , необходимо время .

Следовательно, колебания частиц в плоскости x будут отставать по времени на t от колебаний частиц в плоскости , т.е.

,

(5.2.3)

– это уравнение плоской волны.

Таким образом, x есть смещение любой из точек с координатой x в момент времени t . При выводе мы предполагали, что амплитуда колебания . Это будет, если энергия волны не поглощается средой.

Такой же вид уравнение (5.2.3) будет иметь, если колебания распространяются вдоль оси y или z .

В общем виде уравнение плоской волны записывается так:

Выражения (5.2.3) и (5.2.4) есть уравнения бегущей волны .

Уравнение (5.2.3) описывает волну, распространяющуюся в сторону увеличения x . Волна, распространяющаяся в противоположном направлении, имеет вид:

.

Уравнение волны можно записать и в другом виде.

Введем волновое число , или в векторной форме:

,

(5.2.5)

где – волновой вектор, – нормаль к волновой поверхности.

Так как , то . Отсюда . Тогда уравнение плоской волны запишется так:

.

(5.2.6)

Уравнение сферической волны

Колебательный процесс, распространяющийся в среде в виде волны, фронт которой представляет собой плоскость , называется плоской звуковой волной . На практике плоская волна может образовываться источником, линейные размеры которого велики по сравнению с длинной излученной им волн, и если зона волнового поля находится на достаточно большом удалении от него. Но так обстоит дело в неограниченной среде. Если источник огражден каким-либо препятствием, то классический пример плоской волны, это – колебания, возбужденные жестким несгибаемым поршнем в длинной трубе (волноводе) с жесткими стенками, если диаметр поршня значительно меньше длины - излучаемых волн. Поверхность фронта в трубе из-за жестких стенок не меняется по мере распространения волны по волноводу(см. рис. 3.3). Потерями звуковой энергии на поглощение и рассеяние в воздушной среде пренебрегаем.

Если излучатель (поршень) совершает колебания по гармоническому закону с частотой
, а размеры поршня (диаметр волновода) значительно меньше длины звуковой волны, то давление, создаваемое около его поверхности,
. Очевидно, что на расстояниих давление будет
, где
– время пробега волны от излучателя до точкиx. Это выражение удобнее записать, как:
, где
- волновое число распространения волны. Произведение
- определяемый фазовый набег колебательного процесса в точке, удаленной на расстояниех от излучателя.

Подставляя полученное выражение в уравнение движения (3.1), проинтегрируем последнее относительно колебательной скорости:

(3.8)

Вообще для произвольного момента времени оказывается, что:

. (3.9)

Правая часть выражения (3.9) – характеристическое, волновое, или удельное акустическое сопротивление среды (импеданс). Само уравнение (3.), иногда, называется акустическим «законом Ома». Как следует из решения, полученное уравнение справедливо в поле плоской волны. Давление и колебательная скорость синфазны , что является следствием чисто активного сопротивления среды.

Пример: Максимальное давление в плоской волне
Па. Определить амплитуду смещения частиц воздуха по частоте?

Решение: Так как , тогда:

Из выражения (3.10) следует, что амплитуда звуковых волн очень мала, по крайней мере, в сравнении с размерами самих источников звука.

Помимо скалярного потенциала, давления и колебательной скорости звуковое поле характеризуется и энергетическими характеристиками, важнейшей из которых является интенсивность - вектор плотности потока энергии, переносимой волной за единицу времени. По определению
- есть результат произведения звукового давления на колебательную скорость.

При отсутствии потерь в среде плоская волна, теоретически, может распространяться без ослабления на сколь угодно большие расстояния, т.к. сохранение формы плоского фронта свидетельствует об отсутствии «расходимости» волны, а, значит, и об отсутствии ослабления. Иначе обстоит дело, если волна обладает искривленным фронтом. К подобным волнам относят, прежде всего, сферическую и цилиндрическую волны.

3.1.3. Модели волн с неплоским фронтом

У сферической волны поверхность равных фаз является сферой. Источником такой волны также является сфера, все точки которой колеблются с одинаковыми амплитудами и фазами, а центр остается неподвижен (см. рис. 3.4, а).

Сферическая волна описывается функцией, являющейся решением волнового уравнения в сферической системе координат, для потенциала волны, распространяющейся от источника:

. (3.11)

Действуя по аналогии с плоской волной, можно показать, что на расстояниях от источника звука значительно больше длины изучаемых волн:
. Это значит, что акустический «закон Ома» выполняется и в данном случае. В практических условиях сферические волны возбуждаются, преимущественно, компактными источниками произвольной формы, размеры которых значительно меньше длины возбуждаемых звуковых или ультразвуковых волн. Иными словами, «точечный» источник излучает, преимущественно, сферические волны. На больших расстояниях от источника или, как принято говорить, в «дальней» зоне сферическая волна применительно к ограниченным по размерам участкам волнового фронта ведет себя как плоская волна, или как говорят: «вырождается в плоскую волну». Требования к малости участка определяются не только частотой, но
- разностью расстояний между сравниваемыми точками. Отметим, что указанная функция
имеет особенность:
при
. Это вызывает определенные трудности при строгом решении дифракционных задач, связанных с излучением и рассеянием звука.

В свою очередь цилиндрические волны (поверхность волнового фронта - цилиндр) излучаются бесконечно длинным пульсирующим цилиндром (см. рис.3.4).

В дальней зоне выражение для функции потенциала такого источника асимптотически стремится к выражению:


. (3.12)

Можно показать, что и в этом случае выполняется соотношение
. Цилиндрические волны, как и сферические, в дальней зоневырождаются в плоские волны.

Ослабление упругих волн при распространении связано не только с изменением кривизны волнового фронта («расходимостью» волны), но и с наличием «затухания» т.е. ослабления звука. Формально наличие затухания в среде можно описать, представив волновое число комплексным
. Тогда, например, для плоской волны давления можно получить:Р(x , t ) = P макс
=
.

Видно, что вещественная часть комплексного волнового числа описывает пространственную бегущую волну, а мнимая часть характеризует ослабление волны по амплитуде. Поэтому величина  называется коэффициентом ослабления (затухания),  - величина размерная (Непер/м). Один «Непер» соответствует изменению амплитуды волны в «е» раз при перемещении волнового фронта на единицу длины. В общем случае ослабление определяется поглощением и рассеянием в среде:  =  погл +  расс. Указанные эффекты определяются разными причинами и могут рассматриваться отдельно.

В общем случае поглощение связано с необратимыми потерями звуковой энергии при ее превращении в тепло.

Рассеяние связано с переориентацией части энергии падающей волны на другие направления, не совпадающие с падающей волной.

Плоская волна - это волна, фронт которой представляет собой плоскость. Напомним, что фронт - это эквифазная поверхность, т.е. поверхность равных фаз.

Принимаем, что в точке О (рис. 5.1) находится точечный источник, плоскость Р перпендикулярна оси Z, точки М j и М 2 лежат в плоскости Р. Принимаем также, что источник О так далеко от плоскости Р, что OMj | | ОМ 2 . Это означает, что все точки в плоскости Р, являющейся фронтом волны, равноправны, т.е. при перемещении в плоскости Р не происходит изменения состояния процесса:

Рис. 5.1.

Разрешим уравнения Гельмгольца

относительно векторов поля и исследуем полученные решения.

В этом случае из шести уравнений остаются только два уравнения:

Плоские волны в вакууме

Решение дифференциальных уравнений (5.1) имеет вид

где корни характеристического уравнения

Переходя от комплексных векторов к их мгновенным значениям, получим

Первое слагаемое представляет собой прямую волну, а второе - обратную волну. Рассмотрим первое слагаемое уравнения (5.2). На рис. 5.2 в соответствии с этим уравнением показано распределение напряженности электрического поля в момент времени t и At. Точки 1 и 2 соответствуют максимумам напряженности электрического поля. Положение максимума сместилось за время At на расстояние Az:

Равенство значений функций обеспечивается равенством аргументов: ooAt = kAz. При этом получаем уравнение для фазовой скорости

Puc. 5.2. График изменения напряженности электрического поля

Для вакуума Уф =-, С ° = -j2= = 3 10 8 м/с.

W 8 оМ-о V E oMo

Это означает, что в вакууме скорость распространения электромагнитной волны равна скорости света. Рассмотрим второе слагаемое уравнения (5.2):

Оно дает Уф =-. Это соответствует волне, распространяющейся к источнику.

Определим расстояние X между точками поля с фазами, отличающимися на 360°. Это расстояние называется длиной волны. Поскольку

где к - волновое число (постоянная распространения), то

Длина волны в вакууме Х 0 = с / /, где с - скорость света.

Фазовая скорость и длина волны в остальных средах соответственно

Как следует из формулы для фазовой скорости, она не зависит от частоты электромагнитного поля, а значит, среда без потерь недисперсионная.

Установим связь между направлениями векторов электрического и магнитного полей. Начнем с уравнений Максвелла:

Заменяем векторные уравнения скалярными, т.е. приравниваем проекции векторов в последних уравнениях:

Учтем, что в системе (5.3)

тогда получим

Из условия (5.4) очевидно, что у плоских волн нет продольных составляющих, так как E z = О, Н 2 = 0. Составим скалярное произведение (Е, Я), выразив Е х и Е у из выражений (5.4):

Поскольку скалярное произведение векторов равно нулю, векторы Ё и Я в плоской волне перпендикулярны друг другу. Из-за того, что у них нет продольных составляющих, ? и Я перпендикулярны направлению распространения. Определим отношение амплитуд векторов электрического и магнитного полей.

Принимаем, что вектор? направлен вдоль оси х, соответственно Е у - 0,Н Х - 0.

Из уравнения (5.4) Е х =-Я Я у ~-Е х. Отсюда =-=,/- -Z, сое сор Н у сое V е

где Z - волновое сопротивление среды с макроскопическими параметрами е и р;

Z 0 - волновое сопротивление вакуума. С большой степенью точности эту величину можно считать волновым сопротивлением сухого воздуха.

Запишем выражения для мгновенных значений Я и? падающей волны, используя уравнение (5.2). В результате получим

аналогично

По мере продвижения падающей волны вдоль оси z амплитуды? и Я остаются неизменными, т.е. затухания волны не происходит, так как в диэлектрике нет токов проводимости и выделения энергии в виде теплоты.

На рис. 5.3, а изображены пространственные кривые, представляющие собой графики мгновенных значений Я и?. Эти графики построены по полученным уравнениям для момента времени cot = 0. Для более позднего момента времени, например для cot + |/ п = п/2, аналогичные кривые изображены на рис. 5.3, б.

Рис. 5.3.

а - при a)t= 0; б - при u>t= п/2

Как видно на рис. 5.3, а и б, вектор Е при движении волны остается направленным вдоль оси х, а вектор Я - вдоль оси у, сдвига по фазе между Я и? нет.

Вектор Пойнтинга падающей волны направлен вдоль оси z. Его модуль изменяется по закону П = C 2 Z sin 2 ^cot + --zj. Поскольку

sin 2a = (1 - cos2a)/2, to 1-cosf 2cot+--z ] , т.е. вектор

2 L V v)_

Пойнтинга имеет постоянную составляющую C 2 Z /2 и переменную, изменяющуюся во времени с двойной угловой частотой.

На основе анализа решения волновых уравнений можно сделать следующие выводы.

• 1. В вакууме плоские волны распространяются со скоростью света, в остальных средах скорость меньше в ^/e,.p r раз.
• 2. Векторы электрического и магнитного полей не имеют продольных составляющих и перпендикулярны друг другу.
• 3. Отношение амплитуд электрического и магнитного полей равно волновому сопротивлению среды, в которой происходит распространение электромагнитных волн.

Плоской волной называется волна с плоским фронтом. При этом лучи параллельные.

Плоская волна возбуждается поблизости от колеблющейся плоскости или если рассматривается небольшой участок волнового фронта точечного излучателя. Площадь этого участка может быть тем больше, чем дальше он находится от излучателя.

Лучи, охватывающие участок плоскости рассматриваемого волнового фронта, образуют «трубу». Амплитуда звукового давления в плоской волне не уменьшается при удалении от источника, так как не происходит растекание энергии за пределы стенок этой трубы. На практике это соответствует остронаправленному излучению, например, излучению электростатических панелей большой площади, рупорных излучателей.

Сигналы в различных точках луча плоской волны отличаются фазой колебаний. Если звуковое давление на некотором участке плоского волнового фронта синусоидальное, то его можно представить в экспоненциальном виде р зв = р тзв - exp(icot). На расстоянии г по лучу оно будет запаздывать от источника колебаний:

где г/с зв - время, за которое проходит волна от источника до точки на расстоянии г вдоль луча к = (о/ с зъ = 2ж/Д - волновое число, которое определяет фазовый сдвиг между сигналами во фронтах плоской волны, находящихся на расстоянии г.

Реальные звуковые волны более сложные, чем синусоидальные, однако выкладки, проводимые для синусоидальных волн, справедливы и для несинусоидальных сигналов, если не рассматривать частоту как константу, т.е. рассматривать сложный сигнал в частотной области. Это возможно до тех пор, пока процессы распространения волн остаются линейными.

Волна, фронт которой представляет собой сферу, называется сферической. Лучи при этом совпадают с радиусами сферы. Сферическая волна формируется в двух случаях.

• 1. Размеры источника много меньше длины волны, и расстояние до источника позволяет считать его точкой. Такой источник называется точечным.
• 2. Источник представляет собой пульсирующую сферу.

В обоих случаях предполагается, что переотражения волны отсутствуют, т.е. рассматривается только прямая волна. Чисто сферических волн в сфере интересов электроакустики не бывает, это такая же абстракция, как и плоская волна. В области средневысоких частот конфигурация и размеры источников не позволяют считать их ни точкой, ни сферой. А в области низких частот непосредственное влияние начинает оказывать, как минимум, пол. Единственная близкая к сферической волна формируется в заглушенной камере при малых габаритах излучателя. Но рассмотрение этой абстракции позволяет уяснить некоторые важные моменты распространения звуковых волн.

На больших расстояниях от излучателя сферическая волна вырождается в плоскую волну.

На расстоянии г от излучателя звуковое давление может быть

представлено в виде р зв = -^-ехр (/ (со? t - к? г)), где p-Jr - амплитуда

звукового давления на расстоянии 1 м от центра сферы. Уменьшение звукового давления с удалением от центра сферы связано с растеканием мощности на все большую площадь - 4пг 2 . Суммарная мощность, перетекающая через всю площадь волнового фронта, не меняется, поэтому мощность, приходящаяся на единицу площади, уменьшается пропорционально квадрату расстояния. А давление пропорционально корню квадратному из мощности, поэтому оно уменьшается пропорционально собственно расстоянию. Необходимость нормирования к давлению на некотором фиксированном расстоянии (1 мв данном случае) связана с тем же фактом зависимости давления от расстояния, только в обратную сторону - при неограниченном приближении к точечному излучателю звуковое давление (а также колебательная скорость и смещение молекул) неограниченно увеличивается.

Колебательную скорость молекул в сферической волне можно определить из уравнения движения среды:

Итого, колебательная скорость v m = ^ зв ^ + к г? фазовый

/V е зв кг

сдвиг относительно звукового давления ф = -arctgf ---] (рис. 9.1).

Упрощенно говоря, наличие фазового сдвига между звуковым давлением и колебательной скоростью связано с тем, что в ближней зоне с удалением от центра звуковое давление гораздо быстрее убывает, чем запаздывает.

Рис. 9.1. Зависимость фазового сдвига ф между звуковым давлением р и колебательной скоростью v от г/к (расстояние вдоль луча к длине волны)

На рис. 9.1 можно видеть две характерные зоны:

• 1) ближнюю г/Х« 1.
• 2) дальнюю г/Х» 1.

Сопротивление излучения сферы радиуса г

Это значит, что не вся мощность расходуется на излучение, часть запасается в некоем реактивном элементе и затем возвращается излучателю. Физически этому элементу можно сопоставить присоединенную массу среды, колеблющуюся с излучателем:

Легко видеть, что присоединенная масса среды уменьшается с ростом частоты.

На рис. 9.2 представлена частотная зависимость безразмерных коэффициентов вещественной и мнимой составляющих сопротивления излучения. Излучение эффективно, если Re(z(r)) > Im(z(r)). Для пульсирующей сферы это условие выполняется при кг > 1.

Волны, зависящие от одной пространственной координаты

Анимация

Описание

В плоской волне всем точкам среды, лежащим в любой плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны, в каждый момент времени соответствуют одинаковые смещения и скорости частиц среды. Таким образом, все величины, характеризующие плоскую волну, являются функциями времени и только одной координаты, например, х , если ось Ох совпадает с направлением распространения волны.

Волновое уравнение для продольной плоской волны имеет вид:

д 2 j /дx 2 = (1/c 2 )д 2 j /дt 2 . (1)

Его общее решение выражается следующим образом:

j = f 1 (ct - x)+f 2 (ct + x) , (2)

где j - потенциал или другая величина, характеризующая волновое движение среды (смещение, скорость смещения и т.д.);

с - скорость распространения волны;

f 1 и f 2 - произвольные функции, причем первое слагаемое (2) описывает плоскую волну, распространяющуюся в положительном направлении оси Ох , а второе - в противоположном направлении.

Волновые поверхности или геометрические места точек среды, где в данный момент времени фаза волны имеет одно и то же значение, для ПВ представляют собой систему параллельных плоскостей (рис. 1).

Волновые поверхности плоской волны

Рис. 1

В однородной изотропной среде волновые поверхности плоской волны перпендикулярны к направлению распространения волны (направлению переноса энергии), называемому лучом.

Временные характеристики

Время инициации (log to от -10 до 1);

Время существования (log tc от -10 до 3);

Время деградации (log td от -10 до 1);

Время оптимального проявления (log tk от -3 до 1).

Диаграмма:

Технические реализации эффекта

Техническая реализация эффекта

Строго говоря, ни одна реальная волна не является плоской волной, т.к. распространяющаяся вдоль оси x плоская волна должна охватывать всю область пространства по координатам y и z от -Ґ до +Ґ . Однако во многих случаях можно указать ограниченный по y, z участок волны, на котором она практически совпадает с плоской волной. Прежде всего это возможно в однородной изотропной среде на достаточно больших расстояниях R от источника. Так, для гармонической плоской волны фаза во всех точках плоскости, перпендикулярной направлению ее распространения, одна и та же. Можно показать, что всякую гармоническую волну можно считать плоской волной на участке шириной r << (2R l )1/2 .

Применение эффекта

Некоторые волновые технологии являются наиболее эффективными именно в приближении плоских волн. В частности, показано, что при сейсмоакустических воздействиях (с целью повышения нефте- газоотдачи) на нефтяные и газовые пласты, представленные слоистыми геологическими структурами, взаимодействие прямых и переотраженных от границ слоев плоских волновых фронтов приводит возникновению стоячих волн, инициирующих постепенные перемещение и концентрацию углеводородных флюидов в пучностях стоячей волны (см. описание ФЭ «Стоячие волны»).