3 ГЛАВА. Логика высказываний Подвысказыванием (суждением) понимают форму мысли, которая выражает соответствие или несоответствие ее действительности. Так, еще великий античный философ Платон утверждал, что "тот, кто говорит о вещах в соответствии с тем, каковы они есть, говорит истину, тот же, кто говорит о них иначе – лжет".

В традиционной логике, которая ограничивалась изучением связи между вещами и их свойствами, общепринятым считался термин "суждение", в современной же логике предпочитают говорить скорее о высказываниях. Однако эти термины рассматриваются как синонимы, и поэтому в дальнейшем мы будем употреблять их как равнозначные.

Высказывания входят в качестве составной части в любое умозаключение либо как посылка, либо как результат рассуждения. Между посылками и заключением любого рассуждения существует определенная логическая связь. В дедуктивных умозаключениях, которые мы будем рассматривать в этой и последующих главах, эта связь имеет характер логического следования или вывода, в правдоподобных – характер вероятностного отношения, когда посылка лишь с той или иной степенью правдоподобия подтверждает заключение.

Современная дедуктивная логика начинает изучение высказываний, отвлекаясь от их внутренней структуры, и рассматривает их либо как истинные, либо как ложные. Как мы убедимся далее, именно такой подход служит основой для построения исчисления высказываний и позволяет обращаться с рассуждениями, как с вычислениями. В дальнейшем этот подход, ограниченный и слишком абстрактный, может быть преодолен путем снятия подобных ограничений. Именно в этих целях строится логика предикатов, в которой рассматривается логическая связь между предметами и характеризующими их предикатами. Однако в отличие от традиционной логики под предикатами сейчас подразумеваются не только свойства, но и различные отношения между предметами.

Хотя в высказываниях в качестве терминов включаются и понятия, но они в познании играют совсем иную роль. Как мы убедились ранее, понятия отделяют одни классы предметов от других по их отличительным признакам. В языке они выражаются одним именем, представляющим собой либо отдельное слово, либо сочетание слов. Высказывания же формулируются с помощью предложений.

3.1. Высказывание и предложение

Любая мысль становится доступной для понимания других людей только тогда, когда она выражается в языке, в устной или письменной речи. Формой выражения высказываний являются предложения, но не всякое предложение выражает высказывание. Если я спрашиваю: "Какая сегодня погода?", то этим не утверждаю и не отрицаю какой-либо мысли о действительности. Точно так же, когда прошу закрыть дверь, я тоже не высказываю какого-либо суждения. Отсюда становится ясным, что формой выражения суждений в языке являются повествовательные предложения.
Суждение (высказывание) можно определить как форму мысли, в которой нечто о действительности утверждается или отрицается. Более развернуто: в суждении утверждается или отрицается наличие связей между предметами и их свойствами, а также отношений между самими предметами.
Очевидно, что утверждения о свойствах и отношениях по своей логической структуре различны, но грамматически они выражаются повествовательными предложениями. Например, предложение "Эта осень – сухая", выражает мысль о свойстве настоящей осени, а предложение "3 больше 2." – устанавливает отношение между указанными натуральными числами.

Сама по себе мысль, пока она не выражена в языке, остается для нас неизвестной. Именно поэтому вместо суждения нередко пользуются более нейтральным термином "высказывание", который подчеркивает, что речь идет именно о мысли, сформулированной, высказанной, которая переводится предложением в сферу языка. В связи с этим возникает вопрос, следует ли понимать под высказыванием мысль вместе с предложением, как средством языкового выражения мысли.

На этот вопрос ученые отвечали по-разному, и он был предметом многочисленных дискуссий. Если не отделять мысль от средств ее выражения, то одна и та же мысль, высказанная на разных языках, будет представлять разные суждения. Но в таком случае были бы невозможны передача мысли и перевод с одного языка на другой. Поэтому критики этой точки зрения, среди которых можно назвать таких выдающихся логиков, как Г.В. Лейбниц, Б. Больцано, Г. Фреге и другие, заявляли, что мысль и суждение следует рассматривать в абстракции, отвлечении от средств ее выражения. Одна и та же мысль может звучать и формулироваться по-разному в различных языках, но ее содержание или смысл можно рассматривать как некоторую абстракцию, взятую отдельно от ее языкового выражения.

Как уже отмечалось в предыдущей главе, нередко в обычной речи не проводят четкого различия между смыслом и значением языкового выражения, вследствие чего могут возникнуть неясность и даже путаница. Чтобы избежать их, в логике под значением языкового выражения понимают тот предмет, который оно обозначает, а смыслом называют содержание или информацию, которую оно сообщает.

Смысл высказывания выражается содержанием или информацией, которую оно сообщает. Однако в отличие от конкретных имен, которые обозначают реальные предметы, высказывания имеют своими значениями абстрактные объекты: "истину" и "ложь".
Принципиальное отличие между суждениями (высказываниями), как логическими категориями, и предложениями, как категориями грамматическими, состоит в том, что только суждения в строгом смысле слова могут рассматриваться как истинные и ложные, предложения же могут характеризоваться как правильно или неправильно построенные.
Такое различие непосредственно вытекает из того, что суждение мы определяем как мысль, относящуюся к действительности, которая утверждает или отрицает наличие свойств у предметов или отношения между самими предметами. Если предметам в действительности присуще такое свойство или отношение, то суждение будет истинным, в противном случае – ложным. Поскольку суждение выражается предложением, постольку иногда говорят об истинности и ложности предложений, хотя это и неверно.

3.2. Логическая структура высказываний

Различие между высказываниями и предложениями проявляется в их структуре. Грамматическая структура повествовательных предложений состоит из подлежащего, сказуемого и второстепенных членов предложения. В логике суждения также расчленяют на субъект, играющий роль логического подлежащего, и предикат – логическое сказуемое. Если субъект обозначает предмет мысли, то предикат характеризует свойства, присущие предмету, или же отношения между предметами. Введение отношений на первый план выдвигает предикат, ибо в этом случае нельзя выделить индивидуальный субъект, к которому бы относилось данное отношение. Например, когда мы говорим, что "Эльбрус выше Монблана." или "5 больше 3.", то отношение "выше" относится к обеим горным вершинам, а отношение "больше" – к двум числам. Напротив, в суждениях "Эльбрус – горная вершина." или "5 – нечетное число." их предикаты относятся к одному определенному субъекту. Часто поэтому при сравнении суждений и предложений под первыми подразумевают атрибутивные суждения традиционной логики.Атрибутивными (лат. atributum – предназначенное, наделенное, присовокупленное) они называются потому, что выражают принадлежность или непринадлежность свойства предмету. Так, в суждении "железо – металл" свойства металла признаются неотъемлемыми признаками железа, а в суждении "2 – четное число" – свойство четности для числа 2. Такие свойства называются атрибутивными именно потому, что они признаются атрибутами рассматриваемых предметов, т.е. необходимо присущими или неприсущими им.

Большинство суждений, с которыми мы встречаемся в науке и особенно в повседневной жизни, являются атрибутивными. В аристотелевской логике именно такие суждения только и анализировались. Их логическая структура может быть выражена схемой:

S есть Р,

Где S обозначает субъект, т.е. предмет мысли, а Р – предикат, который обозначает свойство, которое присуще предмету мысли; термин "есть (или "суть") – логическую связь между субъектом и предикатом, т.е. принадлежность свойства предмету.

Если такая связь отсутствует, то суждение будет отрицательным и выражается схемой:

S не есть Р или S есть не-Р.

В реляционных (лат. relatio – отнесение) суждениях, суждениях об отношениях, которые стали изучаться в середине прошлого века, речь идет об отношениях между различными предметами. Так, в суждении "Тверь находится между Санкт-Петербургом и Москвой" характеризуется отношение в пространстве, которое существует между указанными городами; в суждении "Эльбрус выше Монблана" – отношение по высоте между горными вершинами; в суждении "Михаил – брат Георгия" – отношение родства между братьями. Чаще всего суждения об отношениях встречаются в математике; с их исследования и началась разработка логики отношений.

В современной логике свойства и отношения обозначаются общим термином "предикат" (лат. praedicatum – сказуемое), в котором различают число мест. Так,свойство называют одноместным предикатом, аотношение "больше, чем" или "выше, чем", "старше, чем" и т.д. – двухместным (бинарным) отношением. Более подробно речь об отношениях пойдет в следующей главе, здесь же мы продолжим рассмотрение суждений традиционной логики по качеству и количеству.

Термин "качество" употребляется в логике исключительно для характеристики принадлежности или непринадлежности свойств предмету.

По качеству суждения могут быть утвердительными или отрицательными. Как показывает само их название, утвердительными называются суждения, в которых говорится ("утверждается") о принадлежности свойства предмету или присущности предиката субъекту, т.е. S есть Р. Например, "все металлы – проводники электричества", "логика – наука", "некоторые грибы ядовиты".

Отрицательными называются суждения, в которых отрицается наличие свойства у предмета (неприсущность предиката субъекту), т.е. S не-есть Р или S есть не-Р. Например, "ничто человеческое мне не чуждо", "кит – не рыба", "астрология – не наука". Формально отрицательные суждения могут быть преобразованы в утвердительные, в которых перед предикатом стоит отрицание:

S есть не-Р.

По количеству суждения делятся на общие, частные и единичные. Поскольку в суждении выражается наличие или отсутствие свойства (отношения) у предметов, мы можем выделить среди них такие, в которых интересующее нас свойство (отношение) принадлежат всем, нескольким и даже единичному предмету. Очевидно, что отношение требует наличия по меньшей мере двух предметов, тогда как принадлежность свойства предполагает существование всего одного предмета. Характеристика суждений по количеству описывает область их применения, т.е. их значение (денотат). Эта область может состоять из всех предметов класса, или некоторых, или даже одного предмета. Так, суждение "все металлы электропроводны" будет называться общим, суждение "некоторые рыбы – летающие" – частным, суждение "Москва – столица России" – единичным. Поскольку общие и частные суждения могут быть утвердительными и отрицательными, их можно классифицировать на четыре группы:

1) общеутвердительные, представляемые схемой: "все S есть Р". В них свойство или предикат относится к каждому предмету, входящему в класс;

2) общеотрицательные представляются схемой: "ни одно S не есть Р";

3) частноутвердительные: "некоторые S есть Р";

4) частноотрицательные: "некоторые S не есть Р".

Такая классификация пригодится нам при изучении силлогизмов в следующей главе.

Изучение логической структуры суждений позволяет выделить их логическую форму. В этих целях мы абстрагируемся, отвлекаемся от конкретного содержания и смысла предложений, с помощью которых они выражены в языке, и сосредоточиваем внимание только на том, как логически связаны элементы суждения друг с другом. Именно так подошел к анализу суждений основатель классической логики Аристотель, который использовал для обозначения логических терминов некоторые символы. Однако его формализация естественного языка была неполной и ограниченной. Для того чтобы выявить логическую форму высказывания или рассуждения, выраженного на естественном языке, необходимо отвлечься от дескриптивных (описательных) терминов языка и представить их как переменные – наподобие переменных величин математики. В результате мы получим скелет высказывания или рассуждения, в котором сохраняются лишь логические термины и отношения между ними.

Таким образом, для выявления логической формы необходимо располагатьформализованным языком, т.е. построить символический, искусственный язык, который нередко отождествляют с исчислением.

Формализованный логический язык строится не столько для сокращения записей и удобства общения, сколько для обоснования правильности рассуждений, которые осуществляются на естественном языке. Еще в прошлом веке известный немецкий логик и математик Готлоб Фреге обращал внимание на то, что искусственные языки, в частности в математике и логике, строятся в ущерб легкости и краткости общения, в чем вы убедитесь после знакомства с символическими языками логики.

Знакомство с такими языками мы начнем с логики высказываний. Это простейший язык, в котором совершенно отвлекаются от внутренней логической структуры высказывания и рассматривают его как нечто целое: каждое высказывание характеризуется только с точки зрения его истинностного значения, т.е. как истинное или ложное. Сами высказывания мы будем обозначать переменными х, у, z ,..., х 1, у 1, z 1. Каждая переменная может принимать только два значения: "истину" и "ложь", которые можно обозначить как 1 и 0. Элементарные (атомарные) высказывания могут объединяться в сложные (молекулярные) высказывания с помощью логических операторов, которые называют также связками, коннекторами или константами. Как мы увидим в дальнейшем, они приблизительно соответствуют некоторым грамматическим союзам. Зная истинностное значение элементарных высказываний и правил оперирования логическими связками, можно легко определить истинностное значение сложных высказываний, которые будут выступать как определенные логические функции. Подобно тому как в математике путем задания аргументов вычисляют значение математической функции, в логике высказываний определяют значение логической функции, образованной из элементарных (атомарных) высказываний. Аналогия с терминологией, заимствованной из химии, наглядно показывает, как сам процесс образования молекулярных высказываний из атомарных, так и в особенности тот факт, что высказывание, являющееся элементарным, считается далее неразложимым на части.

Нетрудно понять, что такое представление о высказывании крайне упрощает дело и является абстракцией, но оно дает возможность лучше понять структуру рассуждений на простейшем уровне. В дальнейшем можно вносить уточнения, дополнения в эту структуру, чтобы выразить реальную внутреннюю связь между элементами высказываний. Как мы покажем в гл. 5, именно для этого строится логика предикатов, где в рассуждениях учитывается внутренняя структура высказываний. Указанный способ анализа дает возможность понять, как происходит переход от простых логических систем к сложным, посредством увеличения истинностных значений и введения дополнительных логических операций. Это относится прежде всего к числу истинностных значений высказываний. Наряду с привычными двумя значениями истинности (истина и ложь) классической логики в современной неклассической логике рассматривают несколько значений истинности, например "истинно", "ложно" и "неопределенно". В вероятностной (индуктивной) логике оперируют даже бесконечным количеством значений истинности, поскольку вероятность имеет непрерывную шкалу значений в интервале 0 X 1.

Кроме того, высказывания можно анализировать не по их истинностному значению, а оценивать с точки зрения обоснованности содержащегося в нем знания или отношения к нему познающего субъекта посредством модальных категорий. О них мы подробнее скажем в конце этой главы. Классическая двузначная логика является простейшей логической системой, в которой легче всего понять, как образуются сложные высказывания из простых и как определяются сами логические операции над ними.

3.3. Способы образования сложных высказываний

Сложные суждения образуются из простых двумя основными способами:

1) путем квантификации высказываний;

2) объединением простых или элементарных высказываний с помощью логических связок или операторов.

Первый способ представляет собой метод получения общих суждений путем использования логических кванторов, характеризующих объем суждения. Прежде чем перейти к его обсуждению, рассмотрим понятие функции-высказывания, которое играет важную роль в логике.
Высказывания в функции-высказывании оцениваются с точки зрения их истинностного значения, поэтому такая функция называется также истинностной функцией. Она образуется по аналогии с математической функцией, но в отличие от последней, аргументами в ней являются не числа и другие математические объекты, а логические объекты – высказывания. В связи с этим ее называют также пропозициональной функцией или – что менее благозвучно – высказывательной функцией. Значениями ее аргументов и самой функции являются "истина" и "ложь". Таким образом, здесь мы имеем дело с пропозициональной функцией двузначной классической логики.
Чтобы определить понятие пропозициональной функции, рассмотрим следующие примеры:

х – простое число;

у – металл;

z – студент.

По форме эти выражения напоминают высказывания, но они не определяют никакого конкретного высказывания, ибо содержат переменные, значение которых остается неизвестным. Здесь напрашивается аналогия с алгебраическими функциями или формулами, которые могут выражать конкретные арифметические зависимости. Так, например, линейная функция у = ax + в получает вполне определенное значение, если вместо постоянных и переменных подставляются конкретные числа.

Точно так же пропозициональные функции логики превращаются в конкретные высказывания, если вместо логических переменных подставляются определенные имена. Так, в первом примере, если вместо х подставить число 3, то получится истинное высказывание "3 – простое число". Если же вместо х подставляется число 4, то получится ложное высказывание "4 – простое число". Соответственно этому во втором примере, если вместо у подставить "железо", то получится истинное высказывание "железо-металл". Если вместо у подставляется "фосфор", то получится ложное высказывание "фосфор – металл".

Наконец, в третьем примере, если вместо переменной подставить фамилию студента Иванова, то получится истинное высказывание "Иванов – студент". Итак, одни значения переменных удовлетворяют пропозициональным функциям, другие нет, т.е. в первом случае они превращают их в истинные, во втором – в ложные, но в обоих случаях делают их определенными, конкретными высказываниями.
Отсюда легко дать определение пропозициональной функции, под которой мы будем понимать любое выражение, содержащее переменные, которые при подстановке вместо них постоянных превращают выражение в конкретное высказывание.
Здесь просматривается явная аналогия между логическими, пропозициональными и математическими функциями. Но аналогия не означает тождества, так как в пропозициональной функции вместо переменных можно подставлять имена не только чисел, но и любых нематематичесих объектов, как показывают второй и третий примеры. С этой точки зрения пропозициональная функция является более глубокой абстракцией, чем математическая функция, хотя и аналогична ей.

Чтобы превратить пропозициональные функции в подлинные высказывания, можно, во-первых, придать переменным конкретные значения, как это было показано выше; во-вторых, можно пойти по линии квантификации высказываний. Для пояснения обратимся к примеру. Выражение

x + y = y + x

Можно превратить в конкретное высказывание, если вместо переменных х и у взять определенные числа. Но можно получить высказывание общего характера, если мы свяжем переменные кванторами, которые показывают, что рассматриваемое тождество выполняется для всех чисел. Поэтому мы можем записать его в следующей форме:

(х )(у )(х + у = у + х ),

Где (х) и (у) обозначают кванторы общности, которые часто называют также универсальными кванторами. Эта формула выражает истинное общее высказывание, известное как коммутативный (переместительный) закон для сложения, который обычно словесно передают так: сумма не меняется от перестановки слагаемых.

С помощью высказываний с универсальным квантором формулируются общие законы науки, в частности математические законы, теоремы и их следствия. Обратите внимание, что термин "универсальный" относится только к общим высказываниям определенной предметной области, например, математики, физики, экономики и других наук. Очевидно, что даже в математике не все высказывания имеют универсальный характер. Например, формула х + у = 5 удовлетворяется только при определенных числовых значениях переменных, а именно только тогда, когда х = 1 и у = 4, или х = 2 и у = 3, или х = 3 и у = 2, или

х = 4 и у = 1. Поэтому нельзя утверждать, что данное равенство выполняется для всех чисел. Можно лишь сказать, что существуют числа, которые удовлетворяют равенству х + у = 5. Вместо слов " существуют числа х и у" можно ввести квантор существования. Тогда указанное равенство можно представить в такой символической форме:

(Ех ) (Еу ) (х + у = 5),

Где (Ех) и (Еу) – кванторы существования.

В традиционной логике эти высказывания называют частными суждениями. Такие суждения оцениваются как истинные или ложные.

Таким образом, один из способов образования высказываний состоит в том, что сначала мы составляем пропозициональную функцию, где фигурируют соответствующие переменные, а затем связываем их кванторами общности и существования. Благодаря этому получаются общие и частные высказывания.

Принципиально другой путь образования сложных (составных) высказываний состоит в объединении двух или нескольких простых высказываний с помощью логических операторов или связок, которые выражаются терминами "и", "или", "если, то" и др. Этот способ напоминает грамматический прием образования сложных предложений путем использования сочинительных и подчинительных союзов. Так, в предложении "Заря сияла на востоке, и золотые ряды облаков, казалось, ожидали солнце", тоже употребляется союз "и", связывающий два простых предложения.

Однако логические связки отличаются от грамматических союзов тем, что они объединяют суждения не по их смыслу, а только по значению их истинности. В отличие от этого грамматические союзы соединяют предложения по их смыслу, придавая сложному предложению определенный целостный, единый смысл.
Таким образом, при логическом объединении высказываний абстрагируются от конкретного содержания и смысла высказываний. Поэтому с точки зрения обыденного сознания некоторые логические операции кажутся явно парадоксальными. Именно поэтому начинающие изучать логику здесь сталкиваются с наибольшими трудностями. Чтобы их преодолеть, необходимо с самого начала понять, что логический подход является более общим, и потому он не может учитывать все конкретные особенности употребления союзов в грамматике.

3.4. Основные логические операции над высказываниями

Прежде чем перейти к определению логических операций и связок, посредством которых образуются сложные высказывания из простых, необходимо руководствоваться следующими допущениями.

1. Любое высказывание в классической логике имеет одно и только одно из двух значений истинности – "истину" или "ложь". С этой точки зрения истинностное значение будущих событий остается неопределенным.

2. Значение истинности сложного высказывания зависит исключительно от истинностных значений входящих в него простых высказываний. Поэтому истинностное значение сложного высказывания представляет собой функцию истинности от образующих его простых высказываний.

3. При образовании сложных высказываний учитывается лишь истинностное значение входящих в него простых высказываний, а не их смысл.

Определение логических операций

Простейшей из логических операций являетсяотрицание, с помощью которого из данного высказывания образуется противоречащее ему высказывание. В обычном языке операция выражается словами "неверно, что" или просто "не", в символическом – знаком отрицания, поставленным перед высказыванием. Если дано высказывание х, то его отрицание будет - x . В обычной речи отрицание чаще всего стоит перед глаголом и именной частью сказуемого. Например, отрицанием высказывания "2 есть четное число" будет высказывание "Неверно, что 2 есть четное число", которое ложно. Отрицая его, получим высказывание "Неверно, что 2 не есть четное число", которое равнозначно высказыванию "2 есть четное число". Это означает, что двойное отрицание приводит к первоначальному высказыванию. Обратите внимание, что высказывание, полученное путем отрицания первоначального, является противоречащим ему, т.е. оно отрицает нечто, но не утверждает что-то. Так, когда мы говорим, что "этот лист бумаги не белый", то не утверждаем, что он зеленый, синий или фиолетовый.

Для определения отрицания используется матрица (таблица) истинности, в которой в левой колонке даются два значения истинности ("истина" и "ложь") первоначального высказывания, а в правой колонке – его отрицания (табл.1). Истинность высказывания будет обозначаться буквой "и" или числом 1, ложь – буквой "л" и числом 0.

Если высказывание истинно, то противоречащее ему высказывание будет ложно, и, наоборот, если высказывание ложно, то противоречащее высказывание будет истинно.

Конъюнкция (логическое произведение) двух или нескольких простых высказываний образуется путем их объединения логической связкой "и". Например, если обозначить одно из простых высказываний буквой х, а другое – у, тогда их конъюнкцией будет сложное высказывание "х и у" или "х  у", где знаком  обозначен конъюнктивный оператор (логическая связка). Простые высказывания, входящие в сложное, называются конъюнктивными членами.

Конъюнкция будет считаться истинной, если и только если все ее конъюнктивные члены будут истинными. Наличие хотя бы одного ложного члена превращает всю конъюнкцию в ложное высказывание. Исходя из этого нетрудно построить таблицу истинности для конъюнкции (табл. 2).

Дизъюнкция (логическая сумма) двух или нескольких простых высказываний образуется путем объединения их логической связкой "или". Союз "или" в языке чаще всего употребляется в исключающем смысле, когда происходит выбор между двумя альтернативами: либо одно, либо другое. Реже используется этот союз в неисключающем смысле, т.е. выражается словом "а также". В логике и математике связка "или" употребляется преимущественно в неисключающем смысле. Так, например, дизъюнкция "2 меньше 3 или 3 меньше 5" понимается в неисключающем смысле, так как не только 2, но и 3 меньше 5.

Неисключающая дизъюнкция считается ложной в том и только в том случае, когда все ее дизъюнктивные члены будут ложными. Поэтому достаточно одного истинного члена, чтобы дизъюнкция была истинной. Исключающая дизъюнкция истинна тогда, когда только один из ее членов является истинным, а другой – ложным. Она будет ложной, если оба ее члена одновременно истинны либо ложны. Оператор дизъюнкции обозначается символом  – для неисключающей дизъюнкции и символом  – для исключающей дизъюнкции.

Учитывая принятые соглашения, мы можем построить таблицы истинности (табл. 3) для неисключающей (слева) и исключающей (справа) дизъюнкции.

Операцияимпликации состоит в образовании сложного высказывания из двух простых высказываний посредством логической связки, обозначаемой словами "если..., то... " и приблизительно соответствующей условному предложению в естественном языке. В логике эту связку называют импликацией, и мы будем обозначать ее стрелкой.

Условное высказывание состоит из двух простых высказываний. То из них, которое вводится словом "если", называется антецедентом (предыдущим высказыванием), а также основанием, а начинающееся словом "то" – консеквентом (последующим высказыванием) или следствием условного высказывания.

В науке и повседневном мышлении условные высказывания употребляются для установления связи между высказываниями, которые могут иметь различную форму. С помощью понятий антецедента и консеквента определяются необходимые и достаточные условия. Так, антецедент есть достаточное условие (основание) для консеквента (следствия). Например, в высказывании "Если треугольник имеет равные стороны, то и все его углы будут равны" условие равенства сторон служит достаточным условием (основанием) для следствия – равенства его углов. Одновременно с этим можно сказать, что следствие является необходимым условием для основания, так как "Равенство углов треугольника есть необходимое условие для равенства его сторон".

В обычной речи часто не проводят различия между основанием и следствием, как логическим отношением, и причиной и следствием, как отношением реального мира. Убедиться в наличии причинной связи можно лишь путем конкретного исследования явлений окружающего нас мира. Если одно явление вызывает или порождает другое явление, то первое из них мы называем причиной, а второе – следствием. Так, нагревание стержня – причина – вызывает его удлинение – следствие. Эту зависимость мы устанавливаем эмпирически – путем наблюдения и измерения. Логическое отношение между основанием и следствием не нуждается в эмпирическом исследовании, так как устанавливается с помощью чисто логических рассуждений. В нашем примере равенство углов равностороннего треугольника выводится как геометрическая теорема.

Условные высказывания употребляются для выражения самых разнообразных отношений между высказываниями, но не во всех случаях при этом учитывается их содержание и смысл. В современной логике обращается внимание исключительно на связь между высказываниями по значению их истинности, потому что задача логики состоит в том, чтобы гарантировать истинность заключения из истинных посылок, а для этого необходимо перенести истинность с посылок на заключение. В связи с этим в логической импликации абстрагируются (отвлекаются) от содержания и смысла и обращают внимание только на связь высказываний по значению их истинности. В результате можно рассматривать импликации, которые выглядят бессмысленными и парадоксальными с точки зрения обычного, здравого смысла. Например, "Если 2 х 2 = 5, то Москва – большой город" считается не только допустимой, но и истинной импликацией.
Таким образом, импликация учитывает все случаи распределения значений истинности и считается ложной только тогда, когда ее антецедент истинен, а консеквент ложен.
Например, импликация "Если 2 х 2 = 4, то Москва – небольшой город" является ложной, так как ее антецедент – истинное высказывание, а консеквент – ложное.
Отсюда ясно, что импликация выражает важнейшее свойство правильных рассуждений. Известно, что из истинных посылок нельзя получить ложное заключение, если рассуждать правильно. Этот фундаментальный принцип лежит в основе всей дедуктивной логики и сохраняется при определении операции импликации.
Распределение значений истинности высказываний для импликации представлено табл.4, где стрелка обозначает импликацию.

Резкое расхождение между употреблением условных высказываний в естественной речи и современной логике породило немало споров и дискуссий, в которых логиков обвиняли в том, что они не учитывают смысловой связи между высказываниями, и поэтому приходят к бессмыслице. Но как уже подчеркивалось выше, логики рассматривают условное высказывание только как импликации, т.е. с точки зрения значений истинности антецедента и консеквента. Импликация является операцией формализованного языка, а не конкретным условным высказыванием, которое может пониматься по-разному в различных контекстах (причинная связь, отношение между достаточными и необходимыми условиями, связь основания и следствия и т.п.). Когда не учитывается различие между формализованным и естественным языком, междуимпликативным и условным высказываниями, тогда неизбежно возникают п а р а д о к с ы импликации, наиболее известные из которых связаны с отождествлением импликации с логическим следованием. Тот факт, что в импликации истинный консеквент получается из любого антецедента – истинного и ложного, стали истолковывать как утверждение, что истина с л е д у е т и з ч е г о у г о д н о. Или другими словами, что ложный антецедент имплицирует любой – истинный или ложный – консеквент, начали интерпретировать как утверждение, что из ложного высказывания следует любое высказывание. Но эти утверждения не согласуются с нашими интуитивными представлениями, и поэтому выступают как парадоксы так называемой материальной импликации. В последние десятилетия были предприняты усилия по преодолению этих парадоксов и поиску таких логических понятий, которые более адекватно отразили бы смысловую связь в условных высказываниях. Весь вопрос, однако, состоит в том, как выявить такую связь в общем виде, независимо от конкретного содержания антецедента и консеквента. Во всяком случае импликации, претендующие на отображение смысла, будут заведомо более узкими, чем понятие материальной импликации.

Операцияэквивалентности объединяет два высказывания, имеющие одинаковые значения истинности. Следовательно, будут эквивалентными, с одной стороны, истинные высказывания, а с другой – высказывания ложные. В противном случае высказывания считаются не эквивалентными. Исходя из этого легко построить таблицу истинности для эквивалентности, символом которой служит стрелка с противоположными концами (табл. 5).

Эквивалентность можно выразить на естественном языке словами "если и только если", и в таком виде она часто встречается в формулировке научных определений.

Кроме табличного определения логические операции (за исключением отрицания) можно определить через другие, с обязательным использованием отрицания. Действительно, применив табличный метод (табл. 6), можно убедиться, что выражения (х?у) и (¬y ? ¬x ) будут эквивалентными, т.е. (х?у) ? (¬у?¬ x ).

Каждая строка первой импликации и второй конверсной (обратной), полученной перестановкой отрицаний консеквента и антецедента первой, совпадают друг с другом. Следовательно указанные импликации будут эквивалентны.

С помощью таблиц истинности можно проверить, что и остальные логические операции можно определить через Другие две, причем второй операцией всегда будет отрицание. Например, дизъюнкцию можно выразить через конъюнкцию: (х  у) ? (¬ x  ¬y ).

Способ установления истинности сложных высказываний, образованных из простых с помощью таблицы, был предложен американским логиком Ч.С. Пирсом и оказался весьма удобным. Как мы видели, этот способ основывается на комбинации значений истинности простых высказываний и последующего определения истинности сложных высказываний, образованных с помощью операций отрицания, конъюнкции, дизъюнкции и импликации. Например, когда имеется два высказывания, то число различных комбинаций из их значений истинности будет равно 4, при трех – 8, при четырех – 16, а следовательно, при заданном числе п оно равно 2ⁿ. Отсюда нетрудно заметить, что определение истинности сложного высказывания сводится в сущности к вычислению ее на основе значений истинности простых высказываний. Это впечатление усилится, если мы обозначим истину как 1, а ложь как 0 и будем их комбинировать, чтобы образовать отрицание, конъюнкцию, дизъюнкцию и т.д. В качестве иллюстрации вычислим значение истинности следующего выражения: (х  y ) ? (x  z ).


При некотором навыке процесс вычисления можно ускорить, обратив главное внимание на основную операцию, которая связывает две части формулы. В приведенном примере (табл. 7) достаточно заметить, что ложная импликация возникает при истинном антецеденте и ложном консеквенте. Отсюда легко определить возможные значения х и у в дизъюнкции (х  у), а также значения х и z в конъюнкции (х  z ). Такой сокращенный способ вычисления истинности сложного высказывания основывается на установлении главной логической операции в рассматриваемой формуле.

Законы логики высказываний

Такие законы представляют собой тождественно истинные высказывания, т.е. высказывания, остающиеся истинными при любых значениях входящих в них простых высказываний. В справедливости этого утверждения можно убедиться опять-таки с помощью таблиц истинности. В принципе все тождественно истинные высказывания являются законами логики (или исчисления высказываний). Мы перечислим только основные из них.

Закон тождества : если х, то х, т.е. х? х.

Закон упрощения: если х и у, то х, т.е. х  у?х. То же самое относится к другому конъюнктивному члену:

x  y ? y

Закон эквивалентности: если из х следует у, а из у следует х, тогда высказывания эквивалентны, т.е.

x ? y .

Закон гипотетического силлогизма: если из х следует у, а из у следует z, то из х следует z , т.е.

((x ? y )  (y ? z )) ? (x ? z )

Закон двойного отрицания: если из х следует не-х, то отрицание последнего приводит к первоначальному высказыванию:

¬ (¬x ) ? x

Законы О. де Моргана дают возможность переходить от конъюнкции к дизъюнкции и, наоборот, от дизъюнкции к конъюнкции. Они служат удобным средством для преобразования высказываний:

А) отрицание конъюнкции высказываний эквивалентно дизъюнкции из отрицаний конъюнктивных членов:

¬ (x  y ) ? (¬x  ¬y )

Б) отрицание дизъюнкции эквивалентно конъюнкции отрицаемых членов дизъюнкции:

¬ (x  y ) ? (¬x  ¬y )

Закон "поглощения": конъюнкция или дизъюнкция одинаковых высказываний эквивалентна самому высказыванию, т.е. повторяющийся член "поглощается":

(x x ) ? x и (x  x ) ? x .

Коммутативные законы для конъюнкции и дизъюнкции разрешают перестановку их членов:

(x  y ) ? (x  y ) и (x  y ) ? (y  x ).

Ассоциативные законы для конъюнкции и дизъюнкции позволяют по-разному сочетать члены, т.е. по-иному расставлять скобки:

x  (y  z ) ? (x  y )  z или x  (y  z ) ? (x  y )  z .

Закон контрапозиции разрешает прямую импликацию заменять обратной, в результате чего антецедент первой заменяется отрицанием консеквента второй, а ее консеквент – отрицанием антецедента. Проще говоря, при контрапозиции происходит перестановка членов импликации или их контрапозиция, но они берутся с отрицаниями:

(x ? y ) ? (¬y ? ¬x )

Закон противоречия: два противоречащих друг другу высказывания, т.е. высказывание х и его отрицание не-х, не могут быть вместе истинными:

(x  ¬x )

Поскольку этот закон запрещает противоречия в рассуждении, то его часто называют также законом непротиворечия, и последнее более правильно.

Закон наслюненного третьего: из двух противоречащих друг другу высказываний только одно является истинным. Тогда второе будет ложным и никакой третьей возможности не существует

x  ¬x

Все эти законы можно непосредственно проверить с помощью таблиц истинности, но их желательно запомнить, чтобы каждый раз не обращаться к построению таблиц. Можно было бы привести и другие законы, которые иногда применяются в рассуждениях, но они играют значительно меньшую роль. В принципе таких законов может быть бесчисленное множество. Все они должны содержать только переменные и логические постоянные и быть истинными в любой области (универсуме) рассуждения. При этом предполагается, что данная область непустая. В логике высказываний к постоянным относят логические коннекторы (связки), с помощью которых образуются сложные высказывания, а переменными являются простые высказывания.

Все перечисленные выше законы служат основой для правильных рассуждений, ибо опираясь на них, никогда нельзя получить ложного заключения из истинных посылок. Поэтому любое последовательное, непротиворечивое и правильное мышление всегда осуществляется в соответствии с законами логики, сознаем мы это или нет. В то же время среди перечисленных законов необходимо выделить самые основные, которые обычно называются законами логики. К ним относятся законы тождества, противоречия и исключенного третьего, о которых пойдет речь в гл.6.

Все законы исчисления высказываний, как в этом можно убедиться с помощью таблиц истинности, являются тождественно истинными (общезначимыми формулами). Какие бы истинностные значения не придавались входящим в них высказываниям, в конечном счете формула оказывается всегда истинной. Вот почему эти законы явно или неявно применяются в любом рассуждении, ибо именно с их помощью становится возможным преобразовать и упрощать имеющуюся информацию и приходить к определенным заключениям. Поясним это на примере закона контрапозиции. Если нам известно, что "треугольник х равнобедренный", то отсюда следует высказывание у, утверждающее, что "углы при его основании равны". Но если эти углы не равны, то по закону контрапозиции можно заключить, что "треугольник не является равнобедренным", т.е. (х ? у ) ? (¬y ? ¬x ). Таким образом, этот вывод мы получаем чисто логически, не прибегая, например, к доказательству методом от противного.

Отсюда непосредственно видно, что законы логики высказываний, во-первых, облегчают наши рассуждения, во-вторых, значительно упрощают их, в-третьих, делают их более точными и удобозримыми, ибо с символами и формулами обращаться легче, чем с менее определенными и неточными словесными формулировками.

Поскольку законы исчисления высказываний являются такими же общезначимыми по своему характеру, как и основные законы логики, то в принципе они ничем не отличаются от них. Если мы продолжаем отличать их от основных законов логики, то это скорее дань традиции, хотя для характеристики разных систем такое различие продолжает сохранять свое значение. Так, конструктивную логику мы отличаем от классической по отсутствию в ней закона исключенного третьего.

3.5. Логическое следование

Основная задача логики состоит в том, чтобы исследовать, какие следствия вытекают из данных утверждений, например, какие теоремы в математике следуют из принятой системы аксиом. Интуитивно мы можем выводить заключения, не обращаясь к логической символике и технике и даже ясно не сознавая те логические правила, которыми неявно пользуемся. Однако в более трудных случаях интуитивных возможностей оказывается недостаточно, в особенности когда приходится проверять рассуждения и анализировать ошибки. Даже в простейших случаях можно допустить ошибку, как показывает следующий пример.

"Если не будет дождя (¬Д), то он придет на встречу (В)". Пошел дождь, значит он не придет на встречу (¬В). Переведем эту словесную формулировку на логический язык исчисления высказываний и тогда получим формулу:

((¬Д? В)  Д)) ? ¬В (1)

Чтобы проверить правильность заключения, построим для него таблицу истинности (табл. 8).

Хотя заключение словесного рассуждения кажется на первый взгляд верным, но оно логически не следует из посылок, в чем можно убедиться, если сравнить значение истинности посылок формулы (1) со значением истинности заключения. Если бы заключение логически следовало из посылок, тогда при одновременной истинности посылок (¬Д ? В) в первой строке табл. 8 и Д заключение ¬ В в последнем столбце этой же строки должно быть истинным, а оно ложно. Но фундаментальный принцип логики постулирует, что из истинных посылок нельзя вывести ложного заключения. Это и показывает, что рассматриваемое заключение не следует из посылок. Ведь не исключается возможность, что несмотря на дождь, человек может прийти на встречу.

Отсюда становится ясным, что установить логическое следование одного высказывания или формулы из другого можно с помощью построения таблицы истинности всех входящих в формулы простых (элементарных) высказываний, которые называют атомарными (или просто атомами). В противоположность этому сложные (составные) высказывания, построенные с помощью логических связок, рассматривают как молекулярные. Если будет установлено, что при одновременной истинности посылок заключение окажется также истинным, то это дает основание сказать, что данная формула или высказывание логически следует из другой или других, т.е. заключение следует из посылок. В противном случае, как мы видели в предыдущем примере, заключение логически не следует из посылок.

Теперь дадим общее определение логическому следованию в исчислении высказываний. Обозначим через заглавные буквы латинского алфавита молекулярные высказывания А и В, состоящие из атомарных (элементарных) высказываний х 1 , х 2 , x 3 ,..., x n . Тогда говорят, что "Вследует из А или являетсяследствием А", когда в таблицах истинности для А и В формула В имеет значение "истина" во всех тех строках, где А имеет значение "истина". Символически следование обозначается знаком " | =", например А | = В.

Если из А логически следует В, а из В следует А, т.е. А | = В и В | =А, то в этом случае высказывания А и В будут логически эквивалентными.

Обратимся теперь к другому случаю и определим, например, следует ли формула х  у из формулы (х ? у )  (x  ¬ y ). Для этого снова построим таблицу их истинности (табл. 9).

Однако в этой таблице ни в одной строке высказывания х ? у и х  ¬у не являются одновременно истинными, а потому их конъюнкция будет ложной. Но импликация из ложного высказывания считается истинной. Можно сказать поэтому, что из рассматриваемой формулы следует не только дизъюнкция х  у, но и любая другая формула. Такой парадоксальный результат объяснить нетрудно. Дело в том, что формула (х ? у )  (х  ¬у ) представляет собой логическое противоречие, в чем можно убедиться, если выразить ее вторую часть через импликацию, т.е. (х  ¬у ) ? ¬(x ? y ). Отсюда непосредственно видно, что второй член конъюнкции является отрицанием первого члена: (х ? у )  ¬(х ? ¬у ).

Такого рода высказывания, в котором одно из них что-то утверждает, а другое одновременно отрицает это, называются контрадикторными (противоречащими). Согласно известному нам закону непротиворечия подобные высказывания недопустимы в рассуждении, ибо из логически противоречивого утверждения следует любое высказывание: истинное или ложное.

Часто противоречивые высказывания называют также несовместными, потому что из несовместных высказываний логически следует противоречие.

Несовместность (противоречивость) высказываний, которая иногда встречается в рассуждениях, приводит к тому, что в нем оказываются допустимыми как истинные, так и ложные заключения. Именно этим обстоятельством широко пользовались античные софисты, стремившиеся обеспечить себе победу в споре любой ценой, в том числе и путем нарушения законов логики. Очевидно, что для этого они маскировали свои утверждения, ибо в противном случае оппоненты и слушатели всегда могли изобличить их в явных противоречиях. Однако никто не застрахован от противоречий и ошибок, но следует различать ошибки преднамеренные (сознательные) и ошибки не преднамеренные (неосознаваемые). Если первые, которые часто называют софизмами, следует разоблачать, то вторые, именуемые паралогизмами, необходимо исправлять. Но в обоих случаях логика служит надежным инструментом для анализа и раскрытия ошибок, и в особенности определения правильности логического следования заключения из его посылок.

В первом примере ошибочное заключение было связано с недостаточной точностью его словесной формулировки, во втором примере – противоречие было замаскировано другой формой символической записи второй части формулы. Ясно, что если бы противоречие было записано в виде: (х ? у ) и ¬(x ? у ), то сразу стало бы видно, что здесь перед нами противоречие, из которого, как теперь мы знаем, следует любое заключение: истинное, ложное и даже абсурдное. Нельзя, однако, считать, что противоречия раскрываются так легко. Как будет показано в гл. 6, противоречия зависят от ряда условий, выполнение которых обязательно для того, чтобы характеризовать их как противоречия, в частности чтобы высказывания, из которых одно отрицает другое, характеризовали предмет мысли в одно и то же время и в одном и том же отношении. С течением времени наши знания изменяются, и поэтому высказывания, которые характеризовали явления, также могут измениться и перестать противоречить друг другу.

Легко заметить, что все рассмотренные выше контрадикторные (противоречащие) высказывания могут быть представлены с помощью общей формулы (А  ¬А ), где члены конъюнкции А и ¬А являются выражениями метаязыка, т.е. языка, на котором мы говорим об объектном (предметном) языке. Метаязык служит для представления высказываний, которые выражаются с помощью переменных х 1, х 2, х 3,..., x n. В дальнейшем формулы метаязыка будут применяться всякий раз, когда нам придется говорить о предметном языке, чтобы не загромождать изложение и не выписывать формулы этого языка.

Итак, любые сколь угодно сложные высказывания, которые могут быть представлены в форме конъюнкции утверждения и его отрицания, т.е. как А  ¬А , представляют именно противоречие. Поэтому при любой комбинации входящих в них высказываний по истинностному их значению ("истина" или "ложь") будут приводить к ложному заключению. Другими словами, функция-высказывание, образованное из элементарных высказываний, всегда будет иметь своим значением "ложь". Поскольку из ложного утверждения можно получить как истину, так и ложь, постольку основной закон логики – закон непротиворечия – запрещает использовать противоречивые высказывания или формулы в рассуждении. Этот запрет выражается в требовании непротиворечивости рассуждения, которую часто называют также требованием совместимости (связности) рассуждения.

Если формула (А  ¬А ) является всегда ложным высказыванием, то ее отрицание, выражающее требование непротиворечивости, напротив, будет всегда истинным высказыванием, общезначимой формулой, или тавтологией, как стали называть такие высказывания вслед за Л. Витгенштейном. Следует, однако, не смешивать языковые тавтологии с логическими. Если в языке тавтология означает повторение той же фразы или предложения текста, то в логике она является тождественно истинным высказыванием. Не следует также путать тождественно истинные высказывания с законом тождества, который выражается формулой А ? А , хотя последняя также выражает тавтологию.

Отсюда становится ясным, что тавтологии (тождественно истинные высказывания) можно использовать для представления всех законов логики или любых общезначимых ее формул. Действительно, закон непротиворечия, запрещающий противоречия в рассуждении, можно выразить формулой ¬(A  ¬A ), которая представляет собой тавтологию, в чем можно убедиться, построив для нее соответствующую таблицу истинности (табл. 10). То же самое можно сказать о законе исключенного третьего – (A  ¬A ) (табл.11).

Если из противоречия следует все, что угодно, т.е. "истина" или "ложь", то и тавтология следует из любого истинного или ложного высказывания. В самом деле, если в каждой строке таблицы заключение всегда будет истинным, то по правилу импликации оно может быть получено как из истинных, так и из ложных посылок. Напротив, никогда ложное следствие (противоречие) не может быть получено из истинных посылок.

Промежуточное положение между всегда истинными высказываниями (тавтологиями), с одной стороны, и всегда ложными (противоречивыми) высказываниями, с другой, занимают фактуальные утверждения. Их заключения могут быть как истинными, так и ложными, в зависимости от тех фактов, на которые опираются их посылки. В то время как истинность тавтологий или ложность противоречий может быть установлена чисто логическим анализом этих высказываний, значение истинности фактуальных высказываний требует обращения к действительным фактам. Другими словами, чтобы установить истинность или ложность фактуальных высказываний, необходимо исследовать реальные связи и отношения действительности, которые отображаются в соответствующих высказываниях, служащих посылками фактуальных заключений. На этом основании фактуальные высказывания часто называют также эмпирическими в противоположность аналитическим высказываниям логики и чистой математики. Но это противопоставление имеет относительный характер, ибо и в научных, и в повседневных рассуждениях аналитические высказывания логики применяются вместе с эмпирическими утверждениями, поскольку именно из эмпирических законов мы выводим логические заключения.
Всю новую информацию в науке формулируют с помощью эмпирических (фактуальных) высказываний, а выводы из нее получают с помощью законов (правил) логического следования.

3.6. Доказуемость и выводимость

До сих пор при определении истинности или ложности сложных высказываний, состоящих из простых, мы опирались на таблицы истинности. Но этот способ неудобен, громоздок, особенно когда приходится иметь дело с большим числом простых высказываний. Напомним, что при двух простых высказываниях таблица истинности содержит четыре строки, при трех – восемь, а для 12 высказываний потребовалось бы уже 4096 строк. Вот почему в логике наряду с табличным методом часто используют метод, опирающийся на вывод и доказательство одних высказываний из других.

По своей сути этот метод весьма похож на метод доказательства теорем, который известен из школьной геометрии. Доказательство там сводилось к логическому выводу теорем из аксиом, а также из ранее доказанных теорем, которые принимались в качестве истинных утверждений геометрии. В конечном итоге всякое доказательство сводится к логическому выводу теорем из аксиом, так как ранее доказанные теоремы также можно логически вывести из аксиом. Таким образом, отличие доказательства от логического вывода состоит в том, что при доказательстве мы принимаем посылки в качестве истинных высказываний, а при логическом выводе – в качестве допущений или гипотез. Отсюда становится ясным различие между истинностью и правильностью рассуждения или мышления, о котором шла речь в гл. 1. Истинность утверждения предполагает, во-первых, истинность посылок, из которых оно выводится, и, во-вторых, правильность логического вывода. Вывод может быть сделан из любых допущений, в том числе из ложных.

Хотя процесс доказательства в логике аналогичен доказательствам в математике, но между ними есть и существенное различие; оно заключается в том, что в математике мы имеем дело со специфическими математическими объектами – числами, фигурами, функциями и т.п., а в логике – с высказываниями, т.е. с логическими объектами. Чтобы отличить объекты разного уровня, для представления высказываний в математике используется предметный язык, а для анализа предметного языка – метаязык, на котором формулирует свои утверждения исследователь. Проще говоря, чтобы рассуждать об объектах предметного языка, необходим метаязык, выступающий в качестве языка второго уровня. Это обстоятельство следует всегда иметь в виду в дальнейшем.

Чтобы построить доказательство высказывания или формулы в исчислении высказываний, необходимо:

1) указать те аксиомы или недоказуемые формулы, из которых выводятся все доказуемые формулы или теоремы;

2) точно сформулировать правила вывода теорем из аксиом.

В принципе к аксиомам исчисления высказываний могут быть отнесены все тавтологии (общезначимые высказывания), большинство из которых нетрудно проверить с помощью таблиц истинности. Но обычно ограничиваются перечислением небольшого числа аксиом, из которых стремятся вывести по правилам логики другие общезначимые высказывания (теоремы). Но любую теорему можно считать аксиомой, и из новой системы получить прежнюю аксиому как теорему. Обычно выбор аксиом происходит на основании удобства и целесообразности построения исчисления высказываний. Мы могли бы выбрать в качестве аксиом некоторые из законов исчисления высказываний, приведенные в разд. 3.4.

Кроме аксиом, для вывода теорем необходимы правила вывода. В исчислении высказываний обычно используются два правила: правило отделения и правило подстановки.

Правило отделения (modus ponens – МР) разрешает из двух высказываний вида А и А ? В, как посылок, вывести заключение В. Схематически это правило можно представить так:

А , А ? В

Горизонтальная черта здесь отделяет заключение от посылок. В качестве посылок выступают антецедент А и сама импликация А ? В, заключением служит консеквент импликации. Таким образом, это правило разрешает нам отделить заключение от его посылок как самостоятельное знание. Так, в математике мы постоянно формулируем теоремы без указания тех посылок, из которых они выведены. Если при доказательстве ограничиваются только правилом отделения, тогда для этого необходимо убедиться в истинности посылок и правильности логического вывода. Поскольку в математике посылками служат в конечном счете аксиомы, принимаемые истинными без доказательства, постольку само доказательство сводится к проверке правильности логического вывода. В эмпирических науках, кроме того, необходимо обосновать истинность посылок, которыми могут служить различного рода допущения (эмпирические законы или обобщения, гипотезы, принципы, постулаты или даже целые теории).

Правило подстановки разрешает вместо любой переменной в исчислении высказываний подставлять любое другое высказывание, но для того чтобы получить истинное высказывание в качестве заключения, необходимо, чтобы исходная формула была истинной.

Весьма простая система аксиом для исчисления высказываний была построена Б. Расселом и А.Н. Уайтхедом, а затем усовершенствована Д. Гильбертом. Она состоит из четырех аксиом:

1) x  х ? х .

2) х ? х  у .

3) x  y ? y  x .

4) (х ? у ) ? ((z  x ) ? (z  у )).

Аксиома 1 утверждает, что высказывание истинно, если дизъюнкция этого высказывания с самим собой истинна.

Аксиома 2 означает, что когда высказывание истинно, то к нему можно присоединить любой – истинный или ложный – дизъюнктивный член, так как дизъюнкция будет истинной, если один из членов будет истинным высказыванием.

Аксиома 3 представляет собой закон коммутативности для дизъюнкции.

Аксиома 4 утверждает, что в случае истинности импликации к ее антецеденту и консеквенту можно присоединить любой дизъюнктивный член, ибо он не повлияет на истинность импликации. Нетрудно заметить, что во всех формулах, выражающих аксиомы, можно заменить импликацию эквивалентным выражением: (х ? у ) ? (¬х  у ). Обычно для формулировки аксиом используются две логические операции, так как для выражения сложных высказываний их достаточно.

Опираясь на эти аксиомы, с помощью указанных выше правил вывода можно вывести другие истинные высказывания логики высказываний. При аксиоматическом подходе мы не обращаемся к содержательным способам установления истинности высказываний, а, предполагая аксиомы истинными, с помощью правил отделения и подстановки выводим другие истинные заключения. Этот подход можно сделать чисто формальным, если рассматривать аксиомы как исходные формулы, а логические правила вывода как правила преобразования одних формул в другие. Именно так осуществляется формальный вывод и доказательство в математике, но это занимает много времени и требует особого внимания. Однако с помощью производных правил вывода и ранее доказанных теорем процесс формального доказательства можно ускорить, хотя математики на практике не обращаются к формальным доказательствам, пока не сталкиваются с противоречиями либо парадоксами или пока не возникает необходимость в тщательной проверке всех шагов доказательства.

Интересно отметить, что если запрограммировать процесс доказательства теорем, то можно убедиться, что компьютер сравнительно несложные формальные доказательства осуществляет быстрее и точнее человека, подобно тому как он выполняет действия над числами. Преимущество человека над вычислительной машиной выражается не только в понимании совершаемых им действий, но также в том, что он выполняет соответствующие действия крупными блоками, тогда как машина должна осуществить каждый шаг отдельно. Вместе с тем, благодаря огромной скорости быстродействия машина имеет значительное преимущество перед человеком именно при осуществлении рутинных операций и процессов, к которым относятся действия над числами и несложные логические и математические доказательства.

Процессы логического вывода и доказательства имеют много общего с рассуждениями в естественном языке, где также выводят одни высказывания из других, но, правда, при этом явно не указывают логические правила вывода, которыми пользуются, предполагая их известными. Именно это обстоятельство заставило логиков строить исчисления, напоминающие выводы в естественном языке. Нередко поэтому их называют натуральными выводами. Из этих исчислений наиболее известным и признанным считается система натурального вывода, построенная Г. Генценом, появившаяся в 1934 г. Хотя доказательства, основанные на выводе, применял еще Евклид в своих "Элементах" (геометрии), но в логике они стали анализироваться значительно позднее. Трудность здесь состоит в том, что рассуждения, которые осуществляются с помощью естественного языка, трудно переводятся на искусственный язык логики.

3.7. Логический анализ рассуждений естественного языка

Рассуждения проводятся на естественном языке, но когда возникают трудности и неясности, тогда приходится обращаться к их логическому анализу. Такой анализ предполагает перевод с естественного языка на язык логики, в результате чего все связи между предложениями естественного языка заменяются логическими коннекторами (связками), смысл которых точно задан с помощью определений. Так, грамматический союз "и" в логике отображается конъюнкцией, союз "или" – дизъюнкцией и т.д. Но при этом иногда возникает несоответствие между предложениями естественного языка и соответствующими им логическими высказываниями. Мы уже говорили о том, что использование в логике операции дизъюнкции, соответствующей союзу "или" в естественном языке, часто наталкивается на сопротивление, потому что в логике этот союз рассматривается только в более широком, включающем смысле, тогда как в обычной речи или даже в науке он нередко используется в исключающем смысле. Правда, в принципе, исключающий смысл союза "или" в форме "либо – либо" можно выразить с помощью включающего "или" и некоторых других логических операций.

Гораздо больше трудностей, как мы видели, возникает с использованием операции импликации для выражения условных суждений, споры по поводу которого идут до сих пор. Даже такая сравнительно простая операция, как конъюнкция, иногда не передает всех нюансов использования союза "и" в естественном языке. В самом деле, хотя в силу закона коммутативности, конъюнкции (А  В ) и (В  А ) являются эквивалентными, тем не менее в естественном языке они не всегда воспринимаются такими. Например, предложение "Маша вышла замуж и родила ребенка" и предложение "Маша родила ребенка и вышла замуж" понимаются как неравнозначные с точки зрения последовательности событий во времени. Но это различие не может быть выражено адекватно на языке исчисления высказываний. Многие ограничения этого исчисления могут быть сняты с помощью построения более сильных средств логического анализа, в частности, например, в логике предикатов. Однако формализация никогда не может исчерпать всего богатства и возможностей постоянно совершенствующегося и развивающегося естественного языка.

Определенность, точность и однозначность вывода заключений играет существенную роль в процессе аргументации, которая служит важнейшим средством рационально-логического убеждения. Однако даже при письменном представлении аргументации не всегда достигается адекватная передача мысли в слове, суждений – в предложениях. Идеальным был бы такой случай, когда каждому суждению соответствовало бы одно предложение и, наоборот, одно предложение выражало бы одно суждение. Но такого никогда не бывает в действительности. Тем не менее, такой идеал служит для того, чтобы к нему приблизиться, насколько возможно в данных конкретных условиях. Поэтому при логическом анализе аргументации уже на первой стадии стремятся перевести предложения естественного языка на язык высказываний. На этой стадии также устраняются все те предложения и иные языковые выражения, которые не имеют непосредственного отношения к аргументации, а служат большей частью экспрессивными средствами усиления речи. На этой же стадии становится возможным установить, во-первых, какие предложения служат посылками и заключением рассуждения, а во-вторых, как они связаны между собой. Поскольку главная цель логического анализа аргументации – установить правильность и обоснованность рассуждения, то становится необходимым выявить его точную логическую структуру, что может быть достигнуто в полном объеме лишь посредством формализации рассуждения.

В процессе логического анализа приходится также восстанавливать недостающие посылки рассуждения, которые очень часто в естественном языке опускаются в силу их очевидности и общепринятости. Такие рассуждения с сокращенными посылками или заключениями еще Аристотель в своей "Риторике" назвал энтимемами.

В обычной речи ссылки на очевидные посылки и доводы выглядели бы крайне искусственными и потому ненужными, ибо они замедляют процесс общения и обмена информацией. Но то, что воспринимается как ненужный педантизм в обычной речи, не является таковым в логическом анализе рассуждений. Поэтому наряду с устранением несуществующих для логического вывода предложений, не фигурирующих ни в посылках, ни в заключении или не связанных с ними, вторая задача анализа состоит в восстановлении недостающих посылок, которые кажутся очевидными, но на самом деле могут иметь важное значение для выяснения логической связи между посылками и заключением. Иногда именно ссылка на очевидность служит источником логической ошибки даже в математических рассуждениях, о чем свидетельствуют, как уже отмечалось, многочисленные попытки доказать аксиому о параллельных в геометрии Евклида.
Критический анализ помогает, таким образом, восстанавливать не только недостающие посылки, но и исследовать имеющиеся посылки с точки зрения их логической корректности, устранения логического круга в доказательстве, выявления логических противоречий и т.д.
В процессе аргументации решающее значение приобретает именно критический анализ доводов, или аргументов, выдвигаемых в защиту определенного тезиса, утверждения, мнения или точки зрения. Аргументация будет считаться рациональной и убедительной, если ее заключения логически следуют из тех доводов, которые выступают ее посылками. Цель будет достигнута, если аргументирующий убедит слушателей, читателей или зрителей согласиться с доводами, которые он выдвигает в защиту и обоснование своего тезиса, а также с правильностью вывода заключения из них. В естественном языке – особенно в разговорном – не существует такой четкой и точной структуры рассуждения, как в логике. Кроме того, в долгой цепи выводов могут исчезнуть из поля зрения те исходные доводы, или аргументы, которые служат основой всего рассуждения или доказательства. Даже в длинном письменном рассуждении проследить весь процесс вывода шаг за шагом довольно трудно. Именно поэтому такие рассуждения и доказательства целесообразно разбивать на отдельные блоки, содержащие несколько шагов вывода. Тогда становится возможным более ясно и четко представить и понять весь процесс рассуждения в целом. Такое оперирование блоками, состоящими из нескольких шагов вывода, представляет характерную черту обычного логического мышления, отличающего его от работы любой вычислительной машины, выполняющей все действия с элементами вывода.

3.8. О модальности суждений

В естественном языке суждения могут характеризоваться не только как истинные или ложные, но и с других точек зрения. Такие характеристики содержат дополнительную информацию, которая выражает в одних случаях отношение говорящего к высказываемой мысли, в других – обоснованность знания, содержащегося в суждениях, в третьих – предписание, норму или правило, которые надлежит соблюдать. Подобные дополнительные характеристики выражают различные точки зрения на суждение в зависимости от целей и задач, которые ставит перед собой человек. В процессе аргументации и практических рассуждениях мы интересуемся не только истинностной оценкой суждений, но дополнительно к этому стремимся узнать, насколько убедительны, а значит, обоснованны доводы оппонента в споре, являются ли они логически или фактически истинными и т.д. В этике и юриспруденции интересуются также нормами поведения людей в обществе, выясняют, что запрещено и разрешено этими нормами.

Различные способы оценки суждений в зависимости от поставленных задач и принятой точки зрения выражаются в модальных категориях (от лат. modus – мера, способ, наклонение). Впервые их изучением стал заниматься еще Аристотель, который ввел две важнейшие модальные категории: "необходимо" и "возможно", а также производные от них понятия "не необходимо" и "невозможно". Средневековые логики предложили ряд новых модальных терминов и установили связи между ними. В новое время утвердилась традиция, заложенная И. Кантом, в соответствии с которой стали разделять:

1) проблематические суждения, выражающие мысль, которая может быть истинной только при определенных условиях;

2) ассерторические, характеризующие наличие или отсутствие у предмета некоторого свойства. Частоих называют также суждениями факта;

3) аподиктические, утверждающие истинность суждения независимо от конкретных фактов или условий.

Все законы науки принадлежат к таким суждениям. Подобная классификация долгое время держалась в традиционной логике и до сих пор иногда встречается в литературе.

Систематическое исследование модальных высказываний началось в 50-е годы и в настоящее время превратилось в быстрорастущую ветвь современной неклассической логики. Если раньше модальные понятия формулировались на естественном языке и вследствие этого не всегда воспринимались однозначно, то в современной модальной логике точность и однозначность их понимания обеспечивается использованием идей и методов математической логики. Но это отнюдь не означает, что модальные высказывания сводятся к высказываниям функционально-истинностного характера. Еще Д. Юм заметил, что суждения факта нельзя выразить с помощью суждений долженствования и наоборот. Так, суждение вида S есть Р, т.е. отображающего принадлежность свойства предмету, нельзя представить как утверждение долженствования, обязательности или допустимости. С другой стороны, модальные высказывания допускают применение эффективных и точных методов символической или математической логики к ситуациям, которые характеризуются этими понятиями.

В рамках современной модальной логики рассматриваются следующие виды модальных понятий:

логические модальности, которые выражаются терминами: "логически необходимо", "логически невозможно" и "логически случайно". К логически необходимым относятся логически истинные суждения, которые представляют собой законы логики или логические следствия из них. Суждения, противоречащие законам логики, считаются логически ложными. Они также принадлежат к классу логически необходимых суждений, поскольку характерной особенностью таких суждений является независимость их истинности или ложности от фактического состояния дел. Например, суждение (х  ¬x ) будет всегда истинным, ибо оно выражает закон исключенного третьего классической логики. Аналогично этому, суждение (х  ¬х ) будет всегда ложным, так как является законом противоречия, в связи с чем можно сказать, что такие суждения считаются истинными или ложными в силу логических оснований. В противоположность этому фактически истинными являются суждения, в которых связь между субъектом и предикатом соответствует реальным связям между предметом и его свойством. Если такого соответствия не существует, то суждение будет фактически ложным.

Различие между логической и фактической истинностью играет важную роль в процессе аргументации. Доводы или аргументы представляют собой фактически истинные или ложные суждения, а логические правила вывода основываются на законах логики, и потому относятся к логически истинным суждениям;

эпистемические, (теоретико-познавательные) модальности, относятся к характеристике знания и выражаются в терминах: "доказуемо", "опровержимо", "неразрешимо", "допустимо", "вероятно", "сомнительно", "убедительно" и т.п. Мы можем оценивать, например, в ходе спора или дискуссии доводы оппонента как убедительные или сомнительные или даже определить степень их вероятности. Подобные модальные понятия дают дополнительную информацию о характере знания, содержащегося в суждении, кроме его истины или лжи;

деонтические (нормативные) модальности указывают на тип предписываемых в суждении действий и выражаются в терминах: "разрешено", "не разрешено", "обязательно", "безразлично" и др. Таким образом, в отличие от суждений, в которых описывается какое-либо состояние дел, называемых дескриптивными, в деонтических модальностях предписывается определенный образ действий или поведения. Поэтому такие суждения называют также прескриптивными. Характер предписаний может быть весьма различным, начиная от совета и рекомендации и кончая приказом. Наиболее широкая сфера применения деонтических модальностей – мораль и право. В отличие от норм морали, правовые нормы регулируют общеобязательные правила поведения в обществе, которые формулируются в соответствующих кодексах и постановлениях. Юридическими нормами регулируются имущественные, трудовые, семейные, административные и другие отношения в обществе. Неисполнение требований правовых норм влечет юридические санкции со стороны правоохранительных органов государства. В отличие от этого нарушение моральных норм сопровождается лишь порицанием со стороны общества. Этим объясняется точная кодификация правовых норм, в которых всегда предполагается адресат, на который распространяется норма, характер действия, форма предписания (запрещение, обязанность или разрешение) и юридическая санкция за неисполнение предписания. Соответственно этому правозапрещающие нормы в юридических документах формулируются с помощью деонтических модальностей "запрещается", "не допускается", "нельзя" и т.п. В правообязывающих документах употребляются такие слова, как "обязан", "должен" "необходимо" и т.п.;

аксиологические (ценностные) модальности характеризуют суждения с точки зрения той или иной системы ценностей. Такие оценки чаще всего выражаются с помощью слов "хорошо", "плохо" или "безразлично". В сравнительном отношении используются слова "лучше", "хуже" или "равноценно", а иногда для сравнения вводятся степени предпочтения. Очевидно, что одни аксиологические термины могут определяться через другие, например, "безразличное" можно рассматривать как то, что не является ни хорошим, ни плохим;

темпоральные (временные) модальности, которые характеризуют фактор времени в рассуждениях. Они используются для установления отношений во временных рядах: прошлое, настоящее и будущее, а также раньше, одновременно и позже.

Все перечисленные модальные понятия дают возможность точнее и полнее выразить различные контекстуальные характеристики суждений, зависящие от разного подхода к ним, их роли в познании и практическом действии. Посредством использования символов и формальных методов современной неклассической логики расплывчатые и неопределенные модальные термины естественного языка приобретают необходимую ясность, однозначность и точность.

3.9. Непосредственные умозаключения традиционной логики

Основываясь на исчислении высказываний, можно теперь лучше понять не только механизм непосредственных дедуктивных умозаключений, но и упростить обращение с ними. Такие умозаключения состоят всего из одной посылки, и поэтому вывод из нее получить весьма просто.

В качестве первого шага рассмотрим отношения между суждениями, которые могут быть представлены как вершинылогического квадрата (рис. 8). Обозначим буквой А общеутвердительные суждения (начальная буква греч. слова affirmo – утверждать), общеотрицательные суждения обозначим буквой Е (первая гласная буква в слове (nego – отрицать), буквой О обозначим частноотрицательные суждения (вторая гласная в слове (nego) и буквой I – частноутвердительные суждения (вторая гласная в слове affirmo). Пользуясь таким квадратом, можно установить различные логические отношения между перечисленными суждениями и выводить частные суждения из общих. Соответственно этому между общими и частными суждениями устанавливается отношение подчинения, которое изображается вертикальными сторонами квадрата. Общеутвердительное и общеотрицательное суждения связаны отношением контрарности (противности), которое изображается верхней горизонтальной стороной квадрата. Каждое из этих общих суждений может быть получено путем логического отрицания другого. Частноотрицательное и частноутвердительное суждение связаны отношением субконтрарности, которое представлено нижней горизонтальной стороной квадрата. Диагонали логического квадрата связывают общеутвердительное суждение с частноотрицательным и общеотрицательное с частноутвердительным суждением.

Обратимся теперь к рассмотрению непосредственных дедуктивных умозаключений традиционной логики.

Превращение является непосредственным выводом, в котором заключение получается путем изменения качества посылки. Если посылка – утвердительное суждение, то в результате превращения оно становится отрицательным суждением. Отрицательное суждение, наоборот, превращается в утвердительное. Например, суждение "Все металлы – проводники электричества" превращается в отрицательное "Ни один металл не является неэлектропроводным". В нашем примере общеутвердительное суждение становится общеотрицательным, что можно представить схемой:

Все А есть В. _________

Ни одно А не есть не-В .

Подобным же образом частноутвердительное суждение превращается в частноотрицательное по схеме:
Некоторые В есть С.

Некоторые В не есть не - С.

Аналогично происходит превращение общеотрицательных суждений в общеутвердительные и частноотрицательных – в частноотрицательные, как видно из следующих схем:

Ни одно А не есть В. ____

Все А есть не-В .

Некоторые В не есть С .

Некоторые В есть не-С .

Как нетрудно заметить, умозаключения во всех этих случаях основываются на законе двойного отрицания и взаимосвязи между кванторами "все" и "некоторые", о которых речь пойдет в следующей главе. Здесь же заметим, что двойное отрицание оставляет качество суждения неизменным. В языковом выражении суждения одно из отрицаний становится отрицанием предиката, поэтому для проверки правильности превращения утвердительного суждения в отрицательное достаточно представить их в символической форме.

Обращение представляет собой такой вид непосредственного умозаключения, в котором вывод получается путем перестановки предиката посылки на место субъекта, а субъекта – на место предиката. При этом в общем случае происходит уточнение количества суждений. Так, суждение "Все кролики – млекопитающие" обращается в суждение "Некоторые млекопитающие – кролики", поскольку класс млекопитающих гораздо больше подкласса кроликов. Этот вывод мы получаем на основе знания содержания высказываний. Но можно абстрагироваться от этого содержания, заметив, что предикат в таких умозаключениях является распределенным, и потому составляет лишь часть объема субъекта:

Все S есть Р. _______

Некоторые Р есть S.

Другой вид обращения, называемый иногда "чистым", происходит тогда, когда объемы субъекта и предиката совпадают. С такими случаями мы встречаемся при определении понятий. Так, в суждении "квадрат есть равносторонний прямоугольник" объемы субъекта и предиката одинаковы, так как объемы определяемого и определяющего понятий должны быть соразмерными (см. гл.2).

Противопоставление предикату – такой вид непосредственного умозаключения, в котором субъектом вывода служит понятие, противоречащее предикату. Например, суждению "Все параллельные на плоскости не пересекаются" противопоставляется суждение "Все непараллельные линии пересекаются". Такой вид умозаключения, как мы уже знаем, можно представить в виде контрапозиции условных высказываний:

(S ? P) ? (¬Р? ¬S).

Как видно из сказанного выше, некоторые виды непосредственных умозаключений традиционной логики, такие, как контрапозиция, превращение, легко переводятся на символический язык исчисления высказываний. Но уже операция обращения, когда приходится анализировать структуру связи между субъектом и предикатом и вводить кванторы общности и существования, не допускает перевода на простой язык исчисления высказываний, в котором высказывания рассматриваются как единое целое и анализируются лишь с точки зрения их истинности и ложности. В связи с этим и возникает необходимость исследования логической структуры суждений как атрибутивных, так и реляционных, характеризующих отношения между предметами. Одновременно с этим для количественной характеристики суждений должны быть введены кванторы общности и существования.

Тем не менее представление суждений в виде высказываний, лишенных внутренней структуры и оцениваемых в целом как истинные и ложные, играет существенную роль в построении самой логики. Во-первых, некоторые простейшие виды рассуждений или умозаключений можно свести к исчислению, опирающемуся только на оценку истинностного значения высказываний. Во-вторых, такой подход является весьма полезным с методической точки зрения, ибо опираясь на него, можно по аналогии строить более сложное исчисление предикатов, в котором учитывается внутренняя логическая структура суждений. В-третьих, исчисление высказываний при таком подходе можно рассматривать, с одной стороны, как исходную базу для построения исчисления предикатов, а с другой – как частный случай исчисления предикатов. Наконец, в-четвертых, новое исчисление предикатов охватывает не только классическую логику с субъектно-предикатной структурой суждений, но позднее возникшую логику отношений.
Проверьте себя

1. Какие из перечисленных ниже предложений выражают суждения?

1) Кто сегодня дежурный.

2) Иванов – дежурный.

3) Сперва подумай, а потом отвечай.

4) Можно ли правильно ответить, не подготовившись к занятию?

5) Человека узнают не по речам, а по делам.

2. Определите качество и количество следующих суждений.

1) Один в поле не воин.

2) Кит не рыба.

3) Ромб – равносторонний параллелограмм.

4) Три девицы под окном пряли поздно вечерком.

5) Большинство студентов своевременно сдают зачеты.

6) Несколько дней он был болен.

3. Какие из следующих выражений будут функциями-высказываниями:

1) х – адвокат.

2) х + 5 = 12.

3) х >3.

5) х – брат Миши; Георгий брат Миши.

6) Точка В лежит между точками А и С.

7) Точка Х находится левее точки А.

8) Кто-то вошел в дом; х причина у.

9) Утечка газа – причина взрыва.

4. Переведите следующие предложения на символический язык, обозначив каждое простое суждение буквой, а сложное суждение – формулой. Определите, какие из полученных формул выражают конъюнкцию, а какие дизъюнкцию.

1) "Долго ль мне гулять на свете то в коляске, то верхом, то в кибитке, то в карете, то в телеге, то пешком" (А. С. Пушкин).

2) "Однажды лебедь, рак и щука вести с поклажей воз взялись" (А. И. Крылов)

3) Знание и ремесло человека красят.

4) "Вот оно что, петушок красный гребешок, – сказал осел, – эх, ступай-ка ты лучше с нами, мы идем в Бремен, – хуже смерти все равно ничего не найдешь; голос у тебя хороший, и если мы примемся вместе с тобой за музыку, то дело пойдет на лад" (Братья Гримм).

5. Почему конъюнкцию опровергнуть легче, чем дизъюнкцию? Обоснуйте свой ответ и приведите примеры.

6. Переведите условные предложения на символический язык.

1) "Еще бы ты более навострился, когда бы у него немножко поучился" (И. А. Крылов).

2) "Заяц, ежели его бить, спички может зажигать" (А. Чехов).

3) Назвался груздем – полезай в кузов.

4) Диаметр делит круг пополам.

5) Если треугольник равнобедренный, то углы при его основании равны.

7. С помощью таблиц истинности определите истинностное значение следующих формул:

1) (А? В) ? В;

3) (А? В) v В; А v (¬5 ? В).

8. Являются ли эквивалентными следующие формулы:

1) (х? у) и (¬у? ¬х); ¬(х v у) и (¬х? ¬у);

2) (х? у) и (у? х; ¬х и (¬(¬х).

9. С помощью таблиц истинности проверьте, являются ли тавтологиями следующие формулы:

1) (А v В) ? А;

2) (А? В) ? (¬A v B);

3) (А? В) ? (В? А); А v А; А v В.

10. Является ли конъюнкция (А? В) ? (А? ¬В) противоречием?

11. Чем отличаются фактуальные высказывания от тавтологий и противоречий? Определите, какие из формул являются тавтологиями, противоречиями и фактуальными (эмпирическими) суждениями?

1) А? А; (А v В);

3) (А? В) ? (В? ¬А);

4) (А В) (В? А);

12. Как определить, следует ли формула исчисления высказываний В из формулы А1 Приведите примеры.

13. Проверьте правильность вывода в следующих формулах:

А? В А? В А? В

B A ¬A

14. Если возможно, то сделайте обращение следующих суждений

1) Все кошки – млекопитающие.

2) Все прямоугольники – четырехугольники.

3) Все квадраты – равносторонние прямоугольники.

4) Некоторые студенты не изучают логику.

5) Некоторые студенты – спортсмены.

15. Какое различие существует между обращением таких суждений?

1) Все треугольники – геометрические фигуры.

2) Все равносторонние треугольники равноугольны.

16. С помощью логического квадрата установите отношение между следующими простыми суждениями:

1) Все студенты изучают логику.

2) Некоторые студенты не изучают логику.

3) Все люди эгоистичны.

4) Ни один человек не эгоист.

5) Не все люди пишут грамотно.

6) Не все люди знают логику.

7) Некоторые из них знают логику.

17. Чем отличается логическая структура суждения от грамматической структуры предложения? Приведите пример распространенного повествовательного предложения и выделите в нем субъект, предикат и связку.

18. Определите вид модальности в следующих суждениях:

1) Возможно, что существует разумная жизнь во Вселенной.

2) Вероятность снегопада летом весьма мала.

3) Сумма углов в треугольнике равна 180°.

4) Сегодня солнечный день.

5) Вы должны пойти на лекцию.

6) Мы обязаны сдавать зачеты.

7) Достоверно известно, что его там не было.

8) Никогда не нарушайте правила движения.

19. Чем отличается грамматическая условная связь импликации в логике?

20 . Определите, какую смысловую связь выражают следующие условные предложения:

1) Если идет ток по проводнику, то он нагреется.

2) Если диаметр перпендикулярен к хорде, то он делит ее пополам.

3) Если число делится на 2, то оно не простое.

4) Если вы не знаете логики, то вам трудно будет обнаружить ошибку в рассуждении.

21. Чем отличаются с логической точки зрения связь причины и следствия (действия); основания и следствия? Приведите примеры.

22. Что необходимо сделать, чтобы перевести предложения естественного языка на язык логики? Является ли такой перевод адекватным?

23. Как можно построить аксиоматическую теорию для исчисления высказывания?

24. Какие преимущества процесс логического вывода и доказательства имеет перед табличным способом определения истинностного значения сложных высказываний?

Суждение (высказывание ) – это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается. Например: «Все сосны являются деревьями», «Некоторые люди – это спортсмены», «Ни один кит – не рыба», «Некоторые животные не являются хищниками» .

Рассмотрим несколько важных свойств суждения, которые в то же время отличают его от понятия:

1. Любое суждение состоит из понятий, связанных между собой.

Например, если связать понятия «карась » и «рыба », то могут получиться суждения: «Все караси являются рыбами», «Некоторые рыбы являются карасями» .

2. Любое суждение выражается в форме предложения (вспомним, понятие выражается словом или словосочетанием). Однако не всякое предложение может выражать суждение. Как известно, предложения бывают повествовательными, вопросительными и восклицательными. В вопросительных и восклицательных предложениях ничего не утверждается и не отрицается, поэтому они не могут выражать собой суждение. Повествовательное предложение, наоборот, всегда что-либо утверждает или отрицает, в силу чего суждение выражается в форме повествовательного предложения. Тем не менее есть такие вопросительные и восклицательные предложения, которые только по форме являются вопросами и восклицаниями, а по смыслу что-то утверждают или отрицают. Они называются риторическими . Например, известное высказывание: «И какой же русский не любит быстрой езды? » – представляет собой риторическое вопросительное предложение (риторический вопрос), т. к. в нём в форме вопроса утверждается, что всякий русский любит быструю езду.

В подобном вопросе заключено суждение. То же самое можно сказать о риторических восклицаниях. Например, в высказывании: «Попробуй найти чёрную кошку в тёмной комнате, если её там нет! » – в форме восклицательного предложения утверждается мысль о невозможности предложенного действия, в силу чего данное восклицание выражает собой суждение. Понятно, что не риторический, а настоящий вопрос, например: «Как тебя зовут? » – не выражает суждение, точно так же, как не выражает его настоящее, а не риторическое восклицание, например: «Прощай, свободная стихия!».

3. Любое суждение является истинным или ложным. Если суждение соответствует действительности, оно истинное, а если не соответствует – ложное. Например, суждение: «Все розы – это цветы », – является истинным, а суждение: «Все мухи – это птицы », – ложным. Надо отметить, что понятия, в отличие от суждений, не могут быть истинными или ложными. Невозможно, например, утверждать, что понятие «школа » – истинное, а понятие «институт » – ложное, понятие «звезда » – истинное, а понятие «планета » – ложное и т. п. Но разве понятия «Змей Горыныч », «Кощей Бессмертный », «вечный двигатель » не ложные? Нет, эти понятия являются нулевыми (пустыми), но не истинными и не ложными. Вспомним, понятие – это форма мышления, которая обозначает какой-либо объект, – и именно поэтому не может быть истинным или ложным. Истинность или ложность – это всегда характеристика какого-то высказывания, утверждения или отрицания, поэтому она применима только к суждениям, но не к понятиям. Поскольку любое суждение принимает одно из двух значений – истины или лжи – то аристотелевская логика также часто называется двузначной логикой .

4. Суждения бывают простыми и сложными. Сложные суждения состоят из простых, соединённых каким-либо союзом.

Как видим, суждение – это более сложная форма мышления по сравнению с понятием. Неудивительно поэтому, что суждение имеет определённую структуру, в которой можно выделить четыре части:

1. Субъект S ) – это то, о чём идёт речь в суждении. Например, в суждении: «», – речь идёт об учебниках, поэтому субъектом данного суждения выступает понятие «учебники ».

2. Предикат (обозначается латинской буквой Р ) – это то, что говорится о субъекте. Например, в том же суждении: «Все учебники являются книгами », – о субъекте (об учебниках) говорится, что они – книги, поэтому предикатом данного суждения выступает понятие «книги ».

3. Связка – это то, что соединяет субъект и предикат. В роли связки могут быть слова «есть», «является», «это» и т. п.

4. Квантор – это указатель на объём субъекта. В роли квантора могут быть слова «все», «некоторые», «ни один» и т. п.

Рассмотрим суждение: «Некоторые люди являются спортсменами ». В нём субъектом выступает понятие «люди », предикатом – понятие «спортсмены », роль связки играет слово «являются », а слово «некоторые » представляет собой квантор. Если в каком-то суждении отсутствует связка или квантор, то они всё равно подразумеваются. Например, в суждении: «Тигры – это хищники », – квантор отсутствует, но он подразумевается – это слово «все». С помощью условных обозначений субъекта и предиката можно отбросить содержание суждения и оставить только его логическую форму.

Например, если у суждения: «Все прямоугольники – это геометрические фигуры », – отбросить содержание и оставить форму, то получится: «Все S есть Р ». Логическая форма суждения: «Некоторые животные не являются млекопитающими », – «Некоторые S не есть Р ».

Субъект и предикат любого суждения всегда представляют собой какие-либо понятия, которые, как мы уже знаем, могут находиться в различных отношениях между собой. Между субъектом и предикатом суждения могут быть следующие отношения.

1. Равнозначность . В суждении: «Все квадраты – это равносторонние прямоугольники », – субъект «квадраты » и предикат «равносторонние прямоугольники » находятся в отношении равнозначности, потому что представляют собой равнозначные понятия (квадрат – это обязательно равносторонний прямоугольник, S = P а равносторонний прямоугольник – это обязательно квадрат) (рис. 18).

2. Пересечение . В суждении:

«Некоторые писатели – это американцы », – субъект «писатели » и предикат «американцы » находятся в отношении пересечения, т. к. являются пересекающимися понятиями (писатель может быть американцем и может им не быть, и американец может быть писателем, но также может им не быть) (рис. 19).

3. Подчинение . В суждении:

«Все тигры – это хищники », – субъект «тигры » и предикат «хищники » находятся в отношении подчинения, потому что представляют собой видовое и родовое понятия (тигр – это обязательно хищник, но хищник не обязательно тигр). Так же в суждении: «Некоторые хищники являются тиграми », – субъект «хищники » и предикат «тигры » находятся в отношении подчинения, будучи родовым и видовым понятиями. Итак, в случае подчинения между субъектом и предикатом суждения возможны два варианта отношений: объём субъекта полностью включается в объём предиката (рис. 20, a ), или наоборот (рис. 20, б ).

4. Несовместимость . В суждении: «», – субъект «планеты » и предикат «звёзды » находятся в отношении несовместимости, т. к. являются несовместимыми (соподчинёнными) понятиями (ни одна планета не может быть звездой, и ни одна звезда не может быть планетой) (рис. 21).

Чтобы установить, в каком отношении находятся субъект и предикат того или иного суждения, надо сначала установить, какое понятие данного суждения является субъектом, а какое – предикатом. Например, надо определить отношение между субъектом и предикатом в суждении: «Некоторые военнослужащие являются россиянами ». Сначала находим субъект суждения, – это понятие «военнослужащие »; затем устанавливаем его предикат, – это понятие «россияне ». Понятия «военнослужащие » и «россияне » находятся в отношении пересечения (военнослужащий может быть россиянином и может им не быть, и россиянин может как быть, так и не быть военнослужащим). Следовательно, в указанном суждении субъект и предикат пересекаются. Точно так же в суждении: «Все планеты – это небесные тела », – субъект и предикат находятся в отношении подчинения, а в суждении: «Ни один кит не является рыбой

Как правило, все суждения подразделяют на три вида:

1. Атрибутивные суждения (от лат. attributum – атрибут) – это суждения, в которых предикат представляет собой какой-либо существенный, неотъемлемый признак субъекта. Например, суждение: «Все воробьи – это птицы », – атрибутивное, потому что его предикат является неотъемлемым признаком субъекта: быть птицей – это главный признак воробья, его атрибут, без которого он не будет самим собой (если некий объект не птица, то он обязательно и не воробей). Надо отметить, что в атрибутивном суждении не обязательно предикат является атрибутом субъекта, может быть и наоборот – субъект представляет собой атрибут предиката. Например, в суждении: «Некоторые птицы – это воробьи » (как видим, по сравнению с вышеприведённым примером, субъект и предикат поменялись местами), субъект является неотъемлемым признаком (атрибутом) предиката. Однако эти суждения всегда можно формально изменить таким образом, что предикат станет атрибутом субъекта. Поэтому атрибутивными обычно называются те суждения, в которых предикат является атрибутом субъекта.

2. Экзистенциальные суждения (от лат. existentia – существование) – это суждения, в которых предикат указывает на существование или несуществование субъекта. Например, суждение: «Вечных двигателей не бывает », – является экзистенциальным, т. к. его предикат «не бывает » свидетельствует о несуществовании субъекта (вернее –предмета, который обозначен субъектом).

3. Релятивные суждения (от лат. relativus – относительный) – это суждения, в которых предикат выражает собой какое-то отношение к субъекту. Например, суждение: «Москва основана раньше Санкт-Петербурга »,– является релятивным, потому что его предикат «основана раньше Санкт-Петербурга » указывает на временное (возрастное) отношение одного города и соответствующего понятия к другому городу и соответствующему понятию, представляющему собой субъект суждения.

Проверьте себя:

1. Что такое суждение? Каковы его основные свойства и отличия от понятия?

2. В каких языковых формах выражается суждение? Почему вопросительные и восклицательные предложения не могут выражать собой суждения? Что такое риторические вопросы и риторические восклицания? Могут ли они быть формой выражения суждений?

3. Найдите в приведённых ниже выражениях языковые формы суждений:

1) Неужели ты не знал, что Земля вращается вокруг Солнца?

2) Прощай, немытая Россия!

3) Кто написал философский трактат «Критика чистого разума»?

4) Логика появилась примерно в V в. до н. э. в Древней Греции.

5) Первый президент Америки.

6) Разворачивайтесь в марше!

7) Мы все учились понемногу…

8) Попробуй-ка двигаться со скоростью света!

4. Почему понятия в отличие от суждений не могут быть истинными или ложными? Что такое двузначная логика?

5. Какова структура суждения? Придумайте пять суждений и укажите в каждом из них субъект, предикат, связку и квантор.

6. В каких отношениях могут быть субъект и предикат суждения? Приведите по три примера для каждого случая отношений между субъектом и предикатом: равнозначности, пересечения, подчинения, несовместимости.

7. Определите отношения между субъектом и предикатом и изобразите их с помощью круговых схем Эйлера для следующих суждений:

1) Все бактерии являются живыми организмами.

2) Некоторые русские писатели – это всемирно известные люди.

3) Учебники не могут быть развлекательными книгами.

4) Антарктида представляет собой ледовый материк.

5) Некоторые грибы несъедобны.

8. Что такое атрибутивные, экзистенциальные и релятивные суждения? Приведите, самостоятельно подобрав, по пять примеров для атрибутивных, экзистенциальных и релятивных суждений.

2.2. Простые суждения

Если в суждении присутствуют один субъект и один предикат, то оно является простым. Все простые суждения по объёму субъекта и качеству связки делятся на четыре вида. Объём субъекта может быть общим («все») и частным («некоторые»), а связка может быть утвердительной («есть») и отрицательной («не есть»):

Объём субъекта ……………… «все» «некоторые»

Качество связки ……………… «есть» «не есть»

Как видим, на основе объёма субъекта и качества связки можно выделить только четыре комбинации, которыми исчерпываются все виды простых суждений: «все – есть», «некоторые – есть», «все – не есть», «некоторые – не есть». Каждый из этих видов имеет своё название и условное обозначение:

1. Общеутвердительные суждения A ) – это суждения с общим объёмом субъекта и утвердительной связкой: «Все S есть Р ». Например: «Все школьники являются учащимися ».

2. Частноутвердительные суждения (обозначаются латинской буквой I ) – это суждения с частным объёмом субъекта и утвердительной связкой: «Некоторые S есть Р ». Например: «Некоторые животные являются хищниками ».

3. Общеотрицательные суждения (обозначаются латинской буквой E ) – это суждения с общим объёмом субъекта и отрицательной связкой: «Все S не есть Р (или «Ни одно S не есть Р »). Например: «Все планеты не являются звёздами », «Ни одна планета не является звездой ».

4. Частноотрицательные суждения (обозначаются латинской буквой O ) – это суждения с частным объёмом субъекта и отрицательной связкой: «Некоторые S не есть Р ». Например: «».

Далее следует ответить на вопрос, к каким суждениям – общим или частным – следует относить суждения с единичным объёмом субъекта (т. е. те суждения, в которых субъект представляет собой единичное понятие), например: «Солнце – это небесное тело», «Москва основана в 1147 г.», «Антарктида – это один из материков Земли». Суждение является общим, если речь в нём идёт обо всём объёме субъекта, и частным, если речь идёт о части объёма субъекта. В суждениях с единичным объёмом субъекта речь идёт обо всём объёме субъекта (в приведённых примерах – обо всём Солнце, обо всей Москве, обо всей Антарктиде). Таким образом, суждения, в которых субъект является единичным понятием, считаются общими (общеутвердительными или общеотрицательными). Так, три приведённых выше суждения – общеутвердительные, а суждение: «Известный итальянский учёный эпохи Возрождения Галилео Галилей не является автором теории электромагнитного поля », – общеотрицательное.

В дальнейшем будем говорить о видах простых суждений, не употребляя их длинных названий, с помощью условных обозначений – латинских букв A, I, E, O . Эти буквы, взятые из двух латинских слов: a ffi rmo – утверждать и ne go – отрицать, были предложены в качестве обозначения видов простых суждений ещё в Средние века.

Важно отметить, что в каждом из видов простых суждений субъект и предикат находятся в определённых отношениях. Так, общий объём субъекта и утвердительная связка суждений вида A приводят к тому, что в них субъект и предикат могут быть в отношениях равнозначности или подчинения (других отношений между субъектом и предикатом в суждениях вида A быть не может). Например, в суждении: «Все квадраты (S) – это равносторонние прямоугольники (Р) », – субъект и предикат находятся в отношении равнозначности, а в суждении: «Все киты (S) – это млекопитающие животные (Р) », – в отношении подчинения.

Частный объём субъекта и утвердительная связка суждений вида I обусловливают то, что в них субъект и предикат могут быть в отношениях пересечения или подчинения (но не в других). Например, в суждении: «Некоторые спортсмены (S) – это негры (Р) », – субъект и предикат находятся в отношении пересечения, а в суждении: «Некоторые деревья (S) – это сосны (Р) », – в отношении подчинения.

Общий объём субъекта и отрицательная связка суждений вида E приводят к тому, что в них субъект и предикат находятся только в отношении несовместимости. Например, в суждениях: «Все киты (S) – это не рыбы (Р)», «Все планеты (S) не являются звёздами (Р)», «Все треугольники (S) – это не квадраты (Р) », – субъект и предикат несовместимы.

Частный объём субъекта и отрицательная связка суждений вида O обусловливают то, что в них субъект и предикат, так же как и в суждениях вида I , могут быть только в отношениях пересечения и подчинения. Читатель без труда сможет подобрать примеры суждений вида O , в которых субъект и предикат находятся в этих отношениях.

Проверьте себя:

1. Что такое простое суждение?

2. На каком основании простые суждения подразделяются на виды? Почему они делятся именно на четыре вида?

3. Охарактеризуйте все виды простых суждений: название, структура, условное обозначение. Придумайте пример для каждого из них. К каким суждениям – общим или частным – относятся суждения с единичным объёмом субъекта?

4. Откуда взяты буквы для обозначения видов простых суждений?

5. В каких отношениях могут быть субъект и предикат в каждом из видов простых суждений? Подумайте, почему в суждениях вида A субъект и предикат не могут пересекаться или быть несовместимыми? Почему в суждениях вида I субъект и предикат не могут находиться в отношениях равнозначности или несовместимости? Почему в суждениях вида E субъект и предикат не могут быть равнозначными, пересекающимися или подчинёнными? Почему в суждениях вида O субъект и предикат не могут находиться в отношении равнозначности или несовместимости? Изобразите кругами Эйлера возможные отношения между субъектом и предикатом во всех видах простых суждений.

2.3. Распределённые и нераспределённые термины

Терминами суждения называются его субъект и предикат.

Термин считается распределённым (развёрнутым, исчерпанным, взятым в полном объёме), если в суждении речь идёт обо всех объектах, входящих в объём этого термина. Распределённый термин обозначается знаком «+», а на схемах Эйлера изображается полным кругом (кругом, который не содержит в себе другого круга и не пересекается с другим кругом) (рис. 22).

Термин считается нераспределённым (неразвёрнутым, неисчерпанным, взятым не в полном объёме), если в суждении речь идёт не обо всех объектах, входящих в объём этого термина. Нераспределённый термин обозначается знаком «–», а на схемах Эйлера изображается неполным кругом (кругом, который содержит в себе другой круг (рис. 23, a ) или пересекается с другим кругом (рис. 23, б ).

Например, в суждении: «Все акулы (S) являются хищниками (Р) », – речь идёт обо всех акулах, значит, субъект этого суждения распределён.

Однако в данном суждении речь идёт не обо всех хищниках, а только о части хищников (именно о тех, которые являются акулами), следовательно, предикат указанного суждения нераспределён. Изобразив отношения между субъектом и предикатом (которые находятся в отношении подчинения) рассмотренного суждения схемами Эйлера, увидим, что распределённому термину (субъекту «акулы ») соответствует полный круг, а нераспределённому (предикату «хищники ») – неполный (попадающий в него круг субъекта как бы вырезает из него какую-то часть):

Распределённость терминов в простых суждениях может быть различной в зависимости от вида суждения и характера отношений между его субъектом и предикатом. В табл. 4 представлены все случаи распределённости терминов в простых суждениях:

Здесь рассмотрены все четыре вида простых суждений и все возможные случаи отношений между субъектом и предикатом в них (см. раздел 2. 2). Обратите внимание на суждения вида O , в котором субъект и предикат находятся в отношении пересечения. Несмотря на пересекающиеся круги на схеме Эйлера, субъект данного суждения нераспределён, а предикат распределён. Почему так получается? Выше мы говорили о том, что пересекающиеся на схеме круги Эйлера обозначают нераспределённые термины. Штриховкой показана та часть субъекта, о которой идёт речь в суждении (в данном случае – о школьниках, которые спортсменами не являются), в силу чего круг, обозначающий на схеме Эйлера предикат, остался полным (круг, обозначающий субъект, не отрезает от него какую-то часть, как это происходит в суждении вида I , где субъект и предикат находятся в отношении пересечения).

Итак, мы видим, что субъект всегда распределён в суждениях вида A и E и всегда не распределён в суждениях вида I и O , а предикат всегда распределён в суждениях вида E и O , но в суждениях вида A и I он может быть как распределённым, так и нераспределённым в зависимости от характера отношений между ним и субъектом в этих суждениях.

Проще всего устанавливать распределённость терминов в простых суждениях с помощью схем Эйлера (все случаи распределённости из таблицы запоминать совсем не обязательно). Достаточно уметь определять вид отношений между субъектом и предикатом в предложенном суждении и изображать их круговыми схемами. Далее ещё проще – полный круг, как уже говорилось, соответствует распределённому термину, а неполный – нераспределённому. Например, требуется установить распределённость терминов в суждении: «Некоторые русские писатели – это всемирно известные люди ». Сначала найдём в этом суждении субъект и предикат: «русские писатели » – субъект, «всемирно известные люди » – предикат. Теперь установим, в каком они отношении. Русский писатель может как быть, так и не быть всемирно известным человеком, и всемирно известный человек может как быть, так и не быть русским писателем, следовательно, субъект и предикат указанного суждения находятся в отношении пересечения. Изобразим это отношение на схеме Эйлера, заштриховав ту часть, о которой идёт речь в суждении (рис. 25):

И субъект, и предикат изображаются неполными кругами (у каждого из них как бы отрезана какая-то часть), следовательно, оба термина предложенного суждения нераспределены (S –, P –).

Рассмотрим ещё один пример. Надо установить распределённость терминов в суждении: «». Найдя в этом суждении субъект и предикат: «люди » – субъект, «спортсмены » – предикат, и установив отношение между ними – подчинение, изобразим его на схеме Эйлера, заштриховав ту часть, о которой идёт речь в суждении (рис. 26):

Круг, обозначающий предикат, является полным, а круг, соответствующий субъекту, – неполным (круг предиката как бы вырезает из него какую-то часть). Таким образом, в данном суждении субъект нераспределён, а предикат распределён (S –, P –).

Проверьте себя:

1. В каком случае термин суждения считается распределённым, а в каком – нераспределённым? Как с помощью круговых схем Эйлера можно установить распределённость терминов в простом суждении?

2. Какова распределённость терминов во всех видах простых суждений и во всех случаях отношений между их субъектом и предикатом?

3. С помощью схем Эйлера установите распределённость терминов в следующих суждениях:

1) Все насекомые являются живыми организмами.

2) Некоторые книги – это учебники.

3) Некоторые учащиеся не являются успевающими.

4) Все города – это населённые пункты.

5) Ни одна рыба не является млекопитающим.

6) Некоторые древние греки являются знаменитыми учёными.

7) Некоторые небесные тела – это звёзды.

8) Все ромбы с прямыми углами – это квадраты.

2.4. Преобразование простого суждения

Существует три способа преобразования, т. е. изменения формы, простых суждений: обращение, превращение и противопоставление предикату.

Обращение (конверсия ) – это преобразование простого суждения, при котором субъект и предикат меняются местами. Например, суждение: «Все акулы являются рыбами », – преобразуется путём обращения в суждение: «». Здесь может возникнуть вопрос, почему исходное суждение начинается с квантора «все », а новое – с квантора «некоторые »? Этот вопрос, на первый взгляд, кажется странным, ведь нельзя же сказать: «Все рыбы являются акулами », – следовательно, единственное, что остаётся, это: «Некоторые рыбы являются акулами ». Однако в данном случае, мы обратились к содержанию суждения и по смыслу поменяли квантор «все » на квантор «некоторые »; а логика, как уже говорилось, отвлекается от содержания мышления и занимается только его формой. Поэтому обращение суждения: «Все акулы являются рыбами », – можно выполнить формально, не обращаясь к его содержанию (смыслу). Для этого установим распределённость терминов в этом суждении с помощью круговой схемы. Термины суждения, т. е. субъект «акулы » и предикат «рыбы », находятся в данном случае в отношении подчинения (рис. 27):

На круговой схеме видно, что субъект распределён (полный круг), а предикат нераспределён (неполный круг). Вспомнив, что термин распределён, когда речь идёт обо всех входящих в него предметах, и нераспределён, когда – не обо всех, мы автоматически мысленно ставим перед термином «акулы » квантор «все », а перед термином «рыбы » квантор «некоторые ». Делая обращение указанного суждения, т. е. меняя местами его субъект и предикат и начиная новое суждение с термина «рыбы », мы опять же автоматически снабжаем его квантором «некоторые », не задумываясь о содержании исходного и нового суждений, и получаем безошибочный вариант: «Некоторые рыбы являются акулами ». Возможно, всё это покажется чрезмерным усложнением элементарной операции, однако, как увидим далее, в иных случаях преобразование суждений сделать непросто без использования распределённости терминов и круговых схем.

Обратим внимание на то, что в рассмотренном выше примере исходное суждение было вида A , а новое – вида I , т. е. операция обращения привела к смене вида простого суждения. При этом, конечно же, поменялась его форма, но не поменялось содержание, ведь в суждениях: «Все акулы являются рыбами » и «Некоторые рыбы являются акулами », – речь идёт об одном и том же. В табл. 5 представлены все случаи обращения в зависимости от вида простого суждения и характера отношений между его субъектом и предикатом:

Суждение вида A I . Суждение вида I обращается или в само себя, или в суждение вида A . Суждение вида E всегда обращается в само себя, а суждение вида O не поддаётся обращению.

Второй способ преобразования простых суждений, называемый превращением (обверсией ), заключается в том, что у суждения меняется связка: положительная на отрицательную, или наоборот. При этом предикат суждения заменяется противоречащим понятием (т. е. перед предикатом ставится частица «не»). Например, то же самое суждение, которое мы рассматривали в качестве примера для обращения: «Все акулы являются рыбами », – преобразуется путём превращения в суждение: «». Это суждение может показаться странным, ведь обычно так не говорят, хотя на самом деле перед нами более короткая формулировка той мысли, что ни одна акула не может быть таким существом, которое не является рыбой, или что множество всех акул исключается из множества всех существ, которые не являются рыбами. Субъект «акулы » и предикат «не рыбы » суждения, получившегося в результате превращения, находятся в отношении несовместимости.

Приведённый пример превращения демонстрирует важную логическую закономерность: любое утверждение равно двойному отрицанию, и наоборот. Как видим, исходное суждение вида A в результате превращения стало суждением вида E . В отличие от обращения превращение не зависит от характера отношений между субъектом и предикатом простого суждения. Поэтому суждение вида A E , а суждение вида E – в суждение вида A . Суждение вида I всегда превращается в суждение вида O , а суждение вида O – в суждение вида I (рис. 28).

Третий способ преобразования простых суждений – противопоставление предикату – состоит в том, что сначала суждение подвергается превращению, а потом обращению. Например, чтобы путём противопоставления предикату преобразовать суждение: «Все акулы являются рыбами », – надо сначала подвергнуть его превращению. Получится: «Все акулы не являются не рыбами ». Теперь надо совершить обращение с получившимся суждением, т. е. поменять местами его субъект «акулы » и предикат «не рыбы ». Чтобы не ошибиться, вновь прибегнем к установлению распределённости терминов с помощью круговой схемы (субъект и предикат в этом суждении находятся в отношении несовместимости) (рис. 29):

На круговой схеме видно, что и субъект, и предикат распределены (и тому, и другому термину соответствует полный круг), следовательно, мы должны сопроводить как субъект, так и предикат квантором «все ». После этого совершим обращение с суждением: «Все акулы не являются не рыбами ». Получится: «Все не рыбы не являются акулами ». Суждение звучит непривычно, однако это – более короткая формулировка той мысли, что если какое-то существо не является рыбой, то оно никак не может быть акулой, или что все существа, которые не являются рыбами, автоматически не могут быть и акулами в том числе. Обращение можно было сделать и проще, посмотрев в табл. 5 для обращения, которая приведена выше. Увидев, что суждение вида E всегда обращается в само себя, мы могли, не используя круговой схемы и не устанавливая распределённости терминов, сразу поставить перед предикатом «не рыбы » квантор «все ». В данном случае был предложен другой способ, чтобы показать, что вполне можно обойтись без табл. для обращения, и запоминать её совсем необязательно. Здесь происходит примерно то же самое, что и в математике: можно запоминать различные формулы, но можно обойтись и без запоминания, т. к. любую формулу нетрудно вывести самостоятельно.

Все три операции преобразования простых суждений проще всего совершать с помощью круговых схем. Для этого надо изобразить три термина: субъект, предикат и понятие, противоречащее предикату (непредикат). Потом следует установить их распределённость, и из получившейся схемы Эйлера будут вытекать четыре суждения – одно исходное и три результата преобразований. Главное, помнить, что распределённый термин соответствует квантору «все », а нераспределённый – квантору «некоторые »; что соприкасающиеся на схеме Эйлера круги соответствуют связке «является », а несоприкасающиеся – связке «не является ». Например, требуется совершить три операции преобразования с суждением: «Все учебники являются книгами ». Изобразим субъект «учебники », предикат «книги » и непредикат «не книги » круговой схемой и установим распределённость этих терминов (рис. 30):

1. Все учебники являются книгами (исходное суждение).

2. Некоторые книги являются учебниками (обращение).

3. Все учебники не являются не книгами (превращение).

4. Все не книги не являются учебниками

Рассмотрим ещё один пример. Надо преобразовать тремя способами суждение: «Все планеты не являются звёздами ». Изобразим кругами Эйлера субъект «планеты », предикат «звёзды » и непредикат «не звёзды ». Обратите внимание на то, что понятия «планеты » и «не звёзды » находятся в отношении подчинения: планета – это обязательно не звезда, но небесное тело, которое не является звездой – это не обязательно планета. Установим распределённость этих терминов (рис. 31):

1. Все планеты не являются звёздами (исходное суждение).

2. Все звёзды не являются планетами (обращение).

3. Все планеты являются не звёздами (превращение).

4. Некоторые не звёзды являются планетами (противопоставление предикату).

Проверьте себя:

1. Каким образом осуществляется операция обращения? Возьмите три каких-нибудь суждения и произведите с каждым из них обращение. Как происходит обращение во всех видах простых суждений и во всех случаях отношений между их субъектом и предикатом? Какие суждения не поддаются обращению?

2. Что такое превращение? Возьмите три любых суждения и совершите с каждым из них операцию превращения.

3. Что представляет собой операция противопоставления предикату? Возьмите три каких-нибудь суждения и преобразуйте каждое из них путём противопоставления предикату.

4. Каким образом знания о распределённости терминов в простых суждениях и умение её устанавливать с помощью круговых схем может помочь в проведении операций преобразования суждений?

5. Возьмите какое-нибудь суждение вида A и совершите с ним все операции преобразования с помощью круговых схем и установления распределённости терминов. Сделайте то же самое с каким-нибудь суждением вида E .

2.5. Логический квадрат

Простые суждения делятся на сравнимые и несравнимые.

Сравнимые (идентичные по материалу) суждения имеют одинаковые субъекты и предикаты, но могут отличаться кванторами и связками. Например, суждения: «», «Некоторые школьники не изучают математику », – являются сравнимыми: у них совпадают субъекты и предикаты, а кванторы и связки различаются. Несравнимые суждения имеют разные субъекты и предикаты. Например, суждения: «Все школьники изучают математику », «Некоторые спортсмены – это олимпийские чемпионы », – являются несравнимыми: субъекты и предикаты у них не совпадают.

Сравнимые суждения бывают, как и понятия, совместимыми и несовместимыми и могут находиться в различных отношениях между собой.

Совместимыми называются суждения, которые могут быть одновременно истинными. Например, суждения: «Некоторые люди – это спортсмены », «Некоторые люди – это не спортсмены », – являются одновременно истинными и представляют собой совместимые суждения.

Несовместимыми называются суждения, которые не могут быть одновременно истинными: истинность одного из них обязательно означает ложность другого. Например, суждения: «Все школьники изучают математику», «Некоторые школьники не изучают математику », – не могут быть одновременно истинными и являются несовместимыми (истинность первого суждения с неизбежностью приводит к ложности второго).

Совместимые суждения могут находиться в следующих отношениях:

1. Равнозначность – это отношение между двумя суждениями, у которых и субъекты, и предикаты, и связки, и кванторы совпадают. Например, суждения: «Москва является древним городом »,

«Столица России является древним городом », – находятся в отношении равнозначности.

2. Подчинение – это отношение между двумя суждениями, у которых предикаты и связки совпадают, а субъекты находятся в отношении вида и рода. Например, суждения: «Все растения являются живыми организмами », «Все цветы (некоторые растения) являются живыми организмами », – находятся в отношении подчинения.

3. Частичное совпадение (субконтрарность) Некоторые грибы являются съедобными », «Некоторые грибы не являются съедобными », – находятся в отношении частичного совпадения. Необходимо отметить, что в этом отношении находятся только частные суждения – частноутвердительные (I ) и частноотрицательные (O ).

Несовместимые суждения могут находиться в следующих отношениях.

1. Противоположность (контрарность) – это отношение между двумя суждениями, у которых субъекты и предикаты совпадают, а связки различаются. Например, суждения: «Все люди являются правдивыми », «», – находятся в отношении противоположности. В этом отношении могут быть только общие суждения – общеутвердительные (A ) и общеотрицательные (E ). Важным признаком противоположных суждений является то, что они не могут быть одновременно истинными, но могут быть одновременно ложными. Так, два приведённых противоположных суждения не могут быть одновременно истинными, но могут быть одновременно ложными: неправда, что все люди являются правдивыми, но также неправда, что все люди не являются правдивыми.

Противоположные суждения могут быть одновременно ложными, потому что между ними, обозначающими какие-то крайние варианты, всегда есть третий, средний, промежуточный вариант. Если этот средний вариант будет истинным, то два крайних окажутся ложными. Между противоположными (крайними) суждениями: «Все люди являются правдивыми », «Все люди не являются правдивыми », – есть третий, средний вариант: «Некоторые люди являются правдивыми, а некоторые не являются таковыми », – который, будучи истинным суждением, обусловливает одновременную ложность двух крайних, противоположных суждений.

2. Противоречие (контрадикторность) – это отношение между двумя суждениями, у которых предикаты совпадают, связки различны, а субъекты отличаются своими объёмами, т. е. находятся в отношении подчинения (вида и рода). Например, суждения: «Все люди являются правдивыми», «Некоторые люди не являются правдивыми» , – находятся в отношении противоречия. Важным признаком противоречащих суждений, в отличие от противоположных, является то, что между ними не может быть третьего, среднего, промежуточного варианта. В силу этого два противоречащих суждения не могут быть одновременно истинными и не могут быть одновременно ложными: истинность одного из них обязательно означает ложность другого, и наоборот – ложность одного обусловливает истинность другого. К противоположным и противоречащим суждениям мы ещё вернёмся, когда речь пойдёт о логических законах противоречия и исключённого третьего.

Рассмотренные отношения между простыми сравнимыми суждениями изображаются схематически с помощью логического квадрата (рис. 32), который был разработан ещё средневековыми логиками:

Вершины квадрата обозначают четыре вида простых суждений, а его стороны и диагонали – отношения между ними. Так, суждения вида A и вида I , а также суждения вида E и вида O находятся в отношении подчинения. Суждения вида A и вида E находятся в отношении противоположности, а суждения вида I и вида O – частичного совпадения. Суждения вида A и вида O , а также суждения вида E и вида I находятся в отношении противоречия. Неудивительно, что логический квадрат не изображает отношение равнозначности, потому что в этом отношении находятся одинаковые по виду суждения, т. е. равнозначность – это отношение между суждениями A и A , I и I , E и E , O и O . Чтобы установить отношение между двумя суждениями, достаточно определить, к какому виду относится каждое из них. Например, надо выяснить, в каком отношении находятся суждения: «Все люди изучали логику », «Некоторые люди не изучали логику ». Видя, что первое суждение является общеутвердительным (A ), а второе частноотрицательным (O ), мы без труда устанавливаем отношение между ними с помощью логического квадрата – противоречие. Суждения: «Все люди изучали логику (A) », «Некоторые люди изучали логику (I) », находятся в отношении подчинения, а суждения: «Все люди изучали логику (A) », «Все люди не изучали логику (E) », – находятся в отношении противоположности.

Как уже говорилось, важным свойством суждений, в отличие от понятий, является то, что они могут быть истинными или ложными.

Что касается сравнимых суждений, то истинностные значения каждого из них определённым образом связаны с истинностными значениями остальных. Так, если суждение вида A является истинным или ложным, то три других (I , E , O ), сравнимых с ним суждения (имеющих сходные с ним субъекты и предикаты), в зависимости от этого (от истинности или ложности суждения вида A ) тоже являются истинными или ложными. Например, если суждение вида A : «Все тигры – это хищники », – является истинным, то суждение вида I : «Некоторые тигры – это хищники », – также является истинным (если все тигры – хищники, то и часть из них, т. е. некоторые тигры – это тоже хищники), суждение вида E : «Все тигры – это не хищники », – является ложным, и суждение вида O : «Некоторые тигры – это не хищники », – также является ложным. Таким образом, в данном случае из истинности суждения вида A вытекает истинность суждения вида I и ложность суждений вида E и вида O (разумеется, речь идёт о сравнимых суждениях, т. е. имеющих одинаковые субъекты и предикаты).

Проверьте себя:

1. Какие суждения называются сравнимыми и какие – несравнимыми?

2. Что такое совместимые и несовместимые суждения? Приведите по три примера совместимых и несовместимых суждений.

3. В каких отношениях могут быть совместимые суждения? Приведите по два примера для отношений равнозначности, подчинения и частичного совпадения.

4. В каких отношениях могут быть несовместимые суждения?

Приведите по три примера для отношений противоположности и противоречия. Почему противоположные суждения могут быть одновременно ложными, а противоречащие не могут?

5. Что представляет собой логический квадрат? Каким образом он изображает отношения между суждениями? Почему логический квадрат не изображает отношение равнозначности? Как с помощью логического квадрата определять отношение между двумя простыми сравнимыми суждениями?

6. Возьмите какое-нибудь истинное или ложное суждения вида A и сделайте из него выводы об истинности сравнимых с ним суждений видов E , I , O . Возьмите какое-нибудь истинное или ложное суждения вида E и сделайте из него выводы об истинности сравнимых с ним суждений A , I , O .

2.6. Сложное суждение

В зависимости от союза, с помощью которого простые суждения соединяются в сложные, выделяется пять видов сложных суждений:

1. Конъюнктивное суждение (конъюнкция) – это сложное суждение с соединительным союзом «и», который обозначается в логике условным знаком «?». С помощью этого знака конъюнктивное суждение, состоящее из двух простых суждений, можно представить в виде формулы: a ? b (читается «a и b »), где a и b – это два каких-либо простых суждения. Например, сложное суждение: «Сверкнула молния, и загремел гром », – является конъюнкцией (соединением) двух простых суждений: «Сверкнула молния», «Загремел гром» . Конъюнкция может состоять не только из двух, но и из большего числа простых суждений. Например: «Сверкнула молния, и загремел гром, и пошёл дождь (a ? b ? c )».

2. Дизъюнктивное суждение (дизъюнкция) – это сложное суждение с разделительным союзом «или». Вспомним, что, говоря о логических операциях сложения и умножения понятий, мы отмечали неоднозначность этого союза – он может использоваться как в нестрогом (неисключающем) значении, так и в строгом (исключающем). Неудивительно поэтому, что дизъюнктивные суждения делятся на два вида:

1. Нестрогая дизъюнкция – это сложное суждение с разделительным союзом «или» в его нестрогом (неисключающем) значении, который обозначается условным знаком «?». С помощью этого знака нестрогое дизъюнктивное суждение, состоящее из двух простых суждений, можно представить в виде формулы: a ? b (читается «a или b »), где a и b Он изучает английский, или он изучает немецкий », – является нестрогой дизъюнкцией (разделением) двух простых суждений: «Он изучает английский», «Он изучает немецкий». Эти суждения друг друга не исключают, ведь возможно изучать и английский, и немецкий одновременно, поэтому данная дизъюнкция является нестрогой.

2. Строгая дизъюнкция – это сложное суждение с разделительным союзом «или» в его строгом (исключающем) значении, который обозначается условным знаком «». С помощью этого знака строгое дизъюнктивное суждение, состоящее из двух простых суждений, можно представить в виде формулы: a b (читается «или a , или b »), где a и b – это два простых суждения. Например, сложное суждение: «Он учится в 9 классе, или он учится в 11 классе », – является строгой дизъюнкцией (разделением) двух простых суждений: «Он учится в 9 классе», «Он учится в 11 классе» . Обратим внимание на то, что эти суждения друг друга исключают, ведь невозможно одновременно учиться и в 9, и в 11 классе (если он учится в 9 классе, то точно не учится в 11 классе, и наоборот), в силу чего данная дизъюнкция является строгой.

Как нестрогая, так и строгая дизъюнкции могут состоять не только из двух, но и из большего числа простых суждений. Например: «Он изучает английский, или он изучает немецкий, или он изучает французский (a ? b ? c) », «Он учится в 9 классе, или он учится в 10 классе, или он учится в 11 классе (a b c) ».

3. Импликативное суждение (импликация) – это сложное суждение с условным союзом «если … то», который обозначается условным знаком «>». С помощью этого знака импликативное суждение, состоящее из двух простых суждений, можно представить в виде формулы: a > b (читается «если a , то b »), где a и b – это два простых суждения. Например, сложное суждение: «Если вещество является металлом, то оно электропроводно », – представляет собой импликативное суждение (причинно-следственную связь) двух простых суждений: «Вещество является металлом», «Вещество электропроводно» . В данном случае эти два суждения связаны таким образом, что из первого вытекает второе (если вещество – металл, то оно обязательно электропроводно), однако из второго не вытекает первое (если вещество электропроводно, то это вовсе не означает, что оно является металлом). Первая часть импликации называется основанием , а вторая – следствием ; из основания вытекает следствие, но из следствия не вытекает основание. Формулу импликации: a > b , можно прочитать так: «если a , то обязательно b , но если b , то не обязательно a ».

4. Эквивалентное суждение (эквиваленция) – это сложное суждение с союзом «если … то» не в его условном значении (как в случае с импликацией), а в тождественном (эквивалентном). В данном случае этот союз обозначается условным знаком «», с помощью которого эквивалентное суждение, состоящее из двух простых суждений, можно представить в виде формулы: a b (читается «если a , то b , и если b , то a »), где a и b – это два простых суждения. Например, сложное суждение: «Если число является чётным, то оно делится без остатка на 2 », – представляет собой эквивалентное суждение (равенство, тождество) двух простых суждений: «Число является чётным», «Число делится без остатка на 2» . Нетрудно заметить, что в данном случае два суждения связаны так, что из первого вытекает второе, а из второго – первое: если число чётное, то оно обязательно делится без остатка на 2, а если число делится без остатка на 2, то оно обязательно чётное. Понятно, что в эквиваленции, в отличие от импликации, не может быть ни основания, ни следствия, т. к. две её части являются равнозначными суждениями.

5. Отрицательное суждение (отрицание) – это сложное суждение с союзом «неверно, что…», который обозначается условным знаком «¬». С помощью этого знака отрицательное суждение можно представить в виде формулы: ¬a (читается «неверно, что a »), где a – это простое суждение. Здесь может возникнуть вопрос – где же вторая часть сложного суждения, которую мы обычно обозначали символом b ? В записи: ¬a , уже присутствуют два простых суждения: a – это какое-то утверждение, а знак «¬» – его отрицание. Перед нами как бы два простых суждения – одно утвердительное, другое – отрицательное. Пример отрицательного суждения: «Неверно, что все мухи являются птицами ».

Итак, мы рассмотрели пять видов сложных суждений: конъюнкцию, дизъюнкцию (нестрогую и строгую), импликацию, эквиваленцию и отрицание.

Союзов в естественном языке много, но все они по смыслу сводятся к рассмотренным пяти видам, и любое сложное суждение относится к одному из них. Например, сложное суждение: «Уж полночь близится, а Германа всё нет », – является конъюнкцией, потому что в нём союз «а » употребляется в роли соединительного союза «и». Сложное суждение, в котором вообще нет союза: «Посеешь ветер, пожнёшь бурю », – является импликацией, т. к. два простых суждения в нём связаны по смыслу условным союзом «если…то».

Любое сложное суждение является истинным или ложным в зависимости от истинности или ложности входящих в него простых суждений. Приведена табл. 6 истинности всех видов сложных суждений в зависимости от всех возможных наборов истинностных значений двух входящих в них простых суждений (таких наборов всего четыре): оба простых суждения истинные; первое суждение истинное, а второе ложное; первое суждение ложное, а второе истинное; оба суждения ложные).

Как видим, конъюнкция истинна только тогда, когда истинны оба входящих в неё простых суждения. Надо отметить, что конъюнкция, состоящая не из двух, а из большего числа простых суждений, также истинна только в том случае, когда истинны все входящие в неё суждения. Во всех остальных случаях она является ложной. Нестрогая дизъюнкция, наоборот, истинна во всех случаях за исключением того, когда оба входящих в неё простых суждения ложны. Нестрогая дизъюнкция, состоящая не из двух, а из большего числа простых суждений, также ложна только тогда, когда ложны все входящие в неё простые суждения. Строгая дизъюнкция истинна только тогда, когда одно входящее в неё простое суждение истинно, а другое ложно. Строгая дизъюнкция, состоящая не из двух, а из большего числа простых суждений, истинна только в том случае, если истинно только одно из входящих в неё простых суждений, а все остальные ложны. Импликация ложна только в одном случае – когда её основание является истинным, а следствие ложным. Во всех остальных случаях она истинна. Эквиваленция истинна тогда, когда два составляющих её простых суждения истинны или когда оба являются ложными. Если одна часть эквиваленции истинна, а другая ложна, то эквиваленция ложна. Проще всего определяется истинность отрицания: когда утверждение истинно, его отрицание ложно; когда утверждение ложно, его отрицание истинно.

Проверьте себя:

1. На каком основании выделяются виды сложных суждений?

2. Охарактеризуйте все виды сложных суждений: название, союз, условное обозначение, формула, пример. Чем отличается нестрогая дизъюнкция от строгой? Как отличить импликацию от эквиваленции?

3. Каким образом можно определить вид сложного суждения, если в нём вместо союзов «и», «или», «если… то» употребляются какие-либо другие союзы?

4. Приведите по три примера для каждого вида сложных суждений, не используя при этом союзов «и», «или», «если…то».

5. Определите, к какому виду относятся следующие сложные суждения:

1. Живое существо является человеком только тогда, когда оно обладает мышлением.

2. Человечество может погибнуть то ли от истощения земных ресурсов, то ли от экологической катастрофы, то ли в результате третьей мировой войны.

3. Вчера он получил двойку не только по математике, но ещё и по русскому.

4. Проводник нагревается, когда через него проходит электрический ток.

5. Окружающий нас мир либо познаваем, либо нет.

6. Или же он совершенно бездарен, или же полный лентяй.

7. Когда человек льстит, он лжёт.

8. Вода превращается в лёд лишь при температуре от 0 °C и ниже.

6. От чего зависит истинность сложных суждений? Какие значения истинности принимают конъюнкция, нестрогая и строгая дизъюнкция, импликация, эквиваленция и отрицание в зависимости от всех наборов истинностных значений входящих в них простых суждений?

2.7. Логические формулы

Любое высказывание или целое рассуждение можно подвергнуть формализации. Это значит отбросить его содержание и оставить только его логическую форму, выразив её с помощью уже известных нам условных обозначений конъюнкции, нестрогой и строгой дизъюнкции, импликации, эквиваленции и отрицания.

Например, чтобы формализовать следующее высказывание: «Он занимается живописью, или музыкой, или литературой », – надо сначала выделить входящие в него простые суждения и установить вид логической связи между ними. В приведённое высказывание входят три простых суждения: «Он занимается живописью», «Он занимается музыкой», «Он занимается литературой» .

Эти суждения объединены разделительной связью, однако они друг друга не исключают (можно заниматься и живописью, и музыкой, и литературой), следовательно, перед нами – нестрогая дизъюнкция, форму которой можно представить следующей условной записью: a ? b ? c , где a , b , c – указанные выше простые суждения. Форму: a ? b ? c , можно наполнить каким угодно содержанием, например: «Цицерон был политиком, или оратором, или писателем», «Он изучает английский, или немецкий, или французский», «Люди передвигаются наземным, или воздушным, или водным транспортом ».

Формализуем рассуждение: «Он учится в 9 классе, или в 10 классе, или в 11 классе. Однако, известно, что он не учится ни в 10, ни в 11 классе. Следовательно, он учится в 9 классе ». Выделим простые высказывания, входящие в это рассуждение и обозначим их маленькими буквами латинского алфавита: «Он учится в 9 классе (a)», «Он учится в 10 классе (b)», «Он учится в 11 классе (c)» . Первая часть рассуждения представляет собой строгую дизъюнкцию этих трёх высказываний: a ? b ? c . Вторая часть рассуждения является отрицанием второго: ¬b , и третьего: ¬c , высказываний, причём эти два отрицания соединяются, т. е. связаны конъюнктивно: ¬ b ? ¬ c . Конъюнкция отрицаний присоединяется к упомянутой выше строгой дизъюнкции трёх простых суждений: (a ? b ? c ) ? (¬ b ? ¬ c ), и уже из этой новой конъюнкции как следствие вытекает утверждение первого простого суждения: «Он учится в 9 классе ». Логическое следование, как мы уже знаем, представляет собой импликацию. Таким образом, результат формализации нашего рассуждения выражается формулой: ((a ? b ? c ) ? (¬ b ?¬ c )) > a . Эту логическую форму можно наполнить любым содержанием. Например: «Впервые человек полетел в космос в 1957 г., или в 1959 г., или в 1961 г. Однако, известно, что впервые человек полетел в космос не в 1957 г. и не в 1959 г.. Следовательно, впервые человек полетел в космос в 1961 г. » Ещё один вариант: «Философский трактат «Критика чистого разума» написал то ли Иммануил Кант, то ли Георг Гегель, то ли Карл Маркс. Однако, ни Гегель, ни Маркс не являются авторами этого трактата. Следовательно, его написал Кант ».

Результатом формализации любого рассуждения, как мы увидели, является какая-либо формула, состоящая из маленьких букв латинского алфавита, выражающих входящие в рассуждение простые высказывания, и условных обозначений логических связей между ними (конъюнкции, дизъюнкции и др.). Все формулы делятся в логике на три вида:

1. Тождественно-истинные формулы являются истинными при всех наборах истинностных значений входящих в них переменных (простых суждений). Любая тождественно-истинная формула представляет собой логический закон.

2. Тождественно-ложные формулы являются ложными при всех наборах истинностных значений входящих в них переменных.

Тождественно-ложные формулы представляют собой отрицание тождественно-истинных формул и являются нарушением логических законов.

3. Выполнимые (нейтральные) формулы при различных наборах истинностных значений входящих в них переменных являются то истинными, то ложными.

Если в результате формализации какого-либо рассуждения получается тождественно-истинная формула, то такое рассуждение является логически безупречным. Если же результатом формализации будет тождественно-ложная формула, то рассуждение следует признать логически неверным (ошибочным). Выполнимая (нейтральная) формула свидетельствует о логической корректности того рассуждения, формализацией которого она является.

Для того чтобы определить, к какому виду относится та или иная формула, и, соответственно, оценить логическую верность какого-то рассуждения, обычно составляют специальную таблицу истинности для этой формулы. Рассмотрим следующее рассуждение: «Владимир Владимирович Маяковский родился в 1891 г. или в 1893 г. Однако известно, что он родился не в 1891 г. Следовательно, он родился в 1893 г.» . Формализуя это рассуждение, выделим входящие в него простые высказывания: «Владимир Владимирович Маяковский родился в 1891 г.». «Владимир Владимирович Маяковский родился в 1893 г.» . Первая часть нашего рассуждения, несомненно, представляет собой строгую дизъюнкцию этих двух простых высказываний: a ? b . Далее к дизъюнкции присоединяется отрицание первого простого высказывания, и получается конъюнкция: (a ? b ) ? ¬ a . И, наконец, из этой конъюнкции вытекает утверждение второго простого суждения, и получается импликация: ((a ? b ) ? ¬ a ) > b , которая и является результатом формализации данного рассуждения. Теперь надо составить табл. 7 истинности для получившейся формулы:

Количество строк в таблице определяется по правилу: 2 n , где n – число переменных (простых высказываний) в формуле. Поскольку в нашей формуле только две переменных, то в таблице должно быть четыре строки. Количество колонок в таблице равно сумме числа переменных и числа логических союзов, входящих в формулу. В рассматриваемой формуле две переменных и четыре логических союза (?, ?, ¬, >), значит, в таблице должно быть шесть колонок. Первые две колонки представляют собой все возможные наборы истинностных значений переменных (таких наборов всего четыре: обе переменные истинны; первая переменная истинна, а вторая ложна; первая переменная ложна, а вторая истинна; обе переменные ложны). Третья колонка – это истинностные значения строгой дизъюнкции, которые она принимает в зависимости от всех (четырёх) наборов истинностных значений переменных. Четвёртая колонка – это истинностные значения отрицания первого простого высказывания: ¬ a . Пятая колонка – это истинностные значения конъюнкции, состоящей из вышеуказанной строгой дизъюнкции и отрицания, и, наконец, шестая колонка – это истинностные значения всей формулы, или импликации. Мы разбили всю формулу на составные части, каждая из которых является двучленным сложным суждением, т. е. состоящим из двух элементов (в предыдущем параграфе говорилось о том, что отрицание также представляет собой двучленное сложное суждение):

В четырёх последних колонках таблицы представлены истинностные значения каждого из этих двучленных сложных суждений, образующих формулу. Сначала заполним третью колонку таблицы. Для этого нам надо вернуться к предыдущему параграфу, где была представлена таблица истинности сложных суждений (см. табл. 6 ), которая в данном случае будет для нас базисной (как таблица умножения в математике). В этой таблице мы видим, что строгая дизъюнкция ложна, когда обе её части истинны или обе ложны; когда же одна её часть истинна, а другая ложна, тогда строгая дизъюнкция истинна. Поэтому значения строгой дизъюнкции в заполняемой таблице (сверху вниз) таковы: «ложно», «истинно», «истинно», «ложно». Далее заполним четвёртую колонку таблицы: ¬ а: когда утверждение два раза истинно и два раза ложно, тогда отрицание ¬ а, наоборот, два раза ложно и два раза истинно. Пятая колонка – это конъюнкция. Зная истинностные значения строгой дизъюнкции и отрицания, мы можем установить истинностные значения конъюнкции, которая истинна только тогда, когда истинны все входящие в неё элементы. Строгая дизъюнкция и отрицание, образующие данную конъюнкцию, одновременно истинны только в одном случае, следовательно конъюнкция один раз принимает значение «истинно», а в остальных случаях – «ложно». Наконец, надо заполнить последнюю колонку: для импликации, которая и будет представлять истинностные значения всей формулы. Возвращаясь к базисной таблице истинности сложных суждений, вспомним, что импликация ложна только в одном случае: когда её основание истинно, а следствие ложно. Основанием нашей импликации является конъюнкция, представленная в пятой колонке таблицы, а следствием простое суждение (b ), представленное во второй колонке. Некоторое неудобство в данном случае заключено в том, что слева направо следствие идёт раньше основания, однако мы всегда можем мысленно поменять их местами. В первом случае (первая строчка таблицы, не считая «шапки») основание импликации ложно, а следствие истинно, значит, импликация истинна. Во втором случае и основание, и следствие ложны, значит, импликация истинна. В третьем случае и основание, и следствие истинны, значит, импликация истинна. В четвёртом случае, как и во втором, и основание, и следствие ложны, значит, импликация истинна.

Рассматриваемая формула принимает значение «истинно» при всех наборах истинностных значений входящих в неё переменных, следовательно, она является тождественно-истинной, а рассуждение, формализацией которого она выступает, логически безупречно.

Рассмотрим ещё один пример. Требуется формализовать следующее рассуждение и установить, к какому виду относится выражающая его формула: «Если какое-либо здание является старым, то оно нуждается в капитальном ремонте. Это здание нуждается в капитальном ремонте. Следовательно, это здание старое ». Выделим простые высказывания, входящие в это рассуждение: «Какое-либо здание является старым», «Какое-либо здание нуждается в капитальном ремонте» . Первая часть рассуждения представляет собой импликацию: a > b , этих простых высказываний (первое является её основанием, а второе – следствием). Далее, к импликации присоединяется утверждение второго простого высказывания, и получается конъюнкция: (a > b ) ? b . И наконец, из этой конъюнкции вытекает утверждение первого простого высказывания, и получается новая импликация: ((a > b ) ? b ) > a , которая и является результатом формализации рассматриваемого рассуждения. Чтобы определить вид получившейся формулы, составим табл. 8 её истинности.

В формуле две переменные, значит, в таблице будет четыре строчки; также в формуле три союза (>, ?, >), значит, в таблице будет пять колонок. Первые две колонки – это истинностные значения переменных. Третья колонка – истинностные значения импликации.

Четвёртая колонка – истинностные значения конъюнкции. Пятая, последняя колонка – истинностные значения всей формулы – итоговой импликации. Таким образом, мы разбили формулу на три составные части, представляющие собой двучленные сложные суждения:

Заполним последовательно три последних колонки таблицы по тому же принципу, что и в предыдущем примере, т. е. опираясь на базисную таблицу истинности сложных суждений (см. табл. 6).

Рассматриваемая формула принимает как значение «истинно», так и значение «ложно» при различных наборах истинностных значений входящих в неё переменных, следовательно, она является выполнимой (нейтральной), а рассуждение, формализацией которого она выступает, логически корректно, но небезупречно: при ином содержании рассуждения такая форма его построения могла бы привести к ошибке, например: «Если слово стоит в начале предложения, то оно пишется с большой буквы. Слово «Москва» всегда пишется с большой буквы. Следовательно, слово «Москва» всегда стоит в начале предложения ».

Проверьте себя:

1. Что такое формализация высказывания или рассуждения? Придумайте какое-нибудь рассуждение и совершите его формализацию.

2. Формализуйте следующие рассуждения:

1) Если какое-либо вещество является металлом, то оно электропроводно. Медь является металлом. Следовательно, медь электропроводна.

2) Известный английский философ Фрэнсис Бэкон жил в XVII в., или в XV в., или в XIII в. Фрэнсис Бэкон жил в XVII в. Следовательно, он не жил ни в XV в., ни в XIII в.

3) Если ты не упрям, то ты можешь изменить своё мнение. Если же ты можешь изменить своё мнение, то ты способен признать данное суждение ложным. Следовательно, если ты не упрям, то ты способен признать данное суждение ложным.

4) Если сумма внутренних углов геометрической фигуры равна 180°, то такая фигура является треугольником. Сумма внутренних углов данной геометрической фигуры не равна 180°. Следовательно, данная геометрическая фигура не является треугольником.

5) Леса бывают хвойными, или лиственными, или смешанными. Этот лес не лиственный и не хвойный. Следовательно, этот лес смешанный.

3. Что представляют собой тождественно-истинные тождественно-ложные и выполнимые формулы? Что можно сказать о рассуждении, если результатом его формализации является тождественно-истинная формула? Каким будет рассуждение, если его формализация выражается тождественно-ложной формулой? Каковы, с точки зрения логической верности, рассуждения, которые при формализации приводят к выполнимым формулам?

4. Каким образом можно определить вид той или иной формулы, выражающей собой результат формализации некого рассуждения?

По какому алгоритму строятся и заполняются таблицы истинности для логических формул? Придумайте какое-нибудь рассуждение, формализуйте его и с помощью таблицы истинности определите вид получившейся формулы.

2.8. Виды и правила вопроса

Вопрос весьма близок к суждению. Это проявляется в том, что любое суждение можно рассматривать как ответ на некий вопрос.

Поэтому вопрос можно характеризовать в качестве логической формы, как бы предшествующей суждению, представляющей собой своего рода «предсуждение». Таким образом, вопрос – это логическая форма (конструкция), которая направлена на получение ответа в виде некоторого суждения.

Вопросы делятся на исследовательские и информационные.

Исследовательские вопросы направлены на получение нового знания. Это вопросы, на которые пока нет ответов. Например, вопрос: «Как родилась Вселенная? » – является исследовательским.

Информационные вопросы имеют своей целью приобретение (передачу от одного лица другому) уже имеющихся знаний (информации). Например, вопрос: «Какова температура плавления свинца? » – является информационным.

Вопросы также делятся на категориальные и пропозициональные.

Категориальные (восполняющие , специальные ) вопросы включают в себя вопросительные слова «кто», «что», «где», «когда», «почему», «как» и т. п., указывающие направление поиска ответов и, соответственно, категорию объектов, свойств или явлений, в которой следует искать нужные ответы.

Пропозициональные (от лат. propositio – суждение, предложение) (уточняющие , общие ) вопросы, которые также часто называют, направлены на подтверждение или отрицание некой уже имеющейся информации. В этих вопросах ответ как бы уже заложен в виде готового суждения, которое надо лишь подтвердить или отвергнуть. Например, вопрос: «Кто создал периодическую систему химических элементов? » – является категориальным, а вопрос: «Полезно ли изучение математики? » – пропозициональным.

Понятно, что и исследовательские, и информационные вопросы могут быть как категориальными, так и пропозициональными. Можно было бы выразиться наоборот: и категориальные, и пропозициональные вопросы могут быть как исследовательскими, так и информационными. Например: «Как создать универсальное доказательство теоремы Ферма? » – исследовательский категориальный вопрос:

«Есть ли во Вселенной планеты, населённые, как и Земля, разумными существами? » – исследовательский пропозициональный вопрос:

«Когда появилась логика? » – информационный категориальный вопрос: «Верно ли, что число ? – это отношение длины окружности к её диаметру? » – информационный пропозициональный вопрос.

Любой вопрос имеет определённую структуру, которая состоит из двух частей. Первая часть представляет собой некую информацию (выраженную, как правило, каким-нибудь суждением), а вторая часть указывает на её недостаточность и необходимость её дополнения каким-либо ответом. Первая часть, называется основной (базисной) (её также иногда называют предпосылкой вопроса ), а вторая часть – искомой . Например, в информационном категориальном вопросе: «Когда была создана теория электромагнитного поля? » – основная (базисная) часть – это утвердительное суждение: «Была создана теория электромагнитного поля », – а искомая часть, представленная вопросительным словом «когда », указывает на недостаточность информации, содержащейся в базисной части вопроса, и требует её дополнения, которое следует искать в области (категории) временных явлений. В исследовательском пропозициональном вопросе: «Возможны ли полёты землян в другие галактики? », – основная (базисная) часть представлена суждением: «Возможны полёты землян в другие галактики », – а искомая часть, выраженная частицей «ли », указывает на необходимость подтверждения или отрицания этого суждения. В данном случае искомая часть вопроса свидетельствует не об отсутствии какой-то информации, содержащейся в его базисной части, а об отсутствии знания о её истинности или ложности и требует это знание получить.

Наиболее важное логическое требование к постановке вопроса заключается в том, чтобы его основная (базисная) часть была истинным суждением. В этом случае вопрос считается логически корректным. Если же основная часть вопроса представляет собой ложное суждение, то вопрос следует признать логически некорректным. Подобные вопросы не требуют ответа и подлежат отвержению.

Например, вопрос: «Когда было предпринято первое кругосветное путешествие? » – является логически корректным, поскольку его основная часть выражена истинным суждением: «В истории человечества имело место первое кругосветное путешествие ». Вопрос: «В каком году знаменитый английский учёный Исаак Ньютон закончил работу над общей теорией относительности? » – логически некорректен, т. к. его основная часть представлена ложным суждением: «Автором общей теории относительности является знаменитый английский учёный Исаак Ньютон ».

Итак, основная (базисная часть) вопроса должна быть истинной и не должна быть ложной. Однако существуют логически корректные вопросы, основные части которых являются ложными суждениями. Например, вопросы: «Возможно ли создание вечного двигателя?», «Есть ли разумная жизнь на Марсе?», «Изобретут ли машину времени?» – несомненно, следует признать логически корректными, несмотря на то, что их базисные части представляют собой ложные суждения: «. Дело в том, что искомые части этих вопросов направлены на выяснение истинностных значений их основных, базисных частей, т. е. требуется выяснить, истинными или ложными являются суждения: «Возможно создание вечного двигателя», «Есть разумная жизнь на Марсе», «Изобретут машину времени» . В этом случае вопросы логически корректны. Если бы искомые части рассматриваемых вопросов не были направлены на выяснение истинности их основных частей, а имели бы своей целью нечто иное, эти вопросы являлись бы логически некорректными, например: «Где был создан первый вечный двигатель?», «Когда появилась разумная жизнь на Марсе?», «Сколько будет стоить путешествие на машине времени?» . Таким образом, главное правило постановки вопроса следует расширить и уточнить: основная (базисная) часть корректного вопроса должна быть истинным суждением; если же она является ложным суждением, то его искомая часть должна быть направлена на выяснение истинностного значения основной части; в противном случае вопрос будет логически некорректным. Нетрудно догадаться, что требование для основной части быть истинной, по преимуществу, относится к категориальным вопросам, а требование того, чтобы искомая часть была выяснением истинности основной части, относится к пропозициональным вопросам.

Надо отметить, что корректные категориальные и пропозициональные вопросы сходны между собой в том, что на них всегда можно дать истинный ответ (как, впрочем, и ложный). Например, на категориальный вопрос: «Когда закончилась первая мировая война? » – можно дать как истинный ответ: «В 1918 г. », – так и ложный: «В 1916 г. ». На пропозициональный вопрос: «Вращается ли Земля вокруг Солнца? » – также можно дать как истинный: «Да, вращается », – так и ложный: «Нет, не вращается », – ответ. Оба приведённых вопроса логически корректны. Итак, принципиальная возможность получения истинных ответов есть основной признак корректных вопросов. Если же получить истинные ответы на некие вопросы принципиально невозможно, то они являются некорректными. Например, нельзя получить истинный ответ на пропозициональный вопрос: «Закончится ли когда-нибудь первая мировая война? » – так же, как невозможно получить его на категориальный вопрос: «С какой скоростью вращается Солнце вокруг неподвижной Земли? ».

Любые ответы на эти вопросы необходимо будет признать неудовлетворительными, а сами вопросы – логически некорректными, подлежащими отвержению.

Проверьте себя:

1. Что такое вопрос? В чём заключается близость вопроса и суждения?

2. Чем отличаются исследовательские вопросы от информационных? Приведите по пять примеров исследовательских и информационных вопросов.

3. Что представляют собой категориальные и пропозициональные вопросы? Приведите по пять примеров категориальных и пропозициональных вопросов.

4. Охарактеризуйте приведённые ниже вопросы с точки зрения их принадлежности к исследовательским или информационным, а также – категориальным или пропозициональным:

1) Когда был открыт закон всемирного тяготения?

2) Смогут ли жители Земли расселиться на других планетах Солнечной системы?

3) В каком году родился Бонапарт Наполеон?

4) Каково будущее человечества?

5) Возможно ли предотвратить третью мировую войну?

5. Какова логическая структура вопроса? Приведите пример категориального исследовательского вопроса и выделите в нём основную (базисную) и искомую части. Сделайте то же самое с категориальным информационным вопросом, пропозициональным исследовательским вопросом и пропозициональным информационным вопросом.

6. Какие вопросы являются логически корректными, а какие – некорректными? Приведите по пять примеров логически корректных и некорректных вопросов. Может ли быть у логически корректного вопроса ложная основная часть? Достаточно ли для определения корректного вопроса требования истинности его основной части?

Что объединяет логически корректные категориальные и пропозициональные вопросы?

7. Дайте ответ, какие из приведённых ниже вопросов являются логически корректными, а какие некорректными:

1) Во сколько раз планета Юпитер превосходит по размерам Солнце?

2) Какова площадь Тихого океана?

3) В каком году Владимир Владимирович Маяковский написал поэму «Облако в штанах»?

4) Как долго продолжалась плодотворная совместная научная работа Исаака Ньютона и Альберта Эйнштейна?

5) Чему равна длина экватора земного шара?

        Основным понятием математической логики является понятие «простого высказывания». Под высказыванием обычно понимают всякое повествовательное предложение, утверждающее что-либо о чем-либо, и при этом мы можем сказать, истинно оно или ложно в данных условиях места и времени. Логическими значениями высказываний являются «истина» и «ложь».

        Примеры высказываний.
        1) Москва стоит на Неве.
        2) Лондон - столица Англии.
        3) Сокол не рыба.
        4) Число 6 делится на 2 и на 3.

        Высказывания 2), 3), 4) истинны, а высказывание 1) ложно.
        Очевидно, предложение «Да здравствует Россия!» не является высказыванием.
        Различают два вида высказываний.
        Высказывание, представляющее собой одно утверждение, принято называть простым или элементарным. Примерами элементарных высказываний могут служить высказывания 1) и 2).
        Высказывания, которые получаются из элементарных с помощью грамматических связок «не», «и», «или», «если.... то...», «тогда и только тогда», принято называть сложными или составными.
        Так, высказывание 3) получается из простого высказывания «Сокол - рыба» с помощью отрицания «не», высказывание 4) образовано из элементарных высказываний «Число 6 делится на 2», «Число 6 делится на З», соединенных союзом «и».
        Аналогично сложные высказывания могут быть получены из простых высказываний с помощью грамматических связок «или», «тогда и только тогда».
        В алгебре логики все высказывания рассматриваются только с точки зрения их логического значения, а от их житейского содержания отвлекаются. Считается, что каждое высказывание либо истинно, либо ложно и ни одно высказывание не может быть одновременно истинным и ложным.
        Элементарные высказывания обозначаются малыми буквами латинского алфавита: х, у, z, ..., а, b, с, ...; истинное значение высказывания цифрой 1, а ложное значение - буквой цифрой 0.
        Если высказывание а истинно, то будем писать а = 1 , а если а ложно, то а = 0 .

Логические операции над высказываниями

Отрицание.

        Отрицанием высказывания х называется новое высказывание x , которое является истинным, если высказывание х ложно, и ложным, если высказывание х истинно.
        Отрицание высказывания х обозначается x читается «не х» или «неверно, что х» .
        Логические значения высказывания x можно описать с помощью таблицы.

        Таблицы такого вида принято называть таблицами истинности.
        Пусть х высказывание. Так как x также является высказыванием, то можно образовать отрицание высказывания x , то есть высказывание , которое называется двойным отрицанием высказывания х . Ясно, что логические значения высказываний х и совпадают.
        Например, для высказывания «Путин президент России» отрицанием будет высказывание «Путин не президент России», а двойным отрицанием будет высказывание «Неверно, что Путин не президент России».

Конъюнкция.

        Конъюнкцией (логическим умножением) двух высказываний х и у называется новое высказывание, которое считается истинным, если оба высказывания х и у истинны, и ложным, если хотя бы одно из них ложно.
        Конъюнкция высказываний х и у обозначается символом х&у (x∧y, ху) , читается «х и у» . Высказывания х и у называются членами конъюнкции.
        Логические значения конъюнкции описываются следующей таблицей истинности:

        Например, для высказываний «6 делится на 2», «6 делится на 3» их конъюнкцией будет высказывание «6 делится на 2 и 6 делится на 3», которое, очевидно, истинно.
        Из определения операции конъюнкции видно, что союз «и» в алгебре логики употребляется в том же смысле, что и в повседневной речи. Но в обычной речи не принято соединять союзом «и» два высказывания далеких друг от друга по содержанию, а в алгебре логики рассматривается конъюнкция двух любых высказываний.

Дизъюнкция

        Дизъюнкцией (логическим сложением) двух высказываний х и у называется новое высказывание, которое считается истинным, если хотя бы одно из высказываний х, у истинно, и ложным, если они оба ложны. Дизъюнкция высказываний х, у обозначается символом «x V у» , читается «х или у» . Высказывания х, у называются членами дизъюнкции.
        Логические значения дизъюнкции описываются следующей таблицей истинности:

        В повседневной речи союз «или» употребляется в различном смысле: исключающем и не исключающем. В алгебре логики союз «или» всегда употребляется в не исключающем смысле.

Импликация.

        Импликацией двух высказываний х и у называется новое высказывание, которое считается ложным, если х истинно, а у - ложно, и истинным во всех остальных случаях.
        Импликация высказываний х, у обозначается символом x→y , читается «если х, то у» или «из х следует у». Высказывание х называют условием или посылкой, высказывание у - следствием или заключением, высказывание x→y следованием или импликацией.
        Логические значения операции импликации описываются следующей таблицей истинности:

        Употребление слов «если.... то...» в алгебре логики отличается от употребления их в обыденной речи, где мы, как правило, считаем, что, если высказывание х ложно, то высказывание «Если х, то у» вообще не имеет смысла. Кроме того, строя предложение вида «если х, то у» в обыденной речи, мы всегда подразумеваем, что предложение у вытекает из предложения х . Употребление слов «если..., то...» в математической логике не требует этого, поскольку в ней смысл высказываний не рассматривается.
        Импликация играет важную роль в математических доказательствах, так как многие теоремы формулируются в условной форме «Если х, то у». Если при этом известно, что х истинно и доказана истинность импликации x→y , то мы вправе сделать вывод об истинности заключения у .

Эквивалентность.

        Эквивалентностью двух высказываний х и у называется новое высказывание, которое считается истинным, когда оба высказывания х, у либо одновременно истинны, либо одновременно ложны, и ложным во всех остальных случаях.
        Эквивалентность высказываний х, у обозначается символом x↔y , читается «для того, чтобы х, необходимо и достаточно, чтобы у» или «х тогда и только тогда, когда у». Высказывания х, у называются членами эквивалентности.
        Логические значения операции эквивалентности описываются следующей таблицей истинности:

        Эквивалентность играет важную роль в математических доказательствах. Известно, что значительное число теорем формулируется в форме необходимых и достаточных условий, то есть в форме эквивалентности. В этом случае, зная об истинности или ложности одного из двух членов эквивалентности и доказав истинность самой эквивалентности, мы зак­лючаем об истинности или ложности второго члена эквивалентности.

Суждения бывают простые и сложные; последние состоят из нескольких простых. Суждение «Некоторые звери делают запасы на зиму» - простое, а суждение «Наступила осень, дни стали короче, и перелетные птицы отправились в теплые края» - сложное, состоящее из трех простых суждений.

Виды простых ассерторических суждений

Это суждения, в которых один субъект и один предикат. Простые суждения бывают трех видов:

1 . Суждения свойства (атрибутивные).

В них утверждается или отрицается принадлежность предмету известных свойств, состояний, видов деятельности. Примеры: «Мед сладкий», «Шопен не является драматургом». Схемы этого вида суждения: « S есть Р » или «S не есть Р».

2. Суждения с отношениями.

В них говорится об отношениях между предметами. Например: «Всякий протон тяжелее электрона», «Французский писатель Виктор Гюго родился позднее французского писателя Стендаля», «Отцы старше своих детей» и др.

Формула, выражающая суждение с двуместным отношением, записывается как аRb или R(а, b), где а и b - имена предметов, а К - имя отношения. В суждении с отношением может что-либо утверждаться или отрицаться не только о двух, но и о трех, четырех или большем числе предметов, например: «Москва находится между Санкт-Петербургом и Киевом». Такие суждения выражаются формулой R(а„ а 2 , а 3 , ..., а„).

3. Суждения существования (экзистенциальные).

В них утверждается или отрицается существование предметов (материальных или идеальных) в действительности. Примеры этих суждений: «Существуют атомные электростанции», «Не существует беспричинных явлений».

В традиционной логике все три указанных вида суждений представляют собой простые категорические суждения. По качеству связки («есть» или «не есть») категорические суждения делятся на утвердительные и отрицательные. Суждения «Некоторые учителя являются талантливыми воспитателями» и «Все ежи колючие» утвердительные. Суждения «Некоторые книги не являются букинистическими» и «Ни один кролик не является хищным животным» отрицательные. Связка «есть» в утвердительном суждении отражает присущность предмету (предметам) некоторых свойств. Связка «не есть» отражает то, что предмету (предметам) не присуще некоторое свойство.

Некоторые логики считали, что в отрицательных суждениях нет отражения действительности. На самом деле отсутствие определенных признаков также представляет собой действительный признак, имеющий объективную значимость. В отрицательном истинном суждении наша мысль разъединяет (разделяет), то, что находится разделенным в объективном мире.

В познании утвердительное суждение имеет в общем случае большее значение, чем отрицательное, ибо важнее раскрыть, каким признаком обладает предмет, чем то, каким он не обладает, так как любой предмет не обладает очень многими свойствами (например, дельфин не рыба, не насекомое, не растение, не пресмыкающееся и т. д.).

В зависимости от того, обо всем ли классе предметов, о части этого класса или об одном предмете идет речь в субъекте, суждения делятся на общие, частные и единичные. Например: «Все соболи - ценные пушные звери» и «Все здравомыслящие люди хотят долгой, счастливой и полезной жизни» (П.Брэгг) общие суждения; «Некоторые животные - водоплавающие» - частное; «Везувий действующий вулкан» - единичное.

Структура общего суждения: «Все S суть (не суть) Р». Единичные суждения будут трактоваться как общие, так как их субъектом является одноэлементный класс.

Среди общих суждений встречаются выделяющие суждения, в состав которых входит кванторное слово «только». Примеры выделяющих суждений: «Брэгг пил только дистиллированную воду»; «Смелый человек не боится правды. Ее боится только трус» (А. К. Доил).

Среди общих суждений имеются исключающие суждения, например: «Все металлы при температуре 20°С, за исключением ртути, твердые». К числу исключающих суждений относятся и те, в которых выражены исключения из тех или иных правил русского или иных языков, правил логики, математики, других наук.

Частные суждения имеют структуру: «Некоторые S суть (не суть) Р». Они делятся на неопределенные и определенные. Например, «Некоторые ягоды ядовиты» ‑ неопределенное частное суждение. Мы не установили, обладают ли признаком ядовитости все ягоды, но не установили и то, что признаком ядовитости не обладают некоторые ягоды. Если мы установили, что «только некоторые S обладают признаком Р», то это будет определенное частное суждение, структура которого: «Только некоторые S суть (не суть) Р». Примеры: «Только некоторые ягоды ядовиты»; «Только некоторые фигуры являются сферическими»; «Только некоторые тела легче воды».

В определенных частных суждениях часто применяются кванторные слова : большинство, меньшинство, немало, не все, многие, почти все, несколько и др.

В единичном суждении субъектом является единичное понятие. Единичные суждения имеют структуру: «Это S есть (не есть) Р». Примеры единичных суждений: «Озеро Виктория не находится в США»; «Аристотель - воспитатель Александра Македонского»; «Эрмитаж - один из крупнейших в мире художественных и культурно-исторических музеев».

Объединенная классификация простых категорических суждений по количеству и качеству

В каждом суждении имеется количественная и качественная характеристики. Поэтому в логике применяется объединенная классификация суждений по количеству и качеству, на основе которой, выделяются следующие четыре типа суждений:

1. А - общеутвердительное суждение. Структура его: «Все «S суть Р». Например: «Все люди хотят счастья».

2. I - частноутвердительное суждение. Структура его: «Некоторые S есть Р». Например, «Некоторые уроки стимулируют творческую активность учащихся». Условные обозначения для утвердительных суждений взяты от слова AFFIRMO, или утверждаю; при этом берутся две первые гласные буквы: А - для обозначения общеутвердительного и I - для обозначения частноутвердительного суждения.

Е - общеотрицательное суждение. Его структура: «Ни одно S не есть Р». Пример: «Ни один океан не является пресноводным».

О - частноотрицательное суждение. Структура его: «Некоторые S не есть Р». Например, «Некоторые спортсмены не являются чемпионами Олимпийских игр». Условное обозначение для отрицательных суждений взяты от слова NEGO, или отрицаю .

Распределенность терминов в категорических суждениях

Так как простое категорическое суждение состоит из терминов S и Р, которые, являясь понятиями, могут рассматриваться со стороны объема, то любое отношение между S и Р в простых суждениях может быть изображено при помощи круговых схем Эйлера, отражающих отношения между понятиями. В суждениях термины S и Р могут быть либо распределены, либо не распределены. Термин считается распределенным, если его объем полностью включается в объем другого термина или полностью исключается из него. Термин будет нераспределенным, если его объем частично включается в объем другого термина или частично исключается из него. Проанализируем четыре вида суждений: А, I, E, О (мы рассматриваем типичные случаи).

Суждение А - общеутвердительное. Его структура: «Все S суть Р». Рассмотрим два случая.

1. В суждении «Все караси - рыбы» субъектом является понятие «карась», а предикатом - понятие «рыба». Квантор общности - «все». Субъект распределен, так как речь идет о всех карасях, т.е. его объем полностью включен в объем предиката. Предикат не распределен, так как в нем мыслится только часть рыб, которые совпадают с карасями; речь идет лишь о той части объема предиката, которая совпадает с объемом субъекта.

2. В суждении «Все квадраты - равносторонние прямоугольники» термины такие: S - «квадрат», Р - «равносторонний прямоугольник» и квантор общности - «все». В этом суждении S распределен и Р распределен, ибо их объемы полностью совпадают.

Если S равен по объему Р, то Р распределен. Это бывает в определениях и в выделяющих общих суждениях.

Суждение I - частноутвердительное. Его структура: «Некоторые S суть Р». Рассмотрим два случая.

1. В суждении «Некоторые подростки - филателисты» термины такие:

S - «подросток», Р - «филателист», квантор существования - «некоторые». Субъект не распределен, так как в нем мыслится только часть подростков, т.е. объем субъекта лишь частично включается в объем предиката. Предикат тоже не распределен, так как он также лишь частично включен в объем субъекта (только некоторые филателисты являются подростками).

2. В суждении «Некоторые писатели - драматурги» термины такие: S - «писатель», Р - «драматург» и квантор существования - «некоторые». Субъект не распределен, так как в нем мыслится только часть писателей, т. е. объем субъекта лишь частично включается в объем предиката. Предикат распределен, ибо объем предиката полностью входит в объем субъекта. Таким образом, Р распределен, если объем Р меньше объема S, что бывает в частных выделяющих суждениях.

Суждение Е - общеотрицательное. Его структура: «Ни одно S не суть Р». Например: «Ни один лев не есть травоядное животное». В нем термины такие: S - «лев», Р - «травоядное животное» и кванторное слово - «ни один». Здесь объем субъекта полностью исключается из объема предиката, и наоборот.

Суждение О - частноотрицательное. Его структура: «Некоторые S не суть Р». Например: «Некоторые учащиеся не являются спортсменами». В нем такие термины: S - «учащийся», Р - «спортсмен» и квантор существования - «некоторые». Субъект не распределен, так как мыслится лишь часть учащихся, а предикат распределен, ибо в нем мыслятся все спортсмены, ни один из которых не включен в ту часть учащихся, которая мыслится в субъекте.

Итак, S распределен в общих суждениях и не распределен в частных; Р всегда распределен в отрицательных суждениях, в утвердительных же он распределен тогда, когда по объему Р ≤ S .

Отношения между простыми суждениями

Отношения между простыми суждениями определяются, с одной стороны, их конкретным содержанием, а с другой - логической формой: характером субъекта, предиката, логической связки. Поскольку по характеру предиката простые суждения делятся, прежде всего, на атрибутивные и суждения с отношением, то рассмотрим каждый из этих видов в отдельности.

Отношения между атрибутивными суждениями. По своему содержанию атрибутивные суждения могут находиться в двух важнейших отношениях сравнимости и несравнимости.

Несравнимые суждения. У них разные субъекты или предикаты или то и другое вместе. Таковы, например, суждения "Космос необъятен" и "Закон суров". В подобных случаях истинность или ложность одного из суждений непосредственно не зависит от истинности или ложности другого. Она прямо определяется отношением к действительности соответствием или несоответствием ей. Правда, в условиях универсальной связи и взаимодействия предметов и явлений действительности суждения о них не могут быть абсолютно независимыми друг от друга. Очевидна лишь их относительная самостоятельность и независимость с точки зрения истинности или ложности. Так если истинно суждение "Энергия сохраняется" (а не исчезает, и не возникает из ничего, как гласит закон сохранения и превращения энергии), то будет ложным суждение "Вечный двигатель возможен", хотя по конкретному содержанию они не имеют ничего общего, ни субъекта, ни предиката, а, следовательно, являются несравнимыми.

Так в предложении может быть одинаковым субъект или предикат. Например: "Закон суров" и "Закон вступил в силу" или "Закон вступил в силу" и "Указ вступил в силу". И хотя смысловое различие здесь меньше, чем в предыдущем случае, они тоже не могут соотноситься между собой по истинности или ложности. Поэтому в дальнейшем их анализ не производится.

Сравнимые суждения. Они, наоборот, имеют одинаковые термины - и субъект, и предикат, но могут различаться по количеству и качеству. Это суждения, как говорят, "одинаковой материи", а, следовательно, сопоставимы по истинности и ложности.

По своей логической форме, прежде всего, по количеству и качеству сравнимые суждения подразделяются на совместимые и несовместимые.

Совместимые суждения содержат одну и ту же мысль полностью или частично. Между ними возникают следующие логические отношения: эквивалентности, подчинения, частичной совместимости.

Эквивалентность (равнозначность) это отношение между суждениями, у которых субъект и предикат выражены одни и теми же или равнозначными понятиями (хотя и разными словами), причем и количество и качество одни и те же. Таково например, общеутвердительные суждения "Все адвокаты юристы" и "Все защитники в суде имеют специальное юридическое образование". Аналогично может обстоять дело и с общеотрицательными, частноутвердительными и частноотрицательными суждениями. Отношения между такого рода суждениями по их истинности или ложности характеризуются взаимно однозначным соответствием: они или одновременно истинны, или одновременно ложны. Поэтому если истинно одно, то истинно другое, а если одно ложно, то и другое ложно.

Последующие отношения между простыми атрибутивными суждениями - А, Е, I, О - для наглядности изображают графически в виде логического квадрата.

Его вершины символизируют простые категорические суждения - А, Е, I, О; стороны и диагонали отношения между суждениями. Противоположность (контрарность) (рис. 3.2.1).

Рис. 3.2.1. Логический квадрат

Подчинение - это отношение между такими суждениями, у которых количество различно, а качество одно и то же. В таком отношении находятся общеутвердительное (А) и частноутвердительное (I), общеотрицательное (Е) и частноотрицательное (О) суждения. При подчинении действуют следующие закономерности:

а) из истинности подчиняющего (А или Е) следует истинность подчиненного (соответственно I или О), но не наоборот;

б) из ложности подчиненного (I или О) следует ложность подчиняющего (соответственно А или Е), но не наоборот.

Примеры. Если истинно А, что "Все адвокаты - юристы", то тем более истинно, что "По крайней мере, некоторые адвокаты - юристы". Но если истинно, что "Некоторые свидетели правдивы", то отсюда еще не следует, что истинно А: "Все свидетели правдивы". В данном случае это ложное суждение. В других случаях А может быть истинным. Например: если истинно, что "Некоторые адвокаты - юристы", то истинно А, что "Все адвокаты - юристы". В свою очередь, если ложно I, что "Некоторые граждане вправе нарушать законы", то тем более ложно А, что "Все граждане вправе нарушать законы". Но если ложно А, что "Все свидетели правдивы", то отсюда еще не следует, что ложно I: "Некоторые свидетели правдивы". В данном случае это истинное суждение. В других случаях I может быть ложным. Например: если ложно А, что "Все граждане вправе нарушать законы", то ложно и I, что "Некоторые граждане вправе нарушать законы". Истинным будет Е, что "Ни один гражданин не вправе нарушать законы".

Частичная совместимость (субконтрарность) - это отношение между суждениями одинакового количества, но разного качества: между частноутвердительными (I) и частноотрицательными (О) суждениями. Для нее характерна следующая закономерность: оба суждения могут быть одновременно истинными, но не могут быть одновременно ложными. Из ложности одного из них следует истинность другого, но не наоборот. Например, при истинности I, что "Некоторые свидетели правдивы", может быть истинно и О, что "Некоторые свидетели не правдивы". Но оно может быть и ложным. Например, если истинно, что "Некоторые адвокаты - юристы", то это не значит, что истинно О: "Некоторые адвокаты - не юристы". Оно ложно. Однако если ложно I, что "Некоторые граждане вправе нарушать законы", то не может быть ложным О, что "По крайней мере, некоторые граждане не вправе нарушать законы". Оно будет непременно истинным.

Несовместимые суждения. Они имеют следующие логические отношения: противоположности и противоречия.

Противоположность - это отношение между общеутвердительными (А) и общеотрицательными (Е) суждениями. Оба таких суждения не могут быть одновременно истинными, но могут быть одновременно ложными. Из истинности одного непременно следует ложность другого, но не наоборот. Тут, следовательно, закономерность, обратная той, что характеризовала отношения частичной совместимости. Так, если истинно А, что "Все адвокаты - юристы", то ложно Е, что "Ни один адвокат - не юрист". И если истинно Е, что "Ни один гражданин не вправе нарушать законы", то ложно А, что "Все граждане вправе нарушать законы". Но если ложно А, что "Все свидетели правдивы", то отсюда еще не следует истинность Е, что "Ни один свидетель не правдив". В данном случае оно тоже ложное. Истинно здесь I, что "Некоторые свидетели правдивы". Ложно, что "Некоторые свидетели не правдивы". В других случаях Е может быть истинным. Так, если ложно А, что "Все граждане вправе нарушать законы", то истинно Е, что "Ни один гражданин не вправе нарушать законы".

Противоречие (контрадикторность) - отношение между такими суждениями, как общеутвердительное (А) и частноотрицательное (О), общеотрицательное (Е) и частноутвердительное (I). Им присущи следующие закономерности: они не могут быть одновременно истинными и не могут быть одновременно ложными. Из истинности одного непременно следует ложность другого и наоборот. Это "самые несовместимые" из всех суждений, межу ними, образно говоря, отношения "кошки и собаки", поскольку те не могут ужиться друг с другом.

Примеры. Если истинно А, что "Все адвокаты - юристы", то ложно О, что "Некоторые адвокаты - не юристы". Если ложно А, что "Все свидетели правдивы", то истинно О, что "Некоторые свидетели не правдивы".

Знание отношений между простыми атрибутивными суждениями по их истинности и ложности важно в познавательном и практическом отношении. Оно помогает, прежде всего, избегать возможных логических ошибок в собственных рассуждениях. Так, из истинности частного суждения (I или О) нельзя выводить истинность общего (А или Е). Например, из того, что "Некоторые судьи неподкупны", еще не следует, что "Все судьи неподкупны". Подобная ошибка называется в логике поспешным обобщением и допускается часто .

В дискуссии, споре, в частности по юридическим вопросам чтобы опровергнуть общее ложное суждение, вовсе не обязательно прибегать к противоположному общему суждению, так как легко попасть впросак: оно может оказаться тоже ложным. Вспомним пример: если ложно А, что "Все свидетели правдивы", то это еще не значит, что истинно Е: "Ни один свидетель не правдив". Оно тоже ложно, хотя в других случаях Е может оказаться истинным. В логическом отношении достаточно привести противоречащее суждение О: "Некоторые свидетели не правдивы". Если А ложно, то О всегда истинно. Это самый безопасный и неуязвимый, наиболее надежный способ опровержения .

Отношения между суждениями с отношениями. Реляционные суждения (или суждения об отношениях между предметами мысли), как уже отмечалось, имеют нечто общее с атрибутивными суждениями: трехчленность строения (xRy), наличие количества и качества. Поэтому они могут находиться тоже в отношениях подчинения, частичной совместимости, противоположности, противоречия или же логической независимости. Так, если истинно I, что "Некоторые металлы легче воды", то это еще не значит, что истинно А: "Все металлы легче воды", но означает, что ложно Е - "Ни один металл не легче воды" и что неопределенно О, "Некоторые металлы не легче воды" (в данном случае оно истинно).

В то же время реляционные суждения отличаются от атрибутивных тем, что раскрывают не свойства предметов, а отношения между предметами и, следовательно, имеют не одночленный (одноместный) предикат, а многочленный (n-местный от двух и более). Поэтому в зависимости от характера отношения R между предметами х и у внутри суждения устанавливаются свои, особые отношения.

Отношения между х и у могут быть, прежде всего, симметричными и несимметричными.

Симметричные (от греч. symmetria - соразмерность) - это такие отношения между х и у, для которых не имеет значения, какой из этих членов предшествующий, а какой последующий. Иначе говоря, их можно менять местами, при этом истинность или ложность не изменится. Это раскрываемые в суждениях отношения равенства, сходства, подобия, одновременности и др. Например: "Иван - брат Петра". Следовательно, "Петр - брат Ивана". Такие два реляционных суждения могут быть одновременно истинными либо одновременно ложными. Если истинно одно из них, то истинно и другое, и наоборот, если ложно одно из них, то ложно и другое.

Несимметричными являются такие отношения между х и у, при которых важен порядок их расположения. Поэтому менять их местами нельзя без изменения смысла суждения, следовательно, его истинности или ложности. Например: "Иван - отец Степана". Но это не значит, что "Степан - отец Ивана". Если истинно одно из этих суждений, то ложно другое. Истинным здесь будет "Степан сын Ивана". Несимметричными оказываются и такие отношения: "Иван любит Марью". Отсюда вовсе не следует, что "Марья любит Ивана", но может любить его, а может и не любить. Если истинно одно из таких суждений, то другое - неопределенно.

Важно также учитывать относительный характер различий между симметричностью и несимметричностью. Симметричное в одном отношении может быть несимметричным и в другом и наоборот. Например: если "Иван -брат Петра", то "Петр - брат Ивана". Но если "Иван - брат Елены", то это значит, что "Елена - естра Ивана".

Отношения между х и у могут быть транзитивными и нетранзитивными.

Транзитивные, или переходные отношения (от лат. transitive - переход). Если, например, х эквивалентно у, а у эквивалентно z, то и х эквивалентно z. Это могут быть также отношения величины (больше - меньше), пространственные (дальше - ближе), временные (раньше - позже) и др. Например: "Иван - брат Петра", "Петр - брат Елены", значит, "Иван - брат Елены". Такие суждения могут быть либо одновременно истинными, либо одновременно ложными.

Нетранзитивные (непереходные) отношения обладают обратной зависимостью по сравнению с предыдущей. Так, если "Иван - отец Степана", а "Степан - отец Николая", то это вовсе не значит, что "Иван отец Николая". Он ему дед, следовательно, такие суждения не могут быть одновременно истинными. Если истинно одно, то ложно другое.

Есть еще отношения рефлексивности и нерефлексивности.

Рефлексивные отношения (от лат. reflexio - обращение назад, отражение) характеризуются тем, что каждый член отношения находятся в таком же отношении к самому себе. Если два события произошли одновременно, то они одновременны между собой. Оба суждения могут быть либо истинными, либо ложными.

Нерефлексивные отношения таковы, что если 2 меньше 3, то это не значит, что 2 меньше 2 и 3 меньше 3. Из истинности одного следует ложность другого.

Знание особенностей подобных отношений между реляционными суждениями по их истинности или ложности важны всюду, где есть такого рода отношения. Особое значение это имеет в сфере правовых отношений. Так, в судебной практике учитываются одновременность или разновременность событий, отношения родства, знакомства между людьми и т.д. Например, если Иванов знает Петрова, а Петров - Сидорова, то это еще не значит, что Иванов знает Сидорова. Тут отношения нетранзитивные со всеми вытекающими отсюда последствиями по истинности и ложности между раскрывающими их реляционными суждениями .

Сложные суждения

Сложные суждения отличаются от простых также по своим функциям и структуре. Их функции носят более сложный характер, так как в них раскрывается не одна, а одновременно несколько - две или более - связей между предметами мысли. Их структура тоже характеризуется большей сложностью, обретая новое качество. Основными структурообразующими элементами здесь выступают уже не понятия-термины (субъект и предикат), а самостоятельные суждения (причем их внутренняя субъектно-предикатная структура уже не учитывается). И связь между ними осуществляется не с помощью связки "есть" ("не есть"), а в качественно иной формы - посредством логических союзов (они называются также логическими связками). Это такие союзы, как "и", "или", "либо", "если... то" и др. Они близки по смыслу к соответствующим грамматическим союзам, но, как будет показано ниже, полностью с ними не совпадают. Главное их отличие сводится к тому, что они однозначны, тогда как грамматические союзы могут иметь множество смыслов и оттенков .

Каждый из логических союзов является бинарным, т.е. соединяет между собой только два суждения независимо от того, простые они или сами, в свою очередь, сложные, имеющие внутри себя собственные союзы.

Если в простых суждениях переменными были субъект и предикат (S и Р), а постоянными - логические связки "есть" и "не есть", то в сложных суждениях переменными выступают уже отдельные, далее нерасчленяемые суждения (назовем их "А" и "В"), а постоянными - логические союзы: "и", "или" и др.

В русском языке сложные суждения имеют весьма многообразные формы выражения. Они могут выражаться, прежде всего, сложносочиненными предложениями. Например: "Ни один виновный не должен уйти от ответственности, и ни один невиновный не должен пострадать". Они могут быть выражены также сложноподчиненными предложениями. Таково, например, высказывание Цицерона: "Ведь если бы даже ознакомление с правом представляло огромную трудность, то и тогда сознание его великой пользы должно было бы побуждать людей к преодолению этой трудности".

Наконец, они могут облекаться и в особую форму простых распространенных предложений. Этого нетрудно добиться, например, в результате своеобразного "свертывания" сложных предложений. Так, сложносочиненное предложение "Аристотель был великим логиком, и Гегель тоже был великим логиком" можно превратить в простое распространенное: "Аристотель и Гегель были великими логиками". Благодаря такому "свертыванию" достигается большая лаконичность речи, следовательно, ее экономность и динамичность.

Таким образом, не всякое сложное суждение выражается непременно сложным предложением, но всякое сложное предложение выражает сложное суждение.

Сложным называют суждение, включающее в качестве составных частей другие суждения, связанные логическими связками - конъюнкцией, дизъюнкцией или импликацией. В соответствии с функциями логических связок основными видами сложных суждений являются: 1) соединительные, 2) разделительные, 3) условные и 4) эквивалентные суждения.

Соединительным (конъюнктивным) суждением называют суждение, включающее в качестве составных частей другие суждения-конъюнкты, объединяемые связкой "и". Например: "Кража и мошенничество относятся к умышленным преступлениям". Если одно из составляющих суждений - "Кража относится к умышленным преступлениям" - обозначить символом р, другое суждение - "Мошенничество относится к умышленным преступлениям" - символом q, а связь между ними знаком, то в целом соединительное суждение можно символически выразить как рлq.

В естественном языке соединительные суждения могут быть выражены одним из трех способов.

Соединительная связка выражена в сложном субъекте, состоящем из конъюнктивно связанных понятий, по схеме: S 1 , и S 2 , есть Р. Например, "Конфискация имущества и лишение звания являются дополнительными видами уголовного наказания".

Соединительная связка выражена в сложном предикате, состоящем из конъюнктивно связанных признаков, по схеме: S есть Р 1 и Р 2 . Например, "Преступление - это общественноопасное и противоправное деяние".

Соединительная связка представлена сочетанием первых двух способов по схеме: S 1 и S 2 есть P 1 и Р 2 . Например, "С полицеймейстером и прокурором Ноздрев тоже был на "ты" и обращался по-дружески" (Н. В. Гоголь, "Мертвые души").

Конъюнктивная связка грамматически выражается не только союзом "и", но и словами "а", "но", "также", "как", "так и", "хотя", "однако", "несмотря на", "вместе с тем" и др.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное агентство по образованию

Санкт-Петербургский государственный университет сервиса и экономики

Юридический институт

По дисциплине: Логика

на тему: Сложные суждения

Санкт-Петербург

Понятие простого суждения

Суждение – форма мышления, посредством которой что-либо утверждается или отрицается о предмете (ситуации) и которая обладает логическим значением истины или ложности. Данное определение характеризует простое суждение.

Наличие утверждения или отрицания описываемой ситуации отличает суждение от понятия .

Характерной особенностью суждения с логической точки зрения является то, что оно – при логически правильном его построении – всегда истинно или ложно. И связано это как раз с наличием в суждении утверждения или отрицания чего-либо. Понятие, которое в отличие от суждения содержит только описание предметов и ситуаций с целью их мысленного выделения, не имеет истинностных характеристик.

Суждение следует отличать и от предложения. Звуковая оболочка суждения – предложение . Суждение всегда является предложением, но не наоборот. Суждение выражается в повествовательном предложении, в котором утверждается, отрицается или сообщается что-либо. Таким образом, вопросительное, побудительное и повелительное предложения суждениями не являются. Структуры предложения и суждения не совпадают. Грамматический строй одного и того же предложения различается в разных языках, тогда как логический строй суждения всегда одинаков у всех народов.

Следует отметить также отношения между суждением и высказыванием. Высказывание – это утверждение или повествовательное предложение, о котором можно сказать, что оно истинно или ложно. Иными словами, утверждение о ложности или истинности высказывания должно иметь смысл. Суждение является содержанием любого высказывания. Такие предложения, как «число n является простым» , невозможно считать высказыванием, так как о нем нельзя сказать, является ли оно истинным или ложным. В зависимости от того, какое содержание будет иметь переменная «n», можно установить его логическое значение. Подобные выражения называются пропозициональными переменными. Высказывание обозначается одной какой-либо буквой латинского алфавита. Оно рассматривается как неразложимая единица. Это значит, что в нем не разглядывается никакая структурная единица в качестве его части. Такое высказывание называется атомарным (элементарным) и соответствует простому суждению. Из двух и более атомарных высказываний посредством логических операторов (связок) образуется сложное или молекулярное высказывание. В отличие от высказывания суждение представляет собой конкретное единство субъекта и объекта, связанных по смыслу.

Примеры суждений и высказываний:

Простое высказывание – А; простое суждение – «S есть (не есть) P».

Сложное высказывание – A→B; сложное суждение – «если S1 есть P1, то S2 есть P2».

Состав простого суждения

В традиционной логике установилось членение суждения на субъект, предикат и связку.

Субъект – часть суждения, в которой выражается предмет мысли.

Предикат – часть суждения, в которой что-либо утверждается либо отрицается о предмете мысли. Например, в суждении «Земля – планета Солнечной системы» субъектом является «Земля», предикатом «планета солнечной системы». Нетрудно заметить, что логический субъект и предикат не совпадают с грамматическими, т. е. с подлежащим и сказуемым.

Вместе субъект и предикат называются терминами суждения и обозначаются соответственно латинскими символами S и P.

Кроме терминов, суждение содержит связку. Как правило, связка выражается словами «есть», «суть», «является», «быть». В приведенном примере она опущена.

Понятие сложного суждения

Сложное суждение – суждение, образованное из простых посредством логических союзов конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквивалентности.

Логический союз – это способ соединения простых суждений в сложное, при котором логическое значение последнего устанавливается в соответствии с логическими значениями составляющих его простых суждений.

Особенность сложных суждений заключается в том, что их логическое значение (истинность или ложность) определяется не смысловой связью простых суждений, составляющих сложное, но двумя параметрами:

1) логическим значением простых суждений, входящих в сложное;

2) характером логической связки, соединяющей простые суждения;

Современная формальная логика отвлекается от содержательной связи между простыми суждениями и анализирует такие высказывания, в которых эта связь может отсутствовать. Например, «Если квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, то на Солнце существуют высшие растения».

Логическое значение сложного суждения устанавливается при помощи таблиц истинности. Таблицы истинности строятся следующим образом: на входе выписываются все возможные комбинации логических значений простых суждений, из которых состоит сложное суждение. Число этих комбинаций можно высчитать по формуле: 2n, где n – число простых суждений, составляющих сложное. На выходе выписывается значение сложного суждения.

Сравнимость суждений

Помимо всего прочего, суждения делятся на сравнимые , имеющие общий субъект или предикат и несравнимые , не имеющие между собой ничего общего. В свою очередь, сравнимые делятся на совместимые , полностью или частично выражающие одну и ту же мысль и, несовместимые , если из истинности одного из них необходимо следует ложность другого (при сопоставлении таких суждений нарушается закон непротиворечия). Отношение по истинности между суждениями, сравнимыми через субъекты отображается логическим квадратом.

Логический квадрат лежит в основе всех умозаключений и представляет собой сочетание символов A, I, E, O означающих определенный тип категорических высказываний.

A – Общеутвердительные: Все S являются P .

I – Частноутвердительные: По крайней мере, некоторые S являются P .

E – Общеотрицательные: Все (ни одни) S не являются P.

O – Частноотрицательные: По крайней мере, некоторые S не являются P.

Из них общеутвердительные и общеотрицательные являются подчиняющими, а частноутвердительные и частноотрицательные – подчиненными.

Суждения A и E противопоставлены друг другу;

Суждения I и O противоположны;

Суждения, расположенные по диагонали – противоречивы.

Противоречивые и противопоставленные суждения ни в коем случае не могут быть одновременно истинными. Противоположные суждения могут быть или не быть одновременно истинными, но, по крайней мере, истинным должно быть одно из них.

Закон транзитивности обобщает логический квадрат, становясь основой всех непосредственных умозаключений и, определяет что, из истинности подчиняющих суждений логически следует истинность суждений им подчиненных и ложность противоположных подчиненных суждений.

Логические связки. Конъюнктивное суждение

Конъюнктивное суждение – суждение, которое является истинным тогда и только тогда, когда истинны все входящие в него суждения.

Образуется посредством логического союза конъюнкции, выражающегося грамматическими союзами «и», «да», «но», «однако». Например, «Светит, да не греет».

Символически обозначается следующим образом: А˄В, где А, В – переменные, обозначающие простые суждения, ˄– символическое выражение логического союза конъюнкции.

Определению конъюнкции соответствует таблица истинности:

А	В	А ˄ В
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	Л
Л	Л	Л

Дизъюнктивные суждения

Имеется два вида дизъюнктивных суждений: строгая (исключающая) дизъюнкция и нестрогая (неисключающая) дизъюнкция.

Строгая (исключающая) дизъюнкция – сложное суждение, принимающее логическое значение истины тогда и только тогда, когда истинно только одно из входящих в него суждений или «которое ложно тогда, когда оба высказывания ложны». Например, «Данное число либо кратно, либо не кратно пяти».

Логический союз дизъюнкция выражается посредством грамматического союза «либо…либо».

Символически записывается А˅В.

Логическое значение строгой дизъюнкции соответствует таблице истинности:

А	В	А ˅ В
И	И	Л
И	Л	И
Л	И	И
Л	Л	Л

Нестрогая (неисключающая) дизъюнкция – сложное суждение, принимающее логическое значение истины тогда и только тогда,когда истинным является, по крайней мере, одно (но может быть ибольше) из простых суждений, входящих в сложное. Например, «Писатели могут быть или поэтами, или прозаиками (или тем и другимодновременно)» .

Нестрогая дизъюнкция выражается посредством грамматического союза «или…или» в разделительно-соединительном значении.

Символически записываетсяА˅ В. Нестрогой дизъюнкции соответствует таблица истинности:

А	В	А ˅ В
И	И	И
И	Л	И
Л	И	И
Л	Л	Л

Импликативные (условные) суждения

Импликация – сложное суждение, принимающее логическое значение ложности тогда и только тогда, когда предшествующее суждение (антецедент ) истинно, а последующее (консеквент ) ложно.

В естественном языке импликация выражается союзом «если..., то» в смысле«наверно, что А и не В». Например, «Если число делится на 9, то оноделится и на 3».