Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.
Теория вероятностей о видах событий и вероятности их появления
Теория вероятностей изучает виды событий и вероятности их появления. Возникновение теории вероятностей относится к середине XVII века, когда математики заинтересовались задачами, поставленными азартными игроками и стали изучать такие события, как появление выигрыша. В процессе решения этих задач выкристаллизовались такие понятия, как вероятность и математическое ожидание. Ученые того времени – Гюйгенс (1629-1695), Паскаль (1623-1662), Ферма (1601-1665) и Бернулли (1654-1705) были убеждены, что на базе массовых случайных событий могут возникать четкие закономерности. При этом для исследований было достаточно элементарных арифметических и комбинаторных действий.
Итак, теория вероятностей объясняет и исследует различные закономерности, которым подчинены случайные события и случайные величины. Событием является любой факт, который можно констатировать в результате наблюдения или опыта. Наблюдением или опытом называют реализацию определенных условий, в которых событие может состояться.
Что нужно знать, чтобы определять вероятность появления события
Все события, за которыми люди наблюдают или сами создают их, делятся на:
- достоверные события;
- невозможные события;
- случайные события.
Достоверные события наступают всегда, когда создан определенный комплекс обстоятельств. Например, если работаем, то получаем за это вознаграждение, если сдали экзамены и выдержали конкурс, то достоверно можем рассчитывать на то, что включены в число студентов. Достоверные события можно наблюдать в физике и химии. В экономике достоверные события связаны с существующим общественным устройством и законодательством. Например, если мы вложили деньги в банк на депозит и выразили желание в определенный срок их получить, то деньги получим. На это можно рассчитывать как на достоверное событие.
Невозможные события определенно не наступают, если создался определенный комплекс условий. Например, вода не замерзает, если температура составляет плюс 15 градусов по Цельсию, производство не ведется без электроэнергии.
Случайные события при реализации определенного комплекса условий могут наступить и могут не наступить. Например, если мы один раз подбрасываем монету, герб может выпасть, а может не выпасть, по лотерейному билету можно выиграть, а можно не выиграть, произведенное изделие может быть годным, а может быть бракованным. Появление бракованного изделия является случайным событием, более редким, чем производство годных изделий.
Ожидаемая частота появления случайных событий тесно связана с понятием вероятности. Закономерности наступления и ненаступления случайных событий исследует теория вероятностей.
Если комплекс нужных условий реализован лишь один раз, то получаем недостаточно информации о случайном событии, поскольку оно может наступить, а может не наступить. Если комплекс условий реализован много раз, то появляются известные закономерности. Например, никогда невозможно узнать, какой кофейный аппарат в магазине потребует очередной покупатель, но если известны марки наиболее востребованных в течение длительного времени кофейных аппаратов, то на основе этих данных возможно организовать производство или поставки, чтобы удовлетворить спрос.
Знание закономерностей, которым подчинены массовые случайные события, позволяет прогнозировать, когда эти события наступят. Например, как уже ранее отмечено, заранее нельзя предусмотреть результат бросания монеты, но если монета брошена много раз, то можно предусмотреть выпадение герба. Ошибка может быть небольшой.
Методы теории вероятностей широко используются в различных отраслях естествознания, теоретической физике, геодезии, астрономии, теории автоматизированного управления, теории наблюдения ошибок, и во многих других теоретических и практических науках. Теория вероятностей широко используется в планировании и организации производства, анализе качества продукции, анализе технологических процессов, страховании, статистике населения, биологии, баллистике и других отраслях.
Случайные события обычно обозначают большими буквами латинского алфавита A, B, C и т.д.
Случайные события могут быть:
- несовместными;
- совместными.
События A, B, C … называют несовместными , если в результате одного испытания может наступить одно из этих событий, но невозможно наступление двух или более событий.
Если наступление одного случайного события не исключает наступление другого события, то такие события называют совместными . Например, если с ленты конвейера снимают очередную деталь и событие А означает «деталь соответствует стандарту», а событие B означает «деталь не соответствует стандарту», то A и B – несовместные события. Если событие C означает «взята деталь II сорта», то это событие совместно с событием A, но несовместно с событием B.
Если в каждом наблюдении (испытании) должно произойти одно и только одно из несовместных случайных событий, то эти события составляют полное множество (систему) событий .
Достоверным событием является наступление хотя бы одного события из полного множества событий.
Если события, образующие полное множество событий, попарно несовместны , то в результате наблюдения может наступить только одно из этих событий. Например, студент должен решить две задачи контрольной работы. Определенно произойдет одно и только одно из следующих событий:
- будет решена первая задача и не будет решена вторая задача;
- будет решена вторая задача и не будет решена первая задача;
- будут решены обе задачи;
- не будет решена ни одна из задач.
Эти события образуют полное множество несовместных событий .
Если полное множество событий состоит только из двух несовместных событий, то их называют взаимно противоположными или альтернативными событиями.
Событие, противоположное событию , обозначают . Например, в случае одного подбрасывания монеты может выпасть номинал () или герб ().
События называют равновозможными , если ни у одного из них нет объективных преимуществ. Такие события также составляют полное множество событий. Это значит, что в результате наблюдения или испытания определенно должно наступить по меньшей мере одно из равновозможных событий.
Например, полную группу событий образуют выпадение номинала и герба при одном подбрасывании монеты, наличие на одной печатной странице текста 0, 1, 2, 3 и более 3 ошибок.
Классическая и статистическая вероятности. Формулы вероятностей: классической и статистической
Классическое определение вероятности. Возможностью или благоприятным случаем называют случай, когда при реализации определённого комплекса обстоятельств события А происходят. Классическое определение вероятности предполагает напрямую вычислить число благоприятных случаев или возможностей.
Вероятностью события А называют отношение числа благоприятных этому событию возможностей к числу всех равновозможных несовместных событий N , которые могут произойти в результате одного испытания или наблюдения. Формула вероятности события А :
Если совершенно понятно, о вероятности какого события идёт речь, то тогда вероятность обозначают маленькой буквой p , не указывая обозначения события.
Чтобы вычислить вероятность по классическому определению, необходимо найти число всех равновозможных несовместных событий и определить, сколько из них благоприятны определению события А .
Пример 1. Найти вероятность выпадения числа 5 в результате бросания игральной кости.
Решение. Известно, что у всех шести граней одинаковая возможность оказаться наверху. Число 5 отмечено только на одной грани. Число всех равновозможных несовместных событий насчитывается 6, из них только одна благоприятная возможность выпадения числа 5 (М = 1). Это означает, что искомая вероятность выпадения числа 5
Пример 2. В ящике находятся 3 красных и 12 белых одинаковых по размеру мячиков. Не глядя взят один мячик. Найти вероятность, что взят красный мячик.
Решение. Искомая вероятность
Найти вероятности самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 3. Бросается игральная кость. Событие B - выпадение чётного числа. Вычислить вероятность этого события.
Пример 5. В урне 5 белых и 7 чёрных шаров. Случайно вытаскивается 1 шар. Событие A - вытянут белый шар. Событие B - вытянут чёрный шар. Вычислить вероятности этих событий.
Классическую вероятность называют также априорной вероятностью, так как её рассчитывают перед началом испытания или наблюдения. Из априорного характера классической вероятности вытекает её главный недостаток: только в редких случаях уже перед началом наблюдения можно вычислить все равновозможные несовместные события и в том числе благоприятные события. Такие возможности обычно возникают в ситуациях, родственных играм.
Сочетания. Если последовательность событий не важна, число возможных событий вычисляют как число сочетаний:
Пример 6. В группе 30 студентов. Трём студентам следует направиться на кафедру информатики, чтобы взять и принести компьютер и проектор. Вычислить вероятность того, что это сделают три определённых студента.
Решение. Число возможных событий рассчитываем, используя формулу (2):
Вероятность того, что на кафедру отправятся три определённых студента:
Пример 7. Продаются 10 мобильных телефонов. Их них у 3 есть дефекты. Покупатель выбрал 2 телефона. Вычислить вероятность того, что оба выбранных телефона будут с дефектами.
Решение. Число всех равновозможных событий находим по формуле (2):
По той же формуле находим число благоприятных событию возможностей:
Искомая вероятность того, что оба выбранных телефона будут с дефектами:
Найти вероятность самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 8. В экзаменационных билетах 40 вопросов, которые не повторяются. Студент подготовил ответы на 30 из них. В каждом билете 2 вопроса. Какова вероятность того, что студент знает ответы на оба вопроса в билете?
Учение о законах, которым подчиняются т. наз. случайные явления. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910 … Словарь иностранных слов русского языка
теория вероятностей - — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN probability theorytheory of chancesprobability calculation … Справочник технического переводчика
Теория вероятностей - есть часть математики, изучающая зависимости между вероятностями (см. Вероятность и Статистика) различных событий. Перечислим важнейшие теоремы, относящиеся к этой науке. Вероятность появления одного из нескольких несовместных событий равняется… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ - математич. наука позволяющая по вероятностям одних событий случайных (см.) находить вероятности случайных событий, связанных к. л. образом с первыми. Современная Т.в. основана на аксиоматике (см. Метод аксиоматический) А. Н. Колмогорова. На… … Российская социологическая энциклопедия
Теория вероятностей - раздел математики, в котором по данным вероятностям одних случайных событий находят вероятности других событий, связанных некоторым образом с первыми. Теория вероятностей изучает также случайные величины и случайные процессы. Одна из основных… … Концепции современного естествознания. Словарь основных терминов
теория вероятностей - tikimybių teorija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. probability theory vok. Wahrscheinlichkeitstheorie, f rus. теория вероятностей, f pranc. théorie des probabilités, f … Fizikos terminų žodynas
Теория Вероятностей - … Википедия
Теория вероятностей - математическая дисциплина, изучающая закономерности случайных явлений … Начала современного естествознания
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ - (probability theory) см. Вероятность … Большой толковый социологический словарь
Теория вероятностей и её применения - («Теория вероятностей и её применения»,) научный журнал Отделения математики АН СССР. Публикует оригинальные статьи и краткие сообщения по теории вероятностей, общим вопросам математической статистики и их применениям в естествознании и… … Большая советская энциклопедия
Книги
- Теория вероятностей. , Вентцель Е.С.. Книга представляет собой учебник, предназначенный для лиц, знакомых с математикой в объёме обычного втузовского курса и интересующихся техническими приложениямитеории вероятностей, в… Купить за 2056 грн (только Украина)
- Теория вероятностей. , Вентцель Е.С.. Книга представляет собой учебник, предназначенный для лиц, знакомых с математикой в объёме обычного втузовского курса и интересующихся техническими приложениями теории вероятностей, в…
ВВЕДЕНИЕ
Многие вещи нам непонятны не потому, что наши понятия слабы;
но потому, что сии вещи не входят в круг наших понятий.
Козьма Прутков
Основная цель изучения математики в средних специальных учебных заведениях состоит в том, чтобы дать студентам набор математических знаний и навыков, необходимых для изучения других программных дисциплин, использующих в той или иной мере математику, для умения выполнять практические расчеты, для формирования и развития логического мышления.
В данной работе последовательно вводятся все базовые понятия раздела математики "Основы теории вероятностей и математической статистики", предусмотренные программой и Государственными образовательными стандартами среднего профессионального образования (Министерство образования Российской Федерации. М., 2002г.), формулируются основные теоремы, большая часть которых не доказывается. Рассматриваются основные задачи и методы их решения и технологии применения этих методов к решению практических задач. Изложение сопровождается подробными комментариями и многочисленными примерами.
Методические указания могут быть использованы для первичного ознакомления с изучаемым материалом, при конспектировании лекций, для подготовки к практическим занятиям, для закрепления полученных знаний, умений и навыков. Кроме того, пособие будет полезно и студентам- старшекурсникам как справочное пособие, позволяющее быстро восстановить в памяти то, что было изучено ранее.
В конце работы приведены примеры и задания, которые студенты могут выполнять в режиме самоконтроля.
Методические указания предназначены для студентов заочной и дневной форм обучения.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Теория вероятностей изучает объективные закономерности массовых случайных событий. Она является теоретической базой для математической статистики, занимающейся разработкой методов сбора, описания и обработки результатов наблюдений. Путем наблюдений (испытаний, экспериментов), т.е. опыта в широком смысле слова, происходит познание явлений действительного мира.
В своей практической деятельности мы часто встречаемся с явлениями, исход которых невозможно предсказать, результат которых зависит от случая.
Случайное явление можно охарактеризовать отношением числа его наступлений к числу испытаний, в каждом из которых при одинаковых условиях всех испытаний оно могло наступить или не наступить.
Теория вероятностей есть раздел математики, в котором изучаются случайные явления (события) и выявляются закономерности при массовом их повторении.
Математическая статистика - это раздел математики, который имеет своим предметом изучения методов сбора, систематизации, обработки и использования статистических данных для получения научно обоснованных выводов и принятия решений.
При этом под статистическими данными понимается совокупность чисел, которые представляют количественные характеристики интересующих нас признаков изучаемых объектов. Статистические данные получаются в результате специально поставленных опытов, наблюдений.
Статистические данные по своей сущности зависят от многих случайных факторов, поэтому математическая статистика тесно связана с теорией вероятностей, которая является ее теоретической основой.
I. ВЕРОЯТНОСТЬ. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
1.1. Основные понятия комбинаторики
В разделе математики, который называется комбинаторикой, решаются некоторые задачи, связанные с рассмотрением множеств и составлением различных комбинаций из элементов этих множеств. Например, если взять 10 различных цифр 0, 1, 2, 3,: , 9 и составлять из них комбинации, то будем получать различные числа, например 143, 431, 5671, 1207, 43 и т.п.
Мы видим, что некоторые из таких комбинаций отличаются только порядком цифр (например, 143 и 431), другие - входящими в них цифрами (например, 5671 и 1207), третьи различаются и числом цифр (например, 143 и 43).
Таким образом, полученные комбинации удовлетворяют различным условиям.
В зависимости от правил составления можно выделить три типа комбинаций: перестановки, размещения, сочетания .
Предварительно познакомимся с понятием факториала .
Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют n-факториалом и пишут .
Вычислить: а) ; б) ; в) .
Решение. а) .
б) Так как и
, то можно
вынести за скобки
Тогда получим
в) 
.
Перестановки.
Комбинация из n элементов, которые отличаются друг от друга только порядком элементов, называются перестановками.
Перестановки обозначаются символом Р n , где n- число элементов, входящих в каждую перестановку. (Р - первая буква французского слова permutation - перестановка).
Число перестановок можно вычислить по формуле
или с помощью факториала:
Запомним, что 0!=1 и 1!=1.
Пример 2. Сколькими способами можно расставлять на одной полке шесть различных книг?
Решение. Искомое число способов равно числу перестановок из 6 элементов, т.е.
Размещения.
Размещениями из m элементов в n в каждом называются такие соединения, которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы одним), либо порядком из расположения.
Размещения обозначаются символом , где m - число всех имеющихся элементов, n - число элементов в каждой комбинации. (А- первая буква французского слова arrangement , что означает "размещение, приведение в порядок").
При этом полагают, что nm.
Число размещений можно вычислить по формуле
,
т.е. число всех возможных размещений из m элементов по n равно произведению n последовательных целых чисел, из которых большее есть m .
Запишем эту формулу в факториальной форме:
Пример 3. Сколько вариантов распределения трех путевок в санатории различного профиля можно составить для пяти претендентов?
Решение. Искомое число вариантов равно числу размещений из 5 элементов по 3 элемента, т.е.
.
Сочетания.
Сочетаниями называются все возможные комбинации из m элементов по n , которые отличаются друг от друга по крайней мере хотя бы одним элементом (здесь m и n- натуральные числа, причем n m ).
Число сочетаний из m элементов по n обозначаются (С -первая буква французского слова combination - сочетание).
В общем случае число из m элементов по n равно числу размещений из m элементов по n , деленному на число перестановок из n элементов:
Используя для чисел размещений и перестановок факториальные формулы, получим:
Пример 4. В бригаде из 25 человек нужно выделить четырех для работы на определенном участке. Сколькими способами это можно сделать?
Решение. Так как порядок выбранных четырех человек не имеет значения, то это можно сделать способами.
Находим по первой формуле
.
Кроме того, при решении задач используются следующие формулы, выражающие основные свойства сочетаний:
(по определению полагают и );
.
1.2. Решение комбинаторных задач
Задача 1. На факультете изучается 16 предметов. На понедельник нужно в расписание поставить 3 предмета. Сколькими способами можно это сделать?
Решение. Способов постановки в расписание трех предметов из 16 столько, сколько можно составить размещений из 16 элементов по 3.
Задача 2. Из 15 объектов нужно отобрать 10 объектов. Сколькими способами это можно сделать?
Задача 3. В соревнованиях участвовало четыре команды. Сколько вариантов распределения мест между ними возможно?
.
Задача 4. Сколькими способами можно составить дозор из трех солдат и одного офицера, если имеется 80 солдат и 3 офицера?
Решение. Солдат в дозор можно выбрать
способами, а офицеров способами. Так как с каждой командой из солдат может пойти любой офицер, то всего имеется способов.
Задача 5. Найти , если известно, что .
Так как , то получим
,
,
По определению сочетания следует, что , . Т.о. .
1.3. Понятие о случайном событии. Виды событий. Вероятность события
Всякое действие, явление, наблюдение с несколькими различными исходами, реализуемое при данном комплексе условий, будем называть испытанием.
Результат этого действия или наблюдения называется событием .
Если событие при заданных условиях может произойти или не произойти, то оно называется случайным . В том случае, когда событие должно непременно произойти, его называют достоверным , а в том случае, когда оно заведомо не может произойти,- невозможным .
События называются несовместными , если каждый раз возможно появление только одного из них.
События называются совместными , если в данных условиях появление одного из этих событий не исключает появление другого при том же испытании.
События называются противоположными , если в условиях испытания они, являясь единственными его исходами, несовместны.
События принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита: А, В, С, Д, : .
Полной системой событий А 1 , А 2 , А 3 , : , А n называется совокупность несовместных событий, наступление хотя бы одного из которых обязательно при данном испытании.
Если полная система состоит из двух несовместных событий, то такие события называются противоположными и обозначаются А и .
Пример. В коробке находится 30 пронумерованных шаров. Установить, какие из следующих событий являются невозможными, достоверными, противоположными:
достали пронумерованный шар (А);
достали шар с четным номером (В);
достали шар с нечетным номером (С);
достали шар без номера (Д).
Какие из них образуют полную группу?
Решение. А - достоверное событие; Д - невозможное событие;
В и С - противоположные события.
Полную группу событий составляют А и Д, В и С .
Вероятность события, рассматривается как мера объективной возможности появления случайного события.
1.4. Классическое определение вероятности
Число, являющееся выражением меры объективной возможности наступления события, называется вероятностью этого события и обозначается символом Р(А).
Определение. Вероятностью события А называется отношение числа исходов m, благоприятствующих наступлению данного события А , к числу n всех исходов (несовместных, единственно возможных и равновозможных), т.е. .
Следовательно, для нахождения вероятности события необходимо, рассмотрев различные исходы испытания, подсчитать все возможные несовместные исходы n, выбрать число интересующих нас исходов m и вычислить отношение m к n .
Из этого определения вытекают следующие свойства:
Вероятность любого испытания есть неотрицательное число, не превосходящее единицы.
Действительно, число m искомых событий заключено в пределах . Разделив обе части на n , получим
2. Вероятность достоверного события равна единице, т.к. .
3. Вероятность невозможного события равна нулю, поскольку .
Задача 1. В лотерее из 1000 билетов имеются 200 выигрышных. Вынимают наугад один билет. Чему равна вероятность того, что этот билет выигрышный?
Решение. Общее число различных исходов есть n =1000. Число исходов, благоприятствующих получению выигрыша, составляет m=200. Согласно формуле, получим
.
Задача 2. В партии из 18 деталей находятся 4 бракованных. Наугад выбирают 5 деталей. Найти вероятность того, что из этих 5 деталей две окажутся бракованными.
Решение. Число всех равновозможных независимых исходов n равно числу сочетаний из 18 по 5 т.е.
Подсчитаем число m, благоприятствующих событию А. Среди 5 взятых наугад деталей должно быть 3 качественных и 2 бракованных. Число способов выборки двух бракованных деталей из 4 имеющихся бракованных равно числу сочетаний из 4 по 2:
Число способов выборки трех качественных деталей из 14 имеющихся качественных равно
.
Любая группа качественных деталей может комбинироваться с любой группой бракованных деталей, поэтому общее число комбинаций m составляет
Искомая вероятность события А равна отношению числа исходов m, благоприятствующих этому событию, к числу n всех равновозможных независимых исходов:
.
Суммой конечного числа событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них.
Сумму двух событий обозначают символом А+В, а сумму n событий символом А 1 +А 2 + : +А n .
Теорема сложения вероятностей.
Вероятность суммы двух несовместных событий равна суммевероятностей этих событий.
Следствие 1. Если событие А 1 , А 2 , : ,А n образуют полную систему, то сумма вероятностей этих событий равна единице.
Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий и равна единице.
.
Задача 1. Имеется 100 лотерейных билетов. Известно, что на 5 билетов попадает выигрыш по 20000 руб., на 10 - по 15000 руб, на 15 - по 10000 руб., на 25 - по 2000 руб. и на остальные ничего. Найти вероятность того, что на купленный билет будет получен выигрыш не менее 10000 руб.
Решение. Пусть А, В, и С- события, состоящие в том, что на купленный билет падает выигрыш, равный соответственно 20000, 15000 и 10000 руб. так как события А, В и С несовместны, то
Задача 2. На заочное отделение техникума поступают контрольные работы по математике из городов А, В и С . Вероятность поступления контрольной работы из города А равна 0,6, из города В - 0,1. Найти вероятность того, что очередная контрольная работа поступит из города С .
Что такое вероятность?
Столкнувшись с этим термином первый раз, я бы не понял, что это такое. Поэтому попытаюсь объяснить доступно.
Вероятность - это шанс того, что произойдет нужное нам событие.
Например, ты решил зайти к знакомому, помнишь подъезд и даже этаж на котором он живет. А вот номер и расположение квартиры забыл. И вот стоишь ты на лестничной клетке, а перед тобой двери на выбор.
Каков шанс (вероятность) того, что если ты позвонишь в первую дверь, тебе откроет твой друг? Всего квартиры, а друг живет только за одной из них. С равным шансом мы можем выбрать любую дверь.
Но каков этот шанс?
Дверей, нужная дверь. Вероятность угадать, позвонив в первую дверь: . То есть один раз из трех ты точно угадаешь.
Мы хотим узнать, позвонив раз, как часто мы будем угадывать дверь? Давай рассмотри все варианты:
- Ты позвонил в 1ю дверь
- Ты позвонил в 2ю дверь
- Ты позвонил в 3ю дверь
А теперь рассмотрим все варианты, где может находиться друг:
а. За 1ой
дверью
б. За 2ой
дверью
в. За 3ей
дверью
Сопоставим все варианты в виде таблицы. Галочкой обозначены варианты, когда твой выбор совпадает с местоположением друга, крестиком - когда не совпадает.
Как видишь всего возможно вариантов местоположения друга и твоего выбора, в какую дверь звонить.
А благоприятных исходов всего . То есть раза из ты угадаешь, позвонив в дверь раз, т.е. .
Это и есть вероятность - отношение благоприятного исхода (когда твой выбор совпал с местоположение друга) к количеству возможных событий.
Определение - это и есть формула. Вероятность принято обозначать p, поэтому:
Такую формулу писать не очень удобно, поэтому примем за - количество благоприятных исходов, а за - общее количество исходов.
Вероятность можно записывать в процентах, для этого нужно умножить получившийся результат на:
Наверное, тебе бросилось в глаза слово «исходы». Поскольку математики называют различные действия (у нас такое действие - это звонок в дверь) экспериментами, то результатом таких экспериментов принято называть исход.
Ну а исходы бывают благоприятные и неблагоприятные.
Давай вернемся к нашему примеру. Допустим, мы позвонили в одну из дверей, но нам открыл незнакомый человек. Мы не угадали. Какова вероятность, что если позвоним в одну из оставшихся дверей, нам откроет наш друг?
Если ты подумал, что, то это ошибка. Давай разбираться.
У нас осталось две двери. Таким образом, у нас есть возможные шаги:
1) Позвонить в 1-ую
дверь
2) Позвонить во 2-ую
дверь
Друг, при всем этом, точно находится за одной из них (ведь за той, в которую мы звонили, его не оказалось):
а) Друг за 1-ой
дверью
б) Друг за 2-ой
дверью
Давай снова нарисуем таблицу:
Как видишь, всего есть варианта, из которых - благоприятны. То есть вероятность равна.
А почему не?
Рассмотренная нами ситуация - пример зависимых событий. Первое событие - это первый звонок в дверь, второе событие - это второй звонок в дверь.
А зависимыми они называются потому что влияют на следующие действия. Ведь если бы после первого звонка в дверь нам открыл друг, то какова была бы вероятность того, что он находится за одной из двух других? Правильно, .
Но если есть зависимые события, то должны быть и независимые ? Верно, бывают.
Хрестоматийный пример - бросание монетки.
- Бросаем монетку раз. Какова вероятность того, что выпадет, например, орел? Правильно - , ведь вариантов всего (либо орел, либо решка, пренебрежем вероятностью монетки встать на ребро), а устраивает нас только.
- Но выпала решка. Ладно, бросаем еще раз. Какова сейчас вероятность выпадения орла? Ничего не изменилось, все так же. Сколько вариантов? Два. А сколько нас устраивает? Один.
И пусть хоть тысячу раз подряд будет выпадать решка. Вероятность выпадения орла на раз будет все также. Вариантов всегда, а благоприятных - .
Отличить зависимые события от независимых легко:
- Если эксперимент проводится раз (раз бросают монетку, 1 раз звонят в дверь и т.д.), то события всегда независимые.
- Если эксперимент проводится несколько раз (монетку бросают раз, в дверь звонят несколько раз), то первое событие всегда независимое. А дальше, если количество благоприятных или количество всех исходов меняется, то события зависимые, а если нет - независимые.
Давай немного потренируемся определять вероятность.
Пример 1.
Монетку бросают два раза. Какова вероятность того, что два раза подряд выпадет орел?
Решение:
Рассмотрим все возможные варианты:
- Орел-орел
- Орел-решка
- Решка-орел
- Решка-решка
Как видишь, всего варианта. Из них нас устраивает только. То есть вероятность:
Если в условии просят просто найти вероятность, то ответ нужно давать в виде десятичной дроби. Если было бы указано, что ответ нужно дать в процентах, тогда мы умножили бы на.
Ответ:
Пример 2.
В коробке конфет все конфеты упакованы в одинаковую обертку. Однако из конфет - с орехами, с коньяком, с вишней, с карамелью и с нугой.
Какова вероятность, взяв одну конфету, достать конфету с орехами. Ответ дайте в процентах.
Решение:
Сколько всего возможных исходов? .
То есть, взяв одну конфету, она будет одной из, имеющихся в коробке.
А сколько благоприятных исходов?
Потому что в коробке только конфет с орехами.
Ответ:
Пример 3.
В коробке шаров. из них белые, - черные.
- Какова вероятность вытащить белый шар?
- Мы добавили в коробку еще черных шаров. Какова теперь вероятность вытащить белый шар?
Решение:
а) В коробке всего шаров. Из них белых.
Вероятность равна:
б) Теперь шаров в коробке стало. А белых осталось столько же - .
Ответ:
Полная вероятность
| Вероятность всех возможных событий равна (). |
Допустим, в ящике красных и зеленых шаров. Какова вероятность вытащить красный шар? Зеленый шар? Красный или зеленый шар?
Вероятность вытащить красный шар
Зеленый шар:
Красный или зеленый шар:
Как видишь, сумма всех возможных событий равна (). Понимание этого момента поможет тебе решить многие задачи.
Пример 4.
В ящике лежит фломастеров: зеленых, красных, синих, желтых, черный.
Какова вероятность вытащить НЕ красный фломастер?
Решение:
Давай посчитаем количество благоприятных исходов.
НЕ красный фломастер, это значит зеленый, синий, желтый или черный.
Вероятность всех событий. А вероятность событий, которые мы считаем неблагоприятными (когда вытащим красный фломастер) - .
Таким образом, вероятность вытащить НЕ красный фломастер - .
Ответ:
| Вероятность того, что событие не произойдет, равна минус вероятность того, что событие произойдет. |
Правило умножения вероятностей независимых событий
Что такое независимые события ты уже знаешь.
А если нужно найти вероятность того, что два (или больше) независимых события произойдут подряд?
Допустим мы хотим знать, какова вероятность того, что бросая монетку раза, мы два раза увидим орла?
Мы уже считали - .
А если бросаем монетку раза? Какова вероятность увидеть орла раза подряд?
Всего возможных вариантов:
- Орел-орел-орел
- Орел-орел-решка
- Орел-решка-орел
- Орел-решка-решка
- Решка-орел-орел
- Решка-орел-решка
- Решка-решка-орел
- Решка-решка-решка
Не знаю как ты, но я раза ошибся, составляя этот список. Ух! А подходит нам только вариант (первый).
Для 5 бросков можешь составить список возможных исходов сам. Но математики не столь трудолюбивы, как ты.
Поэтому они сначала заметили, а потом доказали, что вероятность определенной последовательности независимых событий каждый раз уменьшается на вероятность одного события.
Другими словами,
Рассмотрим на примере все той же, злосчастной, монетки.
Вероятность выпадения орла в испытании? . Теперь мы бросаем монетку раз.
Какова вероятность выпадения раз подряд орла?
Это правило работает не только, если нас просят найти вероятность того, что произойдет одно и то же событие несколько раз подряд.
Если бы мы хотели найти последовательность РЕШКА-ОРЕЛ-РЕШКА, при бросках подряд, мы поступили бы также.
Вероятность выпадения решка - , орла - .
Вероятность выпадения последовательности РЕШКА-ОРЕЛ-РЕШКА-РЕШКА:
Можешь проверить сам, составив таблицу.
Правило сложения вероятностей несовместных событий.
Так стоп! Новое определение.
Давай разбираться. Возьмем нашу изношенную монетку и бросим её раза.
Возможные варианты:
- Орел-орел-орел
- Орел-орел-решка
- Орел-решка-орел
- Орел-решка-решка
- Решка-орел-орел
- Решка-орел-решка
- Решка-решка-орел
- Решка-решка-решка
Так вот несовместные события, это определенная, заданная последовательность событий. - это несовместные события.
Если мы хотим определить, какова вероятность двух (или больше) несовместных событий то мы складываем вероятности этих событий.
Нужно понять, что выпадение орла или решки - это два независимых события.
Если мы хотим определить, какова вероятность выпадения последовательности) (или любой другой), то мы пользуемся правилом умножения вероятностей.
Какова вероятность выпадения при первом броске орла, а при втором и третьем решки?
Но если мы хотим узнать, какова вероятность выпадения одной из нескольких последовательностей, например, когда орел выпадет ровно раз, т.е. варианты и, то мы должны сложить вероятности этих последовательностей.
Всего вариантов, нам подходит.
То же самое мы можем получить, сложив вероятности появления каждой последовательности:
Таким образом, мы складываем вероятности, когда хотим определить вероятность некоторых, несовместных, последовательностей событий.
Есть отличное правило, помогающее не запутаться, когда умножать, а когда складывать:
Возвратимся к примеру, когда мы подбросили монетку раза, и хотим узнать вероятность увидеть орла раз.
Что должно произойти?
Должны выпасть:
(орел И решка И решка) ИЛИ (решка И орел И решка) ИЛИ (решка И решка И орел).
Вот и получается:
Давай рассмотрим несколько примеров.
Пример 5.
В коробке лежит карандашей. красных, зеленых, оранжевых и желтых и черных. Какова вероятность вытащить красный или зеленый карандаши?
Решение:
Что должно произойти? Мы должны вытащить (красный ИЛИ зеленый).
Теперь понятно, складываем вероятности этих событий:
Ответ:
Пример 6.
Игральную кость бросают дважды, какова вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков?
Решение.
Как мы можем получить очков?
(и) или (и) или (и) или (и) или (и).
Вероятность выпадения одной (любой) грани - .
Считаем вероятность:
Ответ:
Тренировка.
Думаю, теперь тебе стало понятно, когда нужно как считать вероятности, когда их складывать, а когда умножать. Не так ли? Давай немного потренируемся.
Задачи:
Возьмем карточную колоду, в которой карты, из них пик, червей, 13 треф и 13 бубен. От до туза каждой масти.
- Какова вероятность вытащить трефы подряд (первую вытащенную карту мы кладем обратно в колоду и перемешиваем)?
- Какова вероятность вытащить черную карту (пики или трефы)?
- Какова вероятность вытащить картинку (вальта, даму, короля или туза)?
- Какова вероятность вытащить две картинки подряд (первую вытащенную карту мы убираем из колоды)?
- Какова вероятность, взяв две карты, собрать комбинацию - (валет, дама или король) и туз Последовательность, в которой будут вытащены карты, не имеет значения.
Ответы:
- В колоде карты каждого достоинства, значит:
- События зависимы, так как после первой вытащенной карты количество карт в колоде уменьшилось (как и количество «картинок»). Всего вальтов, дам, королей и тузов в колоде изначально, а значит вероятность первой картой вытащить «картинку»:
Поскольку мы убираем из колоды первую карту, то значит в колоде осталось уже карта, из них картинок. Вероятность второй картой вытащить картинку:
Поскольку нас интересует ситуация, когда мы достаем из колоды: «картинку» И «картинку», то нужно перемножать вероятности:
Ответ:
- После первой вытащенной карты, количество карт в колоде уменьшится.Таким образом, нам подходит два варианта:
1) Первой картой вытаскиваем Туза, второй - валета, даму или короля
2) Первой картой вытаскиваем валета, даму или короля, второй - туза.Т.е. (туз и (валет или дама или король)) или ((валет или дама или король) и туз). Не забываем про уменьшение количества карт в колоде!
Если ты смог сам решить все задачи, то ты большой молодец! Теперь задачи на теорию вероятностей в ЕГЭ ты будешь щелкать как орешки!
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ
Рассмотрим пример. Допустим, мы бросаем игральную кость. Что это за кость такая, знаешь? Так называют кубик с цифрами на гранях. Сколько граней, столько и цифр: от до скольки? До.
Итак, мы бросаем кость и хотим, чтобы выпало или. И нам выпадает.
В теории вероятностей говорят, что произошло благоприятное событие (не путай с благополучным).
Если бы выпало, событие тоже было бы благоприятным. Итого может произойти всего два благоприятных события.
А сколько неблагоприятных? Раз всего возможных событий, значит, неблагоприятных из них события (это если выпадет или).
Определение:
Вероятностью называется отношение количества благоприятных событий к количеству всех возможных событий . То есть вероятность показывает, какая доля из всех возможных событий приходится на благоприятные.
Обозначают вероятность латинской буквой (видимо, от английского слова probability - вероятность).
Принято измерять вероятность в процентах (см. темы и ) . Для этого значение вероятности нужно умножать на. В примере с игральной костью вероятность.
А в процентах: .
Примеры (реши сам):
- С какой вероятностью при бросании монетки выпадет орел? А с какой вероятностью выпадет решка?
- С какой вероятностью при бросании игральной кости выпадет четное число? А с какой - нечетное?
- В ящике простых, синих и красных карандашей. Наугад тянем один карандаш. Какова вероятность вытащить простой?
Решения:
- Сколько всего вариантов? Орел и решка - всего два. А сколько из них благоприятных? Только один - орел. Значит, вероятность
С решкой то же самое: .
- Всего вариантов: (сколько сторон у кубика, столько и различных вариантов). Благоприятных из них: (это все четные числа:).
Вероятность. С нечетными, естественно, то же самое. - Всего: . Благоприятных: . Вероятность: .
Полная вероятность
Все карандаши в ящике зеленые. Какова вероятность вытащить красный карандаш? Шансов нет: вероятность (ведь благоприятных событий -).
Такое событие называется невозможным .
А какова вероятность вытащить зеленый карандаш? Благоприятных событий ровно столько же, сколько событий всего (все события - благоприятные). Значит, вероятность равна или.
Такое событие называется достоверным .
Если в ящике зеленых и красных карандашей, какова вероятность вытащить зеленый или красный? Опять же. Заметим такую вещь: вероятность вытащить зеленый равна, а красный - .
В сумме эти вероятности равны ровно. То есть, сумма вероятностей всех возможных событий равна или.
Пример:
В коробке карандашей, среди них синих, красных, зеленых, простых, желтый, а остальные - оранжевые. Какова вероятность не вытащить зеленый?
Решение:
Помним, что все вероятности в сумме дают. А вероятность вытащить зеленый равна. Значит, вероятность не вытащить зеленый равна.
Запомни этот прием: вероятность того, что событие не произойдет равна минус вероятность того, что событие произойдет.
Независимые события и правило умножения
Ты кидаешь монетку раза, и хочешь, чтобы оба раза выпал орел. Какова вероятность этого?
Давай переберем все возможные варианты и определим, сколько их:
Орел-Орел, Решка-Орел, Орел-Решка, Решка-Решка. Какие еще?
Всего варианта. Из них нам подходит только один: Орел-Орел. Итого, вероятность равна.
Хорошо. А теперь кидаем монетку раза. Посчитай сам. Получилось? (ответ).
Ты мог заметить, что с добавлением каждого следующего броска вероятность уменьшается в раза. Общее правило называется правилом умножения :
Вероятности независимых событий переменожаются.
Что такое независимые события? Все логично: это те, которые не зависят друг от друга. Например, когда мы бросаем монетку несколько раз, каждый раз производится новый бросок, результат которого не зависит от всех предыдущих бросков. С таким же успехом мы можем бросать одновременно две разные монетки.
Еще примеры:
- Игральную кость бросают дважды. Какова вероятность, что оба раза выпадет?
- Монетку бросают раза. Какова вероятность, что в первый раз выпадет орел, а потом два раза решка?
- Игрок бросает две кости. Какова вероятность, что сумма чисел на них будет равна?
Ответы:
- События независимы, значит, работает правило умножения: .
- Вероятность орла равна. Вероятность решки - тоже. Перемножаем:
- 12 может получиться только, если выпадут две -ки: .
Несовместные события и правило сложения
Несовместными называются события, которые дополняют друг друга до полной вероятности. Из названия видно, что они не могут произойти одновременно. Например, если бросаем монетку, может выпасть либо орел, либо решка.
Пример.
В коробке карандашей, среди них синих, красных, зеленых, простых, желтый, а остальные - оранжевые. Какова вероятность вытащить зеленый или красный?
Решение .
Вероятность вытащить зеленый карандаш равна. Красный - .
Благоприятных событий всего: зеленых + красных. Значит, вероятность вытащить зеленый или красный равна.
Эту же вероятность можно представить в таком виде: .
Это и есть правило сложения: вероятности несовместных событий складываются.
Задачи смешанного типа
Пример.
Монетку бросают два раза. Какова вероятность того, что результат бросков будет разный?
Решение .
Имеется в виду, что если первым выпал орел, второй должна быть решка, и наоборот. Получается, что здесь две пары независимых событий, и эти пары друг с другом несовместны. Как бы не запутаться, где умножать, а где складывать.
Есть простое правило для таких ситуаций. Попробуй описать, что должно произойти, соединяя события союзами «И» или «ИЛИ». Например, в данном случае:
Должны выпасть (орел и решка) или (решка и орел).
Там где стоит союз «и», будет умножение, а там где «или» - сложение:
Попробуй сам:
- С какой вероятностью при двух бросаниях монетки оба раза выпадет одно и та же сторона?
- Игральную кость бросают дважды. Какова вероятность, что в сумме выпадет очков?
Решения:
- (Выпал орел и выпал орел) или (выпала решка и выпала решка): .
- Какие есть варианты? и. Тогда:
Выпало (и) или (и) или (и): .
Еще пример:
Бросаем монетку раза. Какова вероятность, что хотя-бы один раз выпадет орел?
Решение:
Ой, как же не хочется перебирать варианты… Орел-решка-решка, Орел-орел-решка, … А и не надо! Вспоминаем про полную вероятность. Вспомнил? Какова вероятность, что орел не выпадет ни разу ? Это же просто: все время летят решки, значит.
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ
Вероятность - это отношение количества благоприятных событий к количеству всех возможных событий.
Независимые события
Два события независимы если при наступлении одного вероятность наступления другого не изменяется.
Полная вероятность
Вероятность всех возможных событий равна ().
Вероятность того, что событие не произойдет, равна минус вероятность того, что событие произойдет.
Правило умножения вероятностей независимых событий
Вероятность определенной последовательности независимых событий, равна произведению вероятностей каждого из событий
Несовместные события
Несовместными называются события, которые никак не могут произойти одновременно в результате эксперимента. Ряд несовместных событий образуют полную группу событий.
Вероятности несовместных событий складываются.
Описав что должно произойти, используя союзы «И» или «ИЛИ», вместо «И» ставим знак умножения, а вместо «ИЛИ» — сложения.
ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!
Стать учеником YouClever,
Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене "чашка кофе в месяц",
А также получить бессрочный доступ к учебнику "YouClever", Программе подготовки (решебнику) "100gia", неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.
