Чтобы успешно решать тригонометрические уравнения удобно пользоваться методом сведения к ранее решенным задачам. Давайте разберемся, в чем суть этого метода?
В любой предлагаемой задаче вам необходимо увидеть уже решенную ранее задачу, а затем с помощью последовательных равносильных преобразований попытаться свести данную вам задачу к более простой.
Так, при решении тригонометрических уравнений обычно составляют некоторую конечную последовательность равносильных уравнений, последним звеном которой является уравнение с очевидным решением. Только важно помнить, что если навыки решения простейших тригонометрических уравнений не сформированы, то решение более сложных уравнений будет затруднено и малоэффективно.
Кроме того, решая тригонометрические уравнения, никогда не стоит забывать о возможности существования нескольких способов решения.
Пример 1. Найти количество корней уравнения cos x = -1/2 на промежутке .
Решение:
I способ. Изобразим графики функций y = cos x и y = -1/2 и найдем количество их общих точек на промежутке (рис. 1).
Так как графики функций имеют две общие точки на промежутке , то уравнение содержит два корня на данном промежутке.
II способ.
С помощью тригонометрического круга (рис. 2) выясним количество точек, принадлежащих промежутку , в которых cos x = -1/2. По рисунку видно, что уравнение имеет два корня.
III способ. Воспользовавшись формулой корней тригонометрического уравнения, решим уравнение cos x = -1/2.
x = ± arccos (-1/2) + 2πk, k – целое число (k € Z);
x = ± (π – arccos 1/2) + 2πk, k – целое число (k € Z);
x = ± (π – π/3) + 2πk, k – целое число (k € Z);
x = ± 2π/3 + 2πk, k – целое число (k € Z).
Промежутку принадлежат корни 2π/3 и -2π/3 + 2π, k – целое число. Таким образом, уравнение имеет два корня на заданном промежутке.
Ответ: 2 .
В дальнейшем тригонометрические уравнения будут решаться одним из предложенных способов, что во многих случаях не исключает применения и остальных способов.
Пример 2. Найти количество решений уравнения tg (x + π/4) = 1 на промежутке [-2π; 2π].
Решение:
Воспользовавшись формулой корней тригонометрического уравнения, получим:
x + π/4 = arctg 1 + πk, k – целое число (k € Z);
x + π/4 = π/4 + πk, k – целое число (k € Z);
x = πk, k – целое число (k € Z);
Промежутку [-2π; 2π] принадлежат числа -2π; -π; 0; π; 2π. Итак, уравнение имеет пять корней на заданном промежутке.
Ответ: 5.
Пример 3. Найти количество корней уравнения cos 2 x + sin x · cos x = 1 на промежутке [-π; π].
Решение:
Так как 1 = sin 2 x + cos 2 x (основное тригонометрическое тождество), то исходное уравнение принимает вид:
cos 2 x + sin x · cos x = sin 2 x + cos 2 x;
sin 2 x – sin x · cos x = 0;
sin x(sin x – cos x) = 0. Произведение равно нулю, а значит хотя бы один из множителей должен быть равен нулю, поэтому:
sin x = 0 или sin x – cos x = 0.
Так как значение переменной, при которых cos x = 0, не являются корнями второго уравнения (синус и косинус одного и того же числа не могут одновременно быть равными нулю), то разделим обе части второго уравнения на cos x:
sin x = 0 или sin x / cos x - 1 = 0.
Во втором уравнении воспользуемся тем, что tg x = sin x / cos x, тогда:
sin x = 0 или tg x = 1. С помощью формул имеем:
x = πk или x = π/4 + πk, k – целое число (k € Z).
Из первой серии корней промежутку [-π; π] принадлежат числа -π; 0; π. Из второй серии: (π/4 – π) и π/4.
Таким образом, пять корней исходного уравнения принадлежат промежутку [-π; π].
Ответ: 5.
Пример 4. Найти сумму корней уравнения tg 2 x + сtg 2 x + 3tg x + 3сtgx + 4 = 0 на промежутке [-π; 1,1π].
Решение:
Перепишем уравнение в следующем виде:
tg 2 x + сtg 2 x + 3(tg x + сtgx) + 4 = 0 и сделаем замену.
Пусть tg x + сtgx = a. Обе части равенства возведем в квадрат:
(tg x + сtg x) 2 = a 2 . Раскроем скобки:
tg 2 x + 2tg x · сtgx + сtg 2 x = a 2 .
Так как tg x · сtgx = 1, то tg 2 x + 2 + сtg 2 x = a 2 , а значит
tg 2 x + сtg 2 x = a 2 – 2.
Теперь исходное уравнение имеет вид:
a 2 – 2 + 3a + 4 = 0;
a 2 + 3a + 2 = 0. С помощью теоремы Виета получаем, что a = -1 или a = -2.
Сделаем обратную замену, имеем:
tg x + сtgx = -1 или tg x + сtgx = -2. Решим полученные уравнения.
tg x + 1/tgx = -1 или tg x + 1/tgx = -2.
По свойству двух взаимно обратных чисел определяем, что первое уравнение не имеет корней, а из второго уравнения имеем:
tg x = -1, т.е. x = -π/4 + πk, k – целое число (k € Z).
Промежутку [-π; 1,1π] принадлежат корни: -π/4; -π/4 + π. Их сумма:
-π/4 + (-π/4 + π) = -π/2 + π = π/2.
Ответ: π/2.
Пример 5. Найти среднее арифметическое корней уравнения sin 3x + sin x = sin 2x на промежутке [-π; 0,5π].
Решение:
Воспользуемся формулой sin α + sin β = 2sin ((α + β)/2) · cos ((α – β)/2), тогда
sin 3x + sin x = 2sin ((3x + x)/2) · cos ((3x – x)/2) = 2sin 2x · cos x и уравнение принимает вид
2sin 2x · cos x = sin 2x;
2sin 2x · cos x – sin 2x = 0. Вынесем общий множитель sin 2x за скобки
sin 2x(2cos x – 1) = 0. Решим полученное уравнение:
sin 2x = 0 или 2cos x – 1 = 0;
sin 2x = 0 или cos x = 1/2;
2x = πk или x = ±π/3 + 2πk, k – целое число (k € Z).
Таким образом, имеем корни
x = πk/2, x = π/3 + 2πk, x = -π/3 + 2πk, k – целое число (k € Z).
Промежутку [-π; 0,5π] принадлежат корни -π; -π/2; 0; π/2 (из первой серии корней); π/3 (из второй серии); -π/3 (из третьей серии). Их среднее арифметическое равно:
(-π – π/2 + 0 + π/2 + π/3 – π/3)/6 = -π/6.
Ответ: -π/6.
Пример 6. Найти количество корней уравнения sin x + cos x = 0 на промежутке [-1,25π; 2π].
Решение:
Данное уравнение является однородным уравнением первой степени. Разделим обе его части на cosx (значение переменной, при которых cos x = 0, не являются корнями данного уравнения, так как синус и косинус одного и того же числа не могут одновременно быть равными нулю). Исходное уравнение имеет вид:
x = -π/4 + πk, k – целое число (k € Z).
Промежутку [-1,25π; 2π] принадлежат корни -π/4; (-π/4 + π); и (-π/4 + 2π).
Таким образом, заданному промежутку принадлежат три корня уравнения.
Ответ: 3.
Научитесь делать самое главное – четко представлять план решения задачи, и тогда любое тригонометрическое уравнение будет вам по плечу.
Остались вопросы? Не знаете, как решать тригонометрические уравнения?
Чтобы получить помощь репетитора – .
blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Цель урока:
- Повторить формулы решения простейших тригонометрических уравнений.
- Рассмотреть три основных способа отбора корней при решении
тригонометрических уравнений:
отбор неравенством, отбор знаменателем и отбор в промежуток.
Оборудование: Мультимедийная аппаратура.
Методический комментарий .
- Обратить внимание учащихся на важность темы урока.
- Тригонометрические уравнения, в которых требуется провести
отбор корней, часто встречаются в тематических тестах ЕГЭ;
решение таких задач позволяет закрепить и углубить ранее полученные знания учащихся.
Ход урока
Повторение. Полезно вспомнить формулы решения простейших тригонометрических уравнений (экран).
| Значения | Уравнение | Формулы решения уравнений |
| sinx=a | ||
| sinx=a | уравнение решений не имеет | |
| а=0 | sinx=0 | |
| а=1 | sinx= 1 |
 |
| а= -1 | sinx= -1 |
 |
| cosx=a | ||
| cosx=a | уравнение решений не имеет | |
| а=0 | cosx=0 |
 |
| а=1 | cosx= 1 | |
| а= -1 | cosx= -1 |
 |
| tgx=a | ||
| ctgx=a |
При отборе корней в тригонометрических уравнениях запись решений уравнений sinx=a, сosx=a в виде совокупности более оправдана. В этом мы убедимся при решении задач.
Решение уравнений.
Задача
. Решить уравнение
Решение. Данное уравнение равносильно следующей системе
Рассмотрим окружность. Отметим на ней корни каждой системы и отметим дугой ту часть окружности, где выполняется неравенство (рис. 1 )
Рис. 1
Получаем, что
не может быть
решением исходного уравнения.
Ответ:
В этой задаче мы провели отбор корней неравенством.
В следующей задаче проведем отбор знаменателем. Для этого выберем корни числителя, но такие, что они не будут являться корнями знаменателя.
Задача 2. Решить уравнение.
Решение . Запишем решение уравнения, используя последовательные равносильные переходы.
Решая уравнение и неравенство системы, в решении ставим разные буквы, которые обозначают целые числа. Иллюстрируя на рисунке, отметим на окружности корни уравнения кружочками, а корни знаменателя крестиками (рис.2.)
Рис. 2
Из рисунка хорошо видно, что
– решение исходного уравнения.
Обратим внимание учащихся на то, что отбор корней проще было проводить, используя систему c нанесением соответствующих точек на окружности.
Ответ:
Задача 3. Решить уравнение
3sin2x = 10 cos 2 x – 2 /
Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку .
Решение. В этой задаче производится отбор корней в промежуток, который задается условием задачи. Отбор корней в промежуток можно выполнять двумя способами: перебирая значения переменной для целых чисел или решая неравенство.
В данном уравнении отбор корней проведем первым способом, а в следующей задаче – путем решения неравенства.
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и формулой двойного угла для синуса. Получим уравнение
6sinxcosx = 10cos 2 x – sin 2 x – cos 2 x, т.е. sin 2 x – 9cos 2 x+ 6sinxcosx = 0
Т.к. в противном случае sinx = 0 , что не может быть, так как не существует углов, для которых одновременно синус и косинус равные нулю в виду sin 2 x+ cos 2 x = 0.
Разделим обе части уравнения на cos 2 x. Получим tg 2 x+ 6tgx – 9 = 0 /
Пусть tgx = t , тогда t 2 + 6t – 9 = 0, t 1 = 2,t 2 = –8.
tgx = 2 или tg = –8;
Рассмотрим каждую серию отдельно, находя точки внутри промежутка , и по одной точке слева и справа от него.
Если к=0 , то x=arctg2 . Этот корень принадлежит рассматриваемому промежутку.
Если к=1 , то x=arctg2+. Этот корень тоже принадлежит рассматриваемому промежутку.
Если к=2
, то
. Ясно,
что данный корень не принадлежит нашему промежутку.
Мы рассмотрели одну точку справа от данного промежутка, поэтому к=3,4,… не рассматриваются.
Если к = –1, получим – не принадлежит промежутку .
Значения к = –2, –3,… не рассматриваются.
Таким образом, из данной серии два корня принадлежат промежутку
Аналогично предыдущему случаю убедимся, что при п = 0 и п = 2, а, следовательно, при п = –1, –2,…п = 3,4,… мы получим корни, не принадлежащие промежутку . Лишь при п=1 получим , принадлежащий этому промежутку.
Ответ:
Задача 4. Решить уравнение 6sin 2 x+2sin 2 2x=5 и указать корни, принадлежащие промежутку .
Решение. Приведем уравнение 6sin 2 x+2sin 2 2x=5 к квадратному уравнению относительно cos2x.
Откуда cos2x
Здесь применим способ отбора в промежуток при помощи двойного неравенства
Так как к принимает только целые значения, то возможно лишь к=2,к=3 .
При к=2 получим , при к=3 получим .
Ответ:
Методический комментарий. Приведенные четыре задачи рекомендуется решать учителю у доски с привлечением учащихся. Для решения следующей задачи лучше вызвать к дочке сильного учащегося, предоставив ему максимальную самостоятельность в рассуждениях.
Задача 5. Решить уравнение
Решение. Преобразовывая числитель, приведем уравнение к более простому виду
Полученное уравнение равносильно совокупности двух систем:
Отбор корней на промежутке (0; 5) проведем двумя способами. Первый способ -для первой системы совокупности, второй способ – для второй системы совокупности.
, 0
Так как к – целое число, то к=1 . Тогда х = – решение исходного уравнения.
Рассмотрим вторую систему совокупности
Если n=0
, то
. При
п = -1; -2;…
решений не будет.
Если п=1,
– решение
системы и, следовательно, исходного уравнения.
Если п=2 , то
При решений не будет.
По вашим просьбам!
13. Решите уравнение 3-4cos 2 x=0. Найдите сумму его корней, принадлежащих промежутку .
Понизим степень косинуса по формуле: 1+cos2α=2cos 2 α. Получаем равносильное уравнение:
3-2(1+cos2x)=0 ⇒ 3-2-2cos2x=0 ⇒ -2cos2x=-1. Делим обе части равенства на (-2) и получаем простейшее тригонометрическое уравнение:
14. Найдите b 5 геометрической прогрессии, если b 4 =25 и b 6 =16.
Каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних с ним членов:
(b n) 2 =b n-1 ∙b n+1 . У нас (b 5) 2 =b 4 ∙b 6 ⇒ (b 5) 2 =25·16 ⇒ b 5 =±5·4 ⇒ b 5 =±20.
15. Найдите производную функции: f(x)=tgx-ctgx.
16. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y(x)=x 2 -12x+27
на отрезке .
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции y=f(x) на отрезке , нужно найти значения этой функции на концах отрезка и в тех критических точках, которые принадлежат данному отрезку, а затем из всех полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.
Найдем значения функции при х=3 и при х=7, т.е. на концах отрезка.
y(3)=3 2 -12∙3+27 =9-36+27=0;
y(7)=7 2 -12∙7+27 =49-84+27=-84+76=-8.
Находим производную данной функции: y’(x)=(x 2 -12x+27)’ =2x-12=2(x-6); критическая точка х=6 принадлежит данному промежутку . Найдем значение функции при х=6.
y(6)=6 2 -12∙6+27 =36-72+27=-72+63=-9. А теперь выбираем из трех полученных значений: 0; -8 и -9 наибольшее и наименьшее: у наиб. =0; у наим. =-9.
17. Найдите общий вид первообразных для функции:
Данный промежуток – это область определения данной функции. Ответы должны начинаться с F(x), а не с f(x) – ведь мы ищем первообразную. По определению функция F(x) является первообразной для функции f(x), если выполняется равенство: F’(x)=f(x). Так что можно просто находить производные предложенных ответов, пока не получится данная функция. Строгое решение – это вычисление интеграла от данной функции. Применяем формулы:
19. Составьте уравнение прямой, содержащей медиану BD треугольника АВС, если его вершины А(-6; 2), В(6; 6) С(2; -6).
Для составления уравнения прямой нужно знать координаты 2-х точек этой прямой, а нам известны координаты только точки В. Так как медиана BD делит противолежащую сторону пополам, то точка D является серединой отрезка АС. Координаты середины отрезка есть полусуммы соответственных координат концов отрезка. Найдем координаты точки D.
20. Вычислить:
24. Площадь правильного треугольника, лежащего в основании прямой призмы, равна
Эта задача — обратная к задаче № 24 из варианта 0021.
25. Найдите закономерность и вставьте недостающее число: 1; 4; 9; 16; …
Очевидно, что это число 25 , так как нам дана последовательность квадратов натуральных чисел:
1 2 ; 2 2 ; 3 2 ; 4 2 ; 5 2 ; …
Всем удачи и успехов!
Чтобы успешно решать тригонометрические уравнения удобно пользоваться методом сведения к ранее решенным задачам. Давайте разберемся, в чем суть этого метода?
В любой предлагаемой задаче вам необходимо увидеть уже решенную ранее задачу, а затем с помощью последовательных равносильных преобразований попытаться свести данную вам задачу к более простой.
Так, при решении тригонометрических уравнений обычно составляют некоторую конечную последовательность равносильных уравнений, последним звеном которой является уравнение с очевидным решением. Только важно помнить, что если навыки решения простейших тригонометрических уравнений не сформированы, то решение более сложных уравнений будет затруднено и малоэффективно.
Кроме того, решая тригонометрические уравнения, никогда не стоит забывать о возможности существования нескольких способов решения.
Пример 1. Найти количество корней уравнения cos x = -1/2 на промежутке .
Решение:
I способ. Изобразим графики функций y = cos x и y = -1/2 и найдем количество их общих точек на промежутке (рис. 1).
Так как графики функций имеют две общие точки на промежутке , то уравнение содержит два корня на данном промежутке.
II способ.
С помощью тригонометрического круга (рис. 2) выясним количество точек, принадлежащих промежутку , в которых cos x = -1/2. По рисунку видно, что уравнение имеет два корня.
III способ. Воспользовавшись формулой корней тригонометрического уравнения, решим уравнение cos x = -1/2.
x = ± arccos (-1/2) + 2πk, k – целое число (k € Z);
x = ± (π – arccos 1/2) + 2πk, k – целое число (k € Z);
x = ± (π – π/3) + 2πk, k – целое число (k € Z);
x = ± 2π/3 + 2πk, k – целое число (k € Z).
Промежутку принадлежат корни 2π/3 и -2π/3 + 2π, k – целое число. Таким образом, уравнение имеет два корня на заданном промежутке.
Ответ: 2 .
В дальнейшем тригонометрические уравнения будут решаться одним из предложенных способов, что во многих случаях не исключает применения и остальных способов.
Пример 2. Найти количество решений уравнения tg (x + π/4) = 1 на промежутке [-2π; 2π].
Решение:
Воспользовавшись формулой корней тригонометрического уравнения, получим:
x + π/4 = arctg 1 + πk, k – целое число (k € Z);
x + π/4 = π/4 + πk, k – целое число (k € Z);
x = πk, k – целое число (k € Z);
Промежутку [-2π; 2π] принадлежат числа -2π; -π; 0; π; 2π. Итак, уравнение имеет пять корней на заданном промежутке.
Ответ: 5.
Пример 3. Найти количество корней уравнения cos 2 x + sin x · cos x = 1 на промежутке [-π; π].
Решение:
Так как 1 = sin 2 x + cos 2 x (основное тригонометрическое тождество), то исходное уравнение принимает вид:
cos 2 x + sin x · cos x = sin 2 x + cos 2 x;
sin 2 x – sin x · cos x = 0;
sin x(sin x – cos x) = 0. Произведение равно нулю, а значит хотя бы один из множителей должен быть равен нулю, поэтому:
sin x = 0 или sin x – cos x = 0.
Так как значение переменной, при которых cos x = 0, не являются корнями второго уравнения (синус и косинус одного и того же числа не могут одновременно быть равными нулю), то разделим обе части второго уравнения на cos x:
sin x = 0 или sin x / cos x - 1 = 0.
Во втором уравнении воспользуемся тем, что tg x = sin x / cos x, тогда:
sin x = 0 или tg x = 1. С помощью формул имеем:
x = πk или x = π/4 + πk, k – целое число (k € Z).
Из первой серии корней промежутку [-π; π] принадлежат числа -π; 0; π. Из второй серии: (π/4 – π) и π/4.
Таким образом, пять корней исходного уравнения принадлежат промежутку [-π; π].
Ответ: 5.
Пример 4. Найти сумму корней уравнения tg 2 x + сtg 2 x + 3tg x + 3сtgx + 4 = 0 на промежутке [-π; 1,1π].
Решение:
Перепишем уравнение в следующем виде:
tg 2 x + сtg 2 x + 3(tg x + сtgx) + 4 = 0 и сделаем замену.
Пусть tg x + сtgx = a. Обе части равенства возведем в квадрат:
(tg x + сtg x) 2 = a 2 . Раскроем скобки:
tg 2 x + 2tg x · сtgx + сtg 2 x = a 2 .
Так как tg x · сtgx = 1, то tg 2 x + 2 + сtg 2 x = a 2 , а значит
tg 2 x + сtg 2 x = a 2 – 2.
Теперь исходное уравнение имеет вид:
a 2 – 2 + 3a + 4 = 0;
a 2 + 3a + 2 = 0. С помощью теоремы Виета получаем, что a = -1 или a = -2.
Сделаем обратную замену, имеем:
tg x + сtgx = -1 или tg x + сtgx = -2. Решим полученные уравнения.
tg x + 1/tgx = -1 или tg x + 1/tgx = -2.
По свойству двух взаимно обратных чисел определяем, что первое уравнение не имеет корней, а из второго уравнения имеем:
tg x = -1, т.е. x = -π/4 + πk, k – целое число (k € Z).
Промежутку [-π; 1,1π] принадлежат корни: -π/4; -π/4 + π. Их сумма:
-π/4 + (-π/4 + π) = -π/2 + π = π/2.
Ответ: π/2.
Пример 5. Найти среднее арифметическое корней уравнения sin 3x + sin x = sin 2x на промежутке [-π; 0,5π].
Решение:
Воспользуемся формулой sin α + sin β = 2sin ((α + β)/2) · cos ((α – β)/2), тогда
sin 3x + sin x = 2sin ((3x + x)/2) · cos ((3x – x)/2) = 2sin 2x · cos x и уравнение принимает вид
2sin 2x · cos x = sin 2x;
2sin 2x · cos x – sin 2x = 0. Вынесем общий множитель sin 2x за скобки
sin 2x(2cos x – 1) = 0. Решим полученное уравнение:
sin 2x = 0 или 2cos x – 1 = 0;
sin 2x = 0 или cos x = 1/2;
2x = πk или x = ±π/3 + 2πk, k – целое число (k € Z).
Таким образом, имеем корни
x = πk/2, x = π/3 + 2πk, x = -π/3 + 2πk, k – целое число (k € Z).
Промежутку [-π; 0,5π] принадлежат корни -π; -π/2; 0; π/2 (из первой серии корней); π/3 (из второй серии); -π/3 (из третьей серии). Их среднее арифметическое равно:
(-π – π/2 + 0 + π/2 + π/3 – π/3)/6 = -π/6.
Ответ: -π/6.
Пример 6. Найти количество корней уравнения sin x + cos x = 0 на промежутке [-1,25π; 2π].
Решение:
Данное уравнение является однородным уравнением первой степени. Разделим обе его части на cosx (значение переменной, при которых cos x = 0, не являются корнями данного уравнения, так как синус и косинус одного и того же числа не могут одновременно быть равными нулю). Исходное уравнение имеет вид:
x = -π/4 + πk, k – целое число (k € Z).
Промежутку [-1,25π; 2π] принадлежат корни -π/4; (-π/4 + π); и (-π/4 + 2π).
Таким образом, заданному промежутку принадлежат три корня уравнения.
Ответ: 3.
Научитесь делать самое главное – четко представлять план решения задачи, и тогда любое тригонометрическое уравнение будет вам по плечу.
Остались вопросы? Не знаете, как решать тригонометрические уравнения?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
