Математический анализ 1 курс теория. Математический анализ

Курс представляет собой студийную видеозапись первой половины первого семестра лекций по математическому анализу в том виде, в котором они читаются в Академическом университете. За 4 модуля слушатели познакомятся с базовыми понятиями математического анализа: последовательностями, пределами и непрерывностью. Мы ограничимся только вещественными числами и функциями одной переменной. Изложение будет вестись на достаточно элементарном уровне без возможных обобщений, не меняющих основных идей доказательств, но заметно усложняющих восприятие. Все утверждения (кроме некоторых занудных формальных обоснований в самом начале курса и в определении элементарных функций) будут строго доказаны. Видеозаписи сопровождаются большим количеством задач для самостоятельной работы слушателей.

Who is this course for

Студенты младших курсов технических специальностей

Слушателям необходимо хорошо владеть школьной программой по математике. А именно необходимо знать как выглядят графики основных элементарных функций, знать основные формулы для тригонометрических, показательных и логарифмических функций, для арифметической и геометрической прогрессий, а также уверенно уметь делать алгебраические преобразования с равенствами и с неравенствами. Для нескольких задач нужно также знать простейшие свойства рациональных и иррациональных чисел.

А.В. Гласко

ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

«ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ»

Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана

§1. Логическая символика.

При записи математических выражений будем использовать следующие логические символы:

	Значение		Значение
			Для любого, для всякого, для всех (от
			Существует, найдется, имеется (exist)
			Влечет, следует (следовательно)
			Эквивалентно, тогда и только тогда,
			необходимо и достаточно
Так если А и В какие-либо высказывания, то

			Значение
			А или В (или А или В, или и А и В)
			Для любого x имеет место А
			Существует x , для которого имеет место А
			Из А следует В (если верно А, то верно В)
(импликация)
			А эквивалентно В, А имеет место тогда и только тогда, когда имеет место В,
			для В необходимо и достаточно А
	Замечание. “ A B ” означает, что для В достаточно А, а для А необходимо В.

Пример. (х=1) => (х2 -3х+2=0) => ((х=1) (x=2)).

Иногда мы будем использовать ещё один специальный символ: А =df В.

Он означает, что А = В по определению.

§2. Множества. Элементы и части множества.

Понятие множества – первичное понятие, не определяемое через более простые. Слова: совокупность, семейство, набор – его синонимы.

Примеры множеств: множество студентов в аудитории, множество преподавателей на кафедре, множество автомобилей на стоянке и пр.

Первичными понятиями также являются понятия элемента множества и отношения

между элементами множества.

Пример. N – множество натуральных чисел, его элементами являются числа 1,2,3,… Если х и у – элементы N, то они находятся в одном следующих отношений: х=у, ху.

Условимся обозначать множества заглавными буквами: A, B, C, X, Y, …, а их элементы – строчными: a, b, c, x, y, …

Отношения между элементами или множествами обозначаются символами, вставленными между буквами. Например. Пусть А – некоторое множество. Тогда отношение a А означает, что а – элемент множества А. Запись а А означает, что а не является элементом А.

Множество можно задать различными способами. 1. Перечислением его элементов.

Например, А={a, b, c, d}, B={1, 7, 10}

2. Указанием свойств элементов. Пусть A – множество элементов а, обладающих свойством р. Это можно записать в виде: A={ a:p } или A={ ap }.

Например, запись А= { x: (x R ) (x2 -1>0) } означает, что A – есть множество вещественных чисел, удовлетворяющих неравенству x2 -1>0.

Введем несколько важных определений.

Опр. Множество называется конечным , если оно состоит из определённого конечного числа элементов. В противном случае оно называется бесконечным .

Например, множество студентов в аудитории конечно, а множество натуральных чисел или множество точек внутри отрезка бесконечно.

Опр. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается.

Опр. Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же

Т.е. понятие множества не подразумевает того или иного порядка следования элементов. Опр. Множество Х называется подмножеством множества Y, если любой элемент множества Х является элементом множества Y (при этом, вообще говоря, не любой

элемент множества Y является элементом множества X). При этом используется обозначение: X Y.

Например, множество апельсинов O является подмножеством множества фруктов F : O F , а множество натуральных чисел N является подмножеством множества вещественных чисел R : N R .

Cимволы “ ” и “ ” называются символами включения. Считают, что каждое множество является подмножеством самого себя. Пустое множество является подмножеством любого множества.

Опр. Любое непустое подмножество В множества А, не равное А, называется

собственным подмножеством.

§ 3. Диаграммы Эйлера-Венна. Элементарные операции над множествами.

Множества удобно изобразить графически, в виде областей на плоскости. При этом подразумевается, что точки области соответствуют элементам множества. Такие графические представления множеств называются диаграммами Эйлера-Венна.

Пример. А – множество студентов МГТУ, В – множество студентов в аудитории. Рис. 1 наглядно демонстрирует, что A B .

Диаграммы Эйлера-Венна удобно использовать для наглядного изображения элементарных операций над множествами . К основным операциям относятся следующие.

Рис. 1. Пример диаграммы Эйлера-Венна.

1. Пересечением А В множеств А и В называется множество C, состоящее из всех элементов, принадлежащих одновременно обоим множествам А и В:

С=А В =df { z: (z A) (z B) }

(на рис. 2 множество C представлено заштрихованной областью).

Рис. 2. Пересечение множеств.

2.Объединением А В множеств А и В называется множество C, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А или В.

C=А В =df { z: (z A) (z B) }

(на рис. 3 множество C представлено заштрихованной областью).

Рис. 3. Объединение множеств.

Рис. 4. Разность множеств.

3.Разностью А\В множеств А и В называется множество C, состоящее из всех элементов, принадлежащих множеству А, но не принадлежащих множеству В:

А \ В ={ z: (z A) (z B) }

(на рис. 4 множество C представлено закрашенной желтым цветом областью).

§4.Множество действительных чисел.

Построим множество вещественных (действительных) чисел R. Для этого рассмотрим, прежде всего, множество натуральных чисел , которое определим следующим образом. В качестве первого элемента возьмем число n=1. Каждый последующий элемент будем получать из предыдущего добавлением единицы:

N = {1, 1+1, (1+1)+1, …} = { 1, 2, 3, …, n, … }.

N = { -1, -2, -3, …, -n, … }.

Множество целых чисел Z определим как объединение трех множеств: N, -N и множества, состоящего из единственного элемента – нуля:

Множество рациональных чисел определим как множество всевозможных отношений целых чисел:

Q = { xx = m/n; m, n Z, n 0 }.

Очевидно, что N Z Q.

Известно, что каждое рациональное число может быть записано в виде конечной действительной или бесконечной периодической дроби. Достаточно ли рациональных чисел для измерения всех величин, с которыми мы можем встретиться при изучении окружающего нас мира? Уже в Древней Греции было показано, что нет: если рассмотреть равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами длинной единица, длину гипотенузы нельзя представить в виде рационального числа. Таким образом, мы не можем ограничиться множеством рациональных чисел. Необходимо расширить понятие числа. Это расширение достигается введением множества иррациональных чисел J, которое проще всего мыслить как множество всех непериодических бесконечных десятичных дробей.

Объединение множеств рациональных и иррациональных чисел называется

множеством действительных (вещественных) чисел R: R =Q Y.

Иногда рассматривают еще расширенное множество действительных чисел R , понимая

Действительные числа удобно изображать точками на числовой оси.

Опр. Числовой осью называется прямая, на которой указано начало отсчета, масштаб и направление отсчета.

Между действительным числами и точками числовой оси устанавливается взаимно однозначное соответствие: любому вещественному числу соответствует единственная точка числовой оси и наоборот.

Аксиома полноты (непрерывности) множества действительных чисел. Каковы бы ни были непустые множества А= { a } R и B= {b} R такие, что для любых a и b выполняется неравенство a ≤ b , найдется число c R такое, что a ≤ c ≤ b (рис. 5).

Рис.5. Иллюстрация аксиомы полноты множества вещественных чисел.

§5. Числовые множества. Окрестности.

Опр. Числовым множеством называется любое подмножество множества R. Важнейшие числовые множества: N, Z, Q, J, а также

отрезок: {x R |a x b },

интервал: (a ,b ) {x R |a x b }, (,)=R

полуинтервалы: { x R| a x b},

{x R | x b }.

Важнейшую роль в математическом анализе играет понятие окрестности точки числовой оси.

Опр. -окрестностью точки x 0 называют интервал длиной 2 с центром в точке x 0 (рис. 6):

u (x 0 ) (x 0 ,x 0 ).

Рис. 6. Окрестность точки.

Опр. Проколотой -окрестностью точки называется окрестность этой точки,

из которой исключена сама точка x 0 (рис. 7):

u (x 0 ) u (x 0 )\{x 0 } (x 0 ,x 0 ) (x 0 ,x 0 ).

Рис. 7. Проколотая окрестность точки.

Опр. Правосторонней -окрестностью точки x0 называется полуинтервал

u (x 0 ) , область значений: E= [-π/2,π/2 ].

Рис. 11. График функции y arcsin x .

Введем теперь понятие сложной функции (композиции отображений ). Пусть даны три множества D, E, M и пусть f: D→E, g: E→M. Очевидно, можно построить новое отображение h: D→M, называемое композицией отображений f и g или сложной функцией (рис. 12).

Сложная функция обозначается следующим образом: z =h(x)=g(f(x)) или h = f o g.

Рис. 12. Иллюстрация к понятию сложной функции.

Функция f (x ) при этом называется внутренней функцией , а функция g (y )- внешней функцией .

1. Внутренняя функция f(x)= x², внешняя g (y ) sin y. Сложная функция z= g(f(x))=sin(x²)

2 . Теперь наоборот. Внутренняя функция f (x )= sinx , внешняя g (y ) y 2 . u=f(g(x))=sin²(x)

Курс ориентирован на бакалавров и магистров, специализирующихся по математическим, экономическим или естественнонаучным дисциплинам, а также на учителей математики средних школ и на преподавателей вузов. Будет также полезен школьникам, углублённо занимающимся математикой.

Построение курса традиционно. Курс охватывает классический материал по математическому анализу, изучающийся на первом курсе университета в первом семестре. Будут представлены разделы «Элементы теории множеств и вещественные числа», «Теория числовых последовательностей», «Предел и непрерывность функции», «Дифференцируемость функции», «Приложения дифференцируемости». Мы познакомимся с понятием множества, дадим строгое определение вещественного числа и изучим свойства вещественных чисел. Затем поговорим о числовых последовательностях и их свойствах. Это позволит рассмотреть понятие числовой функции, хорошо знакомое школьникам, на новом, более строгом уровне. Мы введём понятие предела и непрерывности функции, обсудим свойства непрерывных функций и их применение для решения задач.

Во второй части курса мы дадим определение производной и дифференцируемости функции одной переменной и изучим свойства дифференцируемых функций. Это позволит научиться решать такие важные прикладные задачи, как приближённое вычисление значений функции и решение уравнений, вычисление пределов, исследование свойств функции и построение её графика.

Формат

Форма обучения заочная (дистанционная).
Еженедельные занятия будут включать просмотр тематических видеолекций и выполнение тестовых заданий с автоматизированной проверкой результатов.
Важным элементом изучения дисциплины является самостоятельное решение вычислительных задач и задач на доказательство. Решение должно будет содержать строгие и логически верные рассуждения, приводящие к верному ответу (в случае задачи на вычисление) или полностью доказывающие необходимое утверждение (для теоретических задач).

Требования

Курс рассчитан на бакалавров 1 года обучения. Требуется знание элементарной математики в объёме средней школы (11 классов).

Программа курса

Лекция 1. Элементы теории множеств.
Лекция 2. Понятие вещественного числа. Точные грани числовых множеств.
Лекция 3. Арифметические операции над вещественными числами. Свойства вещественных чисел.
Лекция 4. Числовые последовательности и их свойства.
Лекция 5. Монотонные последовательности. Критерий Коши сходимости последовательности.
Лекция 6. Понятие функции одной переменной. Предел функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
Лекция 7. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва. Локальные и глобальные свойства непрерывных функций.
Лекция 8. Монотонные функции. Обратная функция.
Лекция 9. Простейшие элементарные функции и их свойства: показательная, логарифмическая и степенная функции.
Лекция 10. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции. Замечательные пределы. Равномерная непрерывность функции.
Лекция 11. Понятие производной и дифференциала. Геометрический смысл производной. Правила дифференцирования.
Лекция 12. Производные основных элементарных функций. Дифференциал функции.
Лекция 13. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница. Производные параметрически заданных функций.
Лекция 14. Основные свойства дифференцируемых функций. Теоремы Ролля и Лагранжа.
Лекция 15. Теорема Коши. Первое правило Лопиталя раскрытия неопределённостей.
Лекция 16. Второе правило Лопиталя раскрытия неопределённостей. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
Лекция 17. Формула Тейлора с остаточным членом в общей форме, в форме Лагранжа и Коши. Разложение по формуле Маклорена основных элементарных функций. Приложения формулы Тейлора.
Лекция 18. Достаточные условия экстремума. Асимптоты графика функции. Выпуклость.
Лекция 19. Точки перегиба. Общая схема исследования функции. Примеры построения графиков.

Результаты обучения

В результате освоения курса слушатель получит представление о базовых понятиях математического анализа: множестве, числе, последовательности и функции, познакомится с их свойствами и научится применять эти свойства при решении задач.

Вопросы к экзамену по «Математическому анализу», 1 курс, 1-й семестр.

1. Множества. Основные операции над множествами. Метрические и арифметические пространства.

2. Числовые множества. Множества на числовой прямой: отрезки, интервалы, полуоси, окрестности.

3. Определение ограниченного множества. Верхняя и нижняя грани числовых множеств. Постулаты о верхней и нижней гранях числовых множеств.

4. Метод математической индукции. Неравенства Бернулли и Коши.

5. Определение функции. График функции. Чётные и нечётные функции. Периодические функции. Способы задания функции.

6. Предел последовательности. Свойства сходящихся последовательностей.

7. Ограниченные последовательности. Теорема о достаточном условии расходимости последовательности.

8. Определение монотонной последовательности. Теорема Вейерштрасса о монотонной последовательности.

9. Число е.

10. Предел функции в точке. Предел функции на бесконечности. Односторонние пределы.

11. Бесконечно малые функции. Предел суммы, произведения и частного функций.

12. Теоремы об устойчивости неравенств. Переход к пределу в неравенствах. Теорема о трёх функциях.

13. Первый и второй замечательные пределы.

14. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми функциями.

15. Сравнение бесконечно малых функций. Свойства эквивалентных бесконечно малых. Теорема о замене бесконечно малых на эквивалентные. Основные эквивалентности.

16. Непрерывность функции в точке. Действия с непрерывными функциями. Непрерывность основных элементарных функций.

17. Классификация точек разрыва функции. Доопределение по непрерывности

18. Определение сложной функции. Предел сложной функции. Непрерывность сложной функции. Гиперболические функции

19. Непрерывность функции на отрезке. Теоремы Коши об обращении в нуль функции непрерывной на отрезке и о промежуточном значении функции.

20. Свойства функций непрерывных на отрезке. Теорема Вейерштрасса об ограниченности непрерывной функции. Теорема Вейерштрасса о наибольшем и наименьшем значении функции.

21. Определение монотонной функции. Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной функции. Теорема о множестве значений функции монотонной и непрерывной на отрезке.

22. Обратная функция. График обратной функции. Теорема о существовании и непрерывности обратной функции.

23. Обратные тригонометрические и гиперболические функции.

24. Определение производной функции. Производные основных элементарных функций.

25. Определение дифференцируемой функции. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции. Непрерывность дифференцируемой функции.

26. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной и нормали к графику функции.

27. Производная суммы, произведения и частного двух функций

28. Производная сложной функции и обратной функции.

29. Логарифмическое дифференцирование. Производная функции заданной параметрически.

30. Главная часть приращения функции. Формула линеаризации функции. Геометрический смысл дифференциала.

31. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы дифференциала.

32. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши о свойствах дифференцируемых функций. Формула конечных приращений.

33. Применение производной к раскрытию неопределенностей в пределах. Правило Лопиталя.

34. Определение производной n-го порядка. Правила нахождения производной n-го порядка. Формула Лейбница. Дифференциалы высших порядков.

35. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Остаточные члены в форме Лагранжа и Коши.

36. Возрастание и убывание функций. Точки экстремума.

37. Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба.

38. Бесконечные разрывы функций. Асимптоты.

39. Схема построения графика функции.

40. Определение первообразной. Основные свойства первообразной. Простейшие правила интегрирования. Таблица простейших интегралов.

41. Интегрирование путем замены переменной и формула интегрирования по частям в неопределенном интеграле.

42. Интегрирование выражений вида e ax cos bx и e ax sin bx с помощью рекуррентных соотношений.

	43. Интегрирование дроби			с помощью рекуррентных соотношений.
			a 2 n

44. Неопределенный интеграл от рациональной функции. Интегрирование простейших дробей.

45. Неопределенный интеграл от рациональной функции. Разложение правильных дробей на простейшие.

46. Неопределенный интеграл от иррациональной функции. Интегрирование выражений

	R x, m

47. Неопределенный интеграл от иррациональной функции. Интегрирование выражений вида R x , ax 2 bx c . Подстановки Эйлера.

48. Интегрирование выражений вида

ax2 bx c

ax2 bx c

2 bx c

49. Неопределенный интеграл от иррациональной функции. Интегрирование биномиальных дифференциалов.

50. Интегрирование тригонометрических выражений. Универсальная тригонометрическая подстановка.

51. Интегрирование рациональных тригонометрических выражений в случае, когда подынтегральная функция нечетна относительно sin x (или cos x ) или четна относительно sin x и cos x .

52. Интегрирование выражений sin n x cos m x и sin nx cos mx .

53. Интегрирование выражений tg m x и ctg m x .

54. Интегрирование выражений R x , x 2 a 2 , R x , a 2 x 2 и R x , x 2 a 2 с помощью тригонометрических подстановок.

55. Определенный интеграл. Задача о вычислении площади криволинейной трапеции.

56. Интегральные суммы. Суммы Дарбу. Теорема об условии существования определенного интеграла. Классы интегрируемых функций.

57. Свойства определенного интеграла. Теоремы о среднем значении.

58. Определенный интеграл, как функция верхнего предела. Формула Ньютона-Лейбница.

59. Формула замены переменной и формула интегрирования по частям в определенном интеграле.

60. Приложение интегрального исчисления к геометрии. Объем фигуры. Объем фигур вращения.

61. Приложение интегрального исчисления к геометрии. Площадь плоской фигуры. Площадь криволинейного сектора. Длина кривой.

62. Определение несобственного интеграла I рода. Формула Ньютона-Лейбница для несобственных интегралов I рода. Простейшие свойства.

63. Сходимость несобственных интегралов I рода для положительной функции. 1-я и 2-я теоремы сравнения.

64. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов I рода от знакопеременной функции. Признаки сходимости Абеля и Дирихле.

65. Определение несобственного интеграла II рода. Формула Ньютона-Лейбница для несобственных интегралов II рода.

66. Связь несобственных интегралов 1-го и 2-го рода. Несобственные интегралы в смысле главного значения.

Курс ориентирован на бакалавров и магистров, специализирующихся по математическим, экономическим или естественнонаучным дисциплинам, а также на учителей математики средних школ и на преподавателей вузов. Будет также полезен школьникам, углублённо занимающимся математикой.

Построение курса традиционно. Курс охватывает классический материал по математическому анализу, изучающийся на первом курсе университета в первом семестре. Будут представлены разделы «Элементы теории множеств и вещественные числа», «Теория числовых последовательностей», «Предел и непрерывность функции», «Дифференцируемость функции», «Приложения дифференцируемости». Мы познакомимся с понятием множества, дадим строгое определение вещественного числа и изучим свойства вещественных чисел. Затем поговорим о числовых последовательностях и их свойствах. Это позволит рассмотреть понятие числовой функции, хорошо знакомое школьникам, на новом, более строгом уровне. Мы введём понятие предела и непрерывности функции, обсудим свойства непрерывных функций и их применение для решения задач.

Во второй части курса мы дадим определение производной и дифференцируемости функции одной переменной и изучим свойства дифференцируемых функций. Это позволит научиться решать такие важные прикладные задачи, как приближённое вычисление значений функции и решение уравнений, вычисление пределов, исследование свойств функции и построение её графика.

Формат

Форма обучения заочная (дистанционная).
Еженедельные занятия будут включать просмотр тематических видеолекций и выполнение тестовых заданий с автоматизированной проверкой результатов.
Важным элементом изучения дисциплины является самостоятельное решение вычислительных задач и задач на доказательство. Решение должно будет содержать строгие и логически верные рассуждения, приводящие к верному ответу (в случае задачи на вычисление) или полностью доказывающие необходимое утверждение (для теоретических задач).

Требования

Курс рассчитан на бакалавров 1 года обучения. Требуется знание элементарной математики в объёме средней школы (11 классов).

Программа курса

Лекция 1. Элементы теории множеств.
Лекция 2. Понятие вещественного числа. Точные грани числовых множеств.
Лекция 3. Арифметические операции над вещественными числами. Свойства вещественных чисел.
Лекция 4. Числовые последовательности и их свойства.
Лекция 5. Монотонные последовательности. Критерий Коши сходимости последовательности.
Лекция 6. Понятие функции одной переменной. Предел функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
Лекция 7. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва. Локальные и глобальные свойства непрерывных функций.
Лекция 8. Монотонные функции. Обратная функция.
Лекция 9. Простейшие элементарные функции и их свойства: показательная, логарифмическая и степенная функции.
Лекция 10. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции. Замечательные пределы. Равномерная непрерывность функции.
Лекция 11. Понятие производной и дифференциала. Геометрический смысл производной. Правила дифференцирования.
Лекция 12. Производные основных элементарных функций. Дифференциал функции.
Лекция 13. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница. Производные параметрически заданных функций.
Лекция 14. Основные свойства дифференцируемых функций. Теоремы Ролля и Лагранжа.
Лекция 15. Теорема Коши. Первое правило Лопиталя раскрытия неопределённостей.
Лекция 16. Второе правило Лопиталя раскрытия неопределённостей. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
Лекция 17. Формула Тейлора с остаточным членом в общей форме, в форме Лагранжа и Коши. Разложение по формуле Маклорена основных элементарных функций. Приложения формулы Тейлора.
Лекция 18. Достаточные условия экстремума. Асимптоты графика функции. Выпуклость.
Лекция 19. Точки перегиба. Общая схема исследования функции. Примеры построения графиков.

Результаты обучения

В результате освоения курса слушатель получит представление о базовых понятиях математического анализа: множестве, числе, последовательности и функции, познакомится с их свойствами и научится применять эти свойства при решении задач.