Выражением вида a (m/n) , где n - некоторое натуральное число, m - некоторое целое число и основание степени а больше нуля, называется степень с дробным показателем. Причем верным является следующее равенство. n√(a m) = a (m/n) .
Как мы уже знаем, числа вида m/n, где n - некоторое натуральное число, а m - некоторое целое число, называют дробными или рациональными числами. Из всего вышесказанного получаем, что степень определена, для любого рационального показателя степени и любого положительного основания степени.
Для любых рациональных чисел p,q и любых a>0 и b>0 верны следующие равенства:
- 1. (a p)*(a q) = a (p+q)
- 2. (a p):(b q) = a (p-q)
- 3. (a p) q = a (p*q)
- 4. (a*b) p = (a p)*(b p)
- 5. (a/b) p = (a p)/(b p)
Данные свойства широко используются при преобразовании различных выражений, где содержатся степени с дробными показателями.
Примеры преобразований выражений, содержащих степень с дробным показателем
Рассмотрим несколько примеров, демонстрирующих применение этих свойств для преобразования выражений.
1. Вычислить 7 (1/4) * 7 (3/4) .
- 7 (1/4) * 7 (3/4) = z (1/4 + 3/4) = 7.
2. Вычислить 9 (2/3) : 9 (1/6) .
- 9 (2/3) : 9 (1/6) = 9 (2/3 - 1/6) = 9 (1/2) = √9 = 3.
3. Вычислить (16 (1/3)) (9/4) .
- (16 (1/3)) (9/4) = 16 ((1/3)*(9/4)) =16 (3/4) = (2 4) (3/4) = 2 (4*3/4) = 2 3 = 8.
4. Вычислить 24 (2/3) .
- 24 (2/3) = ((2 3)*3) (2/3) = (2 (2*2/3))*3 (2/3) = 4*3√(3 2)=4*3√9.
5. Вычислить (8/27) (1/3) .
- (8/27) (1/3) = (8 (1/3))/(27 (1/3)) = ((2 3) (1/3))/((3 3) (1/3))= 2/3.
6. Упростить выражение ((a (4/3))*b + a*b (4/3))/(3√a + 3√b)
- ((a (4/3))*b + a*b (4/3))/(3√a + 3√b) = (a*b*(a (1/3) + b (1/3)))/(1/3) + b (1/3)) = a*b.
7. Вычислить (25 (1/5))*(125 (1/5)).
- (25 (1/5))*(125 (1/5)) =(25*125) (1/5) = (5 5) (1/5) = 5.
8. Упростить выражение
- (a (1/3) - a (7/3))/(a (1/3) - a (4/3)) - (a (-1/3) - a (5/3))/(a (2/3) + a (-1/3)).
- (a (1/3) - a (7/3))/(a (1/3) - a (4/3)) - (a (-1/3) - a (5/3))/(a (2/3) + a (-1/3)) =
- = ((a (1/3))*(1-a 2))/((a (1/3))*(1-a)) - ((a (-1/3))*(1-a 2))/ ((a (-1/3))*(1+a)) =
- = 1 +a - (1-a) = 2*a.
Как видите используя эти свойства, можно значительно упростить некоторые выражения, которые содержат степени с дробными показателями.
Рассмотрим тему преобразования выражений со степенями, но прежде остановимся на ряде преобразований, которые можно проводить с любыми выражениями, в том числе со степенными. Мы научимся раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые, работать с основанием и показателем степени, использовать свойства степеней.
Что представляют собой степенные выражения?
В школьном курсе мало кто использует словосочетание «степенные выражения», зато этот термин постоянно встречается в сборниках для подготовки к ЕГЭ. В большинства случаев словосочетанием обозначаются выражения, которые содержат в своих записях степени. Это мы и отразим в нашем определении.
Определение 1
Степенное выражение – это выражение, которое содержит степени.
Приведем несколько примеров степенных выражений, начиная со степени с натуральным показателем и заканчивая степенью с действительным показателем.
Самыми простыми степенными выражениями можно считать степени числа с натуральным показателем: 3 2 , 7 5 + 1 , (2 + 1) 5 , (− 0 , 1) 4 , 2 2 3 3 , 3 · a 2 − a + a 2 , x 3 − 1 , (a 2) 3 . А также степени с нулевым показателем: 5 0 , (a + 1) 0 , 3 + 5 2 − 3 , 2 0 . И степени с целыми отрицательными степенями: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .
Чуть сложнее работать со степенью, имеющей рациональный и иррациональный показатели: 264 1 4 - 3 · 3 · 3 1 2 , 2 3 , 5 · 2 - 2 2 - 1 , 5 , 1 a 1 4 · a 1 2 - 2 · a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .
В качестве показателя может выступать переменная 3 x - 54 - 7 · 3 x - 58 или логарифм x 2 · l g x − 5 · x l g x .
С вопросом о том, что такое степенные выражения, мы разобрались. Теперь займемся их преобразованием.
Основные виды преобразований степенных выражений
В первую очередь мы рассмотрим основные тождественные преобразования выражений, которые можно выполнять со степенными выражениями.
Пример 1
Вычислите значение степенного выражения 2 3 · (4 2 − 12) .
Решение
Все преобразования мы будем проводить с соблюдением порядка выполнения действий. В данном случае начнем мы с выполнения действий в скобках: заменим степень на цифровое значение и вычислим разность двух чисел. Имеем 2 3 · (4 2 − 12) = 2 3 · (16 − 12) = 2 3 · 4 .
Нам остается заменить степень 2 3 ее значением 8 и вычислить произведение 8 · 4 = 32 . Вот наш ответ.
Ответ: 2 3 · (4 2 − 12) = 32 .
Пример 2
Упростите выражение со степенями 3 · a 4 · b − 7 − 1 + 2 · a 4 · b − 7 .
Решение
Данное нам в условии задачи выражение содержит подобные слагаемые, которые мы можем привести: 3 · a 4 · b − 7 − 1 + 2 · a 4 · b − 7 = 5 · a 4 · b − 7 − 1 .
Ответ: 3 · a 4 · b − 7 − 1 + 2 · a 4 · b − 7 = 5 · a 4 · b − 7 − 1 .
Пример 3
Представьте выражение со степенями 9 - b 3 · π - 1 2 в виде произведения.
Решение
Представим число 9 как степень 3 2 и применим формулу сокращенного умножения:
9 - b 3 · π - 1 2 = 3 2 - b 3 · π - 1 2 = = 3 - b 3 · π - 1 3 + b 3 · π - 1
Ответ: 9 - b 3 · π - 1 2 = 3 - b 3 · π - 1 3 + b 3 · π - 1 .
А теперь перейдем к разбору тождественных преобразований, которые могут применяться именно в отношении степенных выражений.
Работа с основанием и показателем степени
Степень в основании или показателе может иметь и числа, и переменные, и некоторые выражения. Например, (2 + 0 , 3 · 7) 5 − 3 , 7 и . Работать с такими записями сложно. Намного проще заменить выражение в основании степени или выражение в показателе тождественно равным выражением.
Проводятся преобразования степени и показателя по известным нам правилам отдельно друг от друга. Самое главное, чтобы в результате преобразований получилось выражение, тождественное исходному.
Цель преобразований – упростить исходное выражение или получить решение задачи. Например, в примере, который мы привели выше, (2 + 0 , 3 · 7) 5 − 3 , 7 можно выполнить действия для перехода к степени 4 , 1 1 , 3 . Раскрыв скобки, мы можем привести подобные слагаемые в основании степени (a · (a + 1) − a 2) 2 · (x + 1) и получить степенное выражение более простого вида a 2 · (x + 1) .
Использование свойств степеней
Свойства степеней, записанные в виде равенств, являются одним из главных инструментов преобразования выражений со степенями. Приведем здесь основные из них, учитывая, что a и b – это любые положительные числа, а r и s - произвольные действительные числа:
Определение 2
- a r · a s = a r + s ;
- a r: a s = a r − s ;
- (a · b) r = a r · b r ;
- (a: b) r = a r: b r ;
- (a r) s = a r · s .
В тех случаях, когда мы имеем дело с натуральными, целыми, положительными показателями степени, ограничения на числа a и b могут быть гораздо менее строгими. Так, например, если рассмотреть равенство a m · a n = a m + n , где m и n – натуральные числа, то оно будет верно для любых значений a , как положительных, так и отрицательных, а также для a = 0 .
Применять свойства степеней без ограничений можно в тех случаях, когда основания степеней положительные или содержат переменные, область допустимых значений которых такова, что на ней основания принимают лишь положительные значения. Фактически, в рамках школьной программы по математике задачей учащегося является выбор подходящего свойства и правильное его применение.
При подготовке к поступлению в Вузы могут встречаться задачи, в которых неаккуратное применение свойств будет приводить к сужению ОДЗ и другим сложностям с решением. В данном разделе мы разберем всего два таких случая. Больше информации по вопросу можно найти в теме «Преобразование выражений с использованием свойств степеней».
Пример 4
Представьте выражение a 2 , 5 · (a 2) − 3: a − 5 , 5 в виде степени с основанием a .
Решение
Для начала используем свойство возведения в степень и преобразуем по нему второй множитель (a 2) − 3 . Затем используем свойства умножения и деления степеней с одинаковым основанием:
a 2 , 5 · a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5) = a 2 .
Ответ: a 2 , 5 · (a 2) − 3: a − 5 , 5 = a 2 .
Преобразование степенных выражений согласно свойству степеней может производиться как слева направо, так и в обратном направлении.
Пример 5
Найти значение степенного выражения 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .
Решение
Если мы применим равенство (a · b) r = a r · b r , справа налево, то получим произведение вида 3 · 7 1 3 · 21 2 3 и дальше 21 1 3 · 21 2 3 . Сложим показатели при умножении степеней с одинаковыми основаниями: 21 1 3 · 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21 .
Есть еще один способ провести преобразования:
3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · (3 · 7) 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · 3 2 3 · 7 2 3 = = 3 1 3 · 3 2 3 · 7 1 3 · 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 · 7 1 3 + 2 3 = 3 1 · 7 1 = 21
Ответ: 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 · 7 1 = 21
Пример 6
Дано степенное выражение a 1 , 5 − a 0 , 5 − 6 , введите новую переменную t = a 0 , 5 .
Решение
Представим степень a 1 , 5 как a 0 , 5 · 3 . Используем свойство степени в степени (a r) s = a r · s справа налево и получим (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 − a 0 , 5 − 6 = (a 0 , 5) 3 − a 0 , 5 − 6 . В полученное выражение можно без проблем вводить новую переменную t = a 0 , 5 : получаем t 3 − t − 6 .
Ответ: t 3 − t − 6 .
Преобразование дробей, содержащих степени
Обычно мы имеем дело с двумя вариантами степенных выражений с дробями: выражение представляет собой дробь со степенью или содержит такую дробь. К таким выражениям применимы все основные преобразования дробей без ограничений. Их можно сокращать, приводить к новому знаменателю, работать отдельно с числителем и знаменателем. Проиллюстрируем это примерами.
Пример 7
Упростить степенное выражение 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2 .
Решение
Мы имеем дело с дробью, поэтому проведем преобразования и в числителе, и в знаменателе:
3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2 = 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 3 · 5 2 3 · 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 · 5 2 3 + 1 3 - 3 · 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 · 5 1 - 3 · 5 0 - 2 - x 2
Поместим минус перед дробью для того, чтобы изменить знак знаменателя: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2
Ответ: 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2 = - 12 2 + x 2
Дроби, содержащие степени, приводятся к новому знаменателю точно также, как и рациональные дроби. Для этого необходимо найти дополнительный множитель и умножить на него числитель и знаменатель дроби. Подбирать дополнительный множитель необходимо таким образом, чтобы он не обращался в нуль ни при каких значениях переменных из ОДЗ переменных для исходного выражения.
Пример 8
Приведите дроби к новому знаменателю: а) a + 1 a 0 , 7 к знаменателю a , б) 1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 к знаменателю x + 8 · y 1 2 .
Решение
а) Подберем множитель, который позволит нам произвести приведение к новому знаменателю. a 0 , 7 · a 0 , 3 = a 0 , 7 + 0 , 3 = a , следовательно, в качестве дополнительного множителя мы возьмем a 0 , 3 . Область допустимых значений переменной а включает множество всех положительных действительных чисел. В этой области степень a 0 , 3 не обращается в нуль.
Выполним умножение числителя и знаменателя дроби на a 0 , 3 :
a + 1 a 0 , 7 = a + 1 · a 0 , 3 a 0 , 7 · a 0 , 3 = a + 1 · a 0 , 3 a
б) Обратим внимание на знаменатель:
x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 · 2 · y 1 6 + 2 · y 1 6 2
Умножим это выражение на x 1 3 + 2 · y 1 6 , получим сумму кубов x 1 3 и 2 · y 1 6 , т.е. x + 8 · y 1 2 . Это наш новый знаменатель, к которому нам надо привести исходную дробь.
Так мы нашли дополнительный множитель x 1 3 + 2 · y 1 6 . На области допустимых значений переменных x
и y
выражение x 1 3 + 2 · y 1 6 не обращается в нуль, поэтому, мы можем умножить на него числитель и знаменатель дроби:
1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 = = x 1 3 + 2 · y 1 6 x 1 3 + 2 · y 1 6 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 = = x 1 3 + 2 · y 1 6 x 1 3 3 + 2 · y 1 6 3 = x 1 3 + 2 · y 1 6 x + 8 · y 1 2
Ответ: а) a + 1 a 0 , 7 = a + 1 · a 0 , 3 a , б) 1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 = x 1 3 + 2 · y 1 6 x + 8 · y 1 2 .
Пример 9
Сократите дробь: а) 30 · x 3 · (x 0 , 5 + 1) · x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 45 · x 0 , 5 + 1 2 · x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 , б) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 .
Решение
а) Используем наибольший общий знаменатель (НОД), на который можно сократить числитель и знаменатель. Для чисел 30 и 45 это 15 . Также мы можем произвести сокращение на x 0 , 5 + 1 и на x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 .
Получаем:
30 · x 3 · (x 0 , 5 + 1) · x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 45 · x 0 , 5 + 1 2 · x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1)
б) Здесь наличие одинаковых множителей неочевидно. Придется выполнить некоторые преобразования для того, чтобы получить одинаковые множители в числителе и знаменателе. Для этого разложим знаменатель, используя формулу разности квадратов:
a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 · a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4
Ответ: а) 30 · x 3 · (x 0 , 5 + 1) · x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 45 · x 0 , 5 + 1 2 · x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , б) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .
К числу основных действий с дробями относится приведение к новому знаменателю и сокращение дробей. Оба действия выполняют с соблюдением ряда правил. При сложении и вычитании дробей сначала дроби приводятся к общему знаменателю, после чего проводятся действия (сложение или вычитание) с числителями. Знаменатель остается прежним. Результатом наших действий является новая дробь, числитель которой является произведением числителей, а знаменатель есть произведение знаменателей.
Пример 10
Выполните действия x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .
Решение
Начнем с вычитания дробей, которые располагаются в скобках. Приведем их к общему знаменателю:
x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1
Вычтем числители:
x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 · x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 · x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · x 1 2 - 1 · 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 · x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 · x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = = 4 · x 1 2 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 · 1 x 1 2
Теперь умножаем дроби:
4 · x 1 2 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = = 4 · x 1 2 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 · x 1 2
Произведем сокращение на степень x 1 2 , получим 4 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 .
Дополнительно можно упростить степенное выражение в знаменателе, используя формулу разности квадратов: квадратов: 4 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1 .
Ответ: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = 4 x - 1
Пример 11
Упростите степенное выражение x 3 4 · x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 · x 2 , 7 + 1 3 .
Решение
Мы можем произвести сокращение дроби на (x 2 , 7 + 1) 2 . Получаем дробь x 3 4 x - 5 8 · x 2 , 7 + 1 .
Продолжим преобразования степеней икса x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 . Теперь можно использовать свойство деления степеней с одинаковыми основаниями: x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 = x 1 1 8 · 1 x 2 , 7 + 1 .
Переходим от последнего произведения к дроби x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .
Ответ: x 3 4 · x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 · x 2 , 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .
Множители с отрицательными показателями степени в большинстве случаев удобнее переносить из числителя в знаменатель и обратно, изменяя знак показателя. Это действие позволяет упростить дальнейшее решение. Приведем пример: степенное выражение (x + 1) - 0 , 2 3 · x - 1 можно заменить на x 3 · (x + 1) 0 , 2 .
Преобразование выражений с корнями и степенями
В задачах встречаются степенные выражения, которые содержат не только степени с дробными показателями, но и корни. Такие выражения желательно привести только к корням или только к степеням. Переход к степеням предпочтительнее, так как с ними проще работать. Такой переход является особенно предпочтительным, когда ОДЗ переменных для исходного выражения позволяет заменить корни степенями без необходимости обращаться к модулю или разбивать ОДЗ на несколько промежутков.
Пример 12
Представьте выражение x 1 9 · x · x 3 6 в виде степени.
Решение
Область допустимых значений переменной x определяется двумя неравенствами x ≥ 0 и x · x 3 ≥ 0 , которые задают множество [ 0 , + ∞) .
На этом множестве мы имеем право перейти от корней к степеням:
x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 9 · x · x 1 3 1 6
Используя свойства степеней, упростим полученное степенное выражение.
x 1 9 · x · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 · 1 3 · 6 = = x 1 9 · x 1 6 · x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3
Ответ: x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 3 .
Преобразование степеней с переменными в показателе
Данные преобразования достаточно просто произвести, если грамотно использовать свойства степени. Например, 5 2 · x + 1 − 3 · 5 x · 7 x − 14 · 7 2 · x − 1 = 0 .
Мы можем заменить произведением степени, в показателях которых находится сумма некоторой переменной и числа. В левой части это можно проделать с первым и последним слагаемыми левой части выражения:
5 2 · x · 5 1 − 3 · 5 x · 7 x − 14 · 7 2 · x · 7 − 1 = 0 , 5 · 5 2 · x − 3 · 5 x · 7 x − 2 · 7 2 · x = 0 .
Теперь поделим обе части равенства на 7 2 · x . Это выражение на ОДЗ переменной x принимает только положительные значения:
5 · 5 - 3 · 5 x · 7 x - 2 · 7 2 · x 7 2 · x = 0 7 2 · x , 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x · 7 x 7 2 · x - 2 · 7 2 · x 7 2 · x = 0 , 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x · 7 x 7 x · 7 x - 2 · 7 2 · x 7 2 · x = 0
Сократим дроби со степенями, получим: 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x 7 x - 2 = 0 .
Наконец, отношение степеней с одинаковыми показателями заменяется степенями отношений, что приводит к уравнению 5 · 5 7 2 · x - 3 · 5 7 x - 2 = 0 , которое равносильно 5 · 5 7 x 2 - 3 · 5 7 x - 2 = 0 .
Введем новую переменную t = 5 7 x , что сводит решение исходного показательного уравнения к решению квадратного уравнения 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 .
Преобразование выражений со степенями и логарифмами
Выражения, содержащие с записи степени и логарифмы, также встречаются в задачах. Примером таких выражений могут служить: 1 4 1 - 5 · log 2 3 или log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) · log 5 3 . Преобразование подобных выражений проводится с использованием разобранных выше подходов и свойств логарифмов, которые мы подробно разобрали в теме «Преобразование логарифмических выражений».
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Тема: «Преобразование выражений, содержащих степени с дробным показателем»
“Пусть кто-нибудь попробует вычеркнуть из математики степени, и он увидит, что без них далеко не уедешь”. (М.В.Ломоносов)
Цели урока:
образовательные: обобщить и систематизировать знания учащихся по теме “Степень с рациональным показателем”;проконтролировать уровень усвоения материала;ликвидировать пробелы в знаниях и умениях учащихся;
развивающие: формировать навыки самоконтроля учащихся;создать атмосферу заинтересованности каждого ученика в работе, развивать познавательную активность учащихся;
воспитательные: воспитывать интерес к предмету, к истории математики.
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний
Оборудование: оценочные листы, карточки с заданиями, дешифраторами, кроссвордами для каждого учащегося.
Предварительная подготовка: класс разбит на группы, в каждой группе руководитель - консультант.
ХОД УРОКА
I. Организационный момент.
Учитель: Мы закончили изучение темы “Степень с рациональным показателем и её свойства”. Ваша задача на этом уроке, показать, как вы усвоили изученный материал и как вы умеете применять полученные знания при решении конкретных задач. На столе у каждого из вас есть оценочный лист. В него вы будете вносить свою оценку за каждый этап урока. В конце урока вы выставите средний балл за урок.
Оценочный лист
| Кроссворд | Разминка | Работа в | Уравнения | Проверь себя (с\р) | ||
II. Проверка домашней работы.
Взаимопроверка с карандашом в руках, ответы зачитываются учащимися.
III . Актуализация знаний учащихся.
Учитель: Известный французский писатель Анатоль Франс сказал в свое время: “Учиться надо весело.…Чтобы поглощать знания надо поглощать их с аппетитом”.
Повторим необходимые теоретические сведения в ходе разгадывания кроссворда.
По горизонтали:
1. Действие, с помощью которого вычисляется значение степени (возведение).
2. Произведение, состоящее из одинаковых множителей (степень).
3. Действие показателей степеней при возведении степени в степень (произведение).
4. Действие степеней, при которых показатели степеней вычитаются (деление).
По вертикали:
5. Число всех одинаковых множителей (показатель).
6. Степень с нулевым показателем (единица).
7. Повторяющийся множитель (основание).
8. Значение 10 5: (2 3 5 5) (четыре).
9. Показатель степени, который обычно не пишут (единица).
IV . Математическая разминка.
Учитель. Повторим определение степени с рациональным показателем и его свойства, выполним следующие задания.
1. Представить выражение х 22 в виде произведения двух степеней с основанием х, если один из множителей равен: х 2 , х 5,5 , х 1\3 , х 17,5 , х 0
2. Упростить:
б) у 5\8 у 1\4: у 1\8 = у
в) с 1,4 с -0,3 с 2,9
3. Вычислить и составить слово, используя дешифратор.
Выполнив это задание, вы, ребята, узнаете фамилию немецкого математика, который ввел термин - “показатель степени”.
1) (-8) 1\3 2) 81 1\2 3) (3\5) -1 4) (5\7) 0 5) 27 -1\3 6) (2\3) -2 7) 16 1\2 * 125 1\3
Слово: 1234567 (Штифель)
V. Письменная работа в тетрадях (ответы открываются на доске).
Задания:
1. Упростить выражение:
(х-2): (х 1\2 -2 1\2) (у-3): (у 1\2 – 3 1\2) (х-1): (х 2\3 -х 1\3 +1)
2. Найти значение выражения:
(х 3\8 х 1\4:) 4 при х=81
VI . Работа в группах.
Задание. Решить уравнения и составить слово, используя дешифратор.
Карточка № 1
Слово: 1234567 (Диофант)
Карточка № 2
Карточка № 3
Cлово: 123451 (Ньютон)
Дешифратор
Учитель. Все эти ученые внесли свой вклад в развитие понятия “степень”.
VII . Исторические сведения о развитии понятия степени (сообщение учащегося).
Понятие степени с натуральным показателем сформировалось ещё у древних народов. Квадрат и куб числа использовались для вычисления площадей и объемов. Степени некоторых чисел использовались при решении отдельных задач учеными Древнего Египта и Вавилона.
В III веке вышла книга греческого ученого Диофанта “Арифметика”, в которой было положено начало введению буквенной символики. Диофант вводит символы для первых шести степеней неизвестного и обратных им величин. В этой книге квадрат обозначается знаком с индексом r; куб – знаком k c индексом r и т.д.
Из практики решения более сложных алгебраических задач и оперирования со степенями возникла необходимость обобщения понятия степени и расширения его посредством введения в качестве показателя нуля, отрицательных и дробных чисел. К идее обобщения понятия степени на степень с ненатуральным показателем математики пришли постепенно.
Дробные показатели степени и наиболее простые правила действии над степенями с дробными показателями встречаются у французского математика Николая Орема (1323–1382 гг.) в его труде “Алгоритм пропорций”.
Равенство, а 0 =1 (для а не равного 0) применял в своих трудах в начале ХV века самаркандский ученый Гиясаддин Каши Джемшид. Независимо от него нулевой показатель был введен Николаем Шюке в ХV веке. Известно, что Николай Шюке (1445–1500 гг.), рассматривал степени с отрицательными и нулевым показателями.
Позже дробные и отрицательные, показатели встречаются в “Полной арифметике” (1544 г.) немецкого математика М.Штифеля и у Симона Стевина. Симон Стевин предположил подразумевать под а 1/n корень .
Немецкий математик М.Штифель (1487–1567 гг.) дал определение а 0 =1 при и ввел название показатель (это буквенный перевод с немецкого Exponent). Немецкое potenzieren означает возведение в степень.
В конце ХVI века Франсуа Виет ввел буквы для обозначения не только переменных, но и их коэффициентов. Он применял сокращения: N, Q, C – для первой, второй и третьей степеней. Но современные обозначения (типа а 4 , а 5) в XVII ввел Рене Декарт.
Современные определения и обозначения степени с нулевым, отрицательным и дробным показателем берут начало от работ английских математиков Джона Валлиса (1616–1703) и Исаака Ньютона (1643–1727).
О целесообразности введения нулевого, отрицательных и дробных показателей и современных символов впервые подробно писал в 1665 г. английский математик Джон Валлис. Его дело завершил Исаак Ньютон, который стал систематически применять новые символы, после чего они вошли в общий обиход.
Введение степени с рациональным показателем является одним из многих примеров обобщение понятий математического действия. Степень с нулевым, отрицательным и дробными показателями определяется таким образом, чтобы к ней были применены те же правила действий, которые имеют место для степени с натуральным показателем, т.е. чтобы сохранились основные свойства первоначального определённого понятия степени.
Новое определение степени с рациональным показателем не противоречит старому определению степени с натуральным показателем, то есть смысл нового определения степени с рациональным показателем сохраняется и для частного случая степени с натуральным показателем. Этот принцип, соблюдаемый при обобщении математических понятий, называется принципом перманентности (сохранения постоянства). В несовершенной форме его высказал 1830 г. английский математик Дж.Пикок, полностью и четко его установил немецкий математик Г.Ганкель в 1867 г.
VIII . Проверь себя.
Самостоятельная работа по карточкам (ответы открываются на доске).
Вариант 1
1. Вычислить: (1 балл)
(а + 3а 1\2): (а 1\2 +3)
Вариант 2
1. Вычислить: (1 балл)
2. Упростить выражение: по 1 баллу
а) х 1,6 х 0,4 б)(х 3\8) -5\6
3. Решить уравнение: (2 балла)
4. Упростить выражение: (2 балла)
5. Найти значение выражения: (3 балла)
IX . Подведение итогов урока.
Какие формулы и правила вспомнили на уроке?
Проанализируйте свою работу на уроке.
Оценивается работа учащихся на уроке.
Х. Домашнее задание. К: Р IV (повторить) ст.156-157 № 4 (а-в), № 7 (а-в),
Дополнительно: № 16
Приложение
Оценочный лист
Ф/И/ учащегося__________________________________________
| Кроссворд | Разминка | Работа в | Уравнения | Проверь себя (с\р) | ||
Карточка № 1
1) Х 1\3 =4; 2) у -1 =3\5; 3) а 1\2 = 2\3; 4) х -0,5 х 1,5 = 1; 5) у 1\3 =2; 6) а 2\7 а 12\7 = 25; 7) а 1\2: а = 1\3
Дешифратор
Карточка № 2
1) Х 1\3 =4; 2) у -1 = 3; 3) (х+6) 1\2 = 3; 4) у 1\3 =2; 5) (у-3) 1\3 =2; 6) а 1\2: а = 1\3
Дешифратор
Карточка № 3
1) а 2\7 а 12\7 = 25; 2) (х-12) 1\3 =2; 3) х -0,7 х 3,7 = 8; 4) а 1\2: а = 1\3; 5) а 1\2 = 2\3
Дешифратор
Карточка № 1
1) Х 1\3 =4; 2) у -1 =3\5; 3) а 1\2 = 2\3; 4) х -0,5 х 1,5 = 1; 5) у 1\3 =2; 6) а 2\7 а 12\7 = 25; 7) а 1\2: а = 1\3
Дешифратор
Карточка № 2
1) Х 1\3 =4; 2) у -1 = 3; 3) (х+6) 1\2 = 3; 4) у 1\3 =2; 5) (у-3) 1\3 =2; 6) а 1\2: а = 1\3
Дешифратор
Карточка № 3
1) а 2\7 а 12\7 = 25; 2) (х-12) 1\3 =2; 3) х -0,7 х 3,7 = 8; 4) а 1\2: а = 1\3; 5) а 1\2 = 2\3
Дешифратор
Карточка № 1
1) Х 1\3 =4; 2) у -1 =3\5; 3) а 1\2 = 2\3; 4) х -0,5 х 1,5 = 1; 5) у 1\3 =2; 6) а 2\7 а 12\7 = 25; 7) а 1\2: а = 1\3
Дешифратор
Карточка № 2
1) Х 1\3 =4; 2) у -1 = 3; 3) (х+6) 1\2 = 3; 4) у 1\3 =2; 5) (у-3) 1\3 =2; 6) а 1\2: а = 1\3
Дешифратор
Карточка № 3
1) а 2\7 а 12\7 = 25; 2) (х-12) 1\3 =2; 3) х -0,7 х 3,7 = 8; 4) а 1\2: а = 1\3; 5) а 1\2 = 2\3
Дешифратор
| Вариант 1 1. Вычислить: (1 балл) 2. Упростить выражение: по 1 баллу а) х 1\2 х 3\4 б)(х -5\6) -2\3 в) х -1\3: х 3\4 г) (0,04х 7\8) -1\2 3. Решить уравнение: (2 балла) 4. Упростить выражение: (2 балла) (а + 3а 1\2): (а 1\2 +3) 5. Найти значение выражения: (3 балла) (У 1\2 -2) -1 - (У 1\2 +2) -1 при у=18 | Вариант 2 1. Вычислить: (1 балл) 2. Упростить выражение: по 1 баллу а) х 1,6 х 0,4 б)(х 3\8) -5\6 в) х 3\7: х -2\3 г) (0,008х -6\7) -1\3 3. Решить уравнение: (2 балла) 4. Упростить выражение: (2 балла) (в 1,5 с- вс 1,5): (в 0,5 - с 0,5) 5. Найти значение выражения: (3 балла) (х 3\2 +х 1\2): (х 3\2 -х 1\2) при х=0,75 |
|||||||||||||
Разделы: Математика
Класс: 9
ЦЕЛЬ: Закрепить и усовершенствовать навыки применения свойств степени с рациональным показателем; развивать навыки выполнения простейших преобразований выражений, содержащих степени с дробным показателем.
ТИП УРОКА: урок закрепления и применения знаний по данной теме.
УЧЕБНИК: Алгебра 9 под ред. С.А. Теляковского.
ХОД УРОКА
Вступительное слово учителя
“Люди, незнакомые с алгеброй, не могут представить себе тех удивительных вещей, которых можно достигнуть... при помощи названной науки”. Г.В. Лейбниц
Алгебра открывает перед нами двери в лабораторный комплекс “Степень с рациональным показателем”.
1. Фронтальный опрос
1) Дайте определение степени с дробным показателем.
2) Для какого дробного показателя определена степень с основанием равным нулю?
3) Определится ли степень с дробным показателем для отрицательного основания?
Задание: Представьте число 64 в виде степени с основанием - 2; 2; 8.
Куб какого числа равен 64?
Существует ли еще какой-нибудь способ представления числа 64 в виде степени с рациональным показателем?
2. Работа по группам
1 группа. Докажите, что выражения (-2) 3/4 ; 0 -2 не имеют смысла.
2 группа. Представьте степень с дробным показателем в виде корня: 2 2/3 ; 3 -1|3 ; -в 1,5 ; 5а 1/2 ; (x-y) 2/3 .
3 группа. Представьте в виде степени с дробным показателем: v3; 8 vа 4 ; 3v2 -2 ; v(x+y) 2/3 ; вvв.
3. Перейдем в лабораторию “Действие над степенями”
Частые гости лаборатории - астрономы. Они приносят свои “астрономические числа”, подвергают их алгебраической обработке и получают полезные результаты
Например, расстояние от Земли до туманности Андромеды выражается числом
95000000000000000000 = 95 10 18 км;
оно называется квинтиллион.
Масса солнца в граммах выражается числом 1983 10 30 гр - нональон.
Кроме этого, в лабораторию попадают и другие серьезные задачи. Например, часто возникает проблема вычисления выражений вида:
а) ; б) ; в) .
Сотрудники лаборатории производят такие вычисления наиболее удобным способом.
Вы можете подключиться к работе. Для этого повторим свойства степеней с рациональными показателями:
А теперь вычислите или упростите выражение, применяя свойства степеней с рациональными показателями:
1 группа:
2 группа:
3 группа:
Проверка: по одному человеку от группы у доски.
4. Задание на сравнение
Как, применяя свойства степеней, сравнить выражения 2 100 и 10 30 ?
Ответ:
2 100 =(2 10) 10 =1024 10 .
10 30 =(10 3) 10 =1000 10
1024 10 >1000 10
2 100 >10 30
5. А сейчас я приглашаю вас в лабораторию “Исследование степеней”.
Какие преобразования мы можем выполнять над степенями?
1) Представьте число 3 в виде степени с показателем 2; 3; -1.
2) Каким способом можно разложить на множители выражения а-в; в+в 1/2 ; а-2а 1/2 ; 2-х 2 ?
3) Сократите дробь с последующей взаимопроверкой:
4) Объясните выполненные преобразования и найдите значение выражения:
6. Работа с учебником. № 611(г, д, е).
1 группа: (г).
2 группа: (д).
3 группа: (е).
№ 629 (а, б).
Взаимопроверка.
7. Выполняем практикум (самостоятельная работа).
Даны выражения:
При сокращении каких дробей применяются формулы сокращенного умножения и вынесение за скобки общего множителя?
1 группа: № 1, 2, 3.
2 группа: № 4, 5, 6.
3 группа: № 7, 8, 9.
При выполнении задания можно пользоваться рекомендациями.
- Если в записи примера есть как степени с рациональным показателем, так и корни n-й степени, то запишите корни n-й степени в виде степеней с рациональным показателем.
- Постарайтесь упростить выражение, над которым выполняются действия: раскрытие скобок, применение формулы сокращенного умножения, переход от степени с отрицательным показателем к выражению, содержащему степени с положительным показателем.
- Определите порядок выполнения действий.
- Выполните действия, соблюдая порядок их выполнения.
Оценивает учитель, собрав тетради.
8. Домашнее задание: № 624, 623.
