Алгебра 11 класс
Тема: « Методы решения логарифмических уравнений »
Цели урока:
образовательная: формирование знаний о разных способах решения логарифмических уравнений, умений применять их в каждой конкретной ситуации и выбирать для решения любой способ;
развивающая: развитие умений наблюдать, сравнивать, применять знания в новой ситуации, выявлять закономерности, обобщать; формирование навыков взаимоконтроля и самоконтроля;
воспитательная: воспитание ответственного отношения к учебному труду, внимательного восприятия материала на уроке, аккуратности ведения записей.
Тип урока : урок ознакомления с новым материалом.
«Изобретение логарифмов, сократив работу астронома, продлило ему жизнь».
Французский математик и астроном П.С. Лаплас
Ход урока
I. Постановка цели урока
Изученные определение логарифма, свойства логарифмов и логарифмической функции позволят нам решать логарифмические уравнения. Все логарифмические уравнения, какой бы сложности они не были, решаются по единым алгоритмам. Эти алгоритмы рассмотрим сегодня на уроке. Их немного. Если их освоить, то любое уравнение с логарифмами будет посильно каждому из вас.
Запишите в тетради тему урока: «Методы решения логарифмических уравнений». Приглашаю всех к сотрудничеству.
II. Актуализация опорных знаний
Подготовимся к изучению темы урока. Каждое задание вы решаете и записываете ответ, условие можно не писать. Работайте в парах.
1) При каких значениях х имеет смысл функция:
а)
б)
в)
д)
(По каждому слайду сверяются ответы и разбираются ошибки)
2) Совпадают ли графики функций?
а) y = x и
б)
и
3) Перепишите равенства в виде логарифмических равенств:
4) Запишите числа в виде логарифмов с основанием 2:
4 =
2 =
0,5 =
1 =
5) Вычислите :
6) Попытайтесь восстановить или дополнить недостающие элементы в данных равенствах.
III. Ознакомление с новым материалом
Демонстрируется на экране высказывание:
«Уравнение – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы».
Современный польский математик С. Коваль
Попробуйте сформулировать определение логарифмического уравнения. (Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма ).
Рассмотрим простейшее логарифмическое уравнение: log а x = b (где а>0, a ≠ 1). Так как логарифмическая функция возрастает (или убывает) на множестве положительных чисел и принимает все действительные значения, то по теореме о корне следует, что для любого b данное уравнение имеет, и притом только одно, решение, причем положительное.
Вспомните определение логарифма. (Логарифм числа х по основанию а – это показатель степени, в которую надо возвести основание а, чтобы получить число х ). Из определения логарифма сразу следует, что а в является таким решением.
Запишите заголовок: Методы решения логарифмических уравнений
1. По определению логарифма .
Так решаются простейшие уравнения вида .
Рассмотрим
№ 514(а
): Решить уравнение
Как вы предлагаете его решать? (По определению логарифма )
Решение
.
, Отсюда 2х – 4 = 4; х = 4.
Ответ: 4.
В этом задании 2х – 4 > 0, так как > 0, поэтому посторонних корней появиться не может, и проверку нет необходимости делать . Условие 2х – 4 > 0 в этом задании выписывать не надо.
2. Потенцирование (переход от логарифма данного выражения к самому этому выражению).
Рассмотрим №519(г): log 5 ( x 2 +8)- log 5 ( x +1)=3 log 5 2
Какую особенность вы заметили? (Основания одинаковы и логарифмы двух выражений равны) . Что можно сделать? (Потенцировать).
При этом надо учитывать, что любое решение содержится среди всех х, для которых логарифмируемые выражение положительны.
Решение: ОДЗ:
X 2 +8>0 лишнее неравенство
log 5 ( x 2 +8) = log 5 2 3 + log 5 ( x +1)
log 5 ( x 2 +8)= log 5 (8 x +8)
Потенцируем исходное уравнение
x 2 +8= 8 x +8
получим уравнение x 2 +8= 8 x +8
Решаем его: x 2 -8 x =0
х=0, х=8
Ответ: 0; 8
В общем виде переходом к равносильной системе :
Уравнение
(Система содержит избыточное условие – одно из неравенств можно не рассматривать).
Вопрос классу : Какое из этих трех решений вам больше всего понравилось? (Обсуждение способов).
Вы имеете право решать любым способом.
3. Введение новой переменной .
Рассмотрим № 520(г) . .
Что вы заметили? (Это квадратное уравнение относительно log3x) Ваши предложения? (Ввести новую переменную)
Решение . ОДЗ: х > 0.
Пусть
, тогда уравнение примет вид:
. Дискриминант D > 0. Корни по теореме Виета:
.
Вернемся к замене: или .
Решив простейшие логарифмические уравнения, получим:
; .
Ответ : 27;
4. Логарифмирование обеих частей уравнения.
Решить уравнение:
.
Решение : ОДЗ: х>0, прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10:
. Применим свойство логарифма степени:
(lgx + 3) lgx =
(lgx + 3) lgx = 4
Пусть lgx = y, тогда (у + 3)у = 4
, (D > 0) корни по теореме Виета: у1 = -4 и у2 = 1.
Вернемся к замене, получим: lgx = -4,
; lgx = 1,
.
.
Он заключается в следующем
:
если одна из функций
у = f(x)
возрастает, а другая
y = g(x)
убывает на промежутке Х, то уравнение
f(x)= g(x)
имеет не более одного корня на промежутке Х
.
Если корень имеется, то его можно угадать. .
Ответ : 2
«Правильному применению методов можно научиться,
только применяя их на различных примерах».
Датский историк математики Г. Г. Цейтен
I V. Домашнее задание
П. 39 рассмотреть пример 3, решить № 514(б), № 529(б), №520(б), №523(б)
V. Подведение итогов урока
Какие методы решения логарифмических уравнений мы рассмотрели на уроке?
На следующих уроках рассмотрим более сложные уравнения. Для их решения пригодятся изученные методы.
Демонстрируется последний слайд:
«Что есть больше всего на свете?
Пространство.
Что мудрее всего?
Время.
Что приятнее всего?
Достичь желаемого».
Фалес
Желаю всем достичь желаемого. Благодарю за сотрудничество и понимание.
Рассмотрим некоторые типы логарифмических уравнений, которые не так часто рассматриваются на уроках математики в школе, но широко используются при составлении конкурсных заданий, в том числе и для ЕГЭ.
1. Уравнения, решаемые методом логарифмирования
При решении уравнений, содержащих переменную и в основании и в показателе степени, используют метод логарифмирования. Если, при этом, в показателе степени содержится логарифм, то обе части уравнения надо логарифмировать по основанию этого логарифма.
Пример 1.
Решить уравнение: х log 2 х+2 = 8.
Решение.
Прологарифмируем левую и правую части уравнения по основанию 2. Получим
log 2 (х log 2 х+2) = log 2 8,
(log 2 х + 2) · log 2 х = 3.
Пусть log 2 х = t.
Тогда (t + 2)t = 3.
t 2 + 2t – 3 = 0.
D = 16. t 1 = 1; t 2 = -3.
Значит log 2 х = 1 и х 1 = 2 или log 2 х = -3 и х 2 =1/8
Ответ: 1/8; 2.
2. Однородные логарифмические уравнения.
Пример 2.
Решить уравнение log 2 3 (х 2 – 3х + 4) – 3log 3 (х + 5) log 3 (х 2 – 3х + 4) – 2log 2 3 (х + 5) = 0
Решение.
Область определения уравнения
{х 2 – 3х + 4 > 0,
{х + 5 > 0. → х > -5.
log 3 (х + 5) = 0 при х = -4. Проверкой определяем, что данное значение х не
является корнем первоначального уравнения. Следовательно можно разделить обе части уравнения на log 2 3 (х + 5).
Получим log 2 3 (х 2 – 3х + 4) / log 2 3 (х + 5) – 3 log 3 (х 2 – 3х + 4) / log 3 (х + 5) + 2 = 0.
Пусть log 3 (х 2 – 3х + 4) / log 3 (х + 5) = t. Тогда t 2 – 3 t + 2 = 0. Корни данного уравнения 1; 2. Возвратившись к первоначальной переменной, получим совокупность двух уравнений
Но с учётом существования логарифма нужно рассматривать лишь значения (0; 9]. Значит выражение в левой части принимает наибольшее значение 2 при х = 1. Рассмотрим теперь функцию у = 2 х-1 + 2 1-х. Если принять t = 2 x -1, то она примет вид у = t + 1/t, где t > 0. При таких условиях она имеет единственную критическую точку t = 1. Это точка минимума. У vin = 2. И достигается он при х = 1.
Теперь очевидно, что графики рассматриваемых функций могут пересекаться лишь один раз в точке (1; 2). Получается, что х = 1 единственный корень решаемого уравнения.
Ответ: х = 1.
Пример 5. Решить уравнение log 2 2 х + (х – 1) log 2 х = 6 – 2х
Решение.
Решим данное уравнение относительно log 2 х. Пусть log 2 х = t. Тогда t 2 + (х – 1) t – 6 + 2х = 0.
D = (х – 1) 2 – 4(2х – 6) = (х – 5) 2 . t 1 = -2; t 2 = 3 – х.
Получим уравнение log 2 х = -2 или log 2 х = 3 – х.
Корень первого уравнения х 1 = 1/4.
Корень уравнения log 2 х = 3 – х найдём подбором. Это число 2. Этот корень единственный, так как функция у = log 2 х возрастающая на всей области определения, а функция у = 3 – х – убывающая.
Проверкой легко убедится в том, что оба числа являются корнями уравнения
Ответ:1/4; 2.
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
На уравнениях такого вида многие ученики «зависают». При этом сами задачи отнюдь не являются сложными — достаточно просто выполнить грамотную замену переменной, для чего следует научиться выделять устойчивые выражения.
В дополнение к этому уроку вас ждет довольно объемная самостоятельная работа, состоящая из двух вариантов по 6 задач в каждом.
Метод группировки
Сегодня мы разберем два логарифмических уравнения, одно из которых не решается «напролом» и требует специальных преобразований, а второе... впрочем, не буду рассказывать все сразу. Смотрите видео, скачивайте самостоятельную работу — и учитесь решать сложные задачи.
Итак, группировка и вынесение общих множителей за скобку. Дополнительно я расскажу вам, какие подводные камни несет область определения логарифмов, и как небольшие замечания по области определений могут существенно менять как корни, так и все решение.
Начнем из группировки. Нам нужно решить следующее логарифмическое уравнение:
log 2 x · log 2 (x − 3) + 1 = log 2 (x 2 − 3x )
В первую очередь отметим, что x 2 − 3x можно разложить на множители:
log 2 x (x − 3)
Затем вспоминаем замечательную формулу:
log a fg = log a f + log a g
Сразу же небольшое замечание: данная формула прекрасно работает, когда а, f и g — обычные числа. Но когда вместо них стоят функции, данные выражения перестают быть равноправными. Представьте себе такую гипотетическую ситуацию:
f < 0; g < 0
В этом случае произведение fg будет положительным, следовательно, log a (fg ) будет существовать, а вот log a f и log a g отдельно существовать не будут, и выполнить такое преобразование мы не сможем.
Игнорирование данного факта приведет к сужению области определения и, как следствие, к потере корней. Поэтому прежде чем выполнять такое преобразование, нужно обязательно заранее убедиться, что функции f и g положительные.
В нашем случае все просто. Поскольку в исходном уравнении есть функция log 2 x , то x > 0 (ведь переменная x стоит в аргументе). Также имеется log 2 (x − 3), поэтому x − 3 > 0.
Следовательно, в функции log 2 x (x − 3) каждый множитель будет больше нуля. Поэтому можно смело раскладывать произведение на сумму:
log 2 x log 2 (x − 3) + 1 = log 2 x + log 2 (x − 3)
log 2 x log 2 (x − 3) + 1 − log 2 x − log 2 (x − 3) = 0
На первый взгляд может показаться, что легче не стало. Напротив: количество слагаемых лишь увеличились! Чтобы понять, как действовать дальше, введем новые переменные:
log 2 x = а
log 2 (x − 3) = b
a · b + 1 − a − b = 0
А теперь сгруппируем третье слагаемое с первым:
(a · b − a ) + (1 − b ) = 0
a (1 · b − 1) + (1 − b ) = 0
Заметим, что и в первой, и во второй скобке стоит b − 1 (во втором случае придется вынести «минус» за скобку). Разложим нашу конструкцию на множители:
a (1 · b − 1) − (b − 1) = 0
(b − 1)(а · 1 − 1) = 0
А теперь вспоминаем наше замечательно правило: произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
b − 1 = 0 ⇒ b = 1;
a − 1 = 0 ⇒ a = 1.
Вспоминаем, что такое b и а. Получим два простейших логарифмических уравнения, в которых останется лишь избавиться от знаков logи приравнять аргументы:
log 2 x = 1 ⇒ log 2 x = log 2 2 ⇒ x 1 =2;
log 2 (x − 3) = 1 ⇒ log 2 (x − 3) = log 2 2 ⇒ x 2 = 5
Мы получили два корня, но это не решение исходного логарифмического уравнения, а лишь кандидаты в ответ. Теперь проверим область определения. Для первого аргумента:
x > 0
Оба корня удовлетворяют первому требованию. Переходим ко второму аргументу:
x − 3 > 0 ⇒ x > 3
А вот здесь уже x = 2 нас не удовлетворяет, зато x = 5 вполне нас устраивает. Следовательно, единственным ответом будет x = 5.
Переходим ко второму логарифмическому равнению. На первый взгляд, оно существенно проще. Однако в процессе его решения мы рассмотрим тонкие моменты, связанные с областью определения, незнание которых существенно усложняет жизнь начинающим ученикам.
log 0,7 (x 2 − 6x + 2) = log 0,7 (7 − 2x )
Перед нами каноническая форма логарифмического уравнения. Ничего преобразовывать не нужно — даже основания одинаковые. Поэтому просто приравниваем аргументы:
x 2 − 6x + 2 = 7 − 2x
x 2 − 6x + 2 − 7 + 2x = 0
x 2 − 4x − 5 = 0
Перед нами приведенное квадратное уравнение, оно легко решается по формулам Виета:
(x − 5) (x + 1) = 0;
x − 5 = 0 ⇒ x = 5;
x + 1 = 0 ⇒ x = −1.
Но эти корни еще не являются окончательными ответами. Нужно найти область определения, поскольку в исходном уравнении присутствуют два логарифма, т.е. учет области определения строго обязателен.
Итак, выпишем область определения. С одной стороны, аргумент первого логарифма должен быть больше нуля:
x 2 − 6x + 2 > 0
С другой — второй аргумент тоже должен быть больше нуля:
7 − 2x > 0
Эти требования должны выполняться одновременно. И вот тут начинается самое интересное. Безусловно, мы можем решить каждое из этих неравенств, затем пересечь их и найти область определения всего уравнения. Но зачем так усложнять себе жизнь?
Давайте заметим одну тонкость. Избавляясь от знаков log, мы приравниваем аргументы. Отсюда следует, что требования x 2 − 6x + 2 > 0 и 7 − 2x > 0 равносильны. Как следствие, любое из двух неравенств можно вычеркнуть. Давайте вычеркнем самое сложное, а себе оставим обычное линейное неравенство:
−2x > −7
x < 3,5
Поскольку мы делили обе части на отрицательное число, знак неравенства поменялся.
Итак, мы нашли ОДЗ без всяких квадратных неравенств, дискриминантов и пересечений. Теперь осталось просто выбрать корни, которые лежат на данном интервале. Очевидно, что нас устроит лишь x = −1, потому что x = 5 > 3,5.
Можно записать ответ: x = 1 является единственным решением исходного логарифмического уравнения.
Выводы из данного логарифмического уравнения следующие:
- Не бойтесь раскладывать логарифмы на множители, а потом множители раскладывать на сумму логарифмов. Однако помните, что разбивая произведение на сумму двух логарифмов, вы тем самым сужаете область определения. Поэтому прежде чем выполнять такое преобразование, обязательно проверьте, каковы требования области определения. Чаще всего никаких проблем не возникает, однако лишний раз перестраховаться не помешает.
- Избавляясь от канонической формы, старайтесь оптимизировать вычисления. В частности, если от нас требуется, чтобы f > 0 и g > 0, но в самом уравнении f = g , то смело вычеркиваем одно из неравенств, оставляя себе лишь самое простое. Область определения и ответы при этом никак не пострадают, а вот объем вычислений существенно сократится.
Вот, собственно, и все, что я хотел рассказать о группировке.:)
Типичные ошибки при решении
Сегодня мы разберем два типичных логарифмических уравнения, на которых спотыкаются многие ученики. На примере этих уравнения мы увидим, какие ошибки чаще всего допускаются в процессе решения и преобразования исходных выражений.
Дробно-рациональные уравнения с логарифмами
Сразу следует отметить, что это довольно коварный тип уравнений, в которых отнюдь не всегда сразу присутствует дробь с логарифмом где-то в знаменателе. Однако в процессе преобразований такая дробь обязательно возникнет.
При этом будьте внимательны: в процессе преобразований изначальная область определения логарифмов может существенно измениться!
Переходим к еще более жестким логарифмическим уравнениям, содержащим дроби и переменные основания. Чтобы за один короткий урок успеть больше, я не буду рассказывать элементарную теорию. Сразу перейдем к задачам:
4 log 25 (x − 1) − log 3 27 + 2 log x − 1 5 = 1
Посмотрев на это уравнение, кто-то спросит: «При чем здесь дробно-рациональное уравнение? Где в этом уравнении дробь?» Давайте не будем спешить и внимательно посмотрим на каждое слагаемое.
Первое слагаемое: 4 log 25 (x − 1). Основанием логарифма является число, но в аргументе стоит функция от переменной x . С этим мы пока ничего сделать не можем. Идем дальше.
Следующее слагаемое: log 3 27. Вспоминаем, что 27 = 3 3 . Следовательно, весь логарифм мы можем переписать следующим образом:
log 3 27 = 3 3 = 3
Итак, второе слагаемое — это просто тройка. Третье слагаемое: 2 log x − 1 5. Тут тоже не все просто: в основании стоит функция, в аргументе — обычное число. Предлагаю перевернуть весь логарифм по следующей формуле:
log a b = 1/log b a
Такое преобразование можно выполнить только если b ≠ 1. Иначе логарифм, который получится в знаменателе второй дроби, просто не будет существовать. В нашем случае b = 5, поэтому все в порядке:
2 log x − 1 5 = 2/log 5 (x − 1)
Перепишем исходное уравнение с учетом полученных преобразований:
4 log 25 (x − 1) − 3 + 2/ log 5 (x − 1) = 1
В знаменателе дроби у нас стоит log 5 (x − 1), а в первом слагаемом мы имеем log 25 (x − 1). Но 25 = 5 2 , поэтому выносим квадрат из основания логарифма по правилу:
Другими словами, степень в основании логарифма становится дробью спереди. А выражение перепишется так:
4 1/2 log 5 (x − 1) − 3 + 2/ log 5 (x − 1) − 1 = 0
У нас получилось длинное уравнение с кучей одинаковых логарифмов. Введем новую переменную:
log 5 (x − 1) = t;
2t − 4 + 2/t = 0;
А вот это уже дробно-рациональное уравнение, которое решается средствами алгебры 8—9 класса. Для начала разделим все на двойку:
t − 2 + 1/t = 0;
(t 2 − 2t + 1)/t = 0
В скобках стоит точный квадрат. Свернем его:
(t − 1) 2 /t = 0
Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Никогда не забывайте про этот факт:
(t − 1) 2 = 0
t = 1
t ≠ 0
Вспоминаем, что такое t :
log 5 (x − 1) = 1
log 5 (x − 1) = log 5 5
Избавляемся от знаков log, приравниваем их аргументы, и получаем:
x − 1 = 5 ⇒ x = 6
Все. Задача решена. Но давайте вернемся к исходному уравнению и вспомним, что там присутствовали сразу два логарифма с переменной x . Поэтому нужно выписать область определения. Поскольку x − 1 стоит в аргументе логарифма, это выражение должно быть больше нуля:
x − 1 > 0
С другой стороны, тот же x − 1 присутствует и в основании, поэтому должен отличаться от единицы:
x − 1 ≠ 1
Отсюда заключаем:
x > 1; x ≠ 2
Эти требования должны выполняться одновременно. Значение x = 6 удовлетворяет обоим требованиям, поэтому является x = 6 окончательным решением логарифмического уравнения.
Переходим ко второй задаче:
Вновь не будем спешить и посмотрим на каждое слагаемое:
log 4 (x + 1) — в основании стоит четверка. Обычное число, и его можно не трогать. Но в прошлый раз мы наткнулись на точный квадрат в основании, который пришлось выносить из-под знака логарифма. Давайте сейчас сделаем то же самое:
log 4 (x + 1) = 1/2 log 2 (x + 1)
Фишка в том, что у нас уже есть логарифм с переменной x , хоть и в основании — он является обратным к логарифму, который мы только что нашли:
8 log x + 1 2 = 8 · (1/log 2 (x + 1)) = 8/log 2 (x + 1)
Следующее слагаемое — log 2 8. Это константа, поскольку и аргументе, и в основании стоят обычные числа. Найдем значение:
log 2 8 = log 2 2 3 = 3
То же самое мы можем сделать и с последним логарифмом:
Теперь перепишем исходное уравнение:
1/2 · log 2 (x + 1) + 8/log 2 (x + 1) − 3 − 1 = 0;
log 2 (x + 1)/2 + 8/log 2 (x + 1) − 4 = 0
Приведем все к общему знаменателю:
Перед нами опять дробно-рациональное уравнение. Введем новую переменную:
t = log 2 (x + 1)
Перепишем уравнение с учетом новой переменной:
Будьте внимательны: на этом шаге я поменял слагаемые местами. В числителе дроби стоит квадрат разности:
Как и в прошлый раз, дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля:
(t − 4) 2 = 0 ⇒ t = 4;
t ≠ 0
Получили один корень, который удовлетворяет всем требованиям, поэтому возвращаемся к переменной x :
log 2 (x + 1) = 4;
log 2 (x + 1) = log 2 2 4;
x + 1 = 16;
x = 15
Все, мы решили уравнение. Но поскольку в исходном уравнении присутствовало несколько логарифмов, необходимо выписать область определения.
Так, выражение x + 1 стоит в аргументе логарифма. Поэтому x + 1 > 0. С другой стороны, x + 1 присутствует и в основании, т.е. x + 1 ≠ 1. Итого:
0 ≠ x > −1
Удовлетворяет ли найденный корень данным требованиям? Безусловно. Следовательно, x = 15 является решением исходного логарифмического уравнения.
Напоследок хотел бы сказать следующее: если вы смотрите на уравнение и понимаете, что вам предстоит решать что-то сложное и нестандартное, по старайтесь выделить устойчивые конструкции, которые впоследствии будут обозначены другой переменной. Если же какие-то слагаемые вообще не содержат переменную x , их зачастую можно просто вычислить.
Вот и все, о чем я хотел сегодня рассказать. Надеюсь, этот урок поможет вам в решении сложных логарифмических уравнений. Смотрите другие видеоуроки, скачивайте и решайте самостоятельные работы, и до встречи в следующем видео!
Заключительные видео из длинной серии уроков про решение логарифмических уравнений. В этот раз мы будем работать в первую очередь с ОДЗ логарифма — именно из-за неправильного учета (или вообще игнорирования) области определения возникает большинство ошибок при решении подобных задач.
В этом коротком видеоуроке мы разберем применение формул сложения и вычитания логарифмов, а также разберемся с дробно-рациональными уравнениями, с которыми у многих учеников также возникают проблемы.
О чем пойдет речь? Главная формула, с которой я хотел бы разобраться, выглядит так:
log a (f g ) = log a f + log a g
Это стандартный переход от произведения к сумме логарифмов и обратно. Вы наверняка знаете эту формулу с самого начала изучения логарифмов. Однако тут есть одна заминка.
До тех пор, пока в виде переменных a , f и g выступают обычные числа, никаких проблем не возникает. Данная формула работает прекрасно.
Однако, как только вместоf и g появляются функции, возникает проблема расширения или сужения области определения в зависимости от того, в какую сторону преобразовывать. Судите сами: в логарифме, записанном слева, область определения следующая:
fg > 0
А вот в сумме, записанной справа, область определения уже несколько иная:
f > 0
g > 0
Данный набор требований является более жестким, чем исходный. В первом случае нас устроит вариант f < 0, g < 0 (ведь их произведение положительное, поэтому неравенство fg > 0 выполняется).
Итак, при переходе от левой конструкции к правой возникает сужение области определения. Если же сначала у нас была сумма, а мы переписываем ее в виде произведения, то происходит расширение области определения.
Другими словами, в первом случае мы могли потерять корни, а во втором — получить лишние. Это необходимо учитывать при решении реальных логарифмических уравнений.
Итак, первая задача:
[Подпись к рисунку]
Слева мы видим сумму логарифмов по одному и тому же основанию. Следовательно, эти логарифмы можно сложить:
[Подпись к рисунку]
Как видите, справа мы заменил ноль по формуле:
a = log b b a
Давайте еще немного преобразуем наше уравнение:
log 4 (x − 5) 2 = log 4 1
Перед нами каноническая форма логарифмического уравнения, мы можем зачеркнуть знак log и приравнять аргументы:
(x − 5) 2 = 1
|x − 5| = 1
Обратите внимание: откуда взялся модуль? Напомню, что корень из точного квадрата равен именно модулю:
[Подпись к рисунку]
Затем решаем классическое уравнение с модулем:
|f | = g (g > 0) ⇒f = ±g
x − 5 = ±1 ⇒x 1 = 5 − 1 = 4; x 2 = 5 + 1 = 6
Вот два кандидат на ответ. Являются ли они решением исходного логарифмического уравнения? Нет, ни в коем случае!
Оставить все просто так и записать ответ мы не имеем права. Взгляните на тот шаг, когда мы заменяем сумму логарифмов одним логарифмом от произведения аргументов. Проблема в том, что в исходных выражениях у нас стоят функции. Следовательно, следует потребовать:
х(х − 5) > 0; (х − 5)/х > 0.
Когда же мы преобразовали произведение, получив точный квадрат, требования изменились:
(x − 5) 2 > 0
Когда это требование выполняется? Да практически всегда! За исключением того случая, когда х − 5 = 0. Т.е. неравенство сведется к одной выколотой точке:
х − 5 ≠ 0 ⇒ х ≠ 5
Как видим, произошло расширение области определения, о чем мы и говорили в самом начале урока. Следовательно, могут возникнуть и лишние корни.
Как же не допустить возникновения этих лишних корней? Очень просто: смотрим на наши полученные корни и сравниваем их с областью определения исходного уравнения. Давайте посчитаем:
х (х − 5) > 0
Решать будем с помощью метода интервалов:
х (х − 5) = 0 ⇒ х = 0; х = 5
Отмечаем полученные числа на прямой. Все точки выколотые, потому что неравенство строгое. Берем любое число, больше 5 и подставляем:
[Подпись к рисунку]
На интересуют промежутки (−∞; 0) ∪ (5; ∞). Если мы отметим наши корни на отрезке, то увидим, что х = 4 нас не устраивает, потому что этот корень лежит за пределами области определения исходного логарифмического уравнения.
Возвращаемся к совокупности, вычеркиваем корень х = 4 и записываем ответ: х = 6. Это уже окончательный ответ к исходному логарифмическому уравнению. Все, задача решена.
Переходим ко второму логарифмическому уравнению:
[Подпись к рисунку]
Решаем его. Заметим, что первое слагаемое представляет собой дробь, а второе — ту же самую дробь, но перевернутую. Не пугайтесь выражения lgx — это просто десятичный логарифм, мы можем записать:
lgx = log 10 x
Поскольку перед нами две перевернутые дроби, предлагаю ввести новую переменную:
[Подпись к рисунку]
Следовательно, наше уравнение может быть переписано следующим образом:
t + 1/t = 2;
t + 1/t − 2 = 0;
(t 2 − 2t + 1)/t = 0;
(t − 1) 2 /t = 0.
Как видим, в числителе дроби стоит точный квадрат. Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля:
(t − 1) 2 = 0; t ≠ 0
Решаем первое уравнение:
t − 1 = 0;
t = 1.
Это значение удовлетворяет второму требованию. Следовательно, можно утверждать, что мы полностью решили наше уравнение, но только относительно переменной t . А теперь вспоминаем, что такое t :
[Подпись к рисунку]Получили пропорцию:
lgx = 2 lgx + 1
2 lgx − lgx = −1
lgx = −1
Приводим это уравнение к канонической форме:
lgx = lg 10 −1
x = 10 −1 = 0,1
В итоге мы получили единственный корень, который, по идее, является решением исходного уравнения. Однако давайте все-таки подстрахуемся и выпишем область определения исходного уравнения:
[Подпись к рисунку]
Следовательно, наш корень удовлетворяет всем требованиям. Мы нашли решение исходного логарифмического уравнения. Ответ: x = 0,1. Задача решена.
Ключевой момент в сегодняшнем уроке один: при использовании формулы перехода от произведения к сумме и обратно обязательно учитывайте, что область определения может сужаться либо расширяться в зависимости от того, в какую сторону выполняется переход.
Как понять, что происходит: сужение или расширение? Очень просто. Если раньше функции были вместе, а теперь стали по отдельности, то произошло сужение области определения (потому что требований стало больше). Если же сначала функции стояли отдельно, а теперь — вместе, то происходит расширение области определения (на произведение накладывается меньше требований, чем на отдельные множители).
С учетом данного замечания хотел бы отметить, что второе логарифмическое уравнение вообще не требует данных преобразований, т. е. мы нигде не складываем и не перемножаем аргументы. Однако здесь я хотел бы обратить ваше внимание на другой замечательный прием, который позволяет существенно упростить решение. Речь идет о замене переменной.
Однако помните, что никакие замены не освобождает нас от области определения. Именно поэтому после того были найдены все корни, мы не поленились и вернулись к исходному уравнению, чтобы найти его ОДЗ.
Часто при замене переменной возникает обидная ошибка, когда ученики находят значение t и думают, что на этом решение закончено. Нет, ни в коем случае!
Когда вы нашли значение t , необходимо вернуться к исходному уравнению и посмотреть, что именно мы обозначали этой буквой. В результате нам предстоит решить еще одно уравнение, которое, впрочем, будет значительно проще исходного.
Именно в этом состоит смысл введения новой переменной. Мы разбиваем исходное уравнение на два промежуточных, каждое из которых решается существенно проще.
Как решать «вложенные» логарифмические уравнения
Сегодня мы продолжаем изучать логарифмические уравнения и разберем конструкции, когда один логарифм стоит под знаком другого логарифма. Оба уравнения мы будем решать с помощью канонической формы.
Сегодня мы продолжаем изучать логарифмические уравнения и разберем конструкции, когда один логарифм стоит под знаком другого. Оба уравнения мы будем решать с помощью канонической формы. Напомню, если у нас есть простейшее логарифмическое уравнение вида log a f (x ) = b , то для решения такого уравнения мы выполняем следующие шаги. В первую очередь, нам нужно заменить число b :
b = log a a b
Заметьте: a b — это аргумент. Точно так же в исходном уравнении аргументом является функция f (x ). Затем мы переписываем уравнение и получаем вот такую конструкцию:
log a f (x ) = log a a b
Уже затем мы можем выполнить третий шаг — избавится от знака логарифма и просто записать:
f (x ) = a b
В результате мы получим новое уравнение. При этом никаких ограничений на функцию f (x ) не накладывается. Например, на ее месте также может стоять логарифмическая функция. И тогда мы вновь получим логарифмическое уравнение, которое снова сведем к простейшему и решим через каноническую форму.
Впрочем, хватит лирики. Давайте решим настоящую задачу. Итак, задача № 1:
log 2 (1 + 3 log 2 x ) = 2
Как видим, перед нами простейшее логарифмическое уравнение. В роли f (x ) выступает конструкция 1 + 3 log 2 x , а в роли числа b выступает число 2 (в роли a также выступает двойка). Давайте перепишем эту двойку следующим образом:
Важно понимать, что первые две двойки пришли к нам из основания логарифма, т. е. если бы в исходном уравнении стояла 5, то мы бы получили, что 2 = log 5 5 2 . В общем, основание зависит исключительно от логарифма, который изначально дан в задаче. И в нашем случае это число 2.
Итак, переписываем наше логарифмическое уравнение с учетом того, что двойка, которая стоит справа, на самом деле тоже является логарифмом. Получим:
log 2 (1 + 3 log 2 x ) = log 2 4
Переходим к последнему шагу нашей схемы — избавляемся от канонической формы. Можно сказать, просто зачеркиваем знаки log. Однако с точки зрения математики «зачеркнуть log» невозможно — правильнее сказать, что мы просто просто приравниваем аргументы:
1 + 3 log 2 x = 4
Отсюда легко находится 3 log 2 x :
3 log 2 x = 3
log 2 x = 1
Мы вновь получили простейшее логарифмическое уравнение, давайте снова приведем его к канонической форме. Для этого нам необходимо провести следующие изменения:
1 = log 2 2 1 = log 2 2
Почему в основании именно двойка? Потому что в нашем каноническом уравнении слева стоит логарифм именно по основанию 2. Переписываем задачу с учетом этого факта:
log 2 x = log 2 2
Снова избавляемся от знака логарифма, т. е. просто приравниваем аргументы. Мы вправе это сделать, потому что основания одинаковые, и больше никаких дополнительных действий ни справа, ни слева не выполнялось:
Вот и все! Задача решена. Мы нашли решение логарифмического уравнения.
Обратите внимание! Хотя переменная х и стоит в аргументе (т. е. возникают требования к области определения), мы никаких дополнительных требований предъявлять не будем.
Как я уже говорил выше, данная проверка является избыточной, если переменная встречается лишь в одном аргументе лишь одного логарифма. В нашем случае х действительно стоит лишь в аргументе и лишь под одним знаком log. Следовательно, никаких дополнительных проверок выполнять не требуется.
Тем не менее, если вы не доверяете данному методу, то легко можете убедиться, что х = 2 действительно является корнем. Достаточно подставить это число в исходное уравнение.
Давайте перейдем ко второму уравнению, оно чуть интересней:
log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = 1
Если обозначить выражение внутри большого логарифма функцией f (x ), получим простейшее логарифмическое уравнение, с которого мы начинали сегодняшний видеоурок. Следовательно, можно применить каноническую форму, для чего придется представить единицу в виде log 2 2 1 = log 2 2.
Переписываем наше большое уравнение:
log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = log 2 2
Изваляемся от знака логарифма, приравнивая аргументы. Мы вправе это сделать, потому что и слева, и справа основания одинаковые. Кроме того, заметим, что log 2 4 = 2:
log 1/2 (2x − 1) + 2 = 2
log 1/2 (2x − 1) = 0
Перед нами снова простейшее логарифмическое уравнение вида log a f (x ) = b . Переходим к канонической форме, т. е. представляем ноль в виде log 1/2 (1/2)0 = log 1/2 1.
Переписываем наше уравнение и избавляемся от знака log, приравнивая аргументы:
log 1/2 (2x − 1) = log 1/2 1
2x − 1 = 1
Опять же мы сразу получили ответ. Никаких дополнительных проверок не требуется, потому что в исходном уравнении лишь один логарифм содержит функцию в аргументе.
Следовательно, никаких дополнительных проверок выполнять не требуется. Мы можем смело утверждать, что х = 1 является единственным корнем данного уравнения.
А вот если бы во втором логарифме вместо четверки стояла бы какая-то функция от х (либо 2х стояло бы не в аргументе, а в основании) — вот тогда потребовалось бы проверять область определения. Иначе велик шанс нарваться на лишние корни.
Откуда возникают такие лишние корни? Этот момент нужно очень четко понимать. Взгляните на исходные уравнения: везде функция х стоит под знаком логарифма. Следовательно, поскольку мы записали log 2 x , то автоматически выставляем требование х > 0. Иначе данная запись просто не имеет смысла.
Однако по мере решения логарифмического уравнения мы избавляемся от всех знаков log и получаем простенькие конструкции. Здесь уже никаких ограничений не выставляется, потому что линейная функция определена при любом значении х.
Именно эта проблема, когда итоговая функция определена везде и всегда, а исходная — отнюдь не везде и не всегда, и является причиной, по которой в решении логарифмических уравнениях очень часто возникают лишние корни.
Но повторю еще раз: такое происходить лишь в ситуации, когда функция стоит либо в нескольких логарифмах, либо в основании одного из них. В тех задачах, которые мы рассматриваем сегодня, проблем с расширением области определения в принципе не существует.
Случаи разного основания
Этот урок посвящен уже более сложным конструкциям. Логарифмы в сегодняшних уравнениях уже не будут решаться «напролом» — сначала потребуется выполнить некоторые преобразования.
Начинаем решение логарифмических уравнений с совершенно разными основаниями, которые не являются точными степенями друг друга. Пусть вас не пугают подобные задачи — решаются они ничуть не сложнее, чем самые простые конструкции, которые мы разбирали выше.
Но прежде, чем переходить непосредственно к задачам, напомню о формуле решения простейших логарифмических уравнений с помощью канонической формы. Рассмотрим задачу вот такого вида:
log a f (x ) = b
Важно, что функция f (x ) является именно функцией, а в роли чисел а и b должны выступать именно числа (без всяких переменных x ). Разумеется, буквально через минуту мы рассмотрим и такие случаи, когда вместо переменных а и b стоят функции, но сейчас не об этом.
Как мы помним, число b нужно заменить логарифмом по тому же самому основанию а, которое стоит слева. Это делается очень просто:
b = log a a b
Разумеется, под словом «любое число b » и «любое число а» подразумеваются такие значения, которые удовлетворяют области определения. В частности, в данном уравнении речь идет лишь основание a > 0 и a ≠ 1.
Однако данное требование выполняется автоматически, потому что в исходной задаче уже присутствует логарифм по основанию а — оно заведомо будет больше 0 и не равно 1. Поэтому продолжаем решение логарифмического уравнения:
log a f (x ) = log a a b
Подобная запись называется канонической формой. Ее удобство состоит в том, что мы сразу можем избавиться от знака log, приравняв аргументы:
f (x ) = a b
Именно этот прием мы сейчас будем использовать для решения логарифмических уравнений с переменным основанием. Итак, поехали!
log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 0,5 0,125
Что дальше? Кто-то сейчас скажет, что нужно вычислить правый логарифм, либо свести их к одному основанию, либо что-то еще. И действительно, сейчас нужно привести оба основания к одному виду — либо 2, либо 0,5. Но давайте раз и навсегда усвоим следующее правило:
Если в логарифмическом уравнении присутствуют десятичные дроби, обязательно переведите эти дроби из десятичной записи в обычную. Такое преобразование может существенно упростить решение.
Подобный переход нужно выполнять сразу, еще до выполнения каких-либо действий и преобразований. Давайте посмотрим:
log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 1 /2 1/8
Что нам дает такая запись? Мы можем 1/2 и 1/8 представить как степень с отрицательным показателем:
[Подпись к рисунку]
Перед нами каноническая форма. Приравниваем аргументы и получаем классическое квадратное уравнение:
x 2 + 4x + 11 = 8
x 2 + 4x + 3 = 0
Перед нами приведенное квадратное уравнение, которое легко решается с помощью формул Виета. Подобные выкладки в старших классах вы должны видеть буквально устно:
(х + 3)(х + 1) = 0
x 1 = −3
x 2 = −1
Вот и все! Исходное логарифмическое уравнение решено. Мы получили два корня.
Напомню, что определять область определения в данном случае не требуется, поскольку функция с переменной х присутствует лишь в одном аргументе. Поэтому область определения выполняется автоматически.
Итак, первое уравнение решено. Переходим ко второму:
log 0,5 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 1/9
log 1/2 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 9 −1
А теперь заметим, что аргумент первого логарифма тоже можно записать в виде степени с отрицательным показателем: 1/2 = 2 −1 . Затем можно вынести степени с обеих сторон уравнения и разделить все на −1:
[Подпись к рисунку]
И вот сейчас мы выполнили очень важный шаг в решении логарифмического уравнения. Возможно, кто-то что-то не заметил, поэтому давайте я поясню.
Взгляните на наше уравнение: и слева, и справа стоит знак log, но слева стоит логарифм по основанию 2, а справа стоит логарифм по основанию 3. Тройка не является целой степенью двойки и, наоборот: нельзя записать, что 2 — это 3 в целой степени.
Следовательно, это логарифмы с разными основаниями, которые не сводятся друг к другу простым вынесением степеней. Единственный путь решения таких задач — избавиться от одного из этих логарифмов. В данном случае, поскольку мы пока рассматриваем довольно простые задачи, логарифм справа просто сосчитался, и мы получили простейшее уравнение — именно такое, о котором мы говорили в самом начале сегодняшнего урока.
Давайте представим число 2, которое стоит справа в виде log 2 2 2 = log 2 4. А затем избавимся от знака логарифма, после чего у нас остается просто квадратное уравнение:
log 2 (5x 2 + 9x + 2) = log 2 4
5x 2 + 9x + 2 = 4
5x 2 + 9x − 2 = 0
Перед нами обычное квадратное уравнение, однако оно не является приведенным, потому что коэффициент при x 2 отличен от единицы. Следовательно, решать мы его будем с помощью дискриминанта:
D = 81 − 4 5 (−2) = 81 + 40 = 121
x 1 = (−9 + 11)/10 = 2/10 = 1/5
x 2 = (−9 − 11)/10 = −2
Вот и все! Мы нашли оба корня, а значит, получили решение исходного логарифмического уравнения. Ведь в исходной задачи функция с переменной х присутствует лишь в одном аргументе. Следовательно, никаких дополнительных проверок на область определения не требуется — оба корня, которые мы нашли, заведомо отвечают всем возможным ограничениям.
На этом можно было бы закончить сегодняшний видеоурок, но в заключении я хотел бы сказать еще раз: обязательно переводите все десятичные дроби в обычные при решении логарифмических уравнений. В большинстве случаев это существенно упрощает их решение.
Редко, очень редко попадаются задачи, в которых избавление от десятичных дробей лишь усложняет выкладки. Однако в таких уравнениях, как правило, изначально видно, что избавляться от десятичных дробей не надо.
В большинстве остальных случаев (особенно если вы только начинаете тренироваться в решении логарифмических уравнений) смело избавляйтесь от десятичных дробей и переводите их в обычные. Потому что практика показывает, что таким образом вы значительно упростите последующее решение и выкладки.
Тонкости и хитрости решения
Сегодня мы переходим к более сложным задачам и будем решать логарифмическое уравнение, в основании которого стоит не число, а функция.
И пусть даже эта функция линейна — в схему решения придется внести небольшие изменения, смысл которых сводится к дополнительным требованиям, накладываемым на область определения логарифма.
Сложные задачи
Этот урок будет довольно длинным. В нем мы разберем два довольно серьезных логарифмических уравнения, при решении которых многие ученики допускают ошибки. За свою практику работы репетитором по математике я постоянно сталкивался с двумя видами ошибок:
- Возникновение лишних корней из-за расширения области определения логарифмов. Чтобы не допускать такие обидные ошибки, просто внимательно следите за каждым преобразованием;
- Потери корней из-за того, что ученик забыл рассмотреть некоторые «тонкие» случаи — именно на таких ситуациях мы сегодня и сосредоточимся.
Это последний урок, посвященный логарифмическим уравнениям. Он будет длинным, мы разберем сложные логарифмические уравнения. Устраивайтесь поудобней, заварите себе чай, и мы начинаем.
Первое уравнение выглядит вполне стандартно:
log x + 1 (x − 0,5) = log x − 0,5 (x + 1)
Сразу заметим, что оба логарифма являются перевернутыми копиями друг друга. Вспоминаем замечательную формулу:
log a b = 1/log b a
Однако у этой формулы есть ряд ограничений, которые возникают в том случае, если вместо чисел а и b стоят функции от переменной х:
b > 0
1 ≠ a > 0
Эти требования накладываются на основание логарифма. С другой стороны, в дроби от нас требуется 1 ≠ a > 0, поскольку не только переменная a стоит в аргументе логарифма (следовательно, a > 0), но и сам логарифм находится в знаменателе дроби. Но log b 1 = 0, а знаменатель должен быть отличным от нуля, поэтому a ≠ 1.
Итак, ограничения на переменную a сохраняется. Но что происходит с переменной b ? С одной стороны, из основания следует b > 0, с другой — переменная b ≠ 1, потому что основание логарифма должно быть отлично от 1. Итого из правой части формулы следует, что 1 ≠ b > 0.
Но вот беда: второе требование (b ≠ 1) отсутствует в первом неравенстве, посвященном левому логарифму. Другими словами, при выполнении данного преобразования мы должны отдельно проверить , что аргумент b отличен от единицы!
Вот давайте и проверим. Применим нашу формулу:
[Подпись к рисунку]
1 ≠ х − 0,5 > 0; 1 ≠ х + 1 > 0
Вот мы и получили, что уже из исходного логарифмического уравнения следует, что и а, и b должны быть больше 0 и не равны 1. Значит, мы спокойно можем переворачивать логарифмическое уравнение:
Предлагаю ввести новую переменную:
log x + 1 (x − 0,5) = t
В этом случае наша конструкция перепишется следующим образом:
(t 2 − 1)/t = 0
Заметим, что в числителе у нас стоит разность квадратов. Раскрываем разность квадратов по формуле сокращенного умножения:
(t − 1)(t + 1)/t = 0
Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Но в числителе стоит произведение, поэтому приравниваем к нулю каждый множитель:
t 1 = 1;
t 2 = −1;
t ≠ 0.
Как видим, оба значения переменной t нас устраивают. Однако на этом решение не заканчивается, ведь нам требуется найти не t , а значение x . Возвращаемся к логарифму и получаем:
log x + 1 (x − 0,5) = 1;
log x + 1 (x − 0,5) = −1.
Давайте приведем каждое из этих уравнений к канонической форме:
log x + 1 (x − 0,5) = log x + 1 (x + 1) 1
log x + 1 (x − 0,5) = log x + 1 (x + 1) −1
Избавляемся от знака логарифма в первом случае и приравниваем аргументы:
х − 0,5 = х + 1;
х − х = 1 + 0,5;
Такое уравнение не имеет корней, следовательно, первое логарифмическое уравнение также не имеет корней. А вот со вторым уравнением все намного интересней:
(х − 0,5)/1 = 1/(х + 1)
Решаем пропорцию — получим:
(х − 0,5)(х + 1) = 1
Напоминаю, что при решении логарифмических уравнений гораздо удобней приводить все десятичные дроби обычные, поэтому давайте перепишем наше уравнение следующим образом:
(х − 1/2)(х + 1) = 1;
x 2 + x − 1/2x − 1/2 − 1 = 0;
x 2 + 1/2x − 3/2 = 0.
Перед нами приведенное квадратное уравнение, оно легко решается по формулам Виета:
(х + 3/2) (х − 1) = 0;
x 1 = −1,5;
x 2 = 1.
Получили два корня — они являются кандидатами на решение исходного логарифмического уравнения. Для того чтобы понять, какие корни действительно пойдут в ответ, давайте вернемся к исходной задаче. Сейчас мы проверим каждый из наших корней на предмет соответствия области определения:
1,5 ≠ х > 0,5; 0 ≠ х > −1.
Эти требования равносильны двойному неравенству:
1 ≠ х > 0,5
Отсюда сразу видим, что корень х = −1,5 нас не устраивает, а вот х = 1 вполне устраивает. Поэтому х = 1 — окончательное решение логарифмического уравнения.
Переходим ко второй задаче:
log x 25 + log 125 x 5 = log 25 x 625
На первый взгляд может показаться, что у всех логарифмов разные основания и разные аргументы. Что делать с такими конструкциями? В первую очередь заметим, что числа 25, 5 и 625 — это степени 5:
25 = 5 2 ; 625 = 5 4
А теперь воспользуемся замечательным свойством логарифма. Дело в том, что можно выносить степени из аргумента в виде множителей:
log a b n = n ∙ log a b
На данное преобразование также накладываются ограничения в том случае, когда на месте b стоит функция. Но у нас b — это просто число, и никаких дополнительных ограничений не возникает. Перепишем наше уравнение:
2 ∙ log x 5 + log 125 x 5 = 4 ∙ log 25 x 5
Получили уравнение с тремя слагаемыми, содержащими знак log. Причем аргументы всех трех логарифмов равны.
Самое время перевернуть логарифмы, чтобы привести их к одному основанию — 5. Поскольку в роли переменной b выступает константа, никаких изменений области определения не возникает. Просто переписываем:
[Подпись к рисунку]
Как и предполагалось, в знаменателе «вылезли» одни и те же логарифмы. Предлагаю выполнить замену переменной:
log 5 x = t
В этом случае наше уравнение будет переписано следующим образом:
Выпишем числитель и раскроем скобки:
2 (t + 3) (t + 2) + t (t + 2) − 4t (t + 3) = 2 (t 2 + 5t + 6) + t 2 + 2t − 4t 2 − 12t = 2t 2 + 10t + 12 + t 2 + 2t − 4t 2 − 12t = −t 2 + 12
Возвращаемся к нашей дроби. Числитель должен быть равен нулю:
[Подпись к рисунку]
А знаменатель — отличен от нуля:
t ≠ 0; t ≠ −3; t ≠ −2
Последние требования выполняются автоматически, поскольку все они «завязаны» на целые числа, а все ответы — иррациональные.
Итак, дробно-рациональное уравнение решено, значения переменной t найдены. Возвращаемся к решению логарифмического уравнения и вспоминаем, что такое t :
[Подпись к рисунку]
Приводим это уравнение к канонической форме, получим число с иррациональной степенью. Пусть это вас не смущает — даже такие аргументы можно приравнять:
[Подпись к рисунку]
У нас получилось два корня. Точнее, два кандидата в ответы — проверим их на соответствие области определения. Поскольку в основании логарифма стоит переменная х, потребуем следующее:
1 ≠ х > 0;
С тем же успехом утверждаем, что х ≠ 1/125, иначе основание второго логарифма обратится в единицу. Наконец, х ≠ 1/25 для третьего логарифма.
Итого мы получили четыре ограничения:
1 ≠ х > 0; х ≠ 1/125; х ≠ 1/25
А теперь вопрос: удовлетворяют ли наши корни указанным требованиям? Конечно удовлетворяют! Потому что 5 в любой степени будет больше нуля, и требование х > 0 выполняется автоматически.
С другой стороны, 1 = 5 0 , 1/25 = 5 −2 , 1/125 = 5 −3 , а это значит, что данные ограничения для наших корней (у которых, напомню, в показателе стоит иррациональное число) также выполнены, и оба ответа являются решениями задачи.
Итак, мы получили окончательный ответ. Ключевых моментов в данной задаче два:
- Будьте внимательны при перевороте логарифма, когда аргумент и основание меняются местами. Подобные преобразования накладывают лишние ограничения на область определения.
- Не бойтесь преобразовывать логарифмы: их можно не только переворачивать, но и раскрывать по формуле суммы и вообще менять по любым формулам, которые вы изучали при решении логарифмических выражений. Однако при этом всегда помните: некоторые преобразования расширяют область определения, а некоторые — сужают.
В общем, при решении сложных логарифмических уравнений обязательно выписывайте исходную область определения. А у меня на сегодня все.:)
Как известно, при перемножении выражений со степенями их показатели всегда складываются (a b *a c = a b+c). Этот математический закон был выведен Архимедом, а позже, в VIII веке, математик Вирасен создал таблицу целых показателей. Именно они послужили для дальнейшего открытия логарифмов. Примеры использования этой функции можно встретить практически везде, где требуется упростить громоздкое умножение на простое сложение. Если вы потратите минут 10 на прочтение этой статьи, мы вам объясним, что такое логарифмы и как с ними работать. Простым и доступным языком.
Определение в математике
Логарифмом называется выражение следующего вида: log a b=c, то есть логарифмом любого неотрицательного числа (то есть любого положительного) "b" по его основанию "a" считается степень "c", в которую необходимо возвести основание "a", чтобы в итоге получить значение "b". Разберем логарифм на примерах, допустим, есть выражение log 2 8. Как найти ответ? Очень просто, нужно найти такую степень, чтобы из 2 в искомой степени получить 8. Проделав в уме некоторые расчеты, получаем число 3! И верно, ведь 2 в степени 3 дает в ответе число 8.
Разновидности логарифмов
Для многих учеников и студентов эта тема кажется сложной и непонятной, однако на самом деле логарифмы не так страшны, главное - понять общий их смысл и запомнить их свойста и некоторые правила. Существует три отдельных вида логарифмических выражений:
- Натуральный логарифм ln a, где основанием является число Эйлера (e = 2,7).
- Десятичный a, где основанием служит число 10.
- Логарифм любого числа b по основанию a>1.
Каждый из них решается стандартным способом, включающим в себя упрощение, сокращение и последующее приведение к одному логарифму с помощью логарифмических теорем. Для получения верных значений логарифмов следует запомнить их свойства и очередность действий при их решениях.
Правила и некоторые ограничения
В математике существует несколько правил-ограничений, которые принимаются как аксиома, то есть не подлежат обсуждению и являются истиной. Например, нельзя числа делить на ноль, а еще невозможно извлечь корень четной степени из отрицательных чисел. Логарифмы также имеют свои правила, следуя которым можно с легкостью научиться работать даже с длинными и емкими логарифмическими выражениями:
- основание "a" всегда должно быть больше нуля, и при этом не быть равным 1, иначе выражение потеряет свой смысл, ведь "1" и "0" в любой степени всегда равны своим значениям;
- если а > 0, то и а b >0, получается, что и "с" должно быть больше нуля.
Как решать логарифмы?
К примеру, дано задание найти ответ уравнения 10 х = 100. Это очень легко, нужно подобрать такую степень, возведя в которую число десять, мы получим 100. Это, конечно же, 10 2 =100.
А теперь давайте представим данное выражение в виде логарифмического. Получим log 10 100 = 2. При решении логарифмов все действия практически сходятся к тому, чтобы найти ту степень, в которую необходимо ввести основание логарифма, чтобы получить заданное число.
Для безошибочного определения значенияя неизвестной степени необходимо научиться работать с таблицей степеней. Выглядит она следующим образом:
Как видите, некоторые показатели степени можно угадать интуитивно, если имеется технический склад ума и знание таблицы умножения. Однако для больших значений потребуется таблица степеней. Ею могут пользоваться даже те, кто совсем ничего не смыслит в сложных математических темах. В левом столбце указаны числа (основание a), верхний ряд чисел - это значение степени c, в которую возводится число a. На пересечении в ячейках определены значения чисел, являющиеся ответом (a c =b). Возьмем, к примеру, самую первую ячейку с числом 10 и возведем ее в квадрат, получим значение 100, которое указано на пересечении двух наших ячеек. Все так просто и легко, что поймет даже самый настоящий гуманитарий!
Уравнения и неравенства
Получается, что при определенных условиях показатель степени - это и есть логарифм. Следовательно, любые математические численные выражения можно записать в виде логарифмического равенства. Например, 3 4 =81 можно записать в виде логарифма числа 81 по основанию 3, равному четырем (log 3 81 = 4). Для отрицательных степеней правила такие же: 2 -5 = 1/32 запишем в виде логарифма, получим log 2 (1/32) = -5. Одной из самых увлекательных разделов математики является тема "логарифмы". Примеры и решения уравнений мы рассмотрим чуть ниже, сразу же после изучения их свойств. А сейчас давайте разберем, как выглядят неравенства и как их отличить от уравнений.
Дано выражение следующего вида: log 2 (x-1) > 3 - оно является логарифмическим неравенством, так как неизвестное значение "х" находится под знаком логарифма. А также в выражении сравниваются две величины: логарифм искомого числа по основанию два больше, чем число три.
Самое главное отличие между логарифмическими уравнениями и неравенствами заключается в том, что уравнения с логарифмами (пример - логарифм 2 x = √9) подразумевают в ответе одно или несколько определенных числовых значений, тогда как при решении неравенства определяются как область допустимых значений, так и точки разрыва этой функции. Как следствие, в ответе получается не простое множество отдельных чисел как в ответе уравнения, а а непрерывный ряд или набор чисел.
Основные теоремы о логарифмах
При решении примитивных заданий по нахождению значений логарифма, его свойства можно и не знать. Однако когда речь заходит о логарифмических уравнениях или неравенствах, в первую очередь, необходимо четко понимать и применять на практике все основные свойства логарифмов. С примерами уравнений мы познакомимся позже, давайте сначала разберем каждое свойство более подробно.
- Основное тождество выглядит так: а logaB =B. Оно применяется только при условии, когда а больше 0, не равно единице и B больше нуля.
- Логарифм произведения можно представить в следующей формуле: log d (s 1 *s 2) = log d s 1 + log d s 2. При этом обязательным условием является: d, s 1 и s 2 > 0; а≠1. Можно привести доказательство для этой формулы логарифмов, с примерами и решением. Пусть log a s 1 = f 1 и log a s 2 = f 2 , тогда a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Получаем, что s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (свойства степеней), а далее по определению: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, что и требовалось доказать.
- Логарифм частного выглядит так: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- Теорема в виде формулы приобретает следующий вид: log a q b n = n/q log a b.
Называется эта формула "свойством степени логарифма". Она напоминает собой свойства обычных степеней, и неудивительно, ведь вся математика держится на закономерных постулатах. Давайте посмотрим на доказательство.
Пусть log a b = t, получается a t =b. Если возвести обе части в степень m: a tn = b n ;
но так как a tn = (a q) nt/q = b n , следовательно log a q b n = (n*t)/t, тогда log a q b n = n/q log a b. Теорема доказана.
Примеры задач и неравенств
Самые распространенные типы задач на тему логарифмов - примеры уравнений и неравенств. Они встречаются практически во всех задачниках, а также входят в обязательную часть экзаменов по математике. Для поступления в университет или сдачи вступительных испытаний по математике необходимо знать, как правильно решать подобные задания.
К сожалению, единого плана или схемы по решению и определению неизвестного значения логарифма не существует, однако к каждому математическому неравенству или логарифмическому уравнению можно применить определенные правила. Прежде всего следует выяснить, можно ли упростить выражение или привести к общему виду. Упрощать длинные логарифмические выражения можно, если правильно использовать их свойства. Давайте скорее с ними познакомимся.
При решении же логарифмических уравнений, следует определить, какой перед нами вид логарифма: пример выражения может содержать натуральный логарифм или же десятичный.
Вот примеры ln100, ln1026. Их решение сводится к тому, что нужно определить ту степень, в которой основание 10 будет равно 100 и 1026 соответственно. Для решений же натуральных логарифмов нужно применить логарифмические тождества или же их свойства. Давайте на примерах рассмотрим решение логарифмических задач разного типа.
Как использовать формулы логарифмов: с примерами и решениями
Итак, рассмотрим примеры использования основных теорем о логарифмах.
- Свойство логарифма произведения можно применять в заданиях, где необходимо разложить большое значение числа b на более простые сомножители. Например, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Ответ равен 9.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - как видите, применяя четвертое свойство степени логарифма, удалось решить на первый взгляд сложное и нерешаемое выражение. Необходимо всего лишь разложить основание на множители и затем вынести значения степени из знака логарифма.
Задания из ЕГЭ
Логарифмы часто встречаются на вступительных экзаменах, особенно много логарифмических задач в ЕГЭ (государственный экзамен для всех выпускников школ). Обычно эти задания присутствуют не только в части А (самая легкая тестовая часть экзамена), но и в части С (самые сложные и объемные задания). Экзамен подразумевает точное и идеальное знание темы "Натуральные логарифмы".
Примеры и решения задач взяты из официальных вариантов ЕГЭ. Давайте посмотрим, как решаются такие задания.
Дано log 2 (2x-1) = 4. Решение:
перепишем выражение, немного его упростив log 2 (2x-1) = 2 2 , по определению логарифма получим, что 2x-1 = 2 4 , следовательно 2x = 17; x = 8,5.
- Все логарифмы лучше всего приводить к одному основанию, чтобы решение не было громоздким и запутанным.
- Все выражение, стоящие под знаком логарифма, указываются как положительные, поэтому при вынесении множителем показателя степени выражения, который стоит под знаком логарифма и в качестве его основания, остающееся под логарифмом выражение должно быть положительно.
