Уравнение касательной и нормали к графику функции. Как найти уравнение нормали к графику функции в заданной точке? Написать уравнение касательной и нормали

Рассмотрим кривую, уравнение которой имеет вид

Уравнение касательной к данной кривой в точке имеет вид:

Нормалью к кривой в данной точке называется прямая, проходящая через данную точку, перпендикулярную к касательной в этой точке.

Уравнение нормали к данной кривой в точке имеет вид:

(35)

Длина отрезка касательной, заключенного между точкой касания и осью абсцисс называется длиной касательной , проекция этого отрезка на ось абсцисс называется подкасательной .

Длина отрезка нормали, заключенного между точкой касания и осью абсцисс называется длиной нормали ,проекция этого отрезка на ось абсцисс называется поднормалью.

Пример 17

Написать уравнения касательной и нормали к кривой в точке, абсцисса которой равна.

Решение:

Найдем значение функции в точке :

Найдем производную заданной функции в точке

Ответ: Уравнение касательной:

Уравнение нормали:.

Пример 18

Написать уравнения касательной и нормали, длины касательной и подкасательной, длины нормали и поднормали для эллипса

в точке , для которой.

Решение:

Найдем как производную функции, заданной параметрически по формуле (10):

Найдем координаты точки касания : и значение производной в точке касания :

Уравнение касательной найдем по формуле (34):

Найдем координаты точкипересечения касательной с осью:

Длина касательной равна длине отрезка :

Согласно определению, подкасательная равна

Где угол – угол между касательной и осью. Поэтому,- угловой коэффициент касательной, равный

Таким образом, подкасательная равна

Уравнение нормали найдем по формуле (35):

Найдем координатыточкипересечения нормали с осью:

Длина нормали равна длине отрезка :

Согласно определению, поднормаль равна

Где угол – угол между нормалью и осью. Поэтому,- угловой коэффициент нормали, равный

Поэтому, поднормаль равна:

Ответ: Уравнение касательной:

Уравнение нормали:

Длина касательной ; подкасательная;

Длина нормали ; поднормаль

Задания 7. Написать уравнения касательной и нормали:

1. К параболе в точке, абсцисса которой

2. К окружности в точках пересечения её с осью абсцисс

3. К циклоиде в точке, для которой

4. В каких точках кривой касательная параллельна:

а) оси Оx; б) прямой

.

10. Промежутки монотонности функции. Экстремумы функции.

Условие монотонности функции:

Для того, чтобы дифференцируемая на функцияне возрастала, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках, принадлежащихее производная была неположительна.

Для того, чтобы дифференцируемая на функцияне убывала, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках, принадлежащихее производная была неотрицательна.

Промежутки, на которых производная функции сохраняет определенный знак, называются промежутками монотонности функции

Пример 19

Найти промежутки монотонности функции .

Решение:

Найдем производную функции .

Найдем промежутки знакопостоянства полученной производной. Для этого

разложим полученный квадратный трехчлен на множители:

Исследуем знак полученного выражения, используя метод интервалов.

Таким образом, получаем согласно (36), (37),что заданная функция возрастает на и убывает на.

Ответ: Заданная функция возрастает наи убывает на.

Определение Функция имеет в точкелокальный максимум (минимум) , если существует такая окрестность точки , что для всехвыполняется условие

Локальный минимум или максимум функции называетсялокальным экстремумом.

Необходимое условие существования экстремума .

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки. Если функцияимеет в точкеэкстремумом, то производнаяв точкелибо равна нулю, либо не существует.

Точка называетсякритической точкой функции , если производнаяв точкелибо равна нулю, либо не существует.

Достаточные условия наличия экстремума в критической точке .

Пусть точка является критической.

Первое достаточное условие экстремума:

Пусть функция непрерывна в некоторой окрестноститочкии дифференцируема в каждой точке.

Точка является локальным максимумом, если при переходе через

производная функции меняет знак с плюса на минус.

Точка является локальным минимумом, если при переходе через

производная функции меняет знак с минуса на плюс.

Пример 20

Найти экстремумы функции .

Решение:

Найдем производную заданной функции

Приравнивая в полученной производной к нулю числитель и знаменатель, найдем критические точки:

Исследуем знак производной, используя метод интервалов.

Из рисунка видно, что при переходе через точку производная меняет знак с плюса на минус. Следовательно, в точке- локальный максимум.

При переходе через точку производная меняет знак с минуса на плюс.

Следовательно, в точке - локальный минимум.

При переходе через точку производная не меняет знак. Следовательно, критическая точкане является экстремумом заданной функции.

Ответ: - локальный максимум, - локальный минимум.

Второе достаточное условие экстремума:

Если первые производные функциив точкеравны нулю, а-ная производная функциив точкеотлична от нуля, то точкаявляется экстремумом функции, причем,

то -локальный минимум

то -локальный максимум.

Пример 21

Найти экстремумы функции, пользуясь второй производной .

Решение:

Найдем первую производную заданной функции

Найдем критические точки функции:

Точку мы не рассматриваем, так как функция определена только в левой окрестности.

Найдем вторую производную

Находим

Таким образом, на основании (39) делаем вывод о том, что при - локальный максимум.

Ответ: - локальный максимум.

Задания 8.

Исследовать на возростание и убывание функции:

	2.	3.

Исследовать на экстремумы функции:

7 .
8 .
9 .

Определение . Нормаль - это перпендикулярная к касательной прямая, проходящая через точку касания.

Если существует конечная и отличная от нуля производная f"(x 0) то уравнение нормали к графику функции y=f(x) в точке x 0 выражается следующим уравнением:

Пример 1 . Написать уравнение нормали к кривой y=3x-x 2 в точке x 0 =2.

Решение.

1. Находим производную y"=3-2x

x 0 =2: f"(x 0)=f"(2)=3-2*2=-1

3. Находим значение функции в точке x 0 =2: f(x 0)=f(2)=3*2-2 2 =2

4. Подставляем найденные значения в уравнение нормали:

5. Получаем уравнение нормали: y=x

Калькулятор уравнения нормали

Найти уравнение нормали онлайн можно с помощью данного калькулятора.

Пример 2 . (Рассмотрим особый случай когда f"(x 0) равно нулю)

Написать уравнение нормали к кривой y=cos24x в точке x 0 =π/2

Решение.

1. Находим производную y"=2cos4x*(-sin4x*4)=-4sin2x

2. Находим значение производной в точке x 0 =π/2:

f"(x 0)=f"(π/2)=-4sin(2*π/2)=0 , следовательно уравнение нормали в данном случае применить нельзя.

Воспользуемся определением нормали,сначала находим , потом находим уравнение перпендикулярной прямой проходящей через данную точку.

Т е м а : Понятия касательной и нормали.

Уравнения касательной и нормали.

Цели:

Предметные: познакомить студентов с понятиями: касательная и нормаль к кривой; закрепить данные понятия при решении задач на составление уравнений касательной и нормали; выяснить, каким свойством обладают угловые коэффициенты касательной и нормали.

Коммуникативные: аргументировать свою точку зрения, спорить и отстаивать свою позицию невраждебным для оппонентов образом; уметь слушать и слышать друг друга.

Познавательные : устанавливать причинно-следственные связи; выражать смысл ситуации различными средствами (рисунки, символы, схемы, знаки).

Регулятивные: принимать познавательную цель, сохранять ее при выполнении учебных действий, регулировать весь процесс их выполнения и четко выполнять требования познавательной задачи.

Личностные: формирование познавательного интереса к изучению нового, мотивации к самостоятельной и коллективной исследовательской деятельности.

Ход урока:

1. Актуализация опорных знаний студентов:

(Введение понятий касательной и нормали к кривой)

Мы знаем аналитический и физический смысл производной: (ответы студентов :

аналитический смысл – это, физический – это скорость процесса, заданного функцией).

Выясним геометрический смысл производной.

Для этого введём понятие касательной к кривой в данной точке.

Из школьного курса геометрии, вы знаете понятие касательной к окружности. (ответы студентов : касательная к окружности определяется как прямая, лежащая в одной плоскости с окружностью и имеющая с ней единственную общую точку).

Но такое определение касательной неприменимо для случая произвольной кривой. Например, для параболы оси имеют по одной общей точке с параболой. Однако ось является касательной к параболе, а ось – нет. Дадим общее определение касательной к кривой в данной точке.

Пусть – некоторые точки произвольной кривой – секущая кривой. При приближении точки по кривой секущая будет поворачиваться вокруг точки

Определение. Предельное положение секущей при неограниченном приближении точки по кривой называется касательной к кривой в точке

Определение . Нормалью к кривой в точке называется прямая, проходящая через точку перпендикулярно касательной к кривой в этой точке.

Если – касательная к кривой в точке,

то перпендикулярная будет нормалью к кривой в точке

Объяснение нового материала:

(Выясним, в чем заключается геометрический смысл производной , каким свойством обладают угловые коэффициенты касательной и нормали).

Пусть кривая является графиком функции. Точки

лежат на графике функции. Прямая – касательная к кривой.

Угол наклона касательной

Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой в точке или угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке .

Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид

Уравнение нормали к кривой в точке имеет вид

(3)

Проблемные вопросы : посмотрите на уравнения касательной и нормали, в чем их различие и сходство?

Чему равно произведение? Почему так происходит?

(Студенты должны дать следующие ответы на вопросы: -1, так как касательная и нормаль взаимно перпендикулярны)

Закрепление теоретического материала на практике:

( Решение задач в аудитории)

П р и м е р 1. Вычислите угловые коэффициенты касательных к параболе в точках.

Решение. Из геометрического смысла производной (формула 1) угловой коэффициент касательной.

Найдём производную функции: .

. Следовательно, .

Найдём значение производной в точке

Следовательно, .

П р и м е р 2. У параболы проведены касательные в точках Найдите углы наклона касательных к оси Ох.

Решение. По формуле (1)

Найдём. .

Вычислим значение производной в точке: .

Следовательно, и.

Аналогично в точке.

Следовательно, и

П р и м е р 3. В какой точке касательная к кривой наклонена к оси Ох

под углом

Решение. По формуле (1)

; . Следовательно, и

Подставив в функцию, получим. Получили точку.

П р и м е р 4. Составить уравнение касательной и нормали к параболе в точке

Решение. Уравнение касательной к кривой имеет вид.

Из условия задачи. Найдём производную.

; .

Подставив все значения в уравнение получим уравнение касательной

или.

Составим уравнение нормали, воспользовавшись формулой:

или

Задачи для самостоятельного решения:

1.Найти угловой коэффициент касательной, проведённой к кривой в точке.

2.Кривая задана уравнением Определить углы наклона касательных к положительному направлению оси, проведённых к кривой в точках в точках с абсциссами.

3.На кривой найти точку, в которой касательная параллельна прямой.

4.В какой точке касательная к кривой: а) параллельна оси; б) образует с осью угол 45?

5.Найти абсциссу точки параболы, в которой касательная параллельна оси абсцисс.

6.Найти угловой коэффициент касательной, проведённой к кривой в точке.

7.В какой точке касательная к кривой образует с осью угол 30?

8.В какой точке касательная к графику функции образует угол 135

с осью?

9.В какой точке касательная к графику функции параллельна оси абсцисс?

10.В каких точках угловой коэффициент касательной к кубической параболе равен 3?

11.Найти угол наклона касательной к кривой в точке, абсцисса которой равна 2.

12.Составить уравнение касательной к параболе в точке с абсциссой

13.Составить уравнение касательной к гиперболе в точке

14.Составить уравнение касательной к кривой в точке.

15.Найти касательную к кривой в точке с абсциссой.

Ответы : 1) .12 2). 45°, arctg 5 3) .(1;1) 4) .(0;-1) (0,5;-0,75) 5) .1/2 6) .1 7) .(/6;61/12) 8) .(0:-1) (4;3) 9) .(0;4) (1;-5) 10) .(1;1) (-1;-1) 11) . 45° 12) .у = -2х-1 13) .у = -х+2 14) .у=4х+6 15) .у = 4х-2.

Критерий оценки : «5»- 15 заданий

«4»- 11-14 заданий

«3»- 8 заданий

4. Итоги урока : выставление оценок; + и – урока для студента (что понял и в чем еше предстоит разобраться?)

5. Домашнее задание: подготовить ответы на вопросы:

Дайте определение касательной к кривой.

Что называется нормалью к кривой?

В чём заключается геометрический смысл производной? Запишите формулу.

Запишите уравнение касательной к кривой в данной точке.

Запишите уравнение нормали к кривой в данной точке.

Решить задачи 1-15 по выбору критерия оценки; дополнительно по желанию : составить и решить карточку по данной теме.

Как найти уравнение нормали к графику функции в заданной точке?

На данном уроке мы узнаем, как найти уравнение нормали к графику функции в точке и разберём многочисленные примеры, которые касаются этой задачи. Для качественного усвоения материала нужно понимать геометрический смысл производной и уметь их находить хотя бы на уровне следующих статей:

Как найти производную? Производная сложной функции и .

Перечисленные уроки позволят «чайникам» быстро сориентироваться в теме и поднять свои навыки дифференцирования практически с полного нуля. По существу, сейчас последует развёрнутое продолжение параграфа об уравнении касательной 3-й статьи из вышеприведенного списка. Почему продолжение? Уравнение нормали тесно связано с уравнением касательной. Помимо прочего я рассмотрю задачи о том, как построить уравнения этих линий в ситуациях, когда функция задана неявно либо параметрически .

Но сначала освежим воспоминания: если функция дифференцируема в точке (т.е. если существует конечная производная ), то уравнение касательной к графику функции в точке можно найти по следующей формуле:

Это самый распространенный случай, с которым мы уже столкнулись на уроке Простейшие задачи с производными . Однако дело этим не ограничивается: если в точке существует бесконечная производная: , то касательная будет параллельна оси и её уравнение примет вид . Дежурный пример: функция с производной , которая обращается в бесконечность вблизи критической точки . Соответствующая касательная выразится уравнением: (ось ординат).

Если же производной не существует (например, производной от в точке ) , то, разумеется, не существует и общей касательной .

Как различать последние два случая, я расскажу чуть позже, а пока что вернёмся в основное русло сегодняшнего урока:

Что такое нормаль ? Нормалью к графику функции в точке называется прямая , проходящая через данную точку перпендикулярно касательной к графику функции в этой точке (понятно, что касательная должна существовать) . Если совсем коротко, нормаль – это перпендикулярная к касательной прямая, проходящая через точку касания.

Как найти уравнение нормали ? Из курса аналитической геометрии напрашивается очень простой алгоритм: находим уравнение касательной и представляем его вобщем виде . Далее «снимаем» нормальный вектор и составляем уравнение нормали по точке и направляющему вектору .

Этот способ применять можно, но в математическом анализе принято пользоваться готовой формулой, основанной на взаимосвязи угловых коэффициентов перпендикулярных прямых . Если существует конечная и отличная от нуля производная , то уравнение нормали к графику функции в точке выражается следующим уравнением:

Особые случаи, когда равна нулю либо бесконечности мы обязательно рассмотрим, но сначала «обычные» примеры:

Пример 1

Составить уравнения касательной и нормали к графику кривой в точке, абсцисса которой равна .

В практических заданиях часто требуется найти и касательную тоже. Впрочем, это очень только нА руку – лучше будет «набита рука» =)

Решение : Первая часть задания хорошо знакома, уравнение касательной составим по формуле:

В данном случае:

Найдём производную :
Здесь на первом шаге вынесли константу за знак производной , на втором – использовали правило дифференцирования сложной функции .

Теперь вычислим производную в точке :

Получено конечное число и это радует. Подставим и в формулу :

Перебросим наверх левой части, раскроем скобки и представим уравнение касательной в общем виде : Вторая часть задания ничуть не сложнее. Уравнение нормали составим по формуле: Избавляемся от трёхэтажности дроби и доводим уравнение до ума: – искомое уравнение.

Ответ :

Здесь можно выполнить частичную проверку. Во-первых, координаты точки должны удовлетворять каждому уравнению:

– верное равенство.

– верное равенство.

И, во-вторых, векторы нормали должны быть ортогональны. Это элементарно проверяется с помощью скалярного произведения : , что и требовалось проверить.

Как вариант, вместо нормальных векторов можно использовать направляющие векторы прямых .

! Данная проверка оказывается бесполезной, если неверно найдена производная и/или производная в точке . Это «слабое звено» задания – будьте предельно внимательны!

Чертежа по условию не требовалось, но полноты картины ради:
Забавно, но фактически получилась и полная проверка, поскольку чертёж выполнен достаточно точно =) Кстати, функция задаёт верхнюю дугу эллипса .

Следующая задача для самостоятельного решения:

Пример 2

Составить уравнения касательной и нормали к графику функции в точке .

Примерный образец чистового оформления задания в конце урока.

Теперь разберём два особых случая:

1) Если производная в точке равна нулю: , то уравнение касательной упростится: То есть, касательная будет параллельна оси .

Соответственно, нормаль будет проходить через точку параллельно оси , а значит её уравнение примет вид .

2) Если производная в точке существует, но бесконечна: , то, как отмечалось в самом начале статьи, касательная станет вертикальной: . И поскольку нормаль проходит через точку параллельно оси , то её уравнение выразится «зеркальным» образом:

Всё просто:

Пример 3

Составить уравнения касательной и нормали к параболе в точке . Сделать чертёж.

Требование выполнить чертёж я не добавлял – так было сформулировано задание в оригинале. Хотя это редкость.

Решение : составим уравнение касательной . В данном случае

Казалось бы, расчёты пустяковые, а в знаках запутаться более чем реально:

Таким образом:

Поскольку касательная параллельна оси (Случай №1) , то нормаль, проходящая через ту же точку , будет параллельна оси ординат:

Чертёж – это, конечно же, дополнительные хлопоты, но зато добротная проверка аналитического решения:

Ответ : ,

В школьном курсе математики распространено упрощённое определение касательной, которое формулируется примерно так: «Касательная к графику функции – это прямая, имеющая с данным графиком единственную общую точку» . Как видите, в общем случае это утверждение некорректно. Согласно геометрическому смыслу производной , касательной является именно зелёная, а не синяя прямая.

Следующий пример посвящён тому же Случаю №1, когда :

Пример 4

Написать уравнение касательной и нормали к кривой в точке .

Краткое решение и ответ в конце урока

Случай №2, в котором на практике встречается редко, поэтому начинающие могут особо не волноваться и с лёгким сердцем пропустить пятый пример. Информация, выделенная курсивом, предназначена для читателей с высоким уровнем подготовки, которые хорошо разобрались с определениями производной и касательной , а также имеют опыт нахождения производной по определению :

Пример 5

Найти уравнения касательной и нормали к графику функции в точке

Решение : в критической точке знаменатель производной обращается в ноль, и поэтому здесь нужно вычислить односторонние производные с помощью определения производной (см. конец статьи Производная по определению ):
Обе производные бесконечны, следовательно, в точке существует общая вертикальная касательная: Ну, и очевидно, что нормалью является ось абсцисс. Формально по формуле: Для лучшего понимания задачи приведу чертёж: Ответ :

Я рад, что вы не ушли бороздить просторы Интернета, потому что всё самое интересное только начинается! Чтобы осилить материал следующего параграфа, нужно уметь находить производную от неявно заданной функции :

Как найти уравнение касательной и уравнение нормали, если функция задана неявно?

Формулы касательной и нормали остаются прежними, но меняется техника решения:

Пример 6

Найти уравнения касательной и нормали к кривой в точке .

Решение : судя по уравнению, это какая-то линия 3-го порядка , какая именно – нас сейчас совершенно не интересует.

В уравнении присутствует зловред , и поэтому перспектива выразить функция в явном виде выглядит весьма туманной.

Но этого и не требуется! Есть куда более остроумное решение. Уравнение касательной составим по той же формуле .

Из условия известны значения , кстати, не помешает убедиться, что они действительно удовлетворяют предложенному уравнению: Получено верное равенство, значит, с точкой всё в порядке.

Осталось вычислить . Сначала по стандартной схеме найдём производную от функции, заданной неявно :

Перепишем результат с более подходящим для нашей задачи обозначением:

На 2-м шаге в найденное выражение производной подставим :

Вот так-то!

Осталось аккуратно разобраться с уравнением:

Составим уравнение нормали:

Ответ :

Готово! А поначалу представлялось всё непросто. Хотя производная здесь, конечно, – место уязвимое. Миниатюра для самостоятельного решения:

Пример 7

Найти уравнение нормали к линии в точке

Хватит уже вымучивать касательную =)

В данном случае легко выяснить, что это окружность центром в точке радиуса и даже выразить нужную функцию . Но зачем?! Ведь найти производную от неявно заданной функции на порядок легче! Она тут чуть ли не самая примитивная.

Краткое решение и ответ в конце урока.

Как найти уравнение касательной и уравнение нормали, если функция задана параметрически?

Ещё проще. Но для этого нужно потренироваться в нахождении производной от параметрически заданной функции . А так – почти халява:

Пример 8

Составить уравнения касательной и нормали к циклоиде , проведенные в точке, для которой .

Чертёж циклоиды можно найти на странице S и V, если линия задана параметрически (так получилось, что эта статья была создана раньше) . Там даже изображена точка касания.

Решение : абсцисса и ордината точки касания рассчитываются непосредственно из параметрических уравнений кривой:

Найдём 1-ую производную от параметрически заданной функции :

И вычислим её значение при :

Уравнение касательной составим по обычной формуле с поправкой на несколько другие обозначения:

Уравнение нормали:

Ответ :

В заключение предлагаю познакомиться с ещё одной интересной линией:

Пример 9

Составить уравнение нормали к полукубической параболе , проведенной в точке, для которой .

Это пример для самостоятельного решения. Напоминаю, что графики параметрически заданных функций можно построить, например, с помощью моего расчётного геометрического макета .

Ну а наш урок подошёл к концу, и я надеюсь, что изложенный материал прошёл для вас не по касательной, а нормально =)

Спасибо за внимание и успехов!

Решения и ответы :

Пример 2: Решение В данном случае: Таким образом: Уравнение нормали составим по формуле : Ответ :

Пример 4: Решение : уравнение касательной составим по формуле: В данной задаче:
Таким образом: В точке касательная параллельна оси , поэтому соответствующее уравнение нормали: Ответ :

Пример 7: Решение : в данной задаче: . Найдём производную: Или: Подставим в выражение производной : Искомое уравнение нормали: Ответ :

Пример 9: Решение : в данном случае: Найдём производную и вычислим её значение при : Уравнение нормали: Ответ :

Взято с сайта http://www.mathprofi.ru

Касательная - это прямая , которая касается графика функции в одной точке и все точки которой находятся на наименьшем расстоянии от графика функции. Поэтому касательная проходит касательно графика функции под определённым углом и не могут проходить через точку касания несколько касательных под разными углами. Уравнения касательной и уравнения нормали к графику функции составляются с помощью производной.

Уравнение касательной выводится из уравнения прямой .

Выведем уравнение касательной, а затем - уравнение нормали к графику функции.

y = kx + b .

В нём k - угловой коэффициент.

Отсюда получаем следующую запись:

y - y 0 = k (x - x 0 ) .

Значение производной f "(x 0 ) функции y = f (x ) в точке x 0 равно угловому коэффициенту k = tgφ касательной к графику функции, проведённой через точку M 0 (x 0 , y 0 ) , где y 0 = f (x 0 ) . В этом состоит геометрический смысл производной .

Таким образом, можем заменить k на f "(x 0 ) и получить следующее уравнение касательной к графику функции :

y - y 0 = f "(x 0 )(x - x 0 ) .

В задачах на составление уравнения касательной к графику функции (а мы уже скоро к ним перейдём) требуется привести получившееся по вышеприведённой формуле уравнение к уравнению прямой в общем виде . Для этого нужно все буквы и числа перенести в левую часть уравнения, а в правой части оставить ноль.

Теперь об уравнении нормали. Нормаль - это прямая, проходящая через точку касания к графику функции перпендикулярно касательной. Уравнение нормали :

(x - x 0 ) + f "(x 0 )(y - y 0 ) = 0

Для разминки первый же пример прелагается решить самостоятельно, а затем посмотреть решение. Есть все основания надеяться, что для наших читателей эта задача не будет "холодным душем".

Пример 0. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции в точке M (1, 1) .

Пример 1. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Найдём производную функции:

Теперь у нас есть всё, что требуется подставить в приведённую в теоретической справке запись, чтобы получить уравнение касательной. Получаем

В этом примере нам повезло: угловой коэффициент оказался равным нулю, поэтому отдельно приводить уравнение к общему виду не понадобилось. Теперь можем составить и уравнение нормали:

На рисунке ниже: график функции бордового цвета, касательная зелёного цвета, нормаль оранжевого цвета.

Следующий пример - тоже не сложный: функция, как и в предыдущем, также представляет собой многочлен, но угловой коэффициен не будет равен нулю, поэтому добавится ещё один шаг - приведение уравнения к общему виду.

Пример 2.

Решение. Найдём ординату точки касания:

Найдём производную функции:

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

Подставляем все полученные данные в "формулу-болванку" и получаем уравнение касательной:

Приводим уравнение к общему виду (все буквы и числа, отличные от нуля, собираем в левой части, а в правой оставляем ноль):

Составляем уравнение нормали:

Пример 3. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

Найдём производную функции:

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Находим уравнение касательной:

Перед тем, как привести уравнение к общему виду, нужно его немного "причесать": умножить почленно на 4. Делаем это и приводим уравнение к общему виду:

Составляем уравнение нормали:

Пример 4. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

.

Найдём производную функции:

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Получаем уравнение касательной:

Приводим уравнение к общему виду:

Составляем уравнение нормали:

Распространённая ошибка при составлении уравнений касательной и нормали - не заметить, что функция, данная в примере, - сложная и вычислять её производную как производную простой функции. Следующие примеры - уже со сложными функциями (соответствующий урок откроется в новом окне).

Пример 5. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

Внимание! Данная функция - сложная, так как аргумент тангенса (2x ) сам является функцией. Поэтому найдём производную функции как производную сложной функции.