Когда два луча (AO и OB ) исходят из одной точки, то фигура, сформированная этими лучами (вместе с частью плоскости, ограниченной ими), называется углом .
Лучи, образующие угол называются сторонами . Точка из которой они исходят - вершиной угла.
Стороны угла следует представлять себе бесконечно продолженными от вершины.
Угол обыкновенно обозначается тремя буквами, из которых средняя ставится у вершины , а крайние у каких-нибудь точек сторон. Например, говорят “угол АОВ или угол ВОА ”. Но можно обозначать угол и одной буквой, поставленной у вершины, если при этой вершине других углов нет. Мы иногда будем обозначать угол цифрой, поставленной внутри угла у вершины. Слово “угол” на письме часто заменяется знаком / .
Когда два луча исходят из одной точки , то строго говорят, что они образуют не один угол, а два угла.
Эти два угла равны друг другу лишь в том случае, когда лучи AO и OB составляют одну прямую .
Такой угол называют развернутым углом .
Два угла считаются равными углами , если при наложении они могут совместиться.
Мы принимаем как очевидное, что внутри всякого угла из его вершины можно провести луч (и притом только один), который делит этот угол пополам. Такой луч называется биссектрисой угла .
Два угла (AO B и BOС ) называются смежными , если одна сторона у них общая, а две другие стороны составляют прямую линию .
Черт 1. Черт.2
Когда два смежных угла равны (черт. 2), то общая сторона их OB называется перпендикуляром к прямой AC , на которой лежат другие стороны.
Если же смежные углы неравны (черт. 1), то общая сторона OB называется наклонной к AC .
В том и в другом случае точка O называется основанием (перпендикуляра или наклонной).
Из всякой точки прямой можно, по ту и другую сторону от этой прямой, восставить к ней перпендикуляр и притом только один.
Каждый из равных смежных углов называется прямым . Прямой угол представляет собой постоянную величину равную 90 0 (ее обыкновенно обозначают знаком d , т.е. начальной буквой французского слова «droit» - прямой). Вследствие этого обыкновенные углы сравнивают по величине с прямым углом.
Всякий развернутый углом равен 2 d = 180°.
Всякий угол (АОС ), меньший прямого угла (АОВ ) называется острым .
Всякий угол (AOD ) больший прямого называется тупым.
«Крошка сын к отцу пришел, и спросила Кроха: «А какие бывают углы?». Но отец, ответ забыл. Это очень плохо!».
В нашей статье мы предлагаем вспомнить уроки математики и найти ответы на вопросы Крохи.
Что такое угол
Что такое угол конечно легче показать, чем объяснить. Из начальных классов мы знаем, что плоский угол:
- Это геометрическая фигура.
- Она образована двумя сторонами – лучами.
- Лучи выходят из одной вершины – точки.
- Измеряется в градусах.
То есть, если на любой плоскости поставить точку, а затем из этой точки вывести два луча (луч – прямая имеющая начало, но не имеющая конца), то получим угол, и не один, а два. Это потому что, лучи поделили плоскость на две части. У нас образовалось два угла - внутренний и внешний.
Обозначение углов
Обозначается угол в математике вот таким значком – «˪» и греческими буквами: β, δ, φ. Так же обозначать углы можно маленькими или большими латинскими буквами. Строчными (d, c, b) обозначают лучи образующие угол, следовательно, название будет складываться из двух букв и значка - ˪ab. Большие латинские буквы обозначают три точки угла: две на сторонах и одна вершина (˪ DEF). Причем, буква вершины всегда будет находиться в середине названия, а как читать DEF или FED, это уже разницы не имеет.
Виды углов
В зависимости от градусов (мерной величины) углы разделяют на:
- Острые (> 90 градусов);
- Прямые (ровно 90);
- Тупые (180);
- Развернутый (равен 180);
- Невыпуклый (более 180, но менее 360);
- Полный (360);
Все углы, которые не являются прямыми или развернутыми, называются косыми.
Еще, какие есть углы?
- Смежные – одна сторона у них общая, а другие лежат, не совпадая, на одной плоскости. Сумма таких углов всегда будет равна 180.
- Вертикальные – углы образованные двумя пересекающимися прямыми и общих сторон они не имеют, но их лучи выходят с одной точки. То есть, сторона одного угла есть продолжение другого. Такие углы равны.
- Центральный – угол, вершина которого является центром окружности.
- Вписанный угол. Его вершина находится на окружности, а лучи, образующие его, пересекают эту окружность.
Теперь вы знаете, какой прямой угол, а акже сможете отличить, какой угол острый. Запомнить это не сложно, да и другие виды углов тоже имеют характерные названия.
Угловая мера
Угол в измеряют в градусной мере (градус, минута, секунда), в оборотах - отношение длины дуги s к длине окружности L , в радианах - отношение длины дуги s к радиусу r ; исторически применялась также градовая мера измерения углов, в настоящее время она почти нигде не используется.
1 оборот = 2π радианам = 360° = 400 градам .
В морской терминологии углы обозначаются румбами .
Типы углов
Смежные углы - острый (a) и тупой (b). Развёрнутый угол (c)
Кроме этого, рассматривается угол между гладкими кривыми в точке касания: по определению, его величина равна величине угла между касательными к кривым.
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое "Развернутый угол" в других словарях:
Угол, равный двум прямым. *РАЗВЕРТКА поверхности фигура, получающаяся в плоскости при таком совмещении точек данной поверхности с этой плоскостью, при котором длины линий остаются неизменными. Развертка кривой см. Эвольвента … Большой Энциклопедический словарь
угол - ▲ разность направление (в пространстве) угол протяженность поворота от одного направления к другому; разность направлений; часть полного оборота (# наклона. образовывать #). наклон. наклонный. отклонение. уклониться (дорога уклонилась вправо).… …
Угол - Углы: 1 общего вида; 2 смежные; 3 прилежащие; 4 вертикальные; 5 развернутый; 6 прямой, острый и тупой; 7 между кривыми; 8 между прямой и плоскостью; 9 между скрещивающимися прямыми (не лежащими в одной плоскостью) прямыми. УГОЛ, геометрическая… … Иллюстрированный энциклопедический словарь
Геометрическая фигура, состоящая из двух различных лучей, выходящих из одной точки. Лучи наз. сторонами У., а их общее начало вершиной У. Пусть [ ВА),[ ВС) стороны угла, В его вершина, плоскость, определяемая сторонами У. Фигура делит плоскость… … Математическая энциклопедия
Угол, равный двум прямым. * * * РАЗВЕРНУТЫЙ УГОЛ РАЗВЕРНУТЫЙ УГОЛ, угол, равный двум прямым … Энциклопедический словарь
Раздел математики, занимающийся изучением свойств различных фигур (точек, линий, углов, двумерных и трехмерных объектов), их размеров и взаимного расположения. Для удобства преподавания геометрию подразделяют на планиметрию и стереометрию. В… … Энциклопедия Кольера
1) Замкнутая ломаная линия, именно: если различные точки, никакие последовательные три из к рых не лежат на одной прямой, то совокупность отрезков наз. многоугольником (см. рис. 1). М. могут быть пространственными или плоскими (ниже… … Математическая энциклопедия
поперек - ▲ под углом максимум, косой угол поперечный. поперек под прямым углом. . прямой угол угол максимального отклонения; угол, равный своему смежному; четверть оборота. перпендикуляр. перпендикулярный находящийся под прямым углом. перпендикулярно.… … Идеографический словарь русского языка
градус - а, м. 1) Единица измерения плоского угла, равная 1/90 прямого угла или соответственно 1/360 окружности. Угол в 90 градусов называется прямым углом. Развернутый угол составляет 180 градусов. 2) Единица измерения температурного интервала, имеющая… … Популярный словарь русского языка
Теорема Шварца Кристоффеля важная теорема в теории функций комплексного переменного, носит название немецких математиков Карла Шварца и Элвина Кристоффеля. Очень важной с практической точки зрения является проблема о конформном… … Википедия
Угловая мера
Угол в измеряют в градусной мере (градус, минута, секунда), в оборотах - отношение длины дуги s к длине окружности L , в радианах - отношение длины дуги s к радиусу r ; исторически применялась также градовая мера измерения углов, в настоящее время она почти нигде не используется.
1 оборот = 2π радианам = 360° = 400 градам .
В морской терминологии углы обозначаются румбами .
Типы углов
Смежные углы - острый (a) и тупой (b). Развёрнутый угол (c)
Кроме этого, рассматривается угол между гладкими кривыми в точке касания: по определению, его величина равна величине угла между касательными к кривым.
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое "Полный угол" в других словарях:
Неузаконенная внесистемная ед. плоского угла. 1 П. у.= 2ПИ рад 6.283 185 рад (см. Радиан) … Большой энциклопедический политехнический словарь
Угол вертикальной наводки ствола орудия при стрельбе с учетом углов качки корабля. Определяется приборами центрального артиллерийского поста. EdwART. Толковый Военно морской Словарь, 2010 … Морской словарь
Угол горизонтальной наводки ствола орудия при стрельбе с учетом углов качки корабля. Определяется ߑؐѐޑАܐؠцентрального артиллерийского поста. EdwART. Толковый Военно морской Словарь, 2010 … Морской словарь
полный механический угол поворота подвижной системы переменного резистора - полный механический угол поворота Полный угол поворота подвижной системы переменного резистора от упора до упора. Примечание Для резисторов, не имеющих упоров, полный механический угол равен максимальному углу между двумя положениями подвижной… … Справочник технического переводчика
Полный механический угол поворота подвижной системы переменного резистора - 52. Полный механический угол поворота подвижной системы переменного резистора Полный механический угол поворота D. Mechanischer Drehwinkel E. Total mechanical rotation F. Course mécanique totale Полный угол поворота подвижной системы переменного… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
УГОЛ - (1) атаки угол между направлением воздушного потока, набегающего на крыло самолёта, и хордой сечения крыла. От этого угла зависит значение подъёмной силы. Угол, при котором подъёмная сила максимальна, называется критическим углом атаки. У… … Большая политехническая энциклопедия
УГОЛ, мера наклона между двумя прямыми линиями или плоскостями, а также величины вращательного движения. Полный круг делится на 360° (градусов) иди на 2p радиан. Прямой угол составляет 90° или p/2 радиан. Один градус подразделяется на 60 (минут) … Научно-технический энциклопедический словарь
Элементы: Drop прыжок с высоты, выполняется с места или из позиции cat leap. Амортизировать падение можно только ногами, или ногами и руками (ну или одной рукой). Spring прыжок через какое либо препятствие, не касаясь его. Например, перелёт через … Википедия
Идти в полную. Жарг. угол. Признаваться в совершении преступления. Балдаев 1, 169. Два полных, третий не целый. Новг. Ирон. О небольшом количестве людей где л. НОС 2, 76 …
Жарг. угол. Одобр. Всё в порядке, дела идут хорошо. Б., 159; Быков, 202. /i> Вероятно, из идиш или иврита, где слово является оценкой высшего качества. Елистратов 1994, 537 … Большой словарь русских поговорок
С понятием угол учащиеся знакомятся еще в начальной школе. Но как геометрическую фигуру, имеющую определенные свойства, начинают изучать его с 7-го класса в геометрии. Кажется, довольно простая фигура , что о ней можно сказать. Но, приобретая новые знания, школьники всё больше понимают, что можно узнать о ней довольно интересные факты.
Вконтакте
Когда изучаются
Школьный курс геометрии разделён на два раздела: планиметрию и стереометрию. В каждом из них немалое внимание уделяется углам :
- В планиметрии дается их основное понятие, происходит знакомство с их видами по величине. Более подробно изучаются свойства каждого вида треугольников. Появляются новые определения для учащихся – это геометрические фигуры, образованные при пересечении двух прямых между собой и пересечении нескольких прямых секущей.
- В стереометрии изучаются пространственные углы – двугранные и трехгранные.
Внимание! В данной статье рассматриваются все виды и свойства углов именно в планиметрии.
Определение и измерение
Приступая к изучению, первоначально определяют, что такое угол в планиметрии.
Если на плоскости взять определённую точку и провести от нее два произвольных луча, то получим геометрическую фигуру – угол, состоящую из следующих элементов:
- вершина – та точка, из которой и проводились лучи, обозначается заглавной буквой латинского алфавита;
- стороны – полупрямые, проведенные из вершины.
Все элементы, образующие рассматриваемую нами фигуру, разбивают плоскость на две части :
- внутренняя — в планиметрии не превышает 180 градусов;
- внешняя.
Принцип измерения углов в планиметрии объясняют на интуитивной основе. Для начала знакомят учащихся с понятием развернутый угол.
Важно! Угол называется развернутым, если полупрямые, выходящие из его вершины, образуют прямую линию. Неразвернутый угол это все остальные случаи.
Если его разделить на 180 равных частей, то принято считать меру одной части равной 10. В таком случае говорят, что измерение производится в градусах, а градусная мера такой фигуры составляет 180 градусов.
Основные виды
Виды углов подразделяются по таким критериям, как градусная мера, характер их образования и представленные ниже категории.
По величине
Учитывая величину, углы разделяют на:
- развернутый;
- прямой;
- тупой;
- острый.
Какой угол называется развернутым, было представлено выше. Определимся с понятием прямого.
Его можно получить при делении развернутого на две равные части. В этом случае легко ответить на вопрос: прямой угол, сколько градусов составляет?
180 градусов развернутого делим на 2 и получаем, что прямой угол равен 90 градусам . Это замечательная фигура, так как многие факты в геометрии связаны именно с ней.
Имеет она и свои особенности в обозначении. Чтобы на рисунке показать прямой угол, его обозначают не дугой, а квадратиком.
Углы, которые получаются при делении произвольным лучом прямого, называют острыми. По логике вещей следует, что острый угол меньше прямого, но его мера отлична от 0 градусов. То есть, он имеет величину от 0 до 90 градусов.
Тупой угол больше прямого, но меньше развернутого. Его градусная мера варьируется в интервале от 90 до 180 градусов.
Данный элемент можно разбить на разные виды рассматриваемых фигур, исключая развёрнутый.
Вне зависимости от того, как разбивается неразвернутый угол, всегда пользуются базовой аксиомой планиметрии — «основное свойство измерения».
При разделении угла одним лучом или несколькими, градусная мера данной фигуры равна сумме мер углов, на которые она разбита.
На уровне 7-го класса виды углов по их величине на этом заканчиваются. Но для повышения эрудиции можно добавить, что существуют и другие разновидности, которые обладают градусной мерой больше 180 градусов.Их называют выпуклыми.
Фигуры при пересечении прямых
Следующие типы углов, с которыми знакомятся учащиеся – элементы, образованные при пересечении двух прямых. Фигуры, которые размещаются друг напротив друга, называют вертикальными. Их отличительное свойство – они равны.
Элементы, которые прилегают к одной и той же прямой, называют смежными. Теорема, отображающая их свойство, говорит о том, что смежные углы в сумме дают 180 градусов .
Элементы в треугольнике
Если рассматривать фигуру как элемент в треугольнике, то углы подразделяют на внутренний и внешний. Треугольник ограничен тремя отрезками и состоит из трёх вершин. Углы, расположенные внутри треугольника при каждой вершине, называют внутренними .
Если взять любой внутренний элемент при любой вершине и продлить любую сторону, то угол, который образовался и является смежным с внутренним, называется внешним. Эта пара элементов имеет следующее свойство: их сумма равна 180 градусам.
Пересечение двух прямых секущей
Пересечение прямых
При пересечении двух прямых секущей также образуются углы , которые принято распределять по парам. Каждая пара элементов имеет свое название. Выглядит это следующим образом:
- внутренние накрест лежащие:∟4 и ∟6, ∟3 и ∟5;
- внутренние односторонние: ∟4 и ∟5, ∟3 и ∟6;
- соответствующие: ∟1 и ∟5, ∟2 и ∟6, ∟4 и ∟8, ∟3 и ∟7.
В том случае, когда секущая пересекает две прямые, все эти пары углов имеют определённые свойства:
- Внутренние накрест лежащие и соответственные фигуры между собой равны.
- Внутренние односторонние элементы в сумме дают 180 градусов.
Изучаем углы в геометрии, их свойства
Виды углов в математике
Вывод
В этой статье представлены все основные виды углов, которые встречаются в планиметрии и изучаются в седьмом классе. Во всех последующих курсах свойства, касающихся всех рассмотренных элементов, являются основой для дальнейшего изучения геометрии. К примеру, изучая , необходимо будет вспомнить все свойства углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей. При изучении особенностей треугольников, необходимо вспомнить, что такое смежные углы. Перейдя в стереометрию, все объёмные фигуры будут изучаться и строиться, опираясь на планиметрические фигуры.
