Пусть задана система линейных алгебраических уравнений, которую необходимо решить (найти такие значения неизвестных хi, что обращают каждое уравнение системы в равенство).
Мы знаем, что система линейных алгебраических уравнений может:
1) Не иметь решений (бытьнесовместной
).
2) Иметь бесконечно много решений.
3) Иметь единственное решение.
Как мы помним,правило Крамера и матричный методнепригодны в тех случаях, когда система имеет бесконечно много решений или несовместна. Метод Гаусса – наиболее мощный и универсальный инструмент для нахождения решения любой системы линейных уравнений , который в каждом случае приведет нас к ответу! Сам алгоритм метода во всех трёх случаях работает одинаково. Если в методах Крамера и матричном необходимы знания определителей, то для применения метода Гаусса необходимо знание только арифметических действий, что делает его доступным даже для школьников начальных классов.
Преобразования расширенной матрицы (это матрица системы - матрица, составленная только из коэффициентов при неизвестных, плюс столбец свободных членов) системы линейных алгебраических уравнений в методе Гаусса:
1) с троки матрицыможно переставлять местами.
2) если в матрице появились (или есть) пропорциональные (как частный случай – одинаковые) строки, то следуетудалить из матрицы все эти строки кроме одной.
3) если в матрице в ходе преобразований появилась нулевая строка, то ее также следует удалить .
4) строку матрицы можноумножить (разделить) на любое число,отличное от нуля.
5) к строке матрицы можноприбавить другую строку, умноженную на число , отличное от нуля.
В методе Гаусса элементарные преобразования не меняют решение системы уравнений.
Метод Гаусса состоит из двух этапов:
- «Прямой ход» - с помощью элементарных преобразований привести расширенную матрицу системы линейных алгебраических уравнений к «треугольному» ступенчатому виду: элементы расширенной матрицы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю (ход «сверху-вниз»). Например, к такому виду:
Для этого выполним следующие действия:
1) Пусть мы рассматриваем первое уравнение системы линейных алгебраических уравнений и коэффициент при х 1 равен К. Второе, третье и т.д. уравнения преобразуем следующим образом: каждое уравнение (коэффициенты при неизвестных, включая свободные члены) делим на коэффициент при неизвестном х 1 , стоящий в каждом уравнении, и умножаем на К. После этого из второго уравнения (коэффициенты при неизвестных и свободные члены) вычитаем первое. Получаем при х 1 во втором уравнении коэффициент 0. Из третьего преобразованного уравнения вычитаем первое уравнение, так до тех пор, пока все уравнения, кроме первого, при неизвестном х 1 не будут иметь коэффициент 0.
2) Переходим к следующему уравнению. Пусть это будет второе уравнение и коэффициент при х 2 равен М. Со всеми «нижестоящими» уравнениями поступаем так, как описано выше. Таким образом, «под» неизвестной х 2 во всех уравнениях будут нули.
3) Переходим к следующему уравнению и так до тех пора, пока не останется одна последняя неизвестная и преобразованный свободный член.
- «Обратный ход» метода Гаусса – получение решения системы линейных алгебраических уравнений (ход «снизу-вверх»). Из последнего «нижнего» уравнения получаем одно первое решение – неизвестную х n . Для этого решаем элементарное уравнение А*х n = В. В примере, приведенном выше, х 3 = 4. Подставляем найденное значение в «верхнее» следующее уравнение и решаем его относительно следующей неизвестной. Например, х 2 – 4 = 1, т.е. х 2 = 5. И так до тех пор, пока не найдем все неизвестные.
Пример.
Решим систему линейных уравнений методом Гаусса, как советуют некоторые авторы:
Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:
Смотрим на левую верхнюю «ступеньку». Там у нас должна быть единица. Проблема состоит в том, что в первом столбце единиц нет вообще, поэтому перестановкой строк ничего не решить. В таких случаях единицу нужно организовать с помощью элементарного преобразования. Обычно это можно сделать несколькими способами. Поступим так:
1 шаг
. К первой строке прибавляем вторую строку, умноженную на –1. То есть, мысленно умножили вторую строку на –1 и выполнили сложение первой и второй строки, при этом вторая строка у нас не изменилась.
Теперь слева вверху «минус один», что нас вполне устроит. Кто хочет получить +1, может выполнить дополнительное действие: умножить первую строку на –1 (сменить у неё знак).
2 шаг . Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на 5. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 3.
3 шаг . Первую строку умножили на –1, в принципе, это для красоты. У третьей строки также сменили знак и переставили её на второе место, таким образом, на второй «ступеньке у нас появилась нужная единица.
4 шаг . К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 2.
5 шаг . Третью строку разделили на 3.
Признаком, который свидетельствует об ошибке в вычислениях (реже – об опечатке), является «плохая» нижняя строка. То есть, если бы у нас внизу получилось что-нибудь вроде (0 0 11 |23) , и, соответственно, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, то с большой долей вероятности можно утверждать, что допущена ошибка в ходе элементарных преобразований.
Выполняем обратный ход, в оформлении примеров часто не переписывают саму систему, а уравнения «берут прямо из приведенной матрицы». Обратный ход, напоминаю, работает «снизу вверх». В данном примере получился подарок:
x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, следовательно x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1
Ответ :x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.
Решим эту же систему по предложенному алгоритму. Получаем
4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0
Разделим второе уравнение на 5, а третье – на 3. Получим:
4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0
Умножим второе и третье уравнения на 4, получим:
4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0
Вычтем из второго и третьего уравнений первое уравнение, имеем:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1
Разделим третье уравнение на 0,64:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625
Умножим третье уравнение на 0,4
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625
Вычтем из третьего уравнения второе, получим «ступенчатую» расширенную матрицу:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225
Таким образом, так как в процессе вычислений накапливалась погрешность, получаем х 3 = 0,96 или приблизительно 1.
х 2 = 3 и х 1 = –1.
Решая таким образом, Вы никогда не запутаетесь в вычислениях и не смотря на погрешности вычислений, получите результат.
Такой способ решения системы линейных алгебраических уравнений легко программируем и не учитывает специфические особенности коэффициентов при неизвестных, ведь на практике (в экономических и технических расчетах) приходиться иметь дело именно с нецелыми коэффициентами.
Желаю успехов! До встречи на занятиях! Репетитор Дмитрий Айстраханов .
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
Пусть нам требуется найти решение системы из n
линейных уравнений с n
неизвестными переменными
определитель основной матрицы которой отличен от нуля.
Суть метода Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных переменных: сначала исключается x 1 из всех уравнений системы, начиная со второго, далее исключается x 2 из всех уравнений, начиная с третьего, и так далее, пока в последнем уравнении останется только неизвестная переменная x n . Такой процесс преобразования уравнений системы для последовательного исключения неизвестных переменных называется прямым ходом метода Гаусса . После завершения прямого хода метода Гаусса из последнего уравнения находитсяx n , с помощью этого значения из предпоследнего уравнения вычисляется x n-1 , и так далее, из первого уравнения находится x 1 . Процесс вычисления неизвестных переменных при движении от последнего уравнения системы к первому называется обратным ходом метода Гаусса .
Кратко опишем алгоритм исключения неизвестных переменных.
Будем считать, что , так как мы всегда можем этого добиться перестановкой местами уравнений системы. Исключим неизвестную переменную x 1
из всех уравнений системы, начиная со второго. Для этого ко второму уравнению системы прибавим первое, умноженное на , к третьему уравнению прибавим первое, умноженное на , и так далее, к n-ому
уравнению прибавим первое, умноженное на . Система уравнений после таких преобразований примет вид
где , а .
К такому же результату мы бы пришли, если бы выразили x 1 через другие неизвестные переменные в первом уравнении системы и полученное выражение подставили во все остальные уравнения. Таким образом, переменная x 1 исключена из всех уравнений, начиная со второго.
Для этого к третьему уравнению системы прибавим второе, умноженное на , к четвертому уравнению прибавим второе, умноженное на , и так далее, к n-ому
уравнению прибавим второе, умноженное на . Система уравнений после таких преобразований примет вид
где , а . Таким образом, переменная x 2
исключена из всех уравнений, начиная с третьего.
Так продолжаем прямой ход метода Гаусса пока система не примет вид
С этого момента начинаем обратный ход метода Гаусса: вычисляем x n из последнего уравнения как , с помощью полученного значения x n находим x n-1 из предпоследнего уравнения, и так далее, находим x 1 из первого уравнения.
Пример.
Решите систему линейных уравнений методом Гаусса. .
Ответ:
x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1 .
Пусть дана система , ∆≠0. (1)Метод Гаусса – это метод последовательного исключения неизвестных.
Суть метода Гаусса состоит в преобразовании (1) к системе с треугольной матрицей , из которой затем последовательно (обратным ходом) получаются значения всех неизвестных. Рассмотрим одну из вычислительных схем. Эта схема называется схемой единственного деления. Итак, рассмотрим эту схему. Пусть a 11 ≠0 (ведущий элемент) разделим на a 11 первое уравнение. Получим
x 1 +a (1) 12 ·x 2 +...+a (1) 1n ·x n =b (1) 1 (2)
Пользуясь уравнением (2), легко исключить неизвестные x 1 из остальных уравнений системы (для этого достаточно из каждого уравнения вычесть уравнение (2) предварительно умноженное на соответствующий коэффициент при x 1), то есть на первом шаге получим
.
Иными словами, на 1 шаге каждый элемент последующих строк, начиная со второй, равен разности между исходным элементом и произведением его «проекции» на первый столбец и первую (преобразованную) строку.
Вслед за этим оставив первое уравнение в покое, над остальными уравнениями системы, полученной на первом шаге, совершим аналогичное преобразование: выберем из их числа уравнение с ведущим элементом и исключим с его помощью из остальных уравнений x 2 (шаг 2).
После n шагов вместо (1) получим равносильную систему
(3)
Таким образом, на первом этапе мы получим треугольную систему (3). Этот этап называется прямым ходом.
На втором этапе (обратный ход) мы находим последовательно из (3) значения x n , x n -1 , …, x 1 .
Обозначим полученное решение за x 0 . Тогда разность ε=b-A·x 0 называется невязкой
.
Если ε=0, то найденное решение x 0 является верным.
Вычисления по методу Гаусса выполняются в два этапа:
- Первый этап называется прямым ходом метода. На первом этапе исходную систему преобразуют к треугольному виду.
- Второй этап называется обратным ходом. На втором этапе решают треугольную систему, эквивалентную исходной.
На каждом шаге предполагалось, что ведущий элемент отличен от нуля. Если это не так, то в качестве ведущего можно использовать любой другой элемент, как бы переставив уравнения системы.
Назначение метода Гаусса
Метод Гаусса предназначен для решения систем линейных уравнений. Относится к прямым методам решения.Виды метода Гаусса
- Классический метод Гаусса;
- Модификации метода Гаусса. Одной из модификаций метода Гаусса является схема с выбором главного элемента. Особенностью метода Гаусса с выбором главного элемента является такая перестановка уравнений, чтобы на k -ом шаге ведущим элементом оказывался наибольший по модулю элемент k -го столбца.
- Метод Жордано-Гаусса;
Проиллюстрируем отличие метода Жордано-Гаусса от метода Гаусса на примерах.
Пример решения методом Гаусса
Решим систему:
Умножим 2-ую строку на (2). Добавим 3-ую строку к 2-ой
Из 1-ой строки выражаем x 3:
Из 2-ой строки выражаем x 2:
Из 3-ой строки выражаем x 1: 
Пример решения методом Жордано-Гаусса
Эту же СЛАУ решим методом Жордано-Гаусса.
Последовательно будем выбирать разрешающий элемент РЭ, который лежит на главной диагонали матрицы.
Разрешающий элемент равен (1).
НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ
РЭ - разрешающий элемент (1), А и В - элементы матрицы, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:
| x 1 | x 2 | x 3 | B |
| 1 / 1 = 1 | 2 / 1 = 2 | -2 / 1 = -2 | 1 / 1 = 1 |
 |  |  |  |
Разрешающий элемент равен (3).
На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.
Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.
Для этого выбираем четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.
| x 1 | x 2 | x 3 | B |
 |  |
||
| 0 / 3 = 0 | 3 / 3 = 1 | 1 / 3 = 0.33 | 4 / 3 = 1.33 |
 |
Разрешающий элемент равен (-4).
На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.
Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.
Для этого выбираем четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:
| x 1 | x 2 | x 3 | B |
 |  |  |  |
 |  |
||
| 0 / -4 = 0 | 0 / -4 = 0 | -4 / -4 = 1 | -4 / -4 = 1 |
Ответ : x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1
Реализация метода Гаусса
Метод Гаусса реализован на многих языках программирования, в частности: Pascal, C++, php, Delphi , а также имеется реализация метода Гаусса в онлайн режиме .Использование метода Гаусса
Применение метода Гаусса в теории игр
В теории игр при отыскании максиминной оптимальной стратегии игрока составляется система уравнений, которая решается методом Гаусса.Применение метода Гаусса при решении дифференциальных уравнений
Для поиска частного решения дифференциального уравнения сначала находят производные соответствующей степени для записанного частного решения (y=f(A,B,C,D)), которые подставляют в исходное уравнение. Далее, чтобы найти переменные A,B,C,D составляется система уравнений, которая решается методом Гаусса.Применение метода Жордано-Гаусса в линейном программировании
В линейном программировании, в частности в симплекс-методе для преобразования симплексной таблицы на каждой итерации используется правило прямоугольника, в котором используется метод Жордано-Гаусса.Примеры
Пример №1 . Решить систему методом Гаусса:x 1 +2x 2 - 3x 3 + x 4 = -2
x 1 +2x 2 - x 3 + 2x 4 = 1
3x 1 -x 2 + 2x 3 + x 4 = 3
3x 1 +x 2 + x 3 + 3x 4 = 2
Для удобства вычислений поменяем строки местами:
Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой
Для удобства вычислений поменяем строки местами:
Из 1-ой строки выражаем x 4
Из 2-ой строки выражаем x 3
Из 3-ой строки выражаем x 2
Из 4-ой строки выражаем x 1
Пример №3 .
- Решить СЛАУ методом Жордано-Гаусса. Запишем систему в виде:
Разрешающий элемент равен (2.2). На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули. Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.
x 1 = 1.00, x 2 = 1.00, x 3 = 1.00
Example1 - Систему линейных уравнений решить методом Гаусса
ПримерПосмотрите, как быстро можно определить, является ли система совместной
- Применяя метод Гаусса исключения неизвестных, решить систему линейных уравнений. Сделать проверку найденного решения: Решение
- Решить систему уравнений методом Гаусса. Рекомендуется преобразования, связанные с последовательным исключением неизвестных, применять к расширенной матрице данной системы. Сделать проверку полученного решения.
Решение :xls - Решить систему линейных уравнений тремя способами: а) методом Гаусса последовательных исключений неизвестных; б) по формуле x = A -1 b с вычислением обратной матрицы A -1 ; в) по формулам Крамера.
Решение :xls - Решить методом Гаусса следующую вырожденную систему уравнений.
Скачать решение doc - Решите методом Гаусса систему линейных уравнений записанную в матричной форме:
7 8 -3 x 92
2 2 2 y = 30
-9 -10 5 z -114
Решение системы уравнений методом сложения
Решите 6x+5y=3, 3x+3y=4 систему уравнений методом сложения.Решение.
6x+5y=3
3x+3y=4
Умножим второе уравнение на (-2).
6x+5y=3
-6x-6y=-8
============ (складываем)
-y=-5
Откуда y = 5
Находим x:
6x+5*5=3 или 6x=-22
Откуда x = -22/6 = -11/3
Пример №2
. Решение СЛАУ в матричной форме означает, что исходную запись системы необходимо привести к матричной (так называемая расширенная матрица). Покажем это на примере.
Запишем систему в виде расширенной матрицы:
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3 = -21/(-21) = 1
x 2 = /15
x 1 = /3
Из 2-ой строки выражаем x 2:
Из 3-ой строки выражаем x 1:
Пример №3
. Решить систему методом Гаусса:
x 1 +2x 2 - 3x 3 + x 4 = -2
x 1 +2x 2 - x 3 + 2x 4 = 1
3x 1 -x 2 + 2x 3 + x 4 = 3
3x 1 +x 2 + x 3 + 3x 4 = 2
Решение:
Запишем систему в виде:
Для удобства вычислений поменяем строки местами:
Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой
Умножим 2-ую строку на (3). Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой
Умножим 4-ую строку на (-1). Добавим 4-ую строку к 3-ой
Для удобства вычислений поменяем строки местами:
Умножим 1-ую строку на (0). Добавим 2-ую строку к 1-ой
Умножим 2-ую строку на (7). Умножим 3-ую строку на (2). Добавим 3-ую строку к 2-ой
Умножим 1-ую строку на (15). Умножим 2-ую строку на (2). Добавим 2-ую строку к 1-ой
Из 1-ой строки выражаем x 4
Из 2-ой строки выражаем x 3
Из 3-ой строки выражаем x 2
Из 4-ой строки выражаем x 1
КОСТРОМСКОЙ ФИЛИАЛ ВОЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА РХБ ЗАЩИТЫ
Кафедра «Автоматизации управления войсками»
Только для преподавателей
"Утверждаю"
Начальник кафедры № 9
полковник ЯКОВЛЕВ А.Б.
«____»______________ 2004 г.
доцент СМИРНОВА А.И.
"МАТРИЦЫ. МЕТОД ГАУССА"
ЛЕКЦИЯ № 2 / 3
Обсуждено на заседании кафедры № 9
«____»___________ 2003г.
Протокол № ___________
Кострома, 2003
C одержание
Введение
1. Действия над матрицами.
2. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
Заключение
Литература
1. В.Е. Шнейдер и др., Краткий курс высшей математики,том I, гл.2,§6, 7.
2. В.С. Щипачев, Высшая математика, гл. 10, § 1, 7.
ВВЕДЕНИЕ
На лекции рассматривается понятие матрицы, действия над над матрицами, а также метод Гаусса для решения систем линейных уравнений. Для частного случая, так называемых квадратных матриц, можно вычислять определители, понятие о которых рассмотрено на предыдущей лекции. Метод Гаусса является более общим, чем рассмотренный ранее метод Крамера решения линейных систем. Разбираемые на лекции вопросы используются в различных разделах математики и в прикладных вопросах.
1-ый учебный вопрос ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Прямоугольная таблица из m , n чисел, содержащая m – строк и n – столбцов, вида:
называется матрицей размера m ´ n
Числа, из которых составлена матрица, называются элементами матрицы.
Положение элемента а i j в матрице характеризуются двойным индексом:
первый i – номер строки;
второй j – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент.
Сокращенно матрицы обозначают заглавными буквами: А, В, С…
Коротко можно записывать так:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, т.е. m = n , называется квадратной.
Число строк (столбцов) квадратной матрицы называется порядком матрицы.
ПРИМЕР.
ЗАМЕЧАНИЕ 1. Мы будем рассматривать матрицы, элементами которых являются числа. В математике и ее приложениях встречаются матрицы, элементами которых являются другие объекты, например, функции, векторы.
ЗАМЕЧАНИЕ 2. Матрица – специальное математическое понятие. С помощью матриц удобно записывать различные преобразования, линейные системы и т.д., поэтому матрицы часто встречаются в математической и технической литературе.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Матрица размера 1 ´ n , состоящая из одной строки, называется матрицей – строкой.
Матрица размера т ´ 1, состоящая из одного столбца, называется матрицей – столбцом.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Нулевой матрицей называют матрицу, все элементы которой равны нулю.
Рассмотрим квадратную матрицу порядка n :
побочная диагональглавная диагональ
Диагональ квадратной матрицы, идущая от верхнего левого элемента таблицы к правому нижнему, называется главной диагональю матрицы (на главной диагонали стоят элементы вида а i i ).
Диагональ, идущая от правого верхнего элемента к левому нижнему, называется побочной диагональю матрицы .
Рассмотрим некоторые частные виды квадратных матриц.
1) Квадратная матрица называется диагональной , если все элементы, не стоящие на главной диагонали, равны нулю.
2) Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице, называется единичной . Обозначается:
3) Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю:
верхняя нижняя
треугольная матрица треугольная матрица
Для квадратной матрицы вводится понятие: определитель матрицы . Это определитель, составленный из элементов матрицы. Обозначается:
Ясно, что определитель единичной матрицы равен 1: ½Е ½ = 1
ЗАМЕЧАНИЕ. Неквадратная матрица определителя не имеет.
Если определитель квадратичной матрицы отличен от нуля, то матрица называется невырожденной , если определитель равен нулю, то матрица называется вырожденной.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Матрица, полученная из данной заменой ее строк столбцами с теми же номерами, называется транспонированной к данной.
Матрицу, транспонированную к А , обозначают А Т .
ПРИМЕР.
3 3 2ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Две матрицы одного и того же размера называются равными, если равны все их соответственные элементы.
Рассмотрим действия над матрицами.
СЛОЖЕНИЕ МАТРИЦ.
Операция сложения вводится только для матриц одинакового размера.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Суммой двух матриц А = (а i j ) и В = ( b i j ) одинакового размера называется матрица С = (с i j ) того же размера, элементы которой равны суммам соответствующих элементов слагаемых матриц, т.е. с i j = a i j + b i j
Обозначается сумма матриц А + В.
ПРИМЕР.
УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ НА ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8. Чтобы умножить матрицу на число k , надо умножить на это число каждый элемент матрицы :
если А= (а i j ), то k · A = (k · a i j )
ПРИМЕР.
СВОЙСТВА СЛОЖЕНИЯ МАТРИЦ И УМНОЖЕНИЯ НА ЧИСЛО
1. Переместительное свойство: А + В = В + А
2. Сочетательное свойство: (А + В) + С = А + (В + С)
3. Распределительное свойство: k · (A + B ) = k A + k B , где k – число
УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ
Матрицу А назовем с о г л а с о в а н н о й с матрицей В , если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В , т.е. для согласованных матриц матрица А имеет размер m ´ n , матрица В имеет размер n ´ k . Квадратные матрицы согласованы, если они одного порядка.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9. Произведением матрицы А размера m ´ n на матрицу В размера n ´ k называется матрица С размера m ´ k , элемент которой а i j , расположенный в i –ой строке и j – ом столбце, равен сумме произведений элементов i – ой строки матрицы А на соответствующие элементы j – столбца матрицы В, т.е.
c i j = a i 1 b 1 j + a i 2 b 2 j +……+ a i n b n j
Обозначим: С = А · В.
тоПроизведение В ´ А не имеет смысла, т.к. матрицы
не согласованы.ЗАМЕЧАНИЕ 1. Если А ´ В имеет смысл, то В ´ А может не иметь смысла.
ЗАМЕЧАНИЕ 2. Если имеет смысл А ´ В и В ´ А , то, вообще говоря
А ´ В ¹ В ´ А , т.е. умножение матриц не обладает переместительным законом.
ЗАМЕЧАНИЕ 3. Если А – квадратная матрица и Е – единичная матрица того же порядка, то А ´ Е = Е ´ А = А .
Отсюда следует, что единичная матрица при умножении играет роль единицы.
ПРИМЕРЫ . Найти, если можно, А ´ В и В ´ А .
Решение : Квадратные матрицы одного и того же второго порядка согласованы в томи другом порядке, поэтому А ´ В и В ´ А существуют.
Сегодня разбираемся с методом Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений. О том, что это за системы, можно почитать в предыдущей статье, посвященной решению тех же СЛАУ методом Крамера. Метод Гаусса не требует каких-то специфических знаний, нужна лишь внимательность и последовательность. Несмотря на то что с точки зрения математики для его применения хватит и школьной подготовки, у студентов освоение этого метода часто вызывает сложности. В этой статье попробуем свести их на нет!
Метод Гаусса
Метод Гаусса – наиболее универсальный метод решения СЛАУ (за исключением ну уж очень больших систем). В отличие от рассмотренного ранее метода Крамера , он подходит не только для систем, имеющих единственное решение, но и для систем, у которых решений бесконечное множество. Здесь возможны три варианта.
- Система имеет единственное решение (определитель главной матрицы системы не равен нулю);
- Система имеет бесконечное множество решений;
- Решений нет, система несовместна.
Итак, у нас есть система (пусть у нее будет одно решение), и мы собираемся решать ее методом Гаусса. Как это работает?
Метод Гаусса состоит из двух этапов – прямого и обратного.
Прямой ход метода Гаусса
Сначала запишем расширенную матрицу системы. Для этого в главную матрицу добавляем столбец свободных членов.
Вся суть метода Гаусса заключается в том, чтобы путем элементарных преобразований привести данную матрицу к ступенчатому (или как еще говорят треугольному) виду. В таком виде под (или над) главной диагональю матрицы должны быть одни нули.
Что можно делать:
- Можно переставлять строки матрицы местами;
- Если в матрице есть одинаковые (или пропорциональные) строки, можно удалить их все, кроме одной;
- Можно умножать или делить строку на любое число (кроме нуля);
- Нулевые строки удаляются;
- Можно прибавлять к строке строку, умноженную на число, отличное от нуля.
Обратный ход метода Гаусса
После того как мы преобразуем систему таким образом, одна неизвестная Xn становится известна, и можно в обратном порядке найти все оставшиеся неизвестные, подставляя уже известные иксы в уравнения системы, вплоть до первого.
Когда интернет всегда под рукой, можно решить систему уравнений методом Гаусса онлайн . Достаточно лишь вбить в онлайн-калькулятор коэффициенты. Но согласитесь, гораздо приятнее осознавать, что пример решен не компьютерной программой, а Вашим собственным мозгом.
Пример решения системы уравнений методом Гаусс
А теперь - пример, чтобы все стало наглядно и понятно. Пусть дана система линейных уравнений, и нужно решить ее методом Гаусса:
Сначала запишем расширенную матрицу:
Теперь займемся преобразованиями. Помним, что нам нужно добиться треугольного вида матрицы. Умножим 1-ую строку на (3). Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой и получим:
Затем умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
Умножим 1-ую строку на (6). Умножим 2-ую строку на (13). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
Вуаля - система приведена к соответствующему виду. Осталось найти неизвестные:
Система в данном примере имеет единственное решение. Решение систем с бесконечным множеством решений мы рассмотрим в отдельной статье. Возможно, сначала Вы не будете знать, с чего начать преобразования матрицы, но после соответствующей практики набьете руку и будете щелкать СЛАУ методом Гаусса как орешки. А если Вы вдруг столкнетесь со СЛАУ, которая окажется слишком крепким орешком, обращайтесь к нашим авторам! Заказать недорого реферат вы можете, оставив заявку в Заочнике. Вместе мы решим любую задачу!
