Сила вязкого сопротивления. Изучение сил вязкого трения

1. Внутреннее трение (вязкость) жидкости. Уравнение Ньютона.

2. Ньютоновские и неньютоновские жидкости. Кровь.

3. Ламинарное и турбулентное течения, число Рейнольдса.

4. Формула Пуазейля, гидравлическое сопротивление.

5. Распределение давления при течении реальной жидкости по трубам различного сечения.

6. Методы определения вязкости жидкостей.

7. Влияние вязкости на некоторые медицинские процедуры. Ламинарность и турбулентность газового потока при наркозе. Введение жидкостей через капельницу и шприц. Риноманометрия. Фотогемотерапия.

8. Основные понятия и формулы.

9. Задачи.

Гидродинамика - раздел физики, в котором изучают вопросы движения несжимаемых жидкостей и их взаимодействие с окружающими телами.

8.1. Внутреннее трение (вязкость) жидкости. Уравнение Ньютона

В реальной жидкости вследствие взаимного притяжения и теплового движения молекул имеет место внутреннее трение, или вязкость. Рассмотрим это явление на следующем опыте (рис. 8.1).

Рис. 8.1. Течение вязкой жидкости между пластинами

Поместим слой жидкости между двумя параллельными твердыми пластинами. «Нижняя» пластина закреплена. Если двигать «верхнюю» пластину с постоянной скоростью v 1 , то c такой же скоростью будет двигаться самый «верхний» 1-й слой жидкости, который считаем «прилипшим» к верхней пластине. Этот слой влияет на нижележащий непосредственно под ним 2-й слой, заставляя его двигаться со скоростью v 2 , причем v 2 < v 1 . Каждый слой (выделим n слоев) передает движение нижележащему слою с меньшей скоростью. Слой, непосредственно «прилипший» к «нижней» пластине, остается неподвижным.

Слои взаимодействуют друг с другом: n-й слой ускоряет (п+1)-й слой, но замедляет (п-1)-й слой. Таким образом, наблюдается изменение скорости течения жидкости в направлении, перпендикулярном поверхности слоя (ось х). Такое изменение характеризуют производной dv/dx, которую называют градиентом скорости.

Силы, действующие между слоями и направленные по касательной к поверхности слоев, называются силами внутреннего трения или вязкости. Эти силы пропорциональны площади взаимодействующих слоев S и градиенту скорости. Для многих жидкостей силы внутреннего трения подчиняются уравнению Ньютона:

Коэффициент пропорциональности η называют коэффициентом внутреннего трения или динамической вязкостью (размерность η в СИ: Пас).

8.2. Ньютоновские и неньютоновские жидкости.

Кровь

Ньютоновская жидкость

Жидкость, которая подчиняется уравнению Ньютона (8.1), называют ньютоновской. Коэффициент внутреннего трения ньютоновской жидкости зависит от ее строения, температуры и давления, но не зависит от градиента скорости.

Ньютоновская жидкость - жидкость, вязкость которой не зависит от градиента скорости.

Свойствами ньютоновской жидкости обладают большинство жидкостей (вода, растворы, низкомолекулярные органические жидкости) и все газы.

Вязкость определяется с помощью специальных приборов - вискозиметров. Значения коэффициента вязкости η для некоторых жидкостей представлены в таблице.

Значение вязкости крови, представленное в таблице, относится к здоровому человеку в спокойном состоянии. При тяжелой физической работе вязкость крови увеличивается. На величину вязкости крови влияют и некоторые заболевания. Так, при сахарном диабете вязкость крови увеличивается до 23?10 -3 Пас, а при туберкулезе уменьшается до 1*10 -3 Пас. Вязкость сказывается на таком клиническом параметре, как скорость оседания эритроцитов (СОЭ).

Неньютоновская жидкость

Неньютоновская жидкость - жидкость, вязкость которой зависит от градиента скорости.

Свойствами неньютоновской жидкости обладают структурированные дисперсные системы (суспензии, эмульсии), растворы и расплавы некоторых полимеров, многие органические жидкости и др.

При прочих равных условиях вязкость таких жидкостей значительно больше, чем у ньютоновских жидкостей. Это связано с тем, что благодаря сцеплению молекул или частиц в неньютоновской жидкости образуются пространственные структуры, на разрушение которых затрачивается дополнительная энергия.

Кровь

Цельная кровь (суспензия эритроцитов в белковом растворе - плазме) является неньютоновской жидкостью вследствие агрегации эритроцитов.

Эритроцит в норме имеет форму двояковогнутого диска диаметром около 8 мкм. Он может существенно менять свою форму, например при различной осмолярности среды (рис. 8.2).

В неподвижной крови эритроциты агрегируют, образуя так называемые «монетные столбики», состоящие из 6-8 эритроцитов. Электронно-микроскопическое исследование тончайших срезов монетных столбиков выявило параллельность поверхностей прилежащих эритроцитов и постоянное межэритроцитарное расстояние при агрегации (рис. 8.3).

На рисунке 8.4 показана (зарисовка) агрегация цельной крови во влажных мазках, которая представляет собой большие конгломераты, состоящие из многих монетных столбиков. При перемешивании крови агрегаты разрушаются, а после прекращения перемешивания вновь восстанавливаются.

При протекании крови по капиллярам агрегаты эритроцитов распадаются и вязкость падает.

Вживление специальных прозрачных окошек в кожные складки позволило сфотографировать течение крови в капиллярах. На рисунке 8.5, выполненном по такой фотографии, отчетливо видна деформация кровяных клеток.

Рис. 8.2. Усредненное поперечное сечение эритроцита при различной осмолярности среды

Рис. 8.3. Схема электроннограммы агрегата из нормальных эритроцитов

Рис. 8.4. Агрегация цельной крови

Рис. 8.5. Деформация эритроцитов в капиллярах

Деформируясь, эритроциты могут продвигаться один за другим в капиллярах диаметром всего 3 мкм. Именно в таких тонких капиллярных сосудах и происходит газообмен между кровью и тканями.

Вблизи стенки капилляра образуется очень тонкий слой плазмы, который играет роль смазки. Благодаря этому сопротивление движению эритроцитов уменьшается.

8.3. Ламинарное и турбулентное течения, число Рейнольдса

В жидкости течение может быть ламинарным или турбулентным. На рисунке 8.6 это показано для одной окрашенной струи жидкости, текущей в другой.

В случае (а) струя окрашенной жидкости сохраняет неизменную форму и не смешивается с остальной жидкостью. В случае (б) окрашенная струя разрывается случайными завихрениями, картина которых меняется с течением времени. К турбулентному течению понятие «трубка тока» неприменимо.

Рис. 8.6. Ламинарное (а) и турбулентное (б) течения струи жидкости

Ламинарное (слоистое) течение - такое течение, при котором слои жидкости текут, не перемешиваясь, скользя друг относительно друга. Ламинарное течение является стационарным - скорость течения в каждой точке пространства остается постоянной.

Рассмотрим ламинарное течение ньютоновской жидкости в трубе радиуса R и длины L, давления на концах которой постоянны (Р 1 и Р 2). Выделим цилиндрическую трубку тока радиуса r (рис. 8.7).

На жидкость внутри этой трубки действуют сила давления F д = πг 2 (Р 1 - Р 2) и сила вязкого трения F тр = 2πrLηdv/dr (2πrL - пло-

Рис. 8.7. Трубка тока и действующая на нее сила трения

щадь боковой поверхности). Так как течение стационарное, сумма этих сил равна нулю:

В соответствии с приведенным выражением имеет место параболическая зависимость скорости v слоев жидкости от расстояния от них до оси трубы r (огибающая всех векторов скорости есть парабола) (рис. 8.8).

Наибольшую скорость имеет слой, текущий вдоль оси трубы (r = 0), слой, «прилипший» к стенке (r = R), неподвижен.

Рис. 8.8. Скорости слоев текущей через трубку жидкости распределены по параболе

Турбулентное (вихревое) течение - такое течение, при котором скорости частиц жидкости в каждой точке беспорядочно меняются. Такое движение сопровождается появлением звука. Турбулентное течение - это хаотическое, крайне нерегулярное, неупорядоченное течение жидкости. Элементы жидкости совершают движение по сложным неупорядоченным траекториям, что приводит к перемешиванию слоев и образованию местных завихрений.

Структура турбулентного течения представляет собой нестационарную совокупность очень большого числа малых вихрей, наложенных на основное «среднее течение».

При этом говорить о течении в ту или иную сторону можно только в среднем за какой-то промежуток времени.

Турбулентное течение связано с дополнительной затратой энергии при движении жидкости: часть энергии расходуется на беспорядочное движение, направление которого отличается от основного направления потока, что в случае крови приводит к дополнительной работе сердца. Шум, возникающий при турбулентном течении крови, может быть использован для диагностирования заболевания. Этот шум прослушивается, например, на плечевой артерии при измерении давления крови.

Турбулентное движение крови может возникнуть вследствие неравномерного сужения просвета сосуда (или локального выпирания). Турбулентное течение создает условия для оседания тромбоцитов и образования агрегатов. Этот процесс часто является пусковым

в формировании тромба. Кроме того, если тромб слабо связан со стенкой сосуда, то под действием резкого перепада давления вдоль него вследствие турбулентности он может начать двигаться.

Число Рейнольдса

Понятия ламинарности и турбулентности применимы как к течению жидкости по трубам, так и к обтеканию ею различных тел. В обоих случаях характер течения зависит от скорости течения, свойств жидкости и характерного линейного размера трубы или обтекаемого тела.

Английский физик и инженер Осборн Рейнольдс (1842-1912) составил безразмерную комбинацию, величина которой и определяет характер течения. Впоследствии эта комбинация была названа числом Рейнольдса (Re):

Число Рейнольдса используют при моделировании гидро- и аэродинамических систем, в частности кровеносной системы. Модель должна иметь такое же число Рейнольдса, как и сам объект, в противном случае соответствия между ними не будет.

Важным свойством турбулентного течения (по сравнению с ламинарным) является высокое сопротивление потоку. Если бы удалось «погасить» турбулентность, то удалось бы достичь огромной экономии мощности двигателей кораблей, подводных лодок, самолетов.

8.4. Формула Пуазейля, гидравлическое сопротивление

Рассмотрим, от каких факторов зависит объем жидкости, протекающей по горизонтальной трубе.

Формула Пуазейля

При ламинарном течении жидкости по трубе радиуса R и длины L объем Q жидкости, протекающей через горизонтальную трубу за одну секунду, можно вычислить следующим образом. Выделим тонкий цилиндрический слой радиуса r и толщины dr (рис. 8.9).

Рис. 8.9. Сечение трубы с выделенным слоем жидкости

Площадь его поперечного сечения равна dS = 2πrdr. Так как выделен тонкий слой, жидкость в нем перемещается с одинаковой скоростью v. За одну секунду слой перенесет объем жидкости

Подставив сюда формулу для скорости цилиндрического слоя жидкости (8.4), получим

Это соотношение справедливо для ламинарного течения ньютоновской жидкости.

Формулу Пуазейля можно записать в виде, справедливом для труб переменного сечения. Заменим выражение (Р 1 - Р 2)/L на градиент давления dP/d/, тогда получим

Как видно из (8.8), при заданных внешних условиях объем жидкости, протекающей по трубе, пропорционален четвертой степени ее радиуса. Это очень сильная зависимость. Так, например, если при атеросклерозе радиус сосудов уменьшится в 2 раза, то для поддержания нормального кровотока перепад давлений нужно увеличить в 16 раз, что практически невозможно. В результате возникает кислородное голодание соответствующих тканей. Этим объясняется возникновение «грудной жабы». Облегчения можно достичь, вводя лекарственное вещество, которое расслабляет мышцы артериальных стенок и позволяет увеличить просвет сосуда и, следовательно, поток крови.

Поток крови, проходящей через сосуды, регулируется специальными мышцами, окружающими сосуд. При их сокращении просвет сосуда уменьшается и соответственно убывает поток крови. Таким образом, незначительным сокращением этих мышц очень точно контролируется поступление крови в ткани.

В организме путем изменения радиуса сосудов (сужения или расширения) за счет изменения объемной скорости кровотока регулируется кровоснабжение тканей, теплообмен с окружающей средой.

Причины движения крови по сосудам

Главная движущая сила кровотока - разность давлений в начале и в конце сосудистой системы: в большом круге кровообращения - разность давлений в аорте и правом предсердии, в малом круге - в легочной артерии и левом предсердии.

Дополнителные факторы, способствующие движению крови по венам в сторону сердца:

1) полулунные клапаны вен конечностей, которые открываются под напором крови только в сторону сердца;

2) присасывающее действие грудной клетки, связанное с отрицательным давлением в ней при вдохе;

3) сокращение мышц конечностей, например, при хотьбе. При этом происходит надавливание на стенки вен, и кровь, благодаря клапанам и присасывающему действию грудной клетки при вдохе, выжимается в участки, расположенные ближе к сердцу.

Гидравлическое сопротивление

Проведем аналогию между формулой Пуазейля и формулой закона Ома для участка цепи тока: I = ΔU /R. Для этого перепишем формулу (8.8) в следующем виде: Q = (P 1 - Р 2)/. Если сравнить эту формулу с законом Ома для электрического тока, то объем жидкости, протекающей через сечение трубы за одну секунду, соответствует силе тока; разность давлений на концах трубы соответствует разности потенциалов; а величина 8ηL/(πR 4) соответствует электрическому сопротивлению. Ее называют гидравлическим сопротивлением:

Гидравлическое сопротивление трубы прямо пропорционально ее длине и обратно пропорционально четвертой степени радиуса.

Если изменением кинетической энергии жидкости на некотором участке можно пренебречь, то рассмотренная аналогия применима и к потоку переменного сечения:

гидравлическим сопротивлением участка называется отношение перепада давлений к объему жидкости, протекающему за 1 секунду:

Наличие гидравлического сопротивления связано с преодолением сил внутреннего трения.

Законы гидродинамики значительно сложнее законов постоянного тока, поэтому и законы соединения труб (кровеносных сосудов) сложнее законов соединения проводников. Так, например, места резкого сужения потока (даже при небольшой длине) обладают большим собственным гидравлическим сопротивлением. Этим и объясняется значительное увеличение гидравлического сопротивления кровеносного сосуда при образовании небольшой бляшки.

Наличие собственного сопротивления у мест резкого сужения потока необходимо учитывать при расчете сопротивления участка, состоящего

Рис. 8.10. Трубы, соединенные последовательно (а) и параллельно (б)

из труб различного диаметра. На рис. 8.10,а показано последовательное сопротивление трех труб. Места сужения обладают собственным сопротивлением Х 12 и Х 23 . Поэтому сопротивление участка равно

Электрический аналог (8.13) формулы для расчета гидродинамического сопротивления параллельного соединения (рис 8.10, б) также требует учета сопротивлений мест соединения труб.

8.5. Распределение давления при течении реальной жидкости по трубам различного сечения

При течении по горизонтальной трубе реальной жидкости работа внешних сил расходуется на преодоление внутреннего трения. Поэтому статическое давление вдоль трубы постепенно падает. Этот эффект может быть продемонстрирован на простом опыте. Установим в разных местах горизонтальной трубы, по которой течет вязкая жидкость, манометрические трубки (рис. 8.11).

Рис. 8.11. Падение давления вязкой жидкости в трубах различного сечения

Из рисунка видно, что при постоянном сечении трубы давление падает пропорционально длине. При этом скорость падения давления (dP/dl ) увеличивается при уменьшении сечения трубы. Это объясняется ростом гидравлического сопротивления при уменьшении радиуса.

В кровеносной системе человека на капилляры приходится до 70 % падения давления.

8.6. Методы определения вязкости жидкостей

Совокупность методов измерения вязкости жидкости называется вискозиметрией. Прибор для измерения вязкости называется вискозиметром. В зависимости от метода измерения вязкости используют следующие типы вискозиметров.

1. Капиллярный вискозиметр Оствальда основан на использовании формулы Пуазейля. Вязкость определяется по результату измерения времени протекания через капилляр жидкости известной массы под действием силы тяжести при определенном перепаде давлений.

2. Медицинский вискозиметр Гесса с двумя капиллярами, в которых движутся две жидкости (например, дистиллированная вода и кровь). Вязкость одной жидкости должна быть известна. Учитывая, что перемещение жидкостей за одно и то же время обратно пропорционально их вязкости, вычисляют вязкость второй жидкости.

3. Вискозиметр, основанный на методе Стокса, согласно которому при движении шарика радиуса R в жидкости с вязкостью η при небольшой скорости v сила сопротивления пропорциональна вязкости этой жидкости: F = 6πηRv (формула Стокса). Эритроциты перемещаются в вязкой жидкости - плазме крови. Так как эритроциты имеют дискообразную форму и оседают в вязкой жидкости, то скорость их оседания (СОЭ) можно определить приближенно по формуле Стокса. О скорости оседания судят по количеству плазмы над осевшими эритроцитами. В норме скорость оседания эритроцитов равна: 7-12 мм/ч для женщин и 3-9 мм/ч для мужчин.

4. Вискозиметр ротационный (рис. 8.12) состоит из двух коаксиальных (соосных) цилиндров. Радиус внутреннего цилиндра - R, радиус внешнего цилиндра - R+ΔR (ΔR << R). Пространство между цилин-

Рис. 8.12. Ротационный вискозиметр (сечения вдоль и перпендикулярно оси)

драми заполняют исследуемой жидкостью до некоторой высоты h. Затем внутренний цилиндр приводят во вращение, прикладывая определенный момент сил М, и измеряют установившуюся частоту вращения ν.

Вязкость жидкости вычисляют по формуле

Применяя ротационный вискозиметр, можно измерять вязкость при разных угловых скоростях вращения ротора. Данный метод позволяет установить зависимость между вязкостью и градиентом скорости, что важно для неньютоновских жидкостей.

8.7. Влияние вязкости на некоторые медицинские

процедуры

Наркоз

В некоторых медицинских мероприятиях используется наркоз. При этом необходимо по возможности уменьшить усилия, затрачиваемые больным на дыхание через эндотрахеальные и другие дыхательные трубки, посредством которых подается дыхательная смесь из аппаратов для наркоза (рис. 8.13).

Для обеспечения плавного газового потока используются плавно изогнутые соединительные трубки. Неровности внутренних стенок трубки, резкие изгибы и изменения внутреннего диаметра трубок

Рис. 8.13. Дыхание больного через эндотрахеальную трубку

Рис. 8.14. Возникновение турбулентности газового потока в трубке с резкими неоднородностями по сечению

и соединений часто являются причинами перехода ламинарного потока в турбулентный (рис. 8.14), что затрудняет процесс дыхания у больного.

На рисунке 8.15 приведен рентгеновский снимок головы больного, показывающий, что эндотрахеальная трубка перегнулась в глотке. В данном случае у больного обязательно возникнут затруднения дыхания.

Введение жидкостей через шприц и капельницу

Шприц - очень простой прибор (рис. 8.16), который используют для инъекций. И тем не менее при описании его работы часто допускается ошибка, связанная с нахождением перепада давлений (ΔР) на игле, которая приводит к неверному результату. Считают, что

Рис. 8.15. Рентгеновский снимок, на котором виден перегиб дыхательной трубки

Рис. 8.16. Работа шприца

ΔP = F/S, где F - сила, действующая на поршень, а S - его площадь. При этом исходят из следующих соображений: поршень движется медленно и динамическим давлением жидкости в цилиндре можно

пренебречь. Это неверно - на входе в иглу линии тока сгущаются и скорость движения жидкости резко возрастает.

Строгий расчет (см. задачу 8.12) приводит к следующему результату. Перепад давления на игле (ΔР) является решением квадратного уравнения

Значения всех величин подставляются в СИ.

Ниже приводятся результаты расчетов для двух игл длины 4 см, диаметры которых отличаются в 1,5 раза.

Из результатов, представленных в нижней таблице, видно, что АР вовсе не равно F/S! При этом увеличение диаметра иглы в 1,5 раза приводит к увеличению объемной скорости всего в 3,5 раза, а не в 5 раз (1,5 4 = 5,06), как этого можно было ожидать. Ламинарный характер течения имеет место в обоих случаях.

Другим прибором для внутривенного вливания является капельница (рис. 8.17), которая позволяет вводить жидкость самотеком за счет разности давлений, создаваемой при подъеме камеры с препаратом на определенную высоту (~60 см).

Формулы 8.14, 8.15 применимы и здесь, если заменить величину F/S на гидростатическое давление столба жидкости pgh. При этом S - площадь сечения трубки, а u - скорость движения жидкости в ней. Ниже приведены результаты расчетов для h = 60 см.

Полученные значения являются правильными, но не соответствуют тому, что происходит на самом деле. В данном случае получается завышенное значение для объемной скорости ввода препарата - 0,827 см 3 /с. Реальная скорость Q = 0,278 см 3 /с (из расчета 500 мл за 30 минут). Расхождение получается из-за того, что не учтено гидравлическое сопротивление, создаваемое устройством, пережимающим трубку.

Риноманометрия

Полноценное носовое дыхание является необходимой предпосылкой для нормальной функции слуховой трубы, которая во многом зависит от степени аэрации носоглотки и правильного прохождения воздушных потоков в полости носа. Причиной нарушения носового дыхания часто являются некоторые врожденные патологии, например расщелина верхней губы и неба. Часто при лечении этой патологии

Рис. 8.17. Введение препарата через капельницу

используются хирургические методы, например реконструктивная ринохейлопластика (ринопластика - операции восстановления носа). Для объективной характеристики результатов оперативного вмешательства используется риноманометрия - метод определения объема носового дыхания и сопротивления. Скорость воздушного потока характеризуется формулой Пуазейля, при этом учитывается градиент давления, обусловленный изменением давления в носоглоточном пространстве; диаметр и длина носовой полости; характеристики воздушного потока в носоглотке (ламинарность или турбулентность). Данный метод реализуется с помощью прибора - риноманометра, который позволяет регистрировать давление в одной половине носа, пока пациент дышит через другую. Это осуществляется с помощью катетера, который специально крепится в носу. Компьютерная схема риноманометра позволяет автоматически измерить общий объем и сопротивление воздуха на вдохе и выдохе, раздельно проанализировать поток и сопротивление воздуха в каждой половине носа и рассчитать их соотношение. Это позволяет определить носовое дыхание до и после операции и оценить степень восстановления носового дыхания.

Фотогемотерапия

При заболеваниях, сопровождающихся повышением вязкости крови, для уменьшения вязкости крови применяется метод фотогемотерапии. Он заключается в том, что у больного берут небольшое количество крови (примерно 2 мл/кг веса), подвергают ее УФ-облучению и вводят обратно в кровеносное русло. Примерно через 5 мин после введения больным 100-200 мл облученной крови наблюдается значительное снижение вязкости во всем объеме (около 5 л) циркулирующей крови. Исследования зависимости вязкости от скорости движения крови показали, что при фотогемотерапии вязкость сильнее всего снижается (примерно на 30 %) в медленно движущейся крови и совсем не меняется в быстро движущейся крови. УФ-облучение вызывает снижение способности эритроцитов к агрегации и увеличивает деформируемость эритроцитов. Помимо этого происходит снижение образования тромбов. Все эти явления приводят к значительному улучшению как макро-, так и микроциркуляции крови.

8.8. Основные понятия и формулы

Окончание таблицы

8.9. Задачи

1. Вывести формулу для определения вязкости ротационным вискозиметром. Дано: R, ΔR, h, ν, M.

2. Определить время протекания крови через капилляр вискозиметра, если вода протекает через него за 10 с. Объемы воды и крови одинаковы. Плотность воды и крови равны p 1 = 1 г/см 3 , ρ 2 = 1,06 г/см 3 . Вязкость крови относительно воды равна 5 (η 2 /η 1 = 5).

3. Допустим, что в двух кровеносных сосудах градиент давления одинаков, а поток крови (объемный расход) во втором сосуде на 80% меньше, чем в первом. Найти отношение их диаметров.

4. Какова должна быть разность давлений АР на концах капилляра радиуса r = 1 мм и длины L = 10 см, чтобы за время t = 5 с через него можно было пропустить объем V = 1 см 3 воды (коэффициент вязкости η 1 = 10 -3 Пас) или глицерина (η 2 = 0,85 Пас)?

5. Падение давления в кровеносном сосуде длины L = 55 мм и радиуса r = 1,5 мм равно 365 Па. Определить, сколько миллилитров крови протекает через сосуд за 1 минуту. Коэффициент вязкости крови η = 4,5 мПа-с.

6. При атеросклерозе, вследствие образования бляшек на стенках сосуда, критическое значение числа Рейнольдса может снизиться до 1160. Определить для этого случая скорость, при которой возможен переход ламинарного течения крови в турбулентное в сосуде диаметром 2,5 мм. Плотность крови равна ρ = 1050 кг/м 3 , вязкость крови равна η = 5х10 -3 Пас.

7. Средняя скорость крови в аорте радиусом 1 см равна 30 см/с. Выяснить, является ли данное течение ламинарным? Плотность крови ρ = 1,05х10 3 кг/м 3 .

η = 4х10 -3 Па-с; Rе кр = 2300.

8. При большой физической нагрузке скорость кровотока иногда увеличивается вдвое. Пользуясь данными примера задачи (7), определить характер течения в этом случае.

Решение

Re = 2x1575 = 3150. Течение турбулентное.

Ответ: число Рейнольдса больше критического значения, поэтому течение может стать турбулентным.

10. Определить максимальную массу крови, которая может пройти за 1 с через аорту при сохранении ламинарного характера течения. Диаметр аорты D = 2 см, вязкость крови η = 4x10 -3 Па-с.

11. Определить максимальную объемную скорость протекания жидкости по игле шприца с внутренним диаметром D = 0,3 мм, при которой сохраняется ламинарный характер течения.

12. Найти объемную скорость жидкости в игле шприца. Плотность жидкости - ρ; ее вязкость - η; диаметр и длина иглы D и L соответственно; сила, действующая на поршень, - F; площадь поршня - S.

Интегрируя по r, получим:

Пусть поршень шприца движется под действием силы F со скоростью u. Тогда мощность внешней силы N F = Fu.

Суммарная работа всех сил равна изменению кинетической энергии. Следовательно,

Подставив найденное значение A P во второе уравнение, получим все интересующие нас величины: скорость поршня и, объемную скорость кровотока Q, скорость жидкости в игле v.

Сила сопротивления при движении в вязкой среде

В отличие от сухого вязкое трение характерно тем, что сила вязкого трения обращается в нуль одновременно со скоростью. Поэтому, как бы ни была мала внешняя сила, она может сообщить относительную скорость слоям вязкой среды.

Замечание 1

Следует иметь в виду, что, помимо собственно сил трения, при движении тел в жидкой или газообразной среде возникают так называемые силы сопротивления среды, которые могут быть гораздо значительнее, чем силы трения.

Правила поведения жидкости и газа в отношении трения не различаются. Поэтому все сказанное ниже относится в равной степени и к жидкостям, и к газам.

Сила сопротивления, возникающая при движении тела в вязкой среде обладает определенными свойствами:

• отсутствует сила трения покоя - например, человек может сдвинуть с места плавающий многотонный корабль, просто потянув за канат;
• сила сопротивления зависит от формы движущегося тела - корпус подводной лодки, самолёта или ракеты имеет обтекаемую сигарообразную форму --- для уменьшения силы сопротивления, наоборот, при движении полусферического тела вогнутой стороной вперёд сила сопротивления очень велика (пример --- парашют);
• абсолютная величина силы сопротивления существенно зависит от скорости.

Сила вязкого трения

Изложим закономерности, которым подчиняются силы трения и сопротивления среды совместно, причём условно будем называть суммарную силу силой трения. Вкратце эти закономерности сводятся к следующему - величина силы трения зависит:

• от формы и размеров тела;
• состояния его поверхности;
• скорости по отношению к среде и от свойства среды, называемого вязкостью.

Типичная зависимость силы трения от скорости тела по отношению к среде показана графически на рис. 1.~

Рисунок 1. График зависимости силы трения от скорости по отношению к среде

При малых скоростях движения сила сопротивления прямо пропорциональна скорости и сила трения растет линейно со скоростью:

$F_{mp} =-k_{1} v$ , (1)

где знак «-» означает, что сила трения направлена в сторону, противоположную скорости.

При больших скоростях линейный закон переходит в квадратичный т.е. сила трения начинает расти пропорционально квадрату скорости:

$F_{mp} =-k_{2} v^{2}$ (2)

Например, при падении в воздухе зависимость силы сопротивления от квадрата скорости имеет место уже при скоростях около нескольких метров в секунду.

Величина коэффициентов $k_{1} $ и $k_{2}$ (их можно назвать коэффициентами трения) в сильной степени зависит от формы, и размеров тела, состояния его поверхности и от вязких свойств среды. Например, для глицерина они оказываются гораздо большими, чем для воды. Так, парашютист при затяжном прыжке не набирает скорость безгранично, а с определённого момента начинает падать с установившейся скоростью, при которой сила сопротивления становится равна силе тяжести .

Значение скорости, при которой закон (1) переходит в (2), оказывается зависящим от тех же причин.

Пример 1

Два металлических шарика, одинаковых по размеру и различных по массе, падают без начальной скорости с одной и той же большой высоты. Какой из шариков быстрее упадёт на землю --- лёгкий или тяжёлый?

Дано: $m_{1} $, $m_{2} $, $m_{1} >m_{2} $.

Шарики при падении не набирают скорость безгранично, а с определённого момента начинают падать с установившейся скоростью, при которой сила сопротивления (2) становится равна силе тяжести:

Отсюда установившаяся скорость:

Из полученной формулы следует, что у тяжёлого шарика установившаяся скорость падения больше. Значит, он дольше будет набирать скорость и потому быстрее достигнет земли.

Ответ : Тяжелый шарик быстрее достигнет земли.

Пример 2

Парашютист, летящий до раскрытия парашюта со скоростью $35$ м/с, раскрывает парашют, и его скорость становится равной $8$ м/с. Определите, какой примерно была сила натяжения строп при раскрытии парашюта. Масса парашютиста $65$ кг, ускорение свободного падения $10 \ м/с^2.$ Принять, что $F_{mp}$ пропорциональна $v$.

Дано: $m_{1} =65$кг, $v_{1} =35$м/с, $v_{2} =8$м/с.

Найти: $T$-?

Рисунок 2.

До раскрытия парашюта парашютист имел

постоянную скорость $v_{1} =35$м/с, значит ускорения парашютиста было равно нулю.

После раскрытия парашюта парашютист имел постоянную скорость $v_{2} =8$м/с.

Второй закон Ньютона для этого случая будет выглядеть следующим образом:

Тогда искомая сила натяжения строп будет равна:

$T=mg(1-\frac{v_{2} }{v_{1} })\approx 500$ Н.

Цель работы: изучение явления вязкого трения и одного из методов определения вязкости жидкостей.

Приборы и принадлежности: шарики различного диаметра, микрометр, штангенциркуль, линейка.

Элементы теории и метод эксперимента

Всем реальным жидкостям и газам присуще внутреннее трение, называемое также вязкостью. Вязкость проявляется, в частности, в том, что возникшее в жидкости или газе движение после прекращения действия причин, его вызвавших, постепенно прекращается. Из повседневного опыта, например, известно, что для того чтобы создать и поддерживать постоянное течение жидкости в трубе, необходимо наличие между концами трубы разности давлений. Поскольку при установившемся течении жидкость движется без ускорения, необходимость действия сил давления указывает на то, что эти силы уравновешиваются какими-то силами, тормозящими движение. Этими силами являются силы внутреннего трения.

Можно выделить два основных режима течения жидкости или газа:

1) ламинарный;

2) турбулентный.

При ламинарном режиме течения поток жидкости (газа) можно разбить на тонкие слои, каждый из которых движется в общем потоке со своей скоростью и не перемешивается с другими слоями. Ламинарное течение является стационарным.

При турбулентном режиме течение становится нестационарным – скорость частиц в каждой точке пространства все время беспорядочно меняется. В потоке при этом происходит интенсивное перемешивание жидкости (газа).

Рассмотрим ламинарный режим течения. Выделим в потоке два слоя площадью S , находящихся на расстоянии ∆Z друг от друга и движущихся с различными скоростями V 1 и V 2 (рис. 1). Тогда между ними возникает сила вязкого трения, пропорциональная градиенту скорости DV /DZ в направлении, перпендикулярном к направлению течения:

Где коэффициент μ по определению называется вязкостью или коэффициентом внутреннего трения, DV =V 2-V 1.

Из (1) видно, что вязкость измеряется в паскаль-секундах (Па·с).

Необходимо отметить, что вязкость зависит от природы и состояния жидкости (газа). В частности, значение вязкости может существенно зависеть от температуры, что наблюдается, например, у воды (см. приложение 2). Не учет этой зависимости на практике в ряде случаев может привести к существенным расхождениям между теоретическими расчетами и экспериментальными данными.

В газах вязкость обусловлена столкновением молекул (см. приложение 1), в жидкостях — межмолекулярным взаимодействием, ограничивающим подвижность молекул.

Значения вязкости некоторых жидких и газообразных веществ даны в приложении 2.

Как уже отмечалось, течение жидкости или газа может проходить в одном из двух режимов – ламинарном или турбулентном. Английский физик Осборн Рейнольдс установил, что характер течения определяется значением безразмерной величины

Где — величина, называемая кинематической вязкостью, V – скорость жидкости (или тела в жидкости), D – некоторый характерный размер. В случае течения жидкости в трубе под D понимают характерный размер поперечного сечения этой трубы (например, диаметр или радиус). При движении тела в жидкости под D понимают характерный размер этого тела, например диаметр шарика. При значениях Re < 1000 течение считается ламинарным, при Re > 1000 течение становится турбулентным.

Одним из методов измерения вязкости веществ (вискозиметрии) является метод падающего шарика, или метод Стокса. Стокс показал, что на шарик, движущийся со скоростью V в вязкой среде, действует сила вязкого трения, равная , где D — диаметр шарика.

Рассмотрим движение шарика при его падении. По второму закону Ньютона (рис. 2)

Где F — сила вязкого трения, — сила Архимеда, — сила тяжести, ρЖ И ρ — плотности жидкости и материала шариков соответственно. Решением этого дифференциального уравнения будет следующая зависимость скорости шарика от времени:

Где V 0 – начальная скорость шарика, а

Есть скорость установившегося движения (при T >>τ). Величина есть время релаксации. Эта величина показывает, насколько быстро устанавливается стационарный режим движения. Обычно считают, что при T ≈3τ движение практически не отличается от стационарного. Таким образом, измерив скорость V У , можно рассчитать вязкоcть жидкости. Отметим, что формула Стокса применима при числах Рейнольдса меньше 1000, то есть при ламинарном режиме обтекания жидкостью шарика.

Лабораторная установка для измерения вязкости жидкостей по методу Стокса представляет собой стеклянный сосуд, заполненный исследуемой жидкостью. Сверху, вдоль оси цилиндра, бросают шарики. В верхней и нижней частях сосуда имеются горизонтальные метки. Измеряя с помощью секундомера время движения шарика между метками и зная расстояние между ними, находят скорость установившегося движения шарика. Если цилиндр узкий, то в расчётную формулу надо внести поправки на влияние стенок.

С учётом этих поправок формула для расчёта вязкости примет вид:

Где L — расстояние между метками, D — диаметр внутренней части сосуда.

Порядок выполнения работы

1. Измерить с помощью штангенциркуля внутренний диаметр сосуда, с помощью линейки — расстояние между горизонтальными метками на сосуде и с помощью микрометра — диаметры всех шариков, используемых в эксперименте. Ускорение силы тяжести считать равным 9,8 м/с2. Плотность жидкости и плотность вещества шариков указаны на лабораторной установке.

2. Опуская поочередно шарики в жидкость, измерить время прохождения каждым из них пути между метками. Результаты занести в таблицу. В таблице указываются номер эксперимента, диаметр шарика и время его прохождения, а также результат расчета вязкости для каждого опыта.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ВНУТРЕННЕГО ТРЕНИЯ

Маловязких жидкостей

Определение вязкости

Примеры проявления вязкости жидкости

Идеальная жидкость, т.е. жидкость без трения, является абстракцией. Всем реальным жидкостям или газам в большей или меньшей степени присуща вязкость, или внутреннее трение. Вязкость проявляется в том, что возникшее в жидкости или газе движение после прекращения действия причин, его вызвавших, постепенно прекращается.

Рассмотрим также следующие примеры, в которых проявляется вязкость жидкости. Так, согласно закону Бернулли для идеальной жидкости, давление в трубе постоянно, если ее поперечное сечение и высота не меняются. Однако, как известно, давление вдоль такой трубы равномерно падает, как показано на рис. 1.

Рис. 1. Падение давления в трубе с движущейся жидкостью.

Это явление объясняется наличием у жидкости внутреннего трения и сопровождается переходом части ее механической энергии во внутреннюю.

При ламинарном течении жидкости по трубе (рис. 2) скорость слоев непрерывно меняется от максимальной (по оси трубы) до нуля (у стенок).

С механической точки зрения любой из слоев тормозит движение соседнего слоя, расположенного ближе к оси трубы (движущегося быстрее), и оказывает ускоряющее действие на слой, расположенный дальше от оси (движущийся медленнее).

Рис. 2. Распределение скорости в поперечном сечении потока

жидкости в трубе круглого сечения (ламинарное течение).

Сила вязкого трения

Для выяснения закономерностей, которым подчиняются силы внутреннего трения, рассмотрим следующий опыт. В жидкость погружены две параллельные друг другу пластины (рис. 3), линейные размеры которых значительно превосходят расстояние между ними d . Нижняя пластина удерживается на месте, верхняя приводится в движение относительно нижней с некоторой скоростью v 0 .

Рис. 3. Послойное движение вязкой жидкости между пластинками,

имеющими различные скорости движения.

Слой жидкости, прилегающей непосредственно к верхней пластинке, благодаря силам молекулярного сцепления прилипает к ней и движется вместе с пластинкой. Слой жидкости, прилипший к нижней пластинке, остается вместе с ней в покое. Промежуточные слои движутся так, что каждый верхний из них обладает скоростью большей, чем под ним лежащий. Т.о. каждый слой скользит относительно соседних слоев. Поэтому со стороны нижнего слоя на верхний действует сила трения, замедляющая движение второго из них, и, обратно, со стороны верхнего на нижний – ускоряющее движение. Силы, возникающие между слоями жидкости, испытывающими относительное перемещение, называют внутренним трением . Свойства жидкости, связанные с наличием сил внутреннего трения, называют вязкостью .

Опыт дает, что для перемещения верхней пластины с постоянной скоростью v 0 необходимо действовать на нее с вполне определенной силой F . Действие внешней силы F уравновешивается равной ей по величине противоположно направленной силой трения.

Сила внутреннего трения между двумя слоями жидкости может быть вычислена по формуле Ньютона:

, (1)

где h – динамическая вязкость, коэффициент внутреннего трения, s – площадь соприкосновения (в данном случае площадь пластины), Dv/Dz – градиент скорости.

Коэффициент вязкости численно равен силе, действующей на единицу площади слоя, когда на единицу длины, взятой перпендикулярно к слою, скорость меняется на единицу (Dv/Dz= 1)

Сила сопротивления при движении в вязкой среде

В отличие от сухого вязкое трение характерно тем, что сила вязкого трения обращается в нуль одновременно со скоростью. Поэтому, как бы ни была мала внешняя сила, она может сообщить относительную скорость слоям вязкой среды.

Замечание 1

Следует иметь в виду, что, помимо собственно сил трения, при движении тел в жидкой или газообразной среде возникают так называемые силы сопротивления среды, которые могут быть гораздо значительнее, чем силы трения.

Правила поведения жидкости и газа в отношении трения не различаются. Поэтому все сказанное ниже относится в равной степени и к жидкостям, и к газам.

Сила сопротивления, возникающая при движении тела в вязкой среде обладает определенными свойствами:

• отсутствует сила трения покоя - например, человек может сдвинуть с места плавающий многотонный корабль, просто потянув за канат;
• сила сопротивления зависит от формы движущегося тела - корпус подводной лодки, самолёта или ракеты имеет обтекаемую сигарообразную форму --- для уменьшения силы сопротивления, наоборот, при движении полусферического тела вогнутой стороной вперёд сила сопротивления очень велика (пример --- парашют);
• абсолютная величина силы сопротивления существенно зависит от скорости.

Сила вязкого трения

Изложим закономерности, которым подчиняются силы трения и сопротивления среды совместно, причём условно будем называть суммарную силу силой трения. Вкратце эти закономерности сводятся к следующему - величина силы трения зависит:

• от формы и размеров тела;
• состояния его поверхности;
• скорости по отношению к среде и от свойства среды, называемого вязкостью.

Типичная зависимость силы трения от скорости тела по отношению к среде показана графически на рис. 1.~

Рисунок 1. График зависимости силы трения от скорости по отношению к среде

При малых скоростях движения сила сопротивления прямо пропорциональна скорости и сила трения растет линейно со скоростью:

$F_{mp} =-k_{1} v$ , (1)

где знак «-» означает, что сила трения направлена в сторону, противоположную скорости.

При больших скоростях линейный закон переходит в квадратичный т.е. сила трения начинает расти пропорционально квадрату скорости:

$F_{mp} =-k_{2} v^{2}$ (2)

Например, при падении в воздухе зависимость силы сопротивления от квадрата скорости имеет место уже при скоростях около нескольких метров в секунду.

Величина коэффициентов $k_{1} $ и $k_{2}$ (их можно назвать коэффициентами трения) в сильной степени зависит от формы, и размеров тела, состояния его поверхности и от вязких свойств среды. Например, для глицерина они оказываются гораздо большими, чем для воды. Так, парашютист при затяжном прыжке не набирает скорость безгранично, а с определённого момента начинает падать с установившейся скоростью, при которой сила сопротивления становится равна силе тяжести .

Значение скорости, при которой закон (1) переходит в (2), оказывается зависящим от тех же причин.

Пример 1

Два металлических шарика, одинаковых по размеру и различных по массе, падают без начальной скорости с одной и той же большой высоты. Какой из шариков быстрее упадёт на землю --- лёгкий или тяжёлый?

Дано: $m_{1} $, $m_{2} $, $m_{1} >m_{2} $.

Шарики при падении не набирают скорость безгранично, а с определённого момента начинают падать с установившейся скоростью, при которой сила сопротивления (2) становится равна силе тяжести:

Отсюда установившаяся скорость:

Из полученной формулы следует, что у тяжёлого шарика установившаяся скорость падения больше. Значит, он дольше будет набирать скорость и потому быстрее достигнет земли.

Ответ : Тяжелый шарик быстрее достигнет земли.

Пример 2

Парашютист, летящий до раскрытия парашюта со скоростью $35$ м/с, раскрывает парашют, и его скорость становится равной $8$ м/с. Определите, какой примерно была сила натяжения строп при раскрытии парашюта. Масса парашютиста $65$ кг, ускорение свободного падения $10 \ м/с^2.$ Принять, что $F_{mp}$ пропорциональна $v$.

Дано: $m_{1} =65$кг, $v_{1} =35$м/с, $v_{2} =8$м/с.

Найти: $T$-?

Рисунок 2.

До раскрытия парашюта парашютист имел

постоянную скорость $v_{1} =35$м/с, значит ускорения парашютиста было равно нулю.

После раскрытия парашюта парашютист имел постоянную скорость $v_{2} =8$м/с.

Второй закон Ньютона для этого случая будет выглядеть следующим образом:

Тогда искомая сила натяжения строп будет равна:

$T=mg(1-\frac{v_{2} }{v_{1} })\approx 500$ Н.