Если в задаче и длины векторов, и угол между ними преподнесены "на блюдечке с голубой каёмочкой", то условие задачи и её решение выглядят так:
Пример 1. Даны векторы . Найти скалярное произведение векторов , если их длины и угол между ними представлены следующими значениями:
Справедливо и другое определение, полностью равносильное определению 1.
Определение 2 . Скалярным произведением векторов называется число (скаляр), равное произведению длины одного их этих векторов на проекцию другого вектора на ось, определяемую первым из указанных векторов. Формула согласно определению 2:
Задачу с применением этой формулы решим после следующего важного теоретического пункта.
Определение скалярного произведения векторов через координаты
То же самое число можно получить, если перемножаемые векторы заданы своими координатами.
Определение 3. Скалярное произведение векторов - это число, равное сумме попарных произведений их соответствующих координат .
На плоскости
Если два вектора и на плоскости определены своими двумя декартовыми прямоугольными координатами
то скалярное произведение этих векторов равно сумме попарных произведений их соответствующих координат:
.
Пример 2. Найти численную величину проекции вектора на ось, параллельную вектору .
Решение. Находим скалярное произведение векторов, складывая попарные произведения их координат:
Теперь нам требуется приравнять полученное скалярное произведение произведению длины вектора на проекцию вектора на ось, параллельную вектору (в соответствии с формулой ).
Находим длину вектора как квадратный корень из суммы квадратов его координат:
.
Составляем уравнение и решаем его:
Ответ. Искомая численная величина равна минус 8.
В пространстве
Если два вектора и в пространстве определены своими тремя декартовыми прямоугольными координатами
,
то скалярное произведение этих векторов также равно сумме попарных произведений их соответствующих координат, только координат уже три:
.
Задача на нахождение скалярного произведения рассмотренным способом - после разбора свойств скалярного произведения. Потому что в задаче потребуется определить, какой угол образуют перемножаемые векторы.
Свойства скалярного произведения векторов
Алгебраические свойства
1. (переместительное свойство : от перемены местами перемножаемых векторов величина их скалярного произведения не меняется).
2. 
(сочетательное относительно числового множителя свойство
: скалярное произведение вектора, умноженного на некоторый множитель, и другого вектора, равно скалярному произведению этих векторов, умноженному на тот же множитель).
3. 
(распределительное относительно суммы векторов свойство
: скалярное произведение суммы двух векторов на третий вектор равно сумме скалярных произведений первого вектора на третий вектор и второго вектора на третий вектор).
4. (скалярный квадрат вектора больше нуля ), если - ненулевой вектор, и , если - нулевой вектор.
Геометрические свойства
В определениях изучаемой операции мы уже касались понятия угла между двумя векторами. Пора уточнить это понятие.
На рисунке выше видны два вектора, которые приведены к общему началу. И первое, на что нужно обратить внимание: между этими векторами существуют два угла - φ 1 и φ 2 . Какой из этих углов фигурирует в определениях и свойствах скалярного произведения векторов? Сумма рассмотренных углов равна 2π и поэтому косинусы этих углов равны. В определение скалярного произведения входит только косинус угла, а не значение его выражения. Но в свойствах рассматривается только один угол. И это тот из двух углов, который не превосходит π , то есть 180 градусов. На рисунке этот угол обозначен как φ 1 .
1. Два вектора называют ортогональными и угол между этими векторами - прямой (90 градусов или π /2 ), если скалярное произведение этих векторов равно нулю :
.
Ортогональностью в векторной алгебре называется перпендикулярность двух векторов.
2. Два ненулевых вектора составляют острый угол (от 0 до 90 градусов, или, что тоже самое - меньше π скалярное произведение положительно .
3. Два ненулевых вектора составляют тупой угол (от 90 до 180 градусов, или, что то же самое - больше π /2 ) тогда и только тогда, когда их скалярное произведение отрицательно .
Пример 3. В координатах даны векторы:
.
Вычислить скалярные произведения всех пар данных векторов. Какой угол (острый, прямой, тупой) образуют эти пары векторов?
Решение. Вычислять будем путём сложения произведений соответствующих координат.
Получили отрицательное число, поэтому векторы образуют тупой угол.
Получили положительное число, поэтому векторы образуют острый угол.
Получили нуль, поэтому векторы образуют прямой угол.
Получили положительное число, поэтому векторы образуют острый угол.
.
Получили положительное число, поэтому векторы образуют острый угол.
Для самопроверки можно использовать онлайн калькулятор Скалярное произведение векторов и косинус угла между ними .
Пример 4. Даны длины двух векторов и угол между ними:
.
Определить, при каком значении числа векторы и ортогональны (перпендикулярны).
Решение. Перемножим векторы по правилу умножения многочленов:
Теперь вычислим каждое слагаемое:
.
Составим уравнение (равенство произведения нулю), приведём подобные члены и решим уравнение:
Ответ: мы получили значение λ = 1,8 , при котором векторы ортогональны.
Пример 5.
Доказать, что вектор 
ортогонален (перпендикулярен) вектору
Решение. Чтобы проверить ортогональность, перемножим векторы и как многочлены, подставляя вместо его выражение, данное в условии задачи:
.
Для этого нужно каждый член (слагаемое) первого многочлена умножить на каждый член второго и полученные произведения сложить:
.
В полученном результате дробь за счёт сокращается. Получается следующий результат:
Вывод: в результате умножения получили нуль, следовательно, ортогональность (перпендикулярность) векторов доказана.
Решить задачу самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 6. Даны длины векторов и , a угол между этими векторами равен π /4 . Определить, при каком значении μ векторы и взаимно перпендикулярны.
Для самопроверки можно использовать онлайн калькулятор Скалярное произведение векторов и косинус угла между ними .
Матричное представление скалярного произведения векторов и произведение n-мерных векторов
Иногда выигрышным для наглядности является представление двух перемножаемых векторов в виде матриц. Тогда первый вектор представлен в виде матрицы-строки, а второй - в виде матрицы-столбца:
Тогда скалярное произведение векторов будет произведением этих матриц :
Результат тот же, что и полученный способом, который мы уже рассмотрели. Получили одно единственное число, и произведение матрицы-строки на матрицу-столбец также является одним единственным числом.
В матричной форме удобно представлять произведение абстрактных n-мерных векторов. Так, произведение двух четырёхмерных векторов будет произведением матрицы-строки с четырьмя элементами на матрицу-столбец также с четырьмя элементами, произведение двух пятимерных векторов - произведением матрицы-строки с пятью элементами на матрицу-столбец также с пятью элементами и так далее.
Пример 7. Найти скалярные произведения пар векторов
,
используя матричное представление.
Решение. Первая пара векторов. Представляем первый вектор в виде матрицы-строки, а второй - в виде матрицы-столбца. Находим скалярное произведение этих векторов как произведение матрицы-строки на матрицу-столбец:
Аналогично представляем вторую пару и находим:
Как видим, результаты получились те же, что и у тех же пар из примера 2.
Угол между двумя векторами
Вывод формулы косинуса угла между двумя векторами очень красив и краток.
Чтобы выразить скалярное произведение векторов
(1)
в координатной форме, предварительно найдём скалярные произведение ортов. Скалярное произведение вектора на само себя по определению:
То, что записано в формуле выше, означает: скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его длины . Косинус нуля равен единице, поэтому квадрат каждого орта будет равен единице:
Так как векторы
попарно перпендикулярны, то попарные произведения ортов будут равны нулю:
Теперь выполним умножение векторных многочленов:
Подставляем в правую часть равенства значения соответствующих скалярных произведений ортов:
Получаем формулу косинуса угла между двумя векторами:
Пример 8. Даны три точки A (1;1;1), B (2;2;1), C (2;1;2).
Найти угол .
Решение. Находим координаты векторов:
,
.
По формуле косинуса угла получаем:
Следовательно, .
Для самопроверки можно использовать онлайн калькулятор Скалярное произведение векторов и косинус угла между ними .
Пример 9. Даны два вектора
Найти сумму, разность, длину, скалярное произведение и угол между ними.
2.Разность
Определение 1
Скалярное произведение векторов называют число, равное произведению дин этих векторов на косинус угла между ними.
Обозначение произведения векторов a → и b → имеет вид a → , b → . Преобразуем в формулу:
a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ . a → и b → обозначают длины векторов, a → , b → ^ - обозначение угла между заданными векторами. Если хоть один вектор нулевой, то есть имеет значение 0, то и результат будет равен нулю, a → , b → = 0
При умножении вектора самого на себя, получим квадрат его дины:
a → , b → = a → · b → · cos a → , a → ^ = a → 2 · cos 0 = a → 2
Определение 2
Скалярное умножение вектора самого на себя называют скалярным квадратом.
Вычисляется по формуле:
a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ .
Запись a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ = a → · n p a → b → = b → · n p b → a → показывает, что n p b → a → - это числовая проекция a → на b → , n p a → a → - проекция b → на a → соостветсвенно.
Сформулируем определение произведения для двух векторов:
Скалярное произведение двух векторов a → на b → называют произведение длины вектора a → на проекцию b → на направление a → или произведение длины b → на проекцию a → соответственно.
Скалярное произведение в координатах
Вычисление скалярного произведения можно производить через координаты векторов в заданной плоскости или в пространстве.
Скаларное произведение двух векторов на плоскости, в трехмерном простарнстве называют сумму координат заданных векторов a → и b → .
При вычислении на плоскости скаларного произведения заданных векторов a → = (a x , a y) , b → = (b x , b y) в декартовой системе используют:
a → , b → = a x · b x + a y · b y ,
для трехмерного пространства применимо выражение:
a → , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z .
Фактически это является третьим определением скалярного произведения.
Докажем это.
Доказательство 1
Для доказательства используем a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y для векторов a → = (a x , a y) , b → = (b x , b y) на декартовой системе.
Следует отложить векторы
O A → = a → = a x , a y и O B → = b → = b x , b y .
Тогда длина вектора A B → будет равна A B → = O B → - O A → = b → - a → = (b x - a x , b y - a y) .
Рассмотрим треугольник O A B .
A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 · O A · O B · cos (∠ A O B) верно, исходя из теоремы косинусов.
По условию видно, что O A = a → , O B = b → , A B = b → - a → , ∠ A O B = a → , b → ^ , значит, формулу нахождения угла между векторами запишем иначе
b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 · a → · b → · cos (a → , b → ^) .
Тогда из первого определения следует, что b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 · (a → , b →) , значит (a → , b →) = 1 2 · (a → 2 + b → 2 - b → - a → 2) .
Применив формулу вычисления длины векторов, получим:
a → , b → = 1 2 · ((a 2 x + a y 2) 2 + (b 2 x + b y 2) 2 - ((b x - a x) 2 + (b y - a y) 2) 2) = = 1 2 · (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (b x - a x) 2 - (b y - a y) 2) = = a x · b x + a y · b y
Докажем равенства:
(a → , b →) = a → · b → · cos (a → , b → ^) = = a x · b x + a y · b y + a z · b z
– соответственно для векторов трехмерного пространства.
Скалярное произведение векторов с координатами говорит о том, что скалярный квадрат вектора равен сумме квадратов его координат в пространстве и на плоскости соответственно. a → = (a x , a y , a z) , b → = (b x , b y , b z) и (a → , a →) = a x 2 + a y 2 .
Скалярное произведение и его свойства
Существуют свойства скалярного произведения, которые применимы для a → , b → и c → :
- коммутативность (a → , b →) = (b → , a →) ;
- дистрибутивность (a → + b → , c →) = (a → , c →) + (b → , c →) , (a → + b → , c →) = (a → , b →) + (a → , c →) ;
- сочетательное свойство (λ · a → , b →) = λ · (a → , b →) , (a → , λ · b →) = λ · (a → , b →) , λ - любое число;
- скалярный квадрат всегда больше нуля (a → , a →) ≥ 0 , где (a → , a →) = 0 в том случае, когда a → нулевой.
Свойства объяснимы благодаря определению скалярного произведения на плоскости и свойствам при сложении и умножении действительных чисел.
Доказать свойство коммутативности (a → , b →) = (b → , a →) . Из определения имеем, что (a → , b →) = a y · b y + a y · b y и (b → , a →) = b x · a x + b y · a y .
По свойству коммутативности равенства a x · b x = b x · a x и a y · b y = b y · a y верны, значит a x · b x + a y · b y = b x · a x + b y · a y .
Отсюда следует, что (a → , b →) = (b → , a →) . Что и требовалось доказать.
Дистрибутивность справедлива для любых чисел:
(a (1) → + a (2) → + . . . + a (n) → , b →) = (a (1) → , b →) + (a (2) → , b →) + . . . + (a (n) → , b →)
и (a → , b (1) → + b (2) → + . . . + b (n) →) = (a → , b (1) →) + (a → , b (2) →) + . . . + (a → , b → (n)) ,
отсюда имеем
(a (1) → + a (2) → + . . . + a (n) → , b (1) → + b (2) → + . . . + b (m) →) = = (a (1) → , b (1) →) + (a (1) → , b (2) →) + . . . + (a (1) → , b (m) →) + + (a (2) → , b (1) →) + (a (2) → , b (2) →) + . . . + (a (2) → , b (m) →) + . . . + + (a (n) → , b (1) →) + (a (n) → , b (2) →) + . . . + (a (n) → , b (m) →)
Скалярное произведение с примерами и решениями
Любая задача такого плана решается с применением свойств и формул, касающихся скалярного произведения:
- (a → , b →) = a → · b → · cos (a → , b → ^) ;
- (a → , b →) = a → · n p a → b → = b → · n p b → a → ;
- (a → , b →) = a x · b x + a y · b y или (a → , b →) = a x · b x + a y · b y + a z · b z ;
- (a → , a →) = a → 2 .
Рассмотрим некоторые примеры решения.
Пример 2
Длина a → равна 3, длина b → равна 7. Найти скалярное произведение, если угол имеет 60 градусов.
Решение
По условию имеем все данные, поэтому вычисляем по формуле:
(a → , b →) = a → · b → · cos (a → , b → ^) = 3 · 7 · cos 60 ° = 3 · 7 · 1 2 = 21 2
Ответ: (a → , b →) = 21 2 .
Пример 3
Заданны векторы a → = (1 , - 1 , 2 - 3) , b → = (0 , 2 , 2 + 3) . Чему равно скалярной произведение.
Решение
В данном примере рассматривается формула вычисления по координатам, так как они заданы в условии задачи:
(a → , b →) = a x · b x + a y · b y + a z · b z = = 1 · 0 + (- 1) · 2 + (2 + 3) · (2 + 3) = = 0 - 2 + (2 - 9) = - 9
Ответ: (a → , b →) = - 9
Пример 4
Найти скалярное произведение A B → и A C → . На координатной плоскости заданы точки A (1 , - 3) , B (5 , 4) , C (1 , 1) .
Решение
Для начала вычисляются координаты векторов, так как по условию даны координаты точек:
A B → = (5 - 1 , 4 - (- 3)) = (4 , 7) A C → = (1 - 1 , 1 - (- 3)) = (0 , 4)
Подставив в формулу с использованием координат, получим:
(A B → , A C →) = 4 · 0 + 7 · 4 = 0 + 28 = 28 .
Ответ: (A B → , A C →) = 28 .
Пример 5
Заданы векторы a → = 7 · m → + 3 · n → и b → = 5 · m → + 8 · n → , найти их произведение. m → равен 3 и n → равен 2 единицам, они перпендикулярные.
Решение
(a → , b →) = (7 · m → + 3 · n → , 5 · m → + 8 · n →) . Применив свойство дистрибутивности, получим:
(7 · m → + 3 · n → , 5 · m → + 8 · n →) = = (7 · m → , 5 · m →) + (7 · m → , 8 · n →) + (3 · n → , 5 · m →) + (3 · n → , 8 · n →)
Выносим коэффициент за знак произведения и получим:
(7 · m → , 5 · m →) + (7 · m → , 8 · n →) + (3 · n → , 5 · m →) + (3 · n → , 8 · n →) = = 7 · 5 · (m → , m →) + 7 · 8 · (m → , n →) + 3 · 5 · (n → , m →) + 3 · 8 · (n → , n →) = = 35 · (m → , m →) + 56 · (m → , n →) + 15 · (n → , m →) + 24 · (n → , n →)
По свойству коммутативности преобразуем:
35 · (m → , m →) + 56 · (m → , n →) + 15 · (n → , m →) + 24 · (n → , n →) = = 35 · (m → , m →) + 56 · (m → , n →) + 15 · (m → , n →) + 24 · (n → , n →) = = 35 · (m → , m →) + 71 · (m → , n →) + 24 · (n → , n →)
В итоге получим:
(a → , b →) = 35 · (m → , m →) + 71 · (m → , n →) + 24 · (n → , n →) .
Теперь применим формулу для скалярного произведения с заданным по условию углом:
(a → , b →) = 35 · (m → , m →) + 71 · (m → , n →) + 24 · (n → , n →) = = 35 · m → 2 + 71 · m → · n → · cos (m → , n → ^) + 24 · n → 2 = = 35 · 3 2 + 71 · 3 · 2 · cos π 2 + 24 · 2 2 = 411 .
Ответ: (a → , b →) = 411
Если имеется числовая проекция.
Пример 6
Найти скалярное произведение a → и b → . Вектор a → имеет координаты a → = (9 , 3 , - 3) , проекция b → с координатами (- 3 , - 1 , 1) .
Решение
По условию векторы a → и проекция b → противоположно направленные, потому что a → = - 1 3 · n p a → b → → , значит проекция b → соответствует длине n p a → b → → , при чем со знаком «-»:
n p a → b → → = - n p a → b → → = - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 = - 11 ,
Подставив в формулу, получим выражение:
(a → , b →) = a → · n p a → b → → = 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 · (- 11) = - 33 .
Ответ: (a → , b →) = - 33 .
Задачи при известном скалярном произведении, где необходимо отыскать длину вектора или числовую проекцию.
Пример 7
Какое значение должна принять λ при заданном скалярном произведении a → = (1 , 0 , λ + 1) и b → = (λ , 1 , λ) будет равным -1.
Решение
Из формулы видно, что необходимо найти сумму произведений координат:
(a → , b →) = 1 · λ + 0 · 1 + (λ + 1) · λ = λ 2 + 2 · λ .
В дано имеем (a → , b →) = - 1 .
Чтобы найти λ , вычисляем уравнение:
λ 2 + 2 · λ = - 1 , отсюда λ = - 1 .
Ответ: λ = - 1 .
Физический смысл скалярного произведения
Механика рассматривает приложение скалярного произведения.
При работе А с постоянной силой F → перемещаемое тело из точки M в N можно найти произведение длин векторов F → и M N → с косинусом угла между ними, значит работа равна произведению векторов силы и перемещения:
A = (F → , M N →) .
Пример 8
Перемещение материальной точки на 3 метра под действием силы равной 5 ньтонов направлено под углом 45 градусов относительно оси. Найти A .
Решение
Так как работа – это произведение вектора силы на перемещение, значит, исходя из условия F → = 5 , S → = 3 , (F → , S → ^) = 45 ° , получим A = (F → , S →) = F → · S → · cos (F → , S → ^) = 5 · 3 · cos (45 °) = 15 2 2 .
Ответ: A = 15 2 2 .
Пример 9
Материальная точка, перемещаясь из M (2 , - 1 , - 3) в N (5 , 3 λ - 2 , 4) под силой F → = (3 , 1 , 2) , совершила работа равную 13 Дж. Вычислить длину перемещения.
Решение
При заданных координатах вектора M N → имеем M N → = (5 - 2 , 3 λ - 2 - (- 1) , 4 - (- 3)) = (3 , 3 λ - 1 , 7) .
По формуле нахождения работы с векторами F → = (3 , 1 , 2) и M N → = (3 , 3 λ - 1 , 7) получим A = (F ⇒ , M N →) = 3 · 3 + 1 · (3 λ - 1) + 2 · 7 = 22 + 3 λ .
По условию дано, что A = 13 Д ж, значит 22 + 3 λ = 13 . Отсюда следует λ = - 3 , значит и M N → = (3 , 3 λ - 1 , 7) = (3 , - 10 , 7) .
Чтобы найти длину перемещения M N → , применим формулу и подставим значения:
M N → = 3 2 + (- 10) 2 + 7 2 = 158 .
Ответ: 158 .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Лекция: Координаты вектора; скалярное произведение векторов; угол между векторами
Координаты вектора
Итак, как уже говорилось ранее, вектора – это направленный отрезок, у которого есть собственное начало и конец. Если начало и конец представлены некоторыми точками, значит на плоскости или в пространстве у них есть свои координаты.
Если же у каждой точки есть свои координаты, то мы можем получить и координаты целого вектора.
Допустим, мы имеем некоторый вектор, у которого начало и конец вектора имеют следующие обозначения и координаты: A(A x ; Ay) и B(B x ; By)
Чтобы получить координаты данного вектора, необходимо из координат конца вектора вычесть соответствующие координаты начала:
Для определения координаты вектора в пространстве следует воспользоваться следующей формулой:
Скалярное произведение векторов
Существует два способа определения понятия скалярного произведения:
- Геометрический способ. Согласно ему, скалярное произведение равно произведению величин данных модулей на косинус угла между ними.
- Алгебраический смысл. С точки зрения алгебры, скалярное произведение двух вектором – это некая величина, которая получается в результате суммы произведений соответствующих векторов.
Если векторы заданы в пространстве, то следует воспользоваться аналогичной формулой:
Свойства:
- Если умножить два одинаковых вектора скалярно, то их скалярное произведение будет не отрицательным:
- Если же скалярное произведение двух одинаковых векторов получилось равным нулю, то эти векторы считаются нулевыми:
- Если некоторый вектор умножить на себя же, то скалярное произведение получится равным квадрату его модуля:
- Скалярное произведение имеет коммуникативное свойство, то есть от перестановки векторов скалярное произведение не изменится:
- Скалярное произведение ненулевых векторов может быть равно нулю только в том случае, если вектора перпендикулярны друг другу:
- Для скалярного произведения векторов справедлив переместительный закон в случае с умножением одного из векторов на число:
- При скалярном произведении так же можно использовать дистрибутивное свойство умножения:
Угол между векторами
1. Определение и простейшие свойства. Возьмем ненулевые векторы а и b и отложим их от произвольной точки О: ОА = а и ОВ = b. Величина угла АОВ называется углом между векторами а и b и обозначается (a,b). Если же хотя бы один из двух векторов – нулевой, то угол между ними по определению считается прямым. Заметим, что по определению угол между векторами не меньше 0 и не больше . При этом угол между двумя ненулевыми векторами равен 0 тогда и только тогда, когда эти векторы сонаправлены и равен тогда и только тогда, когда они противоположно направлены.
Проверим, что угол между векторами не зависит от выбора точки О. Это очевидно, если векторы коллинеарны. В противном случае отложим от произвольной точки О 1 векторы О 1 А 1 = а и О 1 В 1 = b и заметим, что треугольники АОВ и А 1 О 1 В 1 равны по трем сторонам, ибо |ОА| = |О 1 А 1 | = |а|, |ОВ| = |О 1 В 1 | = |b|, |АВ| = |А 1 В 1 | = |b–а|. Поэтому углы АОВ и А 1 О 1 В 1 равны.
Теперь мы можем дать основное в этом параграфе
(5.1) Определение. Скалярным произведением двух векторов а и b (обозначается ab) называется число 6 , равное произведению длин этих векторов на косинус угла между векторами. Короче:
ab = |a||b|cos (a,b).
Операция нахождения скалярного произведения называется скалярным умножением векторов. Скалярное произведение аа вектора на себя называется скалярным квадратом этого вектора и обозначается а 2 .
(5.2) Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.
Если |а| 0, то (a,a) = 0, откуда а 2 = |а||а|cos0 = |a| 2 . Если же а = 0, то а 2 = |а| 2 = 0.
(5.3) Неравенство Коши. Модуль скалярного произведения двух векторов не превосходит произведения модулей сомножителей: |ab| |a||b|. При этом равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы а и b коллинеарны.
По определению |ab| = ||a||b|cos (a,b)| = |a||b||cos (a,b)| |a||b. Этим доказано само неравенство Коши. Теперь заметим. что для ненулевых векторов а и b равенство в нем достигается тогда и только тогда, когда |cos (a,b)| = 1, т.е. при (a,b) = 0 или (a,b) = . Последнее равносильно тому, что векторы а и b сонаправлены или противоположно направлены, т.е. коллинеарны. Если же хотя бы один из векторов а и b – нулевой, то они коллинеарны и |ab| = |a||b| = 0.
2. Основные свойства скалярного умножения. К ним относят следующие:
(СУ1) ab = ba (коммутативность);
(СУ2) (ха)b = х(ab) (ассоциативность);
(СУ3) а(b+c) = ab + ac (дистрибутивность).
Коммутативность здесь очевидна, ибо ab = bа. Ассоциативность при х = 0 также очевидна. Если х > 0, то
(ха)b = |ха||b|cos (хa,b) = |х||а||b|cos (хa,b) = х|а||b|cos (a,b) = х(ab),
ибо (хa,b) = (a,b) (из сонаправленности векторов ха и а – рис.21). Если же х < 0, то
(ха)b = |х||а||b|cos (хa,b) = –х|а||b|(–cos (a,b)) = х|а||b|cos (a,b) = х(ab),
ибо (хa,b) = – (a,b) (из противоположной направленности векторов ха и а – рис.22). Таким образом, ассоциативность тоже доказана.
Доказать дистрибутивность сложнее. Для этого нам потребуется такая
(5.4)
Лемма. Пусть а – ненулевой вектор,
параллельный прямой l, а b – произвольный
вектор. Тогда ортогональная проекция
b
"
вектора b на прямую l равна
.
1)
<
/2.
Тогда векторы а и
сонаправлены (рис.23) и
b
"
=
=
=
.
2) > /2 . Тогда векторы а и b " противоположно направлены (рис.24) и
b
"
=
–
=
–
=
.
3)
=
/2.
Тогда
b
"
=
0
и ab
=
0,
откуда
b
"
=
=
0.
Теперь
докажем дистрибутивность (СУ3). Она
очевидна, если вектор а – нулевой. Пусть
а
0.
Тогда проведем прямую l
||
а,
и обозначим через
b
"
и
c
"
ортогональные проекции на нее векторов
b и с, а через
d
"
– ортогональную проекцию на нее вектора
d = b+c. По теореме 3.5
d
"
=
b
"+
c
".
Применяя к последнему равенству лемму
5.4, получаем равенство
=
.
Скалярно умножив его на а, находим, что
2
=
,
откуда ad = ab+ac, что и требовалось доказать.
Доказанные нами свойства скалярного умножения векторов аналогичны соответствующим свойствам умножения чисел. Но не все свойства умножения чисел переносятся на скалярное умножение векторов. Вот типичные примеры:
1
2) Если ab = ac, то это не означает, что b = с, даже если вектор а – ненулевой. Пример: b и с – два различных вектора одинаковой длины, образующие с вектором а равные углы (рис. 25).
3) Неверно, что всегда а(bc) = (ab)c: хотя бы потому, что справедливость такого равенства при bc, ab 0 влечет коллинеарность векторов а и с.
3. Ортогональность векторов. Два вектора называются ортогональными, если угол между ними – прямой. Ортогональность векторов обозначается значком .
Когда мы определяли угол между векторами, то договорились считать угол между нулевым вектором и любым другим вектором прямым. Поэтому нулевой вектор ортогонален любому. Это соглашение позволяет доказать такой
(5.5) Признак ортогональности двух векторов. Два вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно 0.
Пусть а и b – произвольные векторы. Если хотя бы один из них – нулевой, то они ортогональны, а их скалярное произведение равно 0. Таким образом, в этом случае теорема верна. Допустим теперь, что оба данных вектора – ненулевые. По определению ab = |a||b|cos (a,b). Поскольку по нашему предположению числа |a| и |b| не равны 0, то ab = 0 cos (a,b) = 0 (a,b) = /2, что и требовалось доказать.
Равенство ab = 0 часто принимают за определение ортогональности векторов.
(5.6) Следствие. Если вектор а ортогонален каждому из векторов а 1 , …, а п , то он ортогонален и любой их линейной комбинации.
Достаточно заметить, что из равенства аа 1 = … = аа п = 0 следует равенство а(х 1 а 1 + … +х п а п ) = х 1 (аа 1 ) + … + х п (аа п ) = 0.
Из следствия 5.6 легко выводится школьный признак перпендикулярности прямой и плоскости. В самом деле, пусть некоторая прямая MN перпендикулярна двум пересекающимся прямым АВ и АС. Тогда вектор MN ортогонален векторам АВ и АС. Возьмем в плоскости АВС любую прямую DE. Вектор DE компланарен неколлинеарным векторам АВ и АС, и потому раскладывается по ним. Но тогда он тоже ортогонален вектору MN, то есть прямые MN и DE перпендикулярны. Получается, что прямая MN перпендикулярна любой прямой из плоскости АВС, что и требовалось доказать.
4. Ортонормированные базисы. (5.7) Определение. Базис векторного пространства называется ортонормированным, если, во-первых, все его векторы имеют единичную длину и, во-вторых, любые два его вектора ортогональны.
Векторы ортонормированного базиса в трехмерном пространстве обычно обозначают буквами i, j и k, а на векторной плоскости – буквами i и j. Учитывая признак ортогональности двух векторов и равенство скалярного квадрата вектора квадрату его длины, условия ортонормированности базиса (i,j,k) пространства V 3 можно записать так:
(5.8) i 2 = j 2 = k 2 = 1 , ij = ik = jk = 0,
а базиса (i,j) векторной плоскости – так:
(5.9) i 2 = j 2 = 1 , ij = 0.
Пусть векторы а и b имеют в ортонормированном базисе (i,j,k) пространства V 3 координаты (а 1 , а 2 , а 3 ) и (b 1 b 2 , b 3 ) соответственно. Тогда ab = (а 1 i+ а 2 j+ а 3 k)(b 1 i+b 2 j+b 3 k) = a 1 b 1 i 2 +a 2 b 2 j 2 +a 3 b 3 k 2 +a 1 b 2 ij+a 1 b 3 ik+a 2 b 1 ji+a 2 b 3 jk+a 3 b 1 ki+a 3 b 2 kj = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 . Так получается формула для скалярного произведения векторов а(а 1 ,а 2 ,а 3 ) и b(b 1 ,b 2 ,b 3 ), заданных своими координатами в ортонормированном базисе пространства V 3 :
(5.10) ab = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 .
Для векторов а(а 1 ,а 2 ) и b(b 1 , b 2 ), заданных своими координатами в ортонормированном базисе на векторной плоскости, она имеет вид
(5.11) ab = a 1 b 1 + a 2 b 2 .
Подставим в формулу (5.10) b = a. Получится, что в ортонормированном базисе а 2 = а 1 2 + а 2 2 + а 3 2 . Поскольку а 2 = |а| 2 , получается такая формула для нахождения длины вектора а(а 1 ,а 2 ,а 3 ), заданного своими координатами в ортонормированном базисе пространства V 3 :
(5.12)
|а| =
.
На векторной плоскости она в силу (5.11) приобретает вид
(5.13)
|а| =
.
Подставляя в формулу (5.10) b = i, b = j, b = k, получаем еще три полезных равенства:
(5.14) ai = a 1 , aj = а 2 , ak = а 3 .
Простота координатных формул для нахождения скалярного произведения векторов и длины вектора составляет главное преимущество ортонормированных базисов. Для неортонормированных базисов эти формулы, вообще говоря, неверны, и их применение в этом случае является грубой ошибкой.
5. Направляющие косинусы. Возьмем в ортонормированном базисе (i,j,k) пространства V 3 вектор а(а 1 ,а 2 ,а 3 ). Тогда ai = |a||i|cos (a,i) = |a|cos (a,i). С другой стороны, ai = a 1 по формуле 5.14. Получается, что
(5.15) а 1 = |a|cos (a,i).
и, аналогично,
а 2 = |a|cos (a,j), а 3 = |a|cos (a,k).
Если вектор а – единичный, эти три равенства приобретают особенно простой вид:
(5.16) а 1 = cos (a,i), а 2 = cos (a,j), а 3 = cos (a,k).
Косинусы углов, образованных вектором с векторами ортонормированного базиса, называются направляющими косинусами этого вектора в данном базисе. Как показывают формулы 5.16, координаты единичного вектора в ортонормированном базисе равны его направляющим косинусам.
Из 5.15 вытекает, что а 1 2 + а 2 2 + а 3 2 = |а| 2 (cos 2 (a,i)+cos 2 (a,j) +cos 2 (a,k)). С другой стороны, а 1 2 + а 2 2 + а 3 2 = |а| 2 . Получается, что
(5.17) сумма квадратов направляющих косинусов ненулевого вектора равна 1.
Этот факт бывает полезен для решения некоторых задач.
(5.18) Задача. Диагональ прямоугольного параллелепипеда образует с двумя его ребрами, выходящими из той же вершины, углы по 60 . Какой угол она образует с третьим выходящим из этой вершины ребром?
Рассмотрим
ортонормированный базис пространства
V
3
,
векторы которого изображены ребрами
параллелепипеда, выходящим из данной
вершины. Поскольку вектор диагонали
образует с двумя векторами этого базиса
углы по 60
,
квадраты двух из трех его направляющих
косинусов равны cos
2
60
= 1/4. Поэтому квадрат третьего косинуса
равен 1/2, а сам этот косинус равен 1/
.
Значит, искомый угол равен 45
.
