Оценка средней длины свободного пробега электронов в металлах. Чтобы по формуле (9.5.2.) получить , совпадающие с опытными значениями, надо принимать < > значительно больше истинных, иными словами, предполагать, что электрон проходит без соударений с ионами решетки сотни междоузельных расстояний, что не согласуется с теорией Друде-Лоренца.

Теплоемкость металлов. Теплоемкость металла складывается из теплоемкости его кристаллической решетки и теплоемкости электронного газа. Поэтому атомная (т.е. рассчитанная на 1 моль) теплоемкость металла должна быть значительно большей, чем атомная теплоемкость диэлектриков, у которых нет свободных электронов. Согласно закону Дюлонга и Пти, теплоемкость одноатомного кристалла равна 3R. Учтем, что теплоемкость одноатомного электронного газа равна . Тогда атомная теплоемкость металлов должна быть близка к 4,5R. Однако опыт доказывает, что она равна 3R, т.е. для металлов, так же как и для диэлектриков, хорошо выполняется закон Дюлонга и Пти. Следовательно, наличие электронов проводимости практически не сказывается на значении теплоемкости, что не объясняется классической электронной теорией.

Указанные расхождения теории с опытом можно объяснить тем, что движение электронов в металлах подчиняется не законам классической механики, а законам квантовой механики и, следовательно, поведение электронов проводимости надо описывать не статистикой Максвелла - Больцмана, а квантовой статистикой. Поэтому объяснить затруднения элементарной теории электропроводности металлов можно лишь квантовой теорией, которая будет рассмотрена в дальнейшем. Надо, однако, отметить, что классическая электронная теория не утратила своего значения и до настоящего времени, так как во многих случаях (например, при малой концентрации электронов проводимости и высокой температуре) она дает правильные качественные результаты и является по сравнению с квантовой теорией простой и наглядной.

Следует помнить, что если в разветвлѐнной цепи число узлов n , то независимых уравнений по первому правилу можно написать для (n – 1 ) узлов. При применении второго правила каждый следующий контур надо выбирать так, чтобы он содержал хотя бы один участок цепи, не входивший в ранее рассмотренные контуры. Таким образом, используя формулы (3.145) и (3.146), получаем систему уравнений, которую и следует решить для нахождения неизвестных по условию задачи параметров разветвлѐнной цепи.

3.11 Классическая электронная теория электропроводности металлов

Носителями тока в металлах, как было экспериментально установлено, являются электроны. Исходя из представлений о наличии в металлах свободных электронов, Друде и Лоренц создали классическую электронную теорию проводимости металлов.

Существование в металлах свободных электронов можно объяснить тем, что при образовании кристаллической решѐтки в результате сближения атомов и взаимодействия между ними, сравнительно слабо связанные с ядром валентные электроны отрываются от атомов металла, становятся свободными и могут перемещаться по всему объѐму металла. Таким образом, в узлах кристаллической решѐтки располагаются ионы металла, а между ними хаотически движутся свободные электроны. В классической электронной теории Друде – Лоренца электроны проводимости ведут себя подобно молекулам идеального газа, правда, в отличие от молекул идеального газа, электроны сталкиваются преимущественно не между собой, а с ионами кристаллической решѐтки. Эти столкновения приводят к установлению теплового равновесия между электронным газом и кристаллической решѐткой, и, следовательно, электронный газ имеет такую же температуру, как и весь металл. Распространяя на электронный газ результаты кинетической теории газов, среднюю скорость теплового движения электронов можно оценить по формуле:

где m e 9 , 1 10 31 кг - масса электрона. Для комнатной температуры

(Т ~ 300 К ) вычисление по формуле (3.147) даѐт значение 10 5 м/с .

При включении электрического поля на хаотическое тепловое движение электронов накладывается упорядоченное движение электронов

(возникает электрический ток) со средней скоростью u , которую можно оценить, исходя из формулы:

Предельная допустимая плотность тока, например, для медных проводов составляет величину порядка 10 7 А/м 2 , а концентрация валентных электронов для меди n 0 ~ 10 29 м – 3 . Это даѐт для u 10 3 м/с . Таким

образом, u .

Друде считал, что при соударении электрона с узлом кристаллической решѐтки приобретаемая электроном на длине свободного пробега энергия

проводника однородно и под его действием электрон после столкновения движется с ускорением

Друде не учитывал максвелловское распределение электронов по скоростям

и, вспоминая закон Ома в дифференциальной форме, получаем для удельной электропроводности:

Отметим, что в соответствии с классической теорией электропроводности, сопротивление металлов обусловлено столкновениями электронов с узлами–ионами кристаллической решѐтки. Для закона Джоуля– Ленца в дифференциальной форме Друде получил

используя тот факт, что на длине свободного пробега электрон приобретает дополнительную кинетическую энергию

которую он полностью передаѐт кристаллической решѐтке, а поскольку

соударений, то в единицу времени в единице объѐма должна выделяться энергия

Лоренц впоследствии усовершенствовал теорию Друде, применив статистику Максвелла – Больцмана, и показал, что к тем же результатам можно прийти, считая соударения электронов с узлами решѐтки абсолютно

упругими, и получил для выражение:

Классическая теория Друде – Лоренца не смогла объяснить целый ряд явлений, наблюдающихся на опыте. Так из опыта следует, что ~ T , а из

(3.154) следует, что ~ T . При оценке средней длины свободного пробега по формулам (3.154) и (3.158), подставляя туда экспериментальные

больше межатомного расстояния, т. е. приходится предположить, что электрон проходит без соударений с ионами решѐтки сотни межузельных расстояний. Наконец, для электронного газа классическая теория

предсказывала электронный вклад в молярную теплоѐмкость 3 2 R . Однако,

из эксперимента следует, что этот вклад в теплоѐмкость металлов оказывается ничтожно малым. Перечисленные недостатки удалось преодолеть только в квантовомеханической теории электропроводности.

ПОЛУПРОВОДНИКОВЫЕ КОМПОНЕНТЫ ЭЛЕКТРОННЫХ ЦЕПЕЙ

ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ ПОЛУПРОВОДНИКОВ

К полупроводникам относятся материалы, которые при комнатной температуре имеют удельное электрическое сопротивление от 10 -5 до 10 10 Ом·см (в полупроводниковой технике принято измерять сопротивление 1 см 3 материала). Количество полупроводников превышает количество металлов и диэлектриков. Наиболее часто используются кремний, арсенид галлия, селен, германий, теллур, разные оксиды, сульфиды, нитриды и карбиды.

Основные положения теории электропроводности.

Атом состоит из ядра, окруженного облаком электронов, которые находятся в движении на некотором расстоянии от ядра в пределах слоев (оболочек), определяемых их энергией. Чем дальше от ядра находится вращающийся электрон, тем выше его энергетический уровень. Свободные атомы имеют дискретный энергетический спектр. При переходе электрона с одного разрешенного уровня на другой, более отдаленный, происходит поглощение энергии, а при обратном переходе –ее выделение. Поглощение и выделение энергии может происходить только строго определенными порциями –квантами. На каждом энергетическом уровне может находиться не более двух электронов. Расстояние между энергетическими уровнями уменьшается с увеличением энергии. «Потолком» энергетического спектра является уровень ионизации, на котором электрон приобретает энергию, позволяющую ему стать свободным и покинуть атом.

Если рассматривать структуру атомов различных элементов, то можно выделить оболочки, которые полностью заполнены электронами (внутренние), и незаполненные оболочки (внешние). Последние слабее связаны с ядром, легче вступают во взаимодействие с другими атомами. Поэтому электроны, расположенные на внешней недостроенной оболочке, называют валентными.

Рис.2.1. Структура связей атомов германия в кристаллической решетке и условные обозначения запрещенных и разрешенных зон.

При образовании молекул между отдельными атомами действуют различные типы связей. Для полупроводников наиболее распространенными являются ковалентные связи, образующиеся за счет обобществления валентных электронов соседних. Например в кремнии, атом которого имеет четыре валентных электрона, в молекулах возникают ковалентные связи между четырьмя соседними атомами (рис.2.1,а).

Если атомы находятся в связанном состоянии, то на валентные электроны действуют поля электронов и ядер соседних атомов, в результате чего каждый отдельный разрешенный энергетический уровень атома расщепляется на ряд новых энергетических уровней, энергии которых близки друг к другу. На каждом из этих уровней могут также находиться только два электрона. Совокупность уровней, на каждом из которых могут находиться электроны, называют разрешенной зоной (1; 3 на рис. 2.1, б). Промежутки между разрешенными зонами носят название запрещенных зон (2 на рис. 2.1, б). Нижние энергетические уровни атомов обычно не образуют зон, так как внутренние электронные оболочки в твердом теле слабо взаимодействуют с соседними атомами, будучи как бы «экранированными» внешними оболочками. В энергетическом спектре твердого тела можно выделить три вида зон: разрешенные (полностью заполненные) зоны, запрещенные зоны и зоны проводимости.

Разрешенная зона характеризуется тем, что все уровни ее при температуре 0 К заполнены электронами. Верхнюю заполненную зону называют валентной.

Запрещенная зона характеризуется тем, что в ее пределах нет энергетических уровней, на которых могли бы находиться электроны.

Зона проводимости характеризуется тем, что электроны, находящиеся в ней обладают энергиями, позволяющими им освобождаться от связи с атомами и передвигаться внутри твердого тела, например под воздействием электрического поля.

Разделение веществ на металлы, полупроводники и диэлектрики выполняют в исходя из зонной структуры тела при температуре абсолютного нуля.

У металлов валентная зона и зона проводимости взаимно перекрываются, поэтому при 0 К металл обладает электропроводностью.

У полупроводников и диэлектриков зона проводимости при 0 К пуста и электропроводность отсутствует. Различия между ними чисто количественные – в ширине запрещенной зоны ΔЭ. У наиболее распространенных полупроводников ΔЭ=0,1÷3 эВ (у полупроводников, на основе которых в будущем надеются создать высокотемпературные приборы, ΔЭ=3÷6 эВ), у диэлектриков ΔЭ>6 эВ.

В полупроводниках при некотором значении температуры, отличном от нуля, часть электронов будет иметь энергию, достаточную для перехода в зону проводимости. Эти электроны становятся свободными, а полупроводник–электропроводным.

Уход электрона из валентной зоны приводит к образованию в ней незаполненного энергетического уровня. Вакантное энергетическое состояние носит название дырки. Валентные электроны соседних атомов в присутствие электрического поля могут переходить на эти свободные уровни, создавая дырки в другом месте. Такое перемещение электронов можно рассматривать как движение положительно заряженных фиктивных зарядов–дырок.

Электропроводность, обусловленную движением свободных электронов, называют электронной, а электропроводность, обусловленную движением дырок, – дырочной.

У абсолютно чистого и однородного полупроводника при температуре отличной от 0 К, свободные электроны и дырки образуются попарно, т.е. число электронов равно числу дырок. Электропроводность такого полупроводника (собственного), обусловленная парными носителями теплового происхождения, называется собственной.

Процесс образования пары электрон – дырка называют генерацией пары. При этом генерация пары может быть следствием не только воздействия тепловой энергии (тепловая генерация), но и кинетической энергии движущихся частиц (ударная генерация), энергии электрического поля, энергии светового облучения (световая генерация) и т.д.

Образовавшиеся в результате разрыва валентной связи электрон и дырка совершают хаотическое движение в объеме полупроводника до тех пор, пока электрон не будет «захвачен» дыркой, а энергетический уровень дырки не будет «занят» электроном из зоны проводимости. При этом разорванные валентные связи восстанавливаются, а носители заряда–электрон и дырка – исчезают. Этот процесс восстановления разорванных валентных связей называют рекомбинацией.

Промежуток времени, прошедший с момента генерации частицы, являющейся носителем заряда, до ее рекомбинации называют временем жизни, а расстояние, пройденное частицей за время жизни, – диффузионной длиной. Так как время жизни каждого из носителей различно, то для однозначной характеристики полупроводника под временем жизни чаще всего понимают среднее (среднестатистическое) время жизни носителей заряда, а под диффузионной длиной – среднее расстояние, которое проходит носитель заряда за среднее время жизни. Диффузионная длина и время жизни электронов и дырок связаны между собой соотношениями

; (2,1)

где , – диффузионная длина электронов и дырок;

, – время жизни электронов и дырок;

– коэффициенты диффузии электронов и дырок (плотность потоков носителей зарядов при единичном градиенте их концентраций).

Среднее время жизни носителей заряда численно определяется как промежуток времени, в течение которого концентрация носителей заряда, введенных тем или иным способом в полупроводник уменьшится в е раз (е ≈2,7).

Если в полупроводнике создать электрическое поле напряженностью Е, то хаотическое движение носителей заряда упорядочится, т.е. дырки и электроны начнут двигаться во взаимно противоположных направлениях причем дырки – в направлении, совпадающем с направлением электрического поля. Возникнут два встречно направленных потока носителей заряда, создающих токи, плотности которых равны

J n др =qnμ n E; J p др =qpμ p E, (2,2)

где q– заряд носителя заряда (электрона);

n, p –число электронов и дырок в единице объема вещества (концентрация);

μ n , μ p – подвижность носителей заряда.

Подвижность носителей заряда есть физическая величина, характеризуемая их средней направленной скоростью в электрическом поле с напряженностью 1В/см; μ =v/E, где v– средняя скорость носителя.

Так как носители заряда противоположного знака движутся в противоположных направлениях, то результирующая плотность тока в полупроводнике

J др =J n др +J p др =(qnμ n +qpμ p )E (2.3)

Движение носителей заряда в полупроводнике, вызванное наличием электрического поля и градиента потенциала, называют дрейфом, а созданный этими зарядами ток – дрейфовым током.

Движение под влиянием градиента концентрации называют диффузией.

Удельную проводимость полупроводника σ можно найти как отношение удельной плотности тока к напряженности электрического поля

σ =1/ρ=J/E=qnμ n +qpμ p ,

где ρ – удельное сопротивление полупроводника.

Примесная электропроводность. Электрические свойства полупроводников зависят от содержания в них атомов примесей, а также от от различных дефектов кристаллической решетки: пустых узлов решетки, атомов или ионов, находящихся между узлами решетки, и т. д. Примеси бывают акцепторные и донорные.

Акцепторные примеси. Атомы акцепторных примесей способны принимать извне один или несколько электронов, превращаясь в отрицательный ион.

Если, например, в кремний ввести трехвалентный атом бора, то образуется ковалентная связь между бором и четырьмя соседними атомами кремния и получается устойчивая восьмиэлектронная оболочка за счет дополнительного электрона, отобранного у одного из атомов кремния. Этот электрон будучи «связанным» превращает атом бора в неподвижный отрицательный ион (рис 2.2, а). На месте ушедшего электрона образуется дырка, которая добавляется к собственным дыркам, порожденным нагревом (термогенерацией). При этом в полупроводнике концентрация дырок превысит концентрацию свободных электронов собственной проводимости (p>n). Следовательно в полупроводнике

Рис.2.2. Структура (а) и зонная диаграмма (б) полупроводника с акцепторными примесями.

будет преобладать дырочная электропроводность. Такой полупроводник называют полупроводником p–типа.

При приложении к этому полупроводнику напряжения будет преобладать дырочная составляющая тока, т.е. J n