Найти вероятность попадания случайной величины в интервал. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины

Где - интегральная функция Лапласа , задается таблично.

Из свойств определенного интеграла Ф(-х )= - Ф(х ), т.е. функция Ф(х ) – нечетная.

Отсюда выводятся следующие (производные) формулы:

Полагая: а) d=s

Правило трех сигм (3s): практически достоверно, что при однократном испытании, отклонение нормально распределенной случайной величины от ее математического ожидания не превышает утроенного средне-квадратического отклонения.

Задача : Предполагается, что масса вылавливаемых в пруду зеркальных карпов есть случайная величина Х , имеющая нормальное распределение с математическим ожиданием a =375 г. и средним квадратическим отклонением s = 25 г. Требуется определить:

А) Вероятность, что масса случайно выловленного карпа окажется не менее a=300 г. и не более b=425 г.

Б) Вероятность, что отклонение указанной массы от среднего значения (математического ожидания) по абсолютной величине будет меньше d= 40 г.

В) По правилу трех сигм найти минимальную и максимальную границы предполагаемой массы зеркальных карпов.

Решение :

А)

Вывод : Примерно 98% карпов, плавающих в пруду, имеют массу не менее 300 г. и не более 425 г.

Б)

Вывод : Примерно 89% имеют массу от a-d = 375- 40 = 335 г. до a +d = 375 + 40 = 415 г.

В) По правилу трех сигм:

Вывод : Масса практически всех карпов (примерно 100%) заключена в интервале от 300 до 450 грамм.

Задачи для самостоятельного решения

1. Стрелок поражает мишень с вероятностью 0,8. Какова вероятность, что при трех выстрелах мишень будет поражена ровно два раза? Хотя бы два раза?

2. В семье четверо детей. Принимая рождения мальчика и девочки как равновероятные события, оценить вероятность, что в семье две девочки. Три девочки и один мальчик. Составить закон распределения для случайной величины Х , соответствующей возможному количеству девочек в семье. Рассчитать характеристики: М (Х ), s.

3. Игральную кость подбрасывают три раза. Какова вероятность, что «6» выпадет один раз? Не более одного раза?

4. Случайная величина Х равномерно распределена на интервале . Какова вероятность попадания случайной величины Х на интервал ?

5. Предполагается, что рост людей (для определенности – взрослых, мужчин), проживающих в некоторой местности, подчиняется нормальному закону распределения с математическим ожиданием а =170 см и среднеквадратическим отклонением s=5 см. Какова вероятность, что рост случайно выбранного человека:

А) окажется не более 180 см и не менее 165 см?

Б) отклоняется от среднего по абсолютной величине не более чем на 10 см?

В) по правилу «трех сигм» оценить минимально и максимально возможный рост человека.

Контрольные вопросы

1. Как записывается формула Бернулли? Когда она применяется?

2. Что представляет собой биномиальный закон распределения?

3. Какая случайная величина называется равномерно распределенной?

4. Какой вид имеют интегральная и дифференциальная функции распределения для случайной величины, равномерно распределенной на отрезке [a , b ]?

5. Какая случайная величина имеет нормальный закон распределения?

6. Как выглядит кривая плотности нормального распределения?

7. Как найти вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал?

8. Как формулируется правило «трех сигм»?

Введение в теорию случайных процессов

Случайной функцией называют функцию, значение которой при каждом значении независимой переменной является случайной величиной.

Случайным (или стохастическим) процессом называют случайную функцию, для которой независимой переменной является время t .

Иначе говоря, случайный процесс – это случайная величина, изменяющаяся во времени. Случайный процесс X (t ) на является определенной кривой, он является множеством или семейством определенных кривых x i (t) (i = 1, 2, …, n ), получаемых в результате отдельных опытов. Каждую кривую этого множества называют реализацией (или траекторией) случайного процесса.

Сечением случайного процесса называют случайную величину X (t 0), соответствующую значению случайного процесса в некоторый фиксированный момент времени t = t 0 .

Страница 1
Тест 7
Нормальный закон распределения. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины (НРСВ) в заданный интервал.
Основные сведения из теории.

Нормальным называют распределение вероятностей случайной величины (СВ) X , если плотность распределения определяется уравнением:

Где a – математическое ожидание СВ X ; - среднее квадратическое отклонение.

График
симметричен относительно вертикальной прямой
. Чем больше , тем больше размах кривой
. Значения функции
имеются в таблицах.

Вероятность того, что СВ X примет значение, принадлежащее интервалу
:
, где
- функция Лапласа. Функция
определяется по таблицам.

При =0 кривая
симметрична относительно оси ОУ- это стандартное (или нормированное) нормальное распределение.

Так как функция плотности вероятности НРСВ симметрична относительно математического ожидания, то можно простроить так называемую шкалу рассеивания:

Видно, что с вероятностью 0,9973 можно утверждать, что НРСВ примет значения в пределах интервала
. Это утверждение получило в теории вероятностей название “правила Трех сигм”.

1. Сравните величины для двух кривых НРСВ.

1)
2)

2. Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения вероятностей
. Тогда математическое ожидание этой нормально распределенной случайной величины равно:

1) 3 2) 18 3) 4 4)

3. НРСВ Х задана плотностью распределения:
.

Математическое ожидание и дисперсия этой СВ равны:

1) =1 2) =5 3) =5

=25 =1 =25
4. Правило трех сигм означает, что:

1) Вероятность попадания СВ в интервал
, то есть близка к единице;

2) НРСВ не может выйти за пределы
;

3) График плотности НРСВ симметричен относительно математического ожидания

5. СВ Х распределена нормально с математическим ожиданием, равным 5 и СКО, равным 2 единицы. Выражение для плотности распределения этой НРСВ имеет вид:

1)

2)

3)

6. Математическое ожидание и СКО НРСВ Х равны 10 и 2. Вероятность того, что в результате испытания СВ Х примет значение, заключенное в интервале , составляет:

1) 0,1915 2) 0,3830 3) 0,6211

7. Деталь считается годной, если отклонение Х действительного размера от размера на чертеже по абсолютной величине меньше, чем 0,7 мм. Отклонения Х от размера на чертеже являются НРСВ со значением =0,4 мм. Изготовлено 100 деталей; из них годных будет:

1) 92 2) 64 3) 71

8. Математическое ожидание и СКО НРСВ Х равны 10 и 2. Вероятность того, что в результате испытания СВ Х примет значение, заключенное в интервале составляет:

1) 0,1359 2) 0,8641 3) 0,432

9. Погрешность Х изготовления детали является НРСВ со значением a =10 и =0,1. Тогда с вероятностью 0,9973 интервал размеров деталей, симметричный относительно a =10 будет:

1) 9,7; 10,3 2) 9,8; 10,2 3) 9,9; 10,1

10. Взвешивают все изделия без систематических ошибок. Случайные ошибки Х измерения подчинены нормальному закону со значением =10 г. Вероятность того, что взвешивание будет произведено с ошибкой не превосходящей по абсолютной величине 15 г составляет:

1) 0,8664 2) 0,1336 3) 0,4332

11. НРСВ Х имеет математическое ожидание a =10 и СКО =5. С вероятностью 0,9973 величина Х попадет в интервал:

1) (5; 15) 2) (0; 20) 3) (-5; 25)

12. НРСВ Х имеет математическое ожидание a =10. Известно, что вероятность попадания Х в интервал равна 0,3. Тогда вероятность попадания СВ Х в интервал будет равна:

1) 0,1 2) 0,2 3) 0,3

13. НРСВ Х имеет математическое ожидание a =25. Вероятность попадания Х в интервал равна 0,2. Тогда вероятность попадания Х в интервал будет равна:

1) 0,1 2) 0,2 3) 0,3

14. Температура в помещении поддерживается нагревателем и имеет нормальное распределение с
и
. Вероятность того, что температура в этом помещении будет в пределах от
до
составляет:

1) 0,95 2) 0,83 3) 0,67

15. Для стандартизованного нормального распределения величина равна:

1) 1 2) 2 3)

16. Эмпирическое нормальное распределение образуется в том случае, когда:

1) действует большое число независимых случайных причин, имеющих примерно одинаковый статистический вес;

2) действует большое число сильно зависимых между собой случайных величин;

3) объем выборки небольшой.

1	Значение определяет размах кривой плотности распределения относительно математического ожидания. Для кривой 2 размах больше, то есть	(2)
2	В соответствии с уравнением для плотности НРСВ математическое ожидание a =4.	(3)
3	В соответствии с уравнением для плотности НРСВ имеем: =1; =5, то есть .	(1)
4	Верным является ответ (1).	(1)
5	Выражение для плотности распределении НРСВ имеет вид: . По условию: =2; a =5, то есть верным является ответ (1).	(1)
6	По условию =10; =2. Интервал равен . Тогда: ; . По таблицам функции Лапласа: ; . Тогда искомая вероятность:	(2)
7	По условию: =0; ;=0,4. Значит интервал будет [-0,7; 0,7]. ; . ; То есть из 100 деталей наиболее вероятно будет годных 92 штуки.	(1)

8	По условию: =10 и =2. Интервал равен . Тогда: ; . По таблицам функции Лапласа: ; ;	(1)
9	В интервал, симметричный относительно математического ожидания a =10 с вероятностью 0,9973, попадают все детали, имеющие размеры, равные , то есть ; . Таким образом:	(1)
10	По условию ,то есть =0, а интервал будет [-15;15] Тогда: ; .

Как вставить математические формулы на сайт?

Если нужно когда-никогда добавлять одну-две математические формулы на веб-страницу, то проще всего сделать это, как описано в статье : математические формулы легко вставляются на сайт в виде картинок, которые автоматически генерирует Вольфрам Альфа. Кроме простоты, этот универсальный способ поможет улучшить видимость сайта в поисковых системах. Он работает давно (и, думаю, будет работать вечно), но морально уже устарел.

Если же вы постоянно используете математические формулы на своем сайте, то я рекомендую вам использовать MathJax - специальную библиотеку JavaScript, которая отображает математические обозначения в веб-браузерах с использованием разметки MathML, LaTeX или ASCIIMathML.

Есть два способа, как начать использовать MathJax: (1) при помощи простого кода можно быстро подключить к вашему сайту скрипт MathJax, который будет в нужный момент автоматически подгружаться с удаленного сервера (список серверов ); (2) закачать скрипт MathJax с удаленного сервера на свой сервер и подключить ко всем страницам своего сайта. Второй способ - более более сложный и долгий - позволит ускорить загрузку страниц вашего сайта, и если родительский сервер MathJax по каким-то причинам станет временно недоступен, это никак не повлияет на ваш собственный сайт. Несмотря на эти преимущества, я выбрал первый способ, как более простой, быстрый и не требующий технических навыков. Следуйте моему примеру, и уже через 5 минут вы сможете использовать все возможности MathJax на своем сайте.

Подключить скрипт библиотеки MathJax с удаленного сервера можно при помощи двух вариантов кода, взятого на главном сайте MathJax или же на странице документации :

Один из этих вариантов кода нужно скопировать и вставить в код вашей веб-станицы, желательно между тегами и или же сразу после тега . По первому варианту MathJax подгружается быстрее и меньше тормозит страницу. Зато второй вариант автоматически отслеживает и подгружает свежие версии MathJax. Если вставить первый код, то его нужно будет периодически обновлять. Если вставить второй код, то страницы будут загружаться медленнее, зато вам не нужно будет постоянно следить за обновлениями MathJax.

Подключить MathJax проще всего в Blogger или WordPress: в панели управления сайтом добавьте виджет, предназначенный для вставки стороннего кода JavaScript, скопируйте в него первый или второй вариант кода загрузки, представленного выше, и разместите виджет поближе к началу шаблона (кстати, это вовсе не обязательно, поскольку скрипт MathJax загружается асинхронно). Вот и все. Теперь изучите синтаксис разметки MathML, LaTeX и ASCIIMathML, и вы готовы вставлять математические формулы на веб-страницы своего сайта.

Любой фрактал строится по определенному правилу, которое последовательно применяется неограниченное количество раз. Каждый такой раз называется итерацией.

Итеративный алгоритм построения губки Менгера достаточно простой: исходный куб со стороной 1 делится плоскостями, параллельными его граням, на 27 равных кубов. Из него удаляются один центральный куб и 6 прилежащих к нему по граням кубов. Получается множество, состоящее из 20 оставшихся меньших кубов. Поступая так же с каждым из этих кубов, получим множество, состоящее уже из 400 меньших кубов. Продолжая этот процесс бесконечно, получим губку Менгера.

Дисперсия нормальной случайной величины.

Дисперсия случайной величины есть математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной случайной величины.

Она характеризует степень разброса значений случайной величины относительно ее математического ожидания, т.е. ширину диапазона значений.

Расчетные формулы:

Дисперсия может быть вычислена через второй начальный момент:

(6.10)

Дисперсия случайной величины характеризует степень рассеивания (разброса) значений случайной величины относительно ее математического ожидания. Дисперсия СВ (как дискретной, так и непрерывной) есть неслучайная (постоянная) величина.

Дисперсия СВ имеет размерность квадрата случайной величины. Для наглядности характеристики рассеивания пользуются величиной, размерность которой совпадает с размерностью СВ.

Средним квадратическим отклонением (СКО) СВ X называется характеристика

. (6.11)

СКО измеряется в тех же физических единицах, что и СВ, и характеризует ширину диапазона значений СВ.

Свойства дисперсии

Дисперсия постоянной величины с равна нулю.

Доказательство: по определению дисперсии

При прибавлении к случайной величине Х неслучайной величины с ее дисперсия не меняется.

D [X +c ] = D [X ].

Доказательство: по определению дисперсии

(6.12)

3. При умножении случайной величины Х на неслучайную величину с ее дисперсия умножается на с 2 .

Доказательство: по определению дисперсии

. (6.13)

Для среднего квадратичного отклонения это свойство имеет вид:

(6.14)

Действительно, при ½С½>1 величина сХ имеет возможные значения (по абсолютной величине), большие, чем величина Х. Следовательно, эти значения рассеяны вокруг математического ожидания М [сХ ] больше, чем возможные значения Х вокруг М [X ], т.е. . Если 00 Границы распределения 1