Одним из важнейших в математической статистике является понятие нормального распределения. Нормальное распределение (называемое также распределением Гаусса), характеризуется тем, что крайние значения признака в нем встречаются достаточно редко, а значения, близкие к средней величине – часто. Нормальное распределение возникает, когда данная случайная величина представляет собой сумму большого числа независимых случайных величин, каждая из которых играет в образовании всей суммы незначительную роль.
Нормальное распределение имеет колоколообразную форму, значения моды, медианы и среднего арифметического равны между собой. Было установлено, что многие биологические параметры распределены подобным образом (рост, вес и так далее). Впоследствии психологи выяснили, что и большинство психологических свойств (показатели интеллекта͵ темпераментных особенностей, способностей и другие психические явления) также имеют нормальное распределение. Этот принцип учитывается при стандартизации тестовых методик. При этом, чем больше объём выборки, тем более полученное эмпирическое распределение приближается к нормальному.
Характерное свойство нормального распределения состоит в том, что 68,26 % из всех его наблюдений всегда лежат в диапазоне ± 1 стандартное отклонение от среднего арифметического (какова бы ни была величина стандартного отклонения). 95,44 % - в пределах ± двух стандартных отклонений и 99,72 – в пределах ± трех стандартных отклонений.
Нормальное распределение - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Нормальное распределение" 2017, 2018.
Классическое нормальное распределение НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НАРАБОТКИ ДО ОТКАЗА Лекция 6 Нормальное распределение или распределение Гаусса является наиболее универсальным, удобным и широко применяемым. Считается, что... .
Рассмотрим Пример 2, в котором случайная величина Х представлена выборкой {хi}. Эти данные получены оператором при измерении свойства А с помощью СИ. Значение А является постоянным. Случайные возмущения на входе и выходе СИ привели к тому, что (xj) рассеяны в диапазоне D = xmax -... .
Равномерное распределение Некоторые абсолютно непрерывные распределения Определение.Равномерным распределением на отрезке называют распределение с плотностью ОпределениеНормальным распределением c параметрами и называют распределение с плотностью... .
Определение 1. Непрерывная случайная величина называется распределённой логарифмически-нормально (логнормально), если её логарифм подчинён нормальному закону распределения. Так как при неравенства и равносильны, то функция распределения логнормального распределения... .
Определение 7. Непрерывная случайная величина имеет нормальное распределение, с двумя параметрами a, s, если, s>0. (5) Тот факт, что случайная величина имеет нормальное распределение, будем кратко записывать в виде Х ~ N(a;s). Покажем, что p(x) – плотность (показано в... .
Определение 7. Непрерывная случайная величина имеет нормальное распределение, с двумя параметрами a, s, если, s>0. (5) Тот факт, что случайная величина имеет нормальное распределение, будем кратко записывать в виде Х ~ N(a;s). Покажем, что p(x) – плотность (показано в...
Если мы применяем параметрические методы (к примеру, формулу для расчета коэффициента корреляции Браве-Пирсона или дисперсионный анализ) которые следует применять только тогда, когда известно или доказано, что распределение признака является нормальным (Суходольский Г.В., 1972; Шеффе Г., 1980 и др.), то в этом случае нам необходимо убедиться в нормальности распределения результативного признака. Нормальность распределения результативного признака можно проверить путем расчета показателей асимметрии и эксцесса и сопоставления их с критическими значениями (Пустыльник Е.И., 1968, Плохинский Н.А.. 1970 и др.). Рассмотрим применение метода Е.И. Пустыльника на примере.
Действовать будем по следующему алгоритму:
рассчитаем критические значения показателей асимметрии и эксцесса по формулам Е.И. Пустыльника и сопоставим с ними эмпирические значения;
если эмпирические значения показателей окажутся ниже критических, сделаем вывод о том, что распределение признака не отличается от нормального.
Расчет эмпирических показателей асимметрии и эксцесса будем производить по формулам данным ранее.
Сначала сделаем расчет промежуточных значений, который удобно выполнять поэтапно, занося данные в таблицу (Таблица 3.6.).
Таблица 3.6. Расчет промежуточных значений
№ (*.¦ - *) (х. - х)2 (*, - *) (Л, -*)4
1 и 0,94 0,884 0,831 0,781
2 13 2,94 8,644 25,412 74,712
3 12 1,94 3,764 7,301 14,165
4 9 -1,06 1,124 -1,191 1,262
5 10 -0,06 0,004 -0,000 0,000
6 11 0,94 0,884 0,831 0,781
7 8 -2,06 4,244 -8,742 18,009
8 10 -0,06 0,004 -0,000 0,000
9 15 4,94 24,404 120,554 595,536
10 14 3,94 15,524 61,163 240,982
11 8 -2,06 4,244 -8,742 18,009
12 7 -3,06 9,364 -28,653 87,677
13 10 -0,06 0,004 -0,000 0,000
14 10 -0,06 0,004 -0,000 0,000
15 5 -5,06 25,604 -129,554 655,544
16 8 -2,06 4,244 -8,742 18,009
Суммы 161 102,944 30,468 1725,467
Для расчетов в таблице, необходимо значение среднего арифметического, которое вычисляется по формуле:
Л = - -¦¦¦-
п
где Xj - каждое наблюдаемое значение признака;
п - количество наблюдений. В данном случае:
* = 10,06 16
Стандартное отклонение (сигма) вычисляется по формуле:
п- 1
где х^ - каждое наблюдаемое значение признака; х - среднее значение (среднее арифметическое); п " количество наблюдений. В данном случае:
ст =
,02"944 = Д893 = 2,62
V 16-1
Подставляя в формулы для расчета А и Е полученные значения n, с и соответствующие
значения из таблицы, получаем:
. +30,468 Л _
А = г = +0,106
16 2,62
16 2,62
Теперь рассчитаем критические значения для показателей А и Е по формулам Е.И. Пустыльника:
V(« + l)-(n + 3)
Ар =3"- V "
Е«Р ~5 Л|/_ . ,42
24 я (я - 2) (я - 3) (и + I)2 (я + 3) (и + 5) где п - количество наблюдений.
В данном случае:
(16 + 1) (16 + 3) V 323
I *qrrr
89
-кр
I 2416-(16-2) (16-3) _5 169888 ?кр_5"^(16 + 1)2-(16+3)(16 + 5) V115311
Аамп=0,Ю6
"-эмп^-гл-кр
Еэмп -0,71 1 Еэмп^Екр
Так как эмпирические значения А и Е меньше критических значений, то можно сделать следующий вывод: распределение результативного признака в данном примере не отличается от нормального распределения.
Закон нормального распределения, или как его еще называют – кривая Гаусса, является одним из основных столпов в теории вероятности. Его применение можно проследить практически во всех сферах современного человеческого знания, от физики до философии. Я же попробую в кратком обзоре на примерах, объяснить как можно применить этот принцип, при аналитике народных процессов в социологии.
Хотя точное вычисление кривой Гаусса и требует решения довольно сложного уравнения, в этом тексте знания высшей математики вам не потребуются. И так, давайте для начала поймем, в общих чертах, в чем смысл этого графика, на примере изображения, показанного в заголовке статьи. Закон нормального распределения показывает вероятность некоторого значения из некоторой градации этих самых значений. Ось X является цифровым представлением этой самой градации и уходит от нуля в обе стороны до относительной бесконечности (но в некоторых случая она жестка ограничена). Ось Y является показателем величины вероятности значения из градации и может быть от нуля до одного. Сложно? Нет, все просто, взгляните вот на этот график и вам станет все довольно ясно.
Допустим, вы идете по улице, хотите спросить что-то умное у прохожего, и обращаясь к случайному человеку, вы можете быть уверены в том, что с максимально вероятностью он будет человеком среднего ума, в меньшей вероятности, что он будет дураком или умником и в практически минимальной возможности – гением или откровенным тупицей.
Одним словом этот график показывает вероятностное распределение интеллектуальности общества. Таким образом, обратившись к любой позиции на графике, можно сказать, какова вероятность при переборе людей, встретить гения, умного или дурака.
Естественно этот график является просто примером, и может не иметь никакого отношения к реальности. Для реальной же картины подобного рода, должен работать целый статистический комитет. Как можно понять из приведенного примера, график может деформироваться, в ту или иную сторону, и представлять уже иную вероятность. Показанный же график, называется – Стандартным нормальным распределением, потому что такая форма кривой вероятности установлена самой природой. И если мы обратимся в мир биосферы, и будем оценивать разные вероятности, то обнаружим, что данная форма кривой будут доминировать.
В определении ЗНР я указал, что ось X уходит по обе стороны в бесконечность. Дело в том, что оценка, каких либо общественных величин методом живой статистики, является явлением, находящемся только в настоящем времени. Общество не стоит на месте, оно постоянно движется, развивается или деградирует, поэтому сейчас оно одно, завтра другое, а значит, будет и другая форма и положение кривой Гаусса. Если не уходить с позиции стандартного нормального распределения, то для демонстрации вышесказанного можно опереться на ту же кривую вероятности интеллектуальной развитости общества.
График представляет собой пример оценки интеллектуального развития общества за некоторый необъявленный промежуток времени. Зеленая кривая, находящаяся на нуле, показывает положение дел «раньше». Красная и синяя кривые показывают момент «сейчас». Две кривые (красная и синяя) показаны исключительно в качестве иллюстрации, так как в реальной ситуации будет только одна из них, ведь общество не может одновременно развиться и деградировать по одному и тому же критерию оценки. Разбор одной из кривых, например красной, покажет вот такую картину. Общество поумнело на две единицы градации, что стало причиной того, чтоте люди, которые раньше считались очень умными, стали обычным явлением, те, кого раньше считали гениями, стали частенько встречаться и уже не являются чем-то необычным, а не очень умные в былые времена люди стали считаться чуть ли не дегенератами. Полностью противоположная картина будет при оценке синей кривой. Ее кстати очень хорошо продемонстрировал фильм «Идиократия», в котором «человек со средним умом» попав в будущее, оказался умнейшим человеком на земле, потому что за столетия, общество умственно деградировало настолько, что уровень дегенерата в нем стал среднестатистическим.
На основе понимания и умения выстраивать эти графики, можно не только оценивать движение общества в прошлом, но и строить планы на будущее на основе осознания того, как должно быть. Например, усиленно рассматриваемую мной в последнее время проблему алкоголизации общества, можно привести вот в такой форме. (Это чисто мое субъективное мнение, сформированное не математической статистикой, а тем, что я лично вижу вокруг себя.)
Тут присутствует жесткое ограничение оси X , за пределами которого, толкование кривой становится бессмысленно. На приведенном графике я определил четкие границы рассматриваемого явления – от идейного трезвенника до запойного алкоголика. Ясно, что попытка оценить точку кривой за этим диапазоном невозможна, из-за отсутствия величины оценки. В умственном развитии, конечно, тоже есть границы диапазона, но правда такова, что он настолько велик, что проще определить его как бесконечность, нежели как ограниченную величину. Так же на графике видна деформация одной из кривых, что является естественным положением дел в отношении описываемого явления.
И так, на графике красной кривой, показано приблизительное положение дел с алкоголизацией Российского общества на данный момент времени. Зеленой линией демонстрируется положение вещей с употреблением алкоголя «как должно быть» в нормальном (здоровом и думающем) обществе. Таким образом, мы видим, очень печальное положение вещей в данный момент. Если начать перебирать людей поштучно, мы выясним, что наиболее часто среди них будут встречаться пассивные алкоголики (термин определенный мной в прошлой статье «Алкогольная арифметика с картинками», обозначающий человека регулярно (через день, раз в неделю, раз в месяц, неважно, важно то, что ему это нравиться и он на этом сидит) выпивающего независимо от количества выпиваемого).Приблизительно с равной вероятностью будут встречаться позволяющий себе выпить (т. е. равнодушные – предложат, выпьет, не предложат не будет) и алкоголики. С еще чуть меньшей вероятностью – совсем падшие и запойные алкоголики. Трезвенник при таком положение вещей - откровенный рецидив, а идейный трезвенник, так вообще явление крайне редкое. (Идейный трезвенник – человек который не просто ведет трезвый образ жизни, а несет при этом некую идеологию, например, прямо заявляет о принципах здорового общества.)
В нормальном же обществе (зеленая кривая), трезвенник должен быть нормой. С минимальным отрывом от него должен идти идейный трезвенник. А вот равнодушный человек, позволяющий не отказаться от рюмочки, уходит в область рецидива, и становиться чуть ли не врагом общества. Пассивных алкоголиков как вы понимаете в том обществе вообще нет, так как они не смогут в нем существовать (они будут откровенными врагами народа, из-за того что понижают этику и демографию общества). Последнее как раз и выражено деформацией зеленой кривой Гаусса.
Ясное дело, что в этом крохотном тексте просто невозможно уложить всю полноту возможных вариантов применения закона нормального распределения в социологии. Но я надеюсь, что почву для размышлений я дал.
На мой взгляд, знанием данного закона, должен обладать любой человек, хотя бы чуть-чуть задумывающийся о своем будущем. А ведь, как известно – свое будущее, прямо зависит от будущего общества в целом, т. е. среды, в которой мы все живем. И если каждый будет знать, куда, а главное как нужно идти, то это уже гарантия уверенности, что мы идем к чему-то лучшему.
________________________________________ ________________________________________ ____
Случайные величины связаны со случайными событиями. О случайных событиях говорят тогда, когда оказывается невозможным однозначно предсказать результат, который может быть получен в тех или иных условиях.
Предположим, мы бросаем обыкновенную монету. Обычно результат этой процедуры не является однозначно определенным. Можно лишь с уверенностью утверждать, что произойдет одно из двух: либо выпадет "орел", либо "решка". Любое из этих событий будет случайным. Можно ввести переменную, которая будет описывать исход этого случайного события. Очевидно, что эта переменная будет принимать два дискретных значения: "орел" и "решка". Поскольку мы заранее точно не можем предугадать, какое из двух возможных значений примет эта переменная, можно утверждать, что в этом случае мы имеем дело со случайными величинами.
Предположим теперь, что в эксперименте мы проводим оценку времени реакции испытуемого при предъявлении какого-либо стимула. Как правило, оказывается, что даже тогда, когда экспериментатор предпримет все меры к тому, чтобы стандартизировать экспериментальные условия, минимизировав или даже сведя к нулю возможные вариации в предъявлении стимула, измеренные величины времени реакции испытуемого все равно будут различаться. В таком случае говорят, что время реакции испытуемого описывается случайной величиной. Поскольку в принципе в эксперименте мы можем получить любое значение времени реакции – множество возможных значений времени реакции, которые можно получить в результате измерений, оказывается бесконечным, – говорят о непрерывности этой случайной величины.
Возникает вопрос: существуют ли какие-либо закономерности в поведении случайных величин? Ответ на этот вопрос оказывается утвердительным.
Так, если провести бесконечно большое число подбрасываний одной и той же монеты, можно обнаружить, что число выпадений каждой из двух сторон монеты окажется примерно одинаковым, если, конечно, монета не фальшивая и не гнутая. Чтобы подчеркнуть эту закономерность, вводят понятие вероятности случайного события. Ясно, что в случае с подбрасыванием монеты одно из двух возможных событий произойдет непременно. Это обусловлено тем, что суммарная вероятность этих двух событий, иначе называемая полной вероятностью, равна 100%. Если предположить, что оба из двух событий, связанных с испытанием монеты, происходят с равными долями вероятности, то вероятность каждого исхода в отдельности, очевидно, оказывается равной 50%. Таким образом, теоретические размышления позволяют нам описать поведение данной случайной величины. Такое описание в математической статистике обозначается термином "распределение случайной величины" .
Сложнее обстоит дело со случайной величиной, которая не имеет четко определенного набора значений, т.е. оказывается непрерывной. Но и в этом случае можно отметить некоторые важные закономерности ее поведения. Так, проводя эксперимент с измерением времени реакции испытуемого, можно отметить, что различные интервалы длительности реакции испытуемого оцениваются с разной степенью вероятности. Скорее всего, редко, когда испытуемый будет реагировать слишком быстро. Например, в задачах семантического решения испытуемым практически не удается более или менее точно реагировать со скоростью менее 500 мс (1/2 с). Аналогично маловероятно, что испытуемый, добросовестно следующий инструкциям экспериментатора, будет сильно затягивать свой ответ. В задачах семантического решения, например, реакции, оцениваемые более чем 5 с, обычно рассматриваются как недостоверные. Тем не менее со 100%-ной уверенностью можно предполагать, что время реакции испытуемого окажется в диапазоне от О до +со. Но эта вероятность складывается из вероятностей каждого отдельного значения случайной величины. Поэтому распределение непрерывной случайной величины можно описать в виде непрерывной функции у = f (х ).
Если мы имеем дело с дискретной случайной величиной, когда все возможные ее значения заранее известны, как в примере с монетой, построить модель ее распределения, как правило, оказывается не очень сложным. Достаточно ввести лишь некоторые разумные допущения, как мы это сделали в рассматриваемом примере. Сложнее обстоит дело с распределением непрерывных величии, принимающих заранее неизвестное число значений. Конечно, если бы мы, например, разработали теоретическую модель, описывающую поведение испытуемого в эксперименте с измерением времени реакции при решении задачи семантического решения, можно было бы попытаться на основе этой модели описать теоретическое распределение конкретных значений времени реакции одного и того же испытуемого при предъявлении одного и того же стимула. Однако такое не всегда оказывается возможным. Поэтому экспериментатор бывает вынужденным предположить, что распределение интересующей его случайной величины описывается каким-либо уже заранее исследованным законом. Чаще всего, хотя это, возможно, и не всегда оказывается абсолютно корректным, для этих целей используется так называемое нормальное распределение, выступающее в качестве эталона распределения любой случайной величины независимо от ее природы. Это распределение впервые было описано математически еще в первой половине XVIII в. де Муавром.
Нормальное распределение имеет место тогда, когда интересующее нас явление подвержено влиянию бесконечного числа случайных факторов, уравновешивающих друг друга. Формально нормальное распределение, как показал де Муавр, может быть описано следующим соотношением:
где х представляет собой интересующую нас случайную величину, поведение которой мы исследуем; Р – значение вероятности, связанное с этой случайной величиной; π и е – известные математические константы, описывающие соответственно отношение длины окружности к диаметру и основание натурального логарифма; μ и σ2 – параметры нормального распределения случайной величины – соответственно математическое ожидание и дисперсия случайной величины х.
Для описания нормального распределения оказывается необходимым и достаточным определение лишь параметров μ и σ2.
Поэтому если мы имеем случайную величину, поведение которой описывается уравнением (1.1) с произвольными значениями μ и σ2, то можем обозначить его как Ν (μ, σ2), не держа в памяти всех деталей этого уравнения.
Рис. 1.1.
Любое распределение можно представить наглядно в виде графика. Графически нормальное распределение имеет вид колоколообразной кривой, точная форма которой определяется параметрами распределения, т.е. математическим ожиданием и дисперсией. Параметры нормального распределения могут принимать практически любые значения, которые оказываются ограничены лишь используемой экспериментатором измерительной шкалой. В теории значение математического ожидания может равняться любому числу из диапазона чисел от -∞ до +∞, а дисперсия – любому неотрицательному числу. Поэтому существует бесконечное множество различных видов нормального распределения и соответственно бесконечное множество кривых, его представляющих (имеющих, однако, сходную колоколообразную форму). Понятно, что все их описать невозможно. Однако, если известны параметры конкретного нормального распределения, его можно преобразовать к так называемому единичному нормальному распределению, математическое ожидание для которого равно нулю, а дисперсия – единице. Такое нормальное распределение называют еще стандартным или z-распределением. График единичного нормального распределения представлен на рис. 1.1, откуда очевидно, что вершина колоколообразной кривой нормального распределения характеризует величину математического ожидания. Другой параметр нормального распределения – дисперсия – характеризует степень "распластанности" колоколообразной кривой относительно горизонтали (оси абсцисс).
Читатель наверняка уже обратил внимание на особенности распределения, представленного в таблице 1 и на рисунке 2. Большинство случаев расположены в центре ряда, а приближаясь к крайним значениям, происходит долгий плавный спад. На графике нет разрывов - нет классов, которые были бы отделены друг от друга. Кроме этого, график по обе стороны симметричен; это означает, что если его разделить вертикальной линией по центру, то получившиеся две половинки окажутся примерно одинаковыми. Такой график распределения своей формой похож на колокол, это так называемое «нормальное распределение», которое чаще всего встречается при измерениях индивидуальных различий. В своем идеальном виде нормальное распределение изображено на рисунке 3.
Понятие нормального распределения в статистике используется уже давно. Вероятность какого-либо события представляет собой частоту его наступления, зафиксированного очень большим количеством наблюдений. Эта вероятность представляет собой определенное соотношение, точнее, дробь, числителем которой является ожидаемый результат, а знаменателем - все возможные результаты. Таким образом, вероятность, или шансы, того, что две монеты выпадут одной и той же стороной, например решкой, будет один к четырем, или 1 / 4 . Это следует из того факта, что существует всего четыре возможные комбинации выпадения монет РР, РО, ОР, ОО, где Р - решка, а О - орел. Одна из четырех, РР, означает выпадение только решек. Вероятность выпадения двух орлов будет также составлять 1 / 4 , а вероятность выпадения решки какой-либо одной монеты при выпадении орла другой составит один к двум, или 1 / 2 . Даже если число монет увеличить, скажем, до 100, и количество возможных комбинаций станет очень большим, то мы по-прежнему сможем математически определить вероятность возникновения каждой комбинации, например, выпадения всех решек или 20 решек и 80 орлов. Эти вероятности, или ожидаемую частоту выпадений, можно изобразить графически описанным выше методом. Если число монет будет очень велико, то построенный график окажется колокольной формы, то есть графиком нормального распределения.
0 1 2 3 4 5 6 Количество выпадений решек
Рис. 4. Теоретическое (пунктир, линия) и фактически наблюдаемое (сплошная линия) распределение количества выпадений решек в 128 случаях подбрасывания шести монет. (Данные из Гилфорда, 10, с. 119.)
Рис. 3. График нормального распределения
На рисунке 4 можно найти теоретический и фактический графики, показывающие количество выпадения решек в 128 случаях подбрасывания шести монет. При каждом броске число решек, естественно, может варьироваться от 0 до 6. Чаще всего будет выпадать комбинация из трех решек (и трех орлов). Частота возрастает или понижается, когда число решек становится меньше или больше трех. На рисунке 4 теоретически вычисленные вероятности обозначены пунктирной линией, в то время как реальная частота, полученная в результате 128 последовательных подбрасываний шести монет, начерчена непрерывной линией. Необходимо заметить, что ожидаемые и фактически полученные результаты достаточно близки друг к другу. Чем больше количество наблюдений (или бросков), тем больше вероятность их совпадения.
Чем большее количество монет подбрасывается, тем ближе будет график теоретически ожидаемого распределения к графику нормальной вероятности. Говорят, что результаты, получаемые при подбрасывании монет или бросании игральных костей, зависят от «случайности». Под этим подразумевается, что результат определяется большим количеством независимых факторов, влияние которых учесть невозможно. Высота, с которой бросают монету или игральную кость, ее вес и размер, подкрутка, которую делает бросающий, и многие другие подобные факторы определяют в каждом отдельном случае, какой стороной упадет монета. График нормального распределения был впервые построен математиками Лапласом и Гауссом в связи с исследованиями ими игры случая, распределения отклонений в наблюдениях и других типов случайных изменений.
Уже в девятнадцатом веке бельгийский статистик Адольф Кутелет первым применил понятие нормального распределения к исследованию качеств человека (ср. 4). Кутелет обратил внимание на то, что определенные измерения роста, объема грудной клетки армейских призывников распределялись в соответствии с графиком вероятности колокольной формы. На основании сходства этого графика с данными человеческой изменчивости, он построил теорию, согласно которой такая человеческая изменчивость имеет место, когда природа стремилась воплотить «идеал», или норму, но в силу различных обстоятельств потерпела неудачу. Иными словами, человеческий рост, вес, уровень интеллектуального развития зависят от огромного количества независимых факторов, так что конечный результат окажется распределенным в соответствии с теорией вероятности. Опыт Кутелета по применению графика нормального распределения был переосмыслен и развит Гальтоном, чей вклад в дифференциальную психологию уже обсуждался нами в главе 1. У Гальтона график нормального распределения получил широкое и разнообразное применение, многие наработки были связаны с квантификацией и преобразованием данных, касающихся как индивидуальных, так и групповых различий.
Определить, является ли распределение, воспроизведенное в таблице 1 и на рисунке 2, «нормальным» можно путем применения соответствующих математических процедур. Несмотря на незначительные отклонения, этот график не отличается существенно от графика нормального распределения. Таким образом, мы можем сделать вывод, что его расхождение с нормой находится в пределах ожидаемых флуктуации, и считать его графиком нормального распределения. Многие распределения, открытые в дифференциальной психологии, так же соответствуют математическим вариантам нормального распределения, особенно когда они получаются в результате применения тщательно сконструированных измерительных приборов на больших репрезентативных выборках. В остальных случаях распределение может соответствовать нормальному лишь приблизительно. Оно может представлять собой некую непрерывность и быть более или менее симметричным, отражая то, что большинство индивидов находятся в центре ряда, а ближе к крайним значениям их количество постепенно и плавно снижается.
На рисунках 5-10 мы видим примеры графиков распределения, отражающих широкое разнообразие свойств человека. Эти распределения были выбраны специально, потому что они основаны на больших репрезентативных выборках, большинство из которых включало в себя 1000 и более случаев. Два графика, построенные для меньших групп, приводятся для того, чтобы показать распределение физиологических и личностных характеристик в таких областях, где данные для больших групп сравнительно скудные.
Рис. 5. Распределение роста у 8585 коренных англичан. (Данные из Юля и Кенделла, 34, с. 95.)
Рис. 6. Распределение качества, связанного с возможностями легких, у 1633 студентов мужского колледжа. (Данные из Харриса и др., 12, с. 94.)
Пример распределения слабоструктурированного качества дан на рисунке 5, который показывает рост в дюймах 8585 коренных англичан. Можно заметить, что график практически совпадает с математически нормальным графиком. На рисунке 6 представлен частотный график более функционального, физиологического качества, связанного с возможностями легких. Это измеряющийся в кубических сантиметрах объем воздуха, который выдувается из легких после максимально глубокого вдоха. Необходимые для построения графика измерения были сделаны на 1633 студентах мужского колледжа. Общее соответствие нормальному графику здесь так же очевидно.
Рисунок 7 связан с физиологическими измерениями, которые, как считается, имеют отношение к эмоциональным и личностным свойствам. На нем показано распределение показателей 87 детей по данным композиционного измерения автономного баланса. Высокие результаты в этом исследовании показывают функциональное преобладание парасимпатического отдела периферической нервной системы; низкие значения - функциональное преобладание ее симпатического отдела. Для психологов периферическая нервная система представляет особый интерес, он связан с той ролью, которую она играет в эмоциональном поведении.
График, представленный на рисунке 8 иллюстрирует распределение результатов теста на скорость и точность восприятия. Результатом является общее число вычеркнутых за одну минуту букв А на пестром листе. Этот тест считается просто тестом на внимание и восприятие, хотя скорость и координация движений здесь тоже имеют значение. В этой связи можно вспомнить данные теста на простое научение, зафиксированные в таблице 1 и на рисунке 2. Этот тест требовал применения кода, состоявшего из парных, не имеющих смысла слогов. Оба теста предлагались одной и той же группе, состоящей из 1000 студентов колледжа, и оба дали распределения, лежащие в пределах ожидаемых математических значений нормального графика.
Показатель автономного баланса
Рис. 7. Распределение значений оценок автономного баланса у 87 детей в возрасте от 6 До 12 лет. (Данные из Уингера и Эллингтона, 33, с. 252.)
Рис. 8. Количество вычеркнутых за одну минуту букв А 1000 студентами колледжа. (Данные из Анастази, 2, с. 32.)
Рис. 9. Измерение IQ репрезентативной выборки, состоящей из 2904 детей в возрасте от 2 до 18 лет, по шкале Стэнфорд - Бине. (Данные от Термена и Меррилла, 27, с. 37.)
На рисунке 9 мы видим типичные результаты применения интеллектуального теста в условиях большой выборки. Она показывает распределение IQ (Стэнфорд - Бине, редакция 1937 года) 2904 детей в возрасте от 2 до 18 лет. График показывает, что в наибольшем проценте случаев IQ испытуемых находится в пределах среднего интервала, от 95 до 104 баллов. Процент постепенно снижается до 1, поскольку IQ лишь очень малого числа детей находится в пределах между 35 и 44 и между 165 и 174 баллами. В данное распределение не включались данные по находящимся в интернатах слабоумным детям, выборка была также ограничена и по ряду других параметров. Так, в нее вошли только белые американцы с несколько преувеличенной (по сравнению с реальным населением страны) пропорцией городских жителей. Большую часть выборки составили учащиеся начальной школы, и хотя организаторы стремились к тому, чтобы обеспечить полноценное участие в тестировании групп старших и самых младших возрастов, их число едва ли соответствовало числу тестируемых учащихся начальной школы. Отметим, что весь ряд IQ для целостной популяции, на самом деле, как свидетельствуют данные, полученные разными исследователями, простирается от значений, близких к 0, до значений, несколько превышающих 200.
Рис. 10. Распределение 600 учениц колледжа по результатам теста Оллпорта на доминирование-подчинение. (Данные из Рагглза и Оллпорта, 24, с. 520.)
В качестве последней иллюстрации рассмотрим рисунок 10, содержащий распределение результатов широко используемого личностного опросника. График показывает распределение 600 учениц колледжа по результатам теста Оллпорта на доминирование-подчинение. Целью этого личностного опросника было исследование стремления индивида доминировать над другими членами группы в повседневной жизни или подчиняться им. Рисунок 10 показывает, что, несмотря на биполярное определение качества (противопоставление доминирования и подчинения), большинство результатов испытуемых располагаются вокруг середины шкалы и распределение приближается к нормальному. Иными словами, биполярное наименование качества не должно вводить нас в заблуждение, что индивидов можно классифицировать на доминирующих и подчиняющихся. Как и другие измеряемые свойства человека, данное личностное качество имеет множество степеней проявления; и при этом большинство людей относятся к промежуточным типам.
Рис. 11. Скошенное распределение
