Если нам нужно разделить 497 на 4, то при делении мы увидим, что 497 не делится на 4 нацело, т.е. остаётся остаток от деления.
В таких случаях говорят, что выполнено деление с остатком
, и решение записывают в таком виде:
497: 4 = 124 (1 остаток).
Компоненты деления в левой части равенства называют так же, как при делении без остатка: 497 - делимое , 4 - делитель . Результат деления при делении с остатком называют неполным частным . В нашем случае это число 124. И, наконец, последний компонент, которого нет в обычном делении, - остаток . В тех случаях, когда остатка нет, говорят, что одно число разделилось на другое без остатка, или нацело . Считают, что при таком делении остаток равен нулю. В нашем случае остаток равен 1.
Остаток всегда меньше делителя.
Проверку при делении можно сделать умножением. Если, например, имеется равенство 64: 32 = 2, то проверку можно сделать так: 64 = 32 * 2.
Часто в случаях, когда выполняется деление с остатком, удобно использовать равенство
а = b * n + r ,
где а - делимое, b - делитель, n - неполное частное, r - остаток.
Частное от деления натуральных чисел можно записать в виде дроби.
Числитель дроби - это делимое, а знаменатель - делитель.
Поскольку числитель дроби - это делимое, а знаменатель - делитель, считают, что черта дроби означает действие деление . Иногда бывает удобно записывать деление в виде дроби, не используя знак «:».
Частное от деления натуральных чисел m и n можно записать в виде дроби \(\frac{m}{n} \), где числитель m - делимое, а
знаменатель п - делитель:
\(m:n = \frac{m}{n} \)
Верны следующие правила:
Чтобы получить дробь \(\frac{m}{n} \), надо единицу разделить на n равных частей (долей) и взять m таких частей.
Чтобы получить дробь \(\frac{m}{n} \), надо число m разделить на число n.
Чтобы найти часть от целого, надо число, соответствующее целому, разделить на знаменатель и результат умножить на числитель дроби, которая выражает эту часть.
Чтобы найти целое по его части, надо число, соответствующее этой части, разделить на числитель и результат умножить на знаменатель дроби, которая выражает эту часть.
Если и числитель, и знаменатель дроби умножить на одно и то же число (кроме нуля), величина дроби не изменится:
\(\large \frac{a}{b} = \frac{a \cdot n}{b \cdot n} \)
Если и числитель, и знаменатель дроби разделить на одно и то же число (кроме нуля), величина дроби не изменится:
\(\large \frac{a}{b} = \frac{a: m}{b: m} \)
Это свойство называют основным свойством дроби
.
Два последних преобразования называют сокращением дроби .
Если дроби нужно представить в виде дробей с одним и тем же знаменателем, то такое действие называют приведением дробей к общему знаменателю .
Правильные и неправильные дроби. Смешанные числа
Вы уже знаете, что дробь можно получить, если разделить целое на равные части и взять несколько таких частей. Например, дробь \(\frac{3}{4} \) означает три четвёртых доли единицы. Во многих задачах предыдущего параграфа обыкновенные дроби использовались для обозначения части целого. Здравый смысл подсказывает, что часть всегда должна быть меньше целого, но как тогда быть с такими дробями, как, например, \(\frac{5}{5} \) или \(\frac{8}{5} \)? Ясно, что это уже не часть единицы. Наверное, поэтому такие дроби, у которых числитель больше знаменателя или равен ему, называют неправильными дробями . Остальные дроби, т. е. дроби, у которых числитель меньше знаменателя, называют правильными дробями .
Как вы знаете, любую обыкновенную дробь, и правильную, и неправильную, можно рассматривать как результат деления числителя на знаменатель. Поэтому в математике, в отличие от обычного языка, термин «неправильная дробь» означает не то, что мы что-то сделали неправильно, а только то, что у этой дроби числитель больше знаменателя или равен ему.
Если число состоит из целой части и дроби, то такие дроби называются смешанными .
Например:
\(5:3 = 1\frac{2}{3} \) : 1 - целая часть, а \(\frac{2}{3} \) - дробная часть.
Если числитель дроби \(\frac{a}{b} \) делится на натуральное число n, то, чтобы разделить эту дробь на n, надо её числитель
разделить на это число:
\(\large \frac{a}{b} : n = \frac{a:n}{b} \)
Если числитель дроби \(\frac{a}{b} \) не делится на натуральное число n, то, чтобы разделить эту дробь на n, надо её
знаменатель умножить на это число:
\(\large \frac{a}{b} : n = \frac{a}{bn} \)
Заметим, что второе правило справедливо и в том случае, когда числитель делится на n. Поэтому мы можем его применять тогда, когда трудно с первого взгляда определить, делится числитель дроби на n или нет.
Действия с дробями. Сложение дробей.
С дробными числами, как и с натуральными числами, можно выполнять арифметические действия. Рассмотрим сначала сложение дробей. Легко сложить дроби с одинаковыми знаменателями. Найдем, например, сумму \(\frac{2}{7} \) и \(\frac{3}{7} \). Легко понять, что \(\frac{2}{7} + \frac{2}{7} = \frac{5}{7} \)
Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним.
Используя буквы, правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями можно записать так:
\(\large \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c} \)
Если требуется сложить дроби с разными знаменателями, то их предварительно следует привести к общему знаменателю. Например:
\(\large \frac{2}{3}+\frac{4}{5} = \frac{2\cdot 5}{3\cdot 5}+\frac{4\cdot 3}{5\cdot 3} = \frac{10}{15}+\frac{12}{15} = \frac{10+12}{15} = \frac{22}{15} \)
Для дробей, как и для натуральных чисел, справедливы переместительное и сочетательное свойства сложения.
Сложение смешанных дробей
Такие записи, как \(2\frac{2}{3} \), называют смешанными дробями . При этом число 2 называют целой частью смешанной дроби, а число \(\frac{2}{3} \) - ее дробной частью . Запись \(2\frac{2}{3} \) читают так: «две и две трети».
При делении числа 8 на число 3 можно получить два ответа: \(\frac{8}{3} \) и \(2\frac{2}{3} \). Они выражают одно и то же дробное число, т.е \(\frac{8}{3} = 2 \frac{2}{3} \)
Таким образом, неправильная дробь \(\frac{8}{3} \) представлена в виде смешанной дроби \(2\frac{2}{3} \). В таких случаях говорят, что из неправильной дроби выделили целую часть .
Вычитание дробей (дробных чисел)
Вычитание дробных чисел, как и натуральных, определяется на основе действия сложения: вычесть из одного числа другое - это значит
найти такое число, которое при сложении со вторым дает первое. Например:
\(\frac{8}{9}-\frac{1}{9} = \frac{7}{9} \) так как \(\frac{7}{9}+\frac{1}{9} = \frac{8}{9} \)
Правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями похоже на правило сложения таких дробей:
чтобы найти разность дробей с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель
оставить прежним.
С помощью букв это правило записывается так:
\(\large \frac{a}{c}-\frac{b}{c} = \frac{a-b}{c} \)
Умножение дробей
Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе - знаменателем.
С помощью букв правило умножения дробей можно записать так:
\(\large \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} \)
Пользуясь сформулированным правилом, молено умножать дробь на натуральное число, на смешанную дробь, а также перемножать смешанные дроби. Для этого нужно натуральное число записать в виде дроби со знаменателем 1, смешанную дробь - в виде неправильной дроби.
Результат умножения надо упрощать (если это возможно), сокращая дробь и выделяя целую часть неправильной дроби.
Для дробей, как и для натуральных чисел, справедливы переместительное и сочетательное свойства умножения, а также распределительное свойство умножения относительно сложения.
Деление дробей
Возьмем дробь \(\frac{2}{3} \) и «перевернем» ее, поменяв местами числитель и знаменатель. Получим дробь \(\frac{3}{2} \). Эту дробь называют обратной дроби \(\frac{2}{3} \).
Если мы теперь «перевернем» дробь \(\frac{3}{2} \), то получим исходную дробь \(\frac{2}{3} \). Поэтому такие дроби, как \(\frac{2}{3} \) и \(\frac{3}{2} \) называют взаимно обратными .
Взаимно обратными являются, например, дроби \(\frac{6}{5} \) и \(\frac{5}{6} \), \(\frac{7}{18} \) и \(\frac{18}{7} \).
С помощью букв взаимно обратные дроби можно записать так: \(\frac{a}{b} \) и \(\frac{b}{a} \)
Понятно, что произведение взаимно обратных дробей равно 1 . Например: \(\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} =1 \)
Используя взаимно обратные дроби, можно деление дробей свести к умножению.
Правило деления дроби на дробь:
чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое умножить на дробь, обратную делителю.
Используя буквы, правило деления дробей можно записать так:
\(\large \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} \)
Если делимое или делитель является натуральным числом или смешанной дробью, то, для того чтобы воспользоваться правилом деления дробей, его надо предварительно представить в виде неправильной дроби.
Уже в начальной школе учащиеся сталкиваются с дробями. И потом они появляются в каждой теме. Забывать действия с этими числами нельзя. Поэтому нужно знать всю информацию про обыкновенные и десятичные дроби. Понятия эти несложные, главное - разбираться во всем по порядку.
Зачем нужны дроби?
Окружающий нас мир состоит из целых предметов. Поэтому в долях необходимости нет. Зато повседневная жизнь постоянно наталкивает людей на работу с частями предметов и вещей.
Например, шоколад состоит из нескольких долек. Рассмотрим ситуацию, когда его плитка образована двенадцатью прямоугольниками. Если ее разделить на двоих, то получится по 6 частей. Она хорошо разделится и на троих. А вот пятерым не удастся дать по целому числу долек шоколада.
Кстати, эти дольки - уже дроби. А дальнейшее их деление приводит к появлению более сложных чисел.
Что такое «дробь»?
Это число, состоящее из частей единицы. Внешне оно выглядит как два числа, разделенные горизонтальной или наклонной чертой. Эта черта носит название дробной. Число, записанное сверху (слева), называется числителем. То, что стоит снизу (справа), является знаменателем.
По сути, дробная черта оказывается знаком деления. То есть числитель можно назвать делимым, а знаменатель — делителем.
Какие существуют дроби?
В математике их имеется всего два вида: обыкновенные и десятичные дроби. С первыми школьники знакомятся в начальных классах, называя их просто «дроби». Вторые узнают в 5 классе. Именно тогда появляются эти названия.
Обыкновенные дроби — все те, что записываются в виде двух чисел, разделенных чертой. Например, 4/7. Десятичная — это число, в котором дробная часть имеет позиционную запись и отделяется от целой при помощи запятой. К примеру, 4,7. Учащимся нужно четко уяснить, что два приведенных примера — это совершенно разные числа.
Каждую простую дробь можно записать в виде десятичной. Это утверждение почти всегда верно и в обратном направлении. Существуют правила, которые позволяют записать обыкновенной дробью десятичную дробь.
Какие подвиды имеют указанные виды дробей?
Начать лучше в хронологическом порядке, так как они изучаются. Первыми идут обыкновенные дроби. Среди них можно выделить 5 подвидов.
Правильная. Ее числитель всегда меньше знаменателя.
Неправильная. У нее числитель больше или равен знаменателю.
Сократимая/несократимая. Она может оказаться как правильной, так и неправильной. Важно другое, есть ли у числителя со знаменателем общие множители. Если имеются, то на них полагается разделить обе части дроби, то есть сократить ее.
Смешанная. К ее привычной правильной (неправильной) дробной части приписывается целое число. Причем оно всегда стоит слева.
Составная. Она образуется из двух разделенных друг на друга дробей. То есть в ней насчитывается сразу три дробные черты.
У десятичных дробей есть всего два подвида:
конечная, то есть та, у которой дробная часть ограничена (имеет конец);
бесконечная — число, у которого цифры после запятой не заканчиваются (их можно писать бесконечно).
Как переводить десятичную дробь в обыкновенную?
Если это конечное число, то применяется ассоциация, основанная на правиле — как слышу, так пишу. То есть нужно правильно прочитать ее и записать, но уже без запятой, а с дробной чертой.
В качестве подсказки о необходимом знаменателе, нужно запомнить, что он всегда единица и несколько нулей. Последних нужно написать столько, сколько цифр в дробной части рассматриваемого числа.
Как перевести десятичные дроби в обыкновенные, если их целая часть отсутствует, то есть равна нулю? Например, 0,9 или 0,05. После применения указанного правила, получается, что нужно написать ноль целых. Но оно не указывается. Остается записать только дробные части. У первого числа знаменатель будет равен 10, у второго — 100. То есть указанные примеры ответами будут иметь числа: 9/10, 5/100. Причем последнее оказывается можно сократить на 5. Поэтому результатом для нее нужно записать 1/20.
Как из десятичной дроби сделать обыкновенную, если ее целая часть отлична от нуля? Например, 5,23 или 13,00108. В обоих примерах читается целая часть и записывается ее значение. В первом случае это — 5, во втором — 13. Потом нужно переходить к дробной части. С ними полагается провести ту же операцию. У первого числа появляется 23/100, у второго — 108/100000. Второе значение снова нужно сократить. В ответе получаются такие смешанные дроби: 5 23/100 и 13 27/25000.
Как перевести бесконечную десятичную дробь в обыкновенную?
Если она является непериодической, то такую операцию провести не удастся. Этот факт связан с тем, что каждая десятичная дробь всегда переводится или в конечную или в периодическую.
Единственное, что допускается делать с такой дробью, — это округлять ее. Но тогда десятичная будет приблизительно равно той бесконечной. Ее уже можно превратить в обыкновенную. Но обратный процесс: перевод в десятичную — никогда не даст начального значения. То есть бесконечные непериодические дроби в обыкновенные не переводятся. Это нужно запомнить.
Как записать бесконечную периодическую дробь в виде обыкновенной?
В этих числах после запятой всегда появляются одна или несколько цифр, которые повторяются. Их называют периодом. Например, 0,3(3). Здесь «3» в периоде. Их относят к классу рациональных, так как могут быть преобразованы в обыкновенные дроби.
Тем, кто встречался с периодическими дробями, известно, что они могут быть чистыми или смешанными. В первом случае период начинается сразу от запятой. Во втором — дробная часть начинается с каких-либо цифр, а потом начинается повтор.
Правило, по которому нужно записать в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную, будет разным для указанных двух видов чисел. Чистые периодические дроби записать обыкновенными достаточно просто. Как с конечными, их нужно преобразовать: в числитель записать период, а знаменателем будет цифра 9, повторяющаяся столько раз, сколько цифр содержит период.
Например, 0,(5). Целой части у числа нет, поэтому сразу нужно приступать к дробной. В числитель записать 5, а в знаменатель одну 9. То есть ответом будет дробь 5/9.
Правило о том, как записать обыкновенной десятичную периодическую дробь, являющуюся смешанной.
Посмотреть на длину периода. Столько 9 будет иметь знаменатель.
Записать знаменатель: сначала девятки, потом нули.
Чтобы определить числитель, нужно записать разность двух чисел. Уменьшаемым будут все цифры после запятой, вместе с периодом. Вычитаемым — оно же без периода.
Например, 0,5(8) - запишите периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной. В дробной части до периода стоит одна цифра. Значит ноль будет один. В периоде тоже только одна цифра — 8. То есть девятка одна. То есть в знаменателе нужно написать 90.
Для определения числителя из 58 нужно вычесть 5. Получается 53. Ответом к примеру придется записать 53/90.
Как переводятся обыкновенные дроби в десятичные?
Самым простым вариантом оказывается число, в знаменателе которого стоит число 10, 100 и прочее. Тогда знаменатель просто отбрасывается, а между дробной и целой частями ставится запятая.
Бывают ситуации, когда знаменатель легко превращается в 10, 100 и т. д. Например, числа 5, 20, 25. Их достаточно умножить на 2, 5 и 4 соответственно. Только умножать полагается не только знаменатель, но и числитель на то же число.
Для всех остальных случаев пригодится простое правило: разделить числитель на знаменатель. В этом случае может получиться два варианта ответов: конечная или периодическая десятичная дробь.
Действия с обыкновенными дробями
Сложение и вычитание
С ними учащиеся знакомятся раньше других. Причем сначала у дробей одинаковые знаменатели, а потом разные. Общие правила можно свести к такому плану.
Найти наименьшее общее кратное знаменателей.
Записать дополнительные множители ко всем обыкновенным дробям.
Умножить числители и знаменатели на определенные для них множители.
Сложить (вычесть) числители дробей, а общий знаменатель оставить без изменения.
Если числитель уменьшаемого меньше вычитаемого, то нужно выяснить, перед нами смешанное число или правильная дробь.
В первом случае у целой части нужно занять единицу. К числителю дроби прибавить знаменатель. А потом выполнять вычитание.
Во втором — необходимо применить правило вычитания из меньшего числа большее. То есть из модуля вычитаемого вычесть модуль уменьшаемого, а в ответ поставить знак «-».
Внимательно посмотреть на результат сложения (вычитания). Если получилась неправильная дробь, то полагается выделить целую часть. То есть разделить числитель на знаменатель.
Умножение и деление
Для их выполнения дроби не нужно приводить к общему знаменателю. Это упрощает выполнение действий. Но в них все равно полагается следовать правилам.
При умножении обыкновенных дробей необходимо рассмотреть числа в числителях и знаменателях. Если какой-либо числитель и знаменатель имеют общий множитель, то их можно сократить.
Перемножить числители.
Перемножить знаменатели.
Если получилась сократимая дробь, то ее полагается снова упростить.
При делении нужно сначала заменить деление на умножение, а делитель (вторую дробь) — на обратную дробь (поменять местами числитель и знаменатель).
Потом действовать, как при умножении (начиная с пункта 1).
В заданиях, где умножить (делить) нужно на целое число, последнее полагается записать в виде неправильной дроби. То есть со знаменателем 1. Потом действовать, как было описано выше.
Действия с десятичными дробями
Сложение и вычитание
Конечно, всегда можно превратить десятичную дробь в обыкновенную. И действовать по уже описанному плану. Но иногда удобнее действовать без этого перевода. Тогда правила для их сложения и вычитания будут совершенно одинаковыми.
Уравнять число цифр в дробной части числа, то есть после запятой. Приписать в ней недостающее количество нулей.
Записать дроби так, чтобы запятая оказалась под запятой.
Сложить (вычесть) как натуральные числа.
Снести запятую.
Умножение и деление
Важно, что здесь не нужно дописывать нули. Дроби полагается оставлять в том виде, как они даны в примере. А дальше идти по плану.
Для умножения нужно написать дроби одна под другой, не обращая внимание на запятые.
Умножить, как натуральные числа.
Поставить в ответе запятую, отсчитав от правого конца ответа столько цифр, сколько их стоит в дробных частях обоих множителей.
Для деления нужно сначала преобразовать делитель: сделать его натуральным числом. То есть умножить его на 10, 100 и т. д., в зависимости от того, сколько цифр в дробной части делителя.
На то же число умножить делимое.
Разделить десятичную дробь на натуральное число.
Поставить в ответе запятую в тот момент, когда закончится деление целой части.
Как быть, если в одном примере есть оба вида дробей?
Да в математике часто встречаются примеры, в которых нужно выполнить действия над обыкновенными и десятичными дробями. В таких заданиях возможны два пути решения. Нужно объективно взвесить числа и выбрать оптимальный.
Первый путь: представить обыкновенные десятичными
Он подходит, если при делении или переводе получаются конечные дроби. Если хотя бы одно число дает периодическую часть, то этот прием применять запрещено. Поэтому, даже если не нравится работать с обыкновенными дробями, придется считать их.
Второй путь: записать десятичные дроби обыкновенными
Этот прием оказывается удобным, если в части после запятой стоят 1-2 цифры. Если их больше, может получиться очень большая обыкновенная дробь и десятичные записи позволят сосчитать задание быстрее и проще. Поэтому всегда нужно трезво оценивать задание и выбирать самый простой метод решения.
Бывает, что для удобства расчетов нужно перевести обыкновенную дробь в десятичную и наоборот. О том, как это делать, мы поговорим в данной статье. Разберем правила перевода обыкновенных дробей в десятичные и обратно, а также приведем примеры.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Мы будем рассматривать перевод обыкновенных дробей в десятичные, придерживаясь определенной последовательности. Во первых, рассмотрим, как в десятичные переводятся обыкновенные дроби со знаменателем, кратным 10: 10, 100, 1000 и т.д.Дроби с такими знаменателями, по сути, являются, более громоздкой записью десятичных дробей.
Далее мы рассмотрим, как переводить в десятичные дроби обыкновенные дроби с любым, не только кратным 10, знаменателем. Отметим, что при обращении обыкновенных дробей в десятичные получаются не только конечные десятичные, но и бесконечные периодические десятичные дроби.
Приступим!
Перевод обыкновенных дробей со знаменателями 10, 100, 1000 и т.д. в десятичные дроби
Первым делом, скажем, что некоторые дроби нуждаются в определенной подготовке перед обращением в десятичный вид. В чем она заключается? Перед цифрой, стоящей в числителе, необходимо дописать столько нулей, чтобы количество цифр числителя стало равно числу нулей в знаменателе. Например, для дроби 3100 число 0 необходимо один раз дописать слева от 3 в числителе. Дробь 610, согласно изложенному выше правилу, не нуждается в доработке.
Рассмотрим еще один пример, после чего сформулируем правило, которым особенно удобно пользоваться на первых порах, пока опыта в обращении дробей не так много. Так, дробь 1610000 после дописывания нулей в числителе будет иметь вид 001510000.
Как перевести обыкновенную дробь со знаменателем 10, 100, 1000 и т.д. в десятичную?
Правило перевода обыкновенных правильных дробей в десятичные
- Записываем 0 и ставим после него запятую.
- Записываем число из числителя, которое получилось после дописывания нулей.
Теперь перейдем к примерам.
Пример 1. Перевод обыкновенных дробей в десятичные
Переведем обыкновенную дробь 39 100 в десятичную.
Сначала смотрим на дробь и видим, что никаких подготовительных действий проводить не нужно - количество цифр в числителе совпадает с количеством нулей в знаменателе.
Следуя правилу, записываем 0 , ставим после него десятичную запятую и записываем число из числителя. Получаем десятичную дробь 0 , 39 .
Разберем решение еще одного примера по этой теме.
Пример 2. Перевод обыкновенных дробей в десятичные
Запишем дробь 105 10000000 в виде десятичной дроби.
Количество нулей в знаменателе равно 7 , а в числителе только три цифры. Допишем перед числом в числителе еще 4 нуля:
0000105 10000000
Теперь записываем 0 , ставим после него десятичную запятую и записываем число из числителя. Получаем десятичную дробь 0 , 0000105 .
Рассмотренные во всех примерах дроби - обыкновенные правильные дроби. Но как перевести неправильную обыкновенную дробь в десятичную? Сразу скажем, что необходимость в подготовке с дописыванием нулей для таких дробей отпадает. Сформулируем правило.
Правило перевода обыкновенных неправильных дробей в десятичные
- Записываем число, которое находится в числителе.
- Десятичной запятой отделяем столько цифр справа, сколько нулей есть в знаменателе исходной обыкновенной дроби.
Ниже приведем пример на использование этого правила.
Пример 3. Перевод обыкновенных дробей в десятичные
Переведем дробь 56888038009 100000 из обыкновенной неправильной в десятичную.
Сначала запишем число из числителя:
Теперь справа отделим десятичной запятой пять цифр (количество нулей в знаменателе - пять). Получим:
Следующий вопрос, который закономерно возникает: как перевести в десятичную дробь смешанное число, если знаменателем его дробной части является число 10, 100, 1000 и т.д. Для обращения в десятичную дробь такого числа можно воспользоваться следующим правилом.
Правило перевода смешанных чисел в десятичные дроби
- Выполняем подготовку дробной части числа, если это необходимо.
- Записываем целую часть исходного числа и ставим после него запятую.
- Записываем число из числителя дробной части вместе с дописанными нулями.
Обратимся к примеру.
Пример 4. Перевод смешанных чисел в десятичные дроби
Переведем смешанное число 23 17 10000 в десятичную дробь.
В дробной части имеем выражение 17 10000 . Выполним его подготовку и допишем слева от числителя еще два нуля. Получим: 0017 10000 .
Теперь записываем целую часть числа и ставим после него запятую: 23 , . .
После запятой записываем число из числителя вместе с нулями. Получаем результат:
23 17 10000 = 23 , 0017
Перевод обыкновенных дробей в конечные и бесконечные периодические дроби
Конечно, можно переводить в десятичные дроби и обыкновенные дроби со знаменателем, не равным 10, 100, 1000 и т.д.
Часто дробь можно легко привести к новому знаменателю, а затем уже воспользоваться правилом, изложенным в первом пункте данной статьи. Например, достаточно умножить числитель и знаменатель дроби 25 на 2, и мы получим дробь 410, которая легко приводится к десятичному виду 0,4.
Однако такой способ перевода обыкновенной дроби в десятичную удается использовать не всегда. Ниже рассмотрим, как поступать, если применить рассмотренный способ невозможно.
Принципиально новый способ обращения обыкновенной дроби в десятичную сводится к делению числителя на знаменатель столбиком. Эта операция очень похожа на деление натуральных чисел столбиком, но имеет свои особенности.
Числитель при делении представляется в виде десятичной дроби - справа от последней цифры числителя ставится запятая и дописываются нули. В получившемся частном десятичная запятая ставится тогда, когда заканчивается деление целой части числителя. Как именно работает этот способ, станет понятно после рассмотрения примеров.
Пример 5. Перевод обыкновенных дробей в десятичные
Переведем обыкновенную дробь 621 4 в десятичный вид.
Представим число 621 из числителя в виде десятичной дроби, добавив после запятой несколько нулей. 621 = 621 , 00
Теперь разделим столбиком 621 , 00 на 4 . Первые три шага деления будут такими же, как при делении натуральных чисел, и мы получим.
Когда мы добрались до десятичной запятой в делимом, а остаток отличен от нуля, ставим в частном десятичную запятую, и продолжаем делить, не обращая более внимания на запятую в делимом.
В итоге мы получаем десятичную дробь 155 , 25 , которая и является результатом обращения обыкновенной дроби 621 4
621 4 = 155 , 25
Рассмотрим решение еще одного примера, чтобы закрепить материал.
Пример 6. Перевод обыкновенных дробей в десятичные
Обратим обыкновенную дробь 21 800 .
Для этого в столбик разделим дробь 21 , 000 на 800 . Деление целой части закончится на первом же шаге, поэтому сразу после него ставим в частном десятичную запятую и продолжаем деление, не обращая внимания на запятую в делимом до того момента, пока не получим остаток, равный нулю.
В результате мы получили: 21 800 = 0 , 02625 .
Но как быть, если при делении мы так и не получим в остатке 0. В таких случаях деление можно продолжать бесконечно долго. Однако, начиная с определенного шага, остатки будут периодически повторяться. Соответственно, будут повторяться и цифры в частном. Это значит, что обыкновенная дробь переводится в десятичную бесконечную периодическую дробь. Проиллюстрируем сказанное на примере.
Пример 7. Перевод обыкновенных дробей в десятичные
Обратим обыкновенную дробь 19 44 в десятичную. Для этого выполним деление столбиком.
Мы видим, что при делении повторяются остатки 8 и 36 . При этом в частном повторяются цифры 1 и 8 . Это и есть период в десятичной дроби. При записи эти цифры берутся в скобки.
Таким образом, исходная обыкновенная дробь переведена в бесконечную периодическую десятичную дробь.
19 44 = 0 , 43 (18) .
Пусть перед нами несократимая обыкновенная дробь. К какому виду она приведется? Какие обыкновенные дроби переводятся в конечные десятичные, а какие - в бесконечные периодические?
Во первых, скажем, что если дробь удается привести к одному из знаменателей 10, 100, 1000.., то она будет иметь вид конечной десятичной дроби. Чтобы дробь приводилась к одному из таких знаменателей, ее знаменатель должен быть делителем хотя бы одного из чисел 10, 100, 1000 и т.д. Из правил разложения чисел на простые множители следует, что делитель чисел 10, 100, 1000 и т.д. должен, при разложении на простые множители, содержать лишь числа 2 и 5.
Подытожим сказанное:
- Обыкновенную дробь можно привести к виду конечной десятичной дроби, если ее знаменатель можно разложить на простые множители 2 и 5.
- Если кроме чисел 2 и 5 в разложении знаменателя присутствуют другие простые числа, дробь приводится к виду бесконечной периодической десятичной дроби.
Приведем пример.
Пример 8. Перевод обыкновенных дробей в десятичные
Какая из данных дробей 47 20 , 7 12 , 21 56 , 31 17 переводится в конечную десятичную дробь, а какая - только в периодическую. Дадим ответ на этот вопрос, не выполняя непосредственно перевода обыкновенной дроби в десятичную.
Дробь 47 20 , как легко заметить, умножением числителя и знаменателя на 5 приводится к новому знаменателю 100 .
47 20 = 235 100 . Отсюда делаем вывод, что данная дробь переводится в конечную десятичную дробь.
Разложение знаменателя дроби 7 12 на множители дает 12 = 2 · 2 · 3 . Так как простой множитель 3 отличен от 2 и от 5 , данная дробь не может быть представлена в виде конечной десятичной дроби, а будет иметь вид бесконечной периодической дроби.
Дробь 21 56 , во-первых, нужно сократить. После сокращения на 7 получим несократимую дробь 3 8 , разложение знаменателя которой на множители дает 8 = 2 · 2 · 2 . Следовательно, это конечная десятичная дробь.
В случае с дробью 31 17 разложение знаменателя на множители представляет собой само простое число 17 . Соответственно, эту дробь можно обратить в бесконечную периодическую десятичную дробь.
Обыкновенную дробь нельзя перевести в бесконечную и непериодическую десятичную дробь
Выше мы говорили только о конечных и бесконечных периодических дробях. Но может ли какая-либо обыкновенная дробь быть обращена в вид бесконечной непериодической дроби?
Отвечаем: нет!
Важно!
При переводе бесконечной дроби в десятичную получается либо конечная десятичная дробь, либо бесконечная периодическая десятичная дробь.
Остаток от деления всегда меньше делителя. Другими словами, согласно теореме о делимости, если мы делим какое-то натуральное число на число q, то остаток деления в любом случае не может быть больше, чем q-1. После окончания деления возможна одна из следующих ситуаций:
- Мы получаем в остатке 0, и на этом деление заканчивается.
- Мы получаем остаток, который при последующем делении повторяется, в результате мы имеем бесконечную периодическую дробь.
Иных вариантов при обращении обыкновенной дроби в десятичную не может быть. Скажем также, что длина периода (количество цифр) в бесконечной периодической дроби всегда меньше, чем число цифр в знаменателе соответствующей обыкновенной дроби.
Перевод десятичных дробей в обыкновенные дроби
Теперь пришло время рассмотреть обратный процесс перевода десятичной дроби в обыкновенную. Сформулируем правило перевода, которое включает три этапа. Как перевести десятичную дробь в обыкновенную?
Правило перевода десятичных дробей в обыкновенные дроби
- В числитель записываем число из исходной десятичной дроби, отбросив запятую и все нули слева, если они есть.
- В знаменатель записываем единицу и за ней столько нулей, сколько цифр есть в исходной десятичной дроби после запятой.
- При необходимости сокращаем полученную обыкновенную дробь.
Рассмотрим применение данного правила на примерах.
Пример 8. Перевод десятичных дробей в обыкновенные
Представим число 3 , 025 в виде обыкновенной дроби.
- В числитель записываем саму десятичную дробь, отбросив запятую: 3025 .
- В знаменателе пишем единицу, а после нее три нуля - именно столько цифр содержится в исходной дроби после запятой: 3025 1000 .
- Полученную дробь 3025 1000 можно сократить на 25 , в результате чего мы получим: 3025 1000 = 121 40 .
Пример 9. Перевод десятичных дробей в обыкновенные
Переведем дробь 0 , 0017 из десятичных в обыкновенные.
- В числителе запишем дробь 0 , 0017 , отбросив запятую и нули слева. Получится 17 .
- В знаменатель записываем единицу, а после нее пишем четыре нуля: 17 10000 . Данная дробь несократима.
Если в десятичной дроби есть целая часть, то такую дробь можно сразу перевести в смешанное число. Как это сделать?
Сформулируем еще одно правило.
Правило перевода десятичных дробей в смешанные числа.
- Число, стоящее в дроби до запятой, записываем как целая часть смешанного числа.
- В числителе записываем число, стоящее в дроби после запятой, отбросив нули слева, если они есть.
- В знаменателе дробной части дописываем единицу и столько нулей, сколько цифр есть в дробной части после запятой.
Обратимся к примеру
Пример 10. Перевод десятичной дроби в смешанное число
Представим дробь 155 , 06005 в виде смешанного числа.
- Записываем число 155 , как целую часть.
- В числителе записываем цифры после запятой, отбросив нуль.
- В знаменателе записываем единицу и пять нулей
Поучаем смешанное число: 155 6005 100000
Дробную часть можно сократить на 5 . Сокращаем, и получаем финальный результат:
155 , 06005 = 155 1201 20000
Перевод бесконечных периодических десятичных дробей в обыкновенные дроби
Разберем на примерах, как осуществлять перевод периодических десятичных дробей в обыкновенные. Прежде чем начать, уточним: любую периодическую десятичную дробь можно перевести в обыкновенную.
Самый простой случай - период дроби равен нулю. Периодическая дробь с нулевым периодом заменяется на конечную десятичную дробь, а процесс обращения такой дроби сводится к обращению конечной десятичной дроби.
Пример 11. Перевод периодической десятичной дроби в обыкновенную
Обратим периодическую дробь 3 , 75 (0) .
Отбросив нули справа, получим конечную десятичную дробь 3 , 75 .
Обращая данную дробь в обыкновенную по алгоритму, разобранному в предыдущих пунктах, получаем:
3 , 75 (0) = 3 , 75 = 375 100 = 15 4 .
Как быть, если период дроби отличен от нуля? Периодическую часть следует рассматривать как сумму членов геометрический прогрессии, которая убывает. Поясним это на примере:
0 , (74) = 0 , 74 + 0 , 0074 + 0 , 000074 + 0 , 00000074 + . .
Для суммы членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии существует формула. Если первый член прогрессии равен b , а знаменатель q таков, что 0 < q < 1 , то сумма равна b 1 - q .
Рассмотрим несколько примеров с применением данной формулы.
Пример 12. Перевод периодической десятичной дроби в обыкновенную
Пусть у нас есть периодическая дробь 0 , (8) и нам нужно перевести ее в обыкновенную.
0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . .
Здесь мы имеем бесконечную убывающую геометрическую прогрессию с первым членом 0 , 8 и знаменателем 0 , 1 .
Применим формулу:
0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . . = 0 , 8 1 - 0 , 1 = 0 , 8 0 , 9 = 8 9
Это и есть искомая обыкновенная дробь.
Для закрепления материала рассмотрим еще один пример.
Пример 13. Перевод периодической десятичной дроби в обыкновенную
Обратим дробь 0 , 43 (18) .
Сначала записываем дробь в виде бесконечной суммы:
0 , 43 (18) = 0 , 43 + (0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . .)
Рассмотрим слагаемые в скобках. Эту геометрическую прогрессию можно представить в следующем виде:
0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . . = 0 , 0018 1 - 0 , 01 = 0 , 0018 0 , 99 = 18 9900 .
Полученное прибавляем к конечной дроби 0 , 43 = 43 100 и получаем результат:
0 , 43 (18) = 43 100 + 18 9900
После сложения данных дробей и сокращения получим окончательный ответ:
0 , 43 (18) = 19 44
В завершение данной статьи скажем, что непериодические бесконечный десятичные дроби нельзя перевести в вид обыкновенных дробей.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Вот, казалось бы, перевод десятичной дроби в обычную — элементарная тема, но многие ученики её не понимают! Поэтому сегодня мы подробно рассмотрим сразу несколько алгоритмов, с помощью которых вы разберётесь с любыми дробями буквально за секунду.
Напомню, что существует как минимум две формы записи одной и той же дроби: обыкновенная и десятичная. Десятичные дроби — это всевозможные конструкции вида 0,75; 1,33; и даже −7,41. А вот примеры обыкновенных дробей, которые выражают те же самые числа:
Сейчас разберёмся: как от десятичной записи перейти к обычной? И самое главное: как сделать это максимально быстро?
Основной алгоритм
На самом деле существует как минимум два алгоритма. И мы сейчас рассмотрим оба. Начнём с первого — самого простого и понятного.
Чтобы перевести десятичную дробь в обыкновенную, необходимо выполнить три шага:
Важное замечание по поводу отрицательных чисел. Если в исходном примере перед десятичной дробью стоит знак «минус», то и на выходе перед обыкновенной дробью тоже должен стоять «минус». Вот ещё несколько примеров:
Примеры перехода от десятичной записи дробей к обычной
Особое внимание хотелось бы обратить на последний пример. Как видим, в дроби 0,0025 присутствует много нулей после запятой. Из-за этого приходится аж целых четыре раза умножать числитель и знаменатель на 10. Можно ли как-то упростить алгоритм в этом случае?
Конечно, можно. И сейчас мы рассмотрим альтернативный алгоритм — он чуть более сложен для восприятия, но после небольшой практики работает намного быстрее стандартного.
Более быстрый способ
В данном алгоритме также 3 шага. Чтобы получить обычную дробь из десятичной, нужно выполнить следующее:
- Посчитать, сколько цифр стоит после запятой. Например, у дроби 1,75 таких цифр две, а у 0,0025 — четыре. Обозначим это количество буквой $n$.
- Переписать исходное число в виде дроби вида $\frac{a}{{{10}^{n}}}$, где $a$ — это все цифры исходной дроби (без «стартовых» нулей слева, если они есть), а $n$ — то самое количество цифр после запятой, которое мы посчитали на первом шаге. Другими словами, необходимо разделить цифры исходной дроби на единицу с $n$ нулями.
- По возможности сократить полученную дробь.
Вот и всё! На первый взгляд, эта схема сложнее предыдущей. Но на самом деле он и проще, и быстрее. Судите сами:
Как видим, в дроби 0,64 после запятой стоит две цифры — 6 и 4. Поэтому $n=2$. Если убрать запятую и нули слева (в данном случае — всего один ноль), то получим число 64. Переходим ко второму шагу: ${{10}^{n}}={{10}^{2}}=100$, поэтому в знаменателе стоит именно сто. Ну а затем остаётся лишь сократить числитель и знаменатель.:)
Ещё один пример:
Здесь всё чуть сложнее. Во-первых, цифр после запятой уже 3 штуки, т.е. $n=3$, поэтому делить придётся на ${{10}^{n}}={{10}^{3}}=1000$. Во-вторых, если убрать из десятичной записи запятую, то мы получим вот это: 0,004 → 0004. Вспомним, что нули слева надо убрать, поэтому по факту у нас число 4. Дальше всё просто: делим, сокращаем и получаем ответ.
Наконец, последний пример:
Особенность этой дроби — наличие целой части. Поэтому на выходе у нас получается неправильная дробь 47/25. Можно, конечно, попытаться разделить 47 на 25 с остатком и таким образом вновь выделить целую часть. Но зачем усложнять себе жизнь, если это можно сделать ещё на этапе преобразований? Что ж, разберёмся.
Что делать с целой частью
На самом деле всё очень просто: если мы хотим получить правильную дробь, то необходимо убрать из неё целую часть на время преобразований, а затем, когда получим результат, вновь дописать её справа перед дробной чертой.
Например, рассмотрим то же самое число: 1,88. Забьём на единицу (целую часть) и посмотрим на дробь 0,88. Она легко преобразуется:
Затем вспоминаем про «утерянную» единицу и дописываем её спереди:
\[\frac{22}{25}\to 1\frac{22}{25}\]
Вот и всё! Ответ получился тем же самым, что и после выделения целой части в прошлый раз. Ещё парочка примеров:
\[\begin{align}& 2,15\to 0,15=\frac{15}{100}=\frac{3}{20}\to 2\frac{3}{20}; \\& 13,8\to 0,8=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}\to 13\frac{4}{5}. \\\end{align}\]
В этом и состоит прелесть математики: каким бы путём вы не пошли, если все вычисления выполнены правильно, ответ всегда будет одним и тем же.:)
В заключение хотел бы рассмотреть ещё один приём, который многим помогает.
Преобразования «на слух»
Давайте задумаемся о том, что вообще такое десятичная дробь. Точнее, как мы её читаем. Например, число 0,64 — мы читаем его как «ноль целых, 64 сотых», правильно? Ну, или просто «64 сотых». Ключевое слово здесь — «сотых», т.е. число 100.
А что насчёт 0,004? Это же «ноль целых, 4 тысячных» или просто «четыре тысячных». Так или иначе, ключевое слово — «тысячных», т.е. 1000.
Ну и что в этом такого? А то, что именно эти числа в итоге «всплывают» в знаменателях на втором этапе алгоритма. Т.е. 0,004 — это «четыре тысячных» или «4 разделить на 1000»:
Попробуйте потренироваться сами — это очень просто. Главное — правильно прочесть исходную дробь. Например, 2,5 — это «2 целых, 5 десятых», поэтому
А какое-нибудь 1,125 — это «1 целая, 125 тысячных», поэтому
В последнем примере, конечно, кто-то возразит, мол, не всякому ученику очевидно, что 1000 делится на 125. Но здесь нужно помнить, что 1000 = 10 3 , а 10 = 2 ∙ 5, поэтому
\[\begin{align}& 1000=10\cdot 10\cdot 10=2\cdot 5\cdot 2\cdot 5\cdot 2\cdot 5= \\& =2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 5\cdot 5=8\cdot 125\end{align}\]
Таким образом, любая степень десятки раскладывается лишь на множители 2 и 5 — именно эти множители нужно искать и в числителе, чтобы в итоге всё сократилось.
На этом урок окончен. Переходим к более сложной обратной операции — см. «
Дробь представляет собой число, которое состоит из одной или нескольких долей единицы. В математике существует три вида дробей: обыкновенные, смешанные и десятичные.
Обыкновенные дроби
Обыкновенная дробь записывается как соотношение, в котором в числителе отражается, сколько взято частей от числа, а знаменатель показывает, на сколько частей разделена единица. Если числитель меньше знаменателя, то перед нами правильная дробь.Например: ½, 3/5, 8/9.
Если числитель равен знаменателю или больше его, то мы имеем дело с неправильной дробью. Например: 5/5, 9/4, 5/2 При делении числителя может получиться конечное число. Например, 40/8 = 5. Следовательно, любое целое число может быть записано в виде обыкновенной неправильной дроби или ряда таких дробей. Рассмотрим записи одного и того же числа в виде ряда различных .
- Смешанные дроби
В общем виде смешанная дробь может быть представлена формулой:
Таким образом, смешанная дробь записывается как целое число и обыкновенная правильная дробь, а под такой записью понимают сумму целого и его дробной части.
- Десятичные дроби
Десятичная дробь – это особая разновидность дроби, у которой знаменатель может быть представлен как степень числа 10. Существуют бесконечные и конечные десятичные дроби. При записи этой разновидности дроби сначала указывается целая часть, затем через разделитель (точку или запятую) фиксируется дробная часть.
Запись дробной части всегда определяется ее размерностью. Десятичная запись выглядит следующим образом:
Правила перевода между различными видами дробей
- Перевод смешанной дроби в обыкновенную
Смешанную дробь можно перевести только в неправильную. Для перевода необходимо целую часть привести и тому же знаменателю, что и дробную. В общем виде это будет выглядеть следующим образом:
Рассмотрим использование этого правила на конкретных примерах:
- Перевод обыкновенной дроби в смешанную
Неправильную обыкновенную дробь можно превратить в смешанную путем простого деления, в результате которого находится целая часть и остаток (дробная часть).
Для примера переведем дробь 439/31 в смешанную:
- Перевод обыкновенной дроби
В некоторых случаях перевести дробь в десятичную достаточно просто. В этом случае применяется основное свойство дроби, числитель и знаменатель умножаются на одно и то же числу, для того, чтобы привести делитель к степени числа 10.
Например:
В некоторых случаях может понадобиться найти частное путем деления уголком или с помощью калькулятора. А некоторые дроби невозможно привести к конечной десятичной дроби. Например, дробь 1/3 при делении никогда не даст конечный результат.
