Как понять основные понятия алгебраических дробей. Основное свойство алгебраической дроби: формулировка, доказательство, примеры применения

Когда ученик переходит в старшую школу, математика разделяется на 2 предмета: алгебру и геометрию. Понятий становится все больше, задания все сложнее. У некоторых возникают трудности с восприятием дробей. Пропустили первый урок по этой теме, и вуаля. дроби? Вопрос, который будет мучить на протяжении всей школьной жизни.

Понятие алгебраической дроби

Начнем с определения. Под алгебраической дробью понимается выражения P/Q, где P является числителем, а Q - знаменателем. Под буквенной записью может скрываться число, числовое выражение, численно-буквенное выражение.

Прежде чем задаваться вопросом, как решать алгебраические дроби, для начала нужно понимать, что подобное выражение - часть целого.

Как правило, целое - это 1. Число в знаменателе показывает, на сколько частей разделили единицу. Числитель необходим для того, чтобы узнать, сколько элементов взято. Дробная черта соответствует знаку деления. Допускается запись дробного выражения в качестве математической операции «Деление». В таком случае числитель - делимое, знаменатель - делитель.

Основное правило обыкновенных дробей

Когда учащиеся проходят данную тему в школе, им дают примеры на закрепление. Чтобы правильно их решать и находить различные пути из сложных ситуаций, нужно применять основное свойство дробей.

Оно звучит так: Если умножить и числитель, и знаменатель на одно и то же число или выражение (отличные от нуля), то значение обыкновенной дроби не изменится. Частным случаем от данного правила является разделение обеих частей выражения на одно и то же число или многочлен. Подобные преобразования называются тождественными равенствами.

Ниже будет рассмотрено, как решать сложение и вычитание алгебраических дробей, производить умножение, деление и сокращение дробей.

Математические операции с дробями

Рассмотрим, как решать, основное свойство алгебраической дроби, как применять его на практике. Если нужно перемножить две дроби, сложить их, разделить одну на другую или произвести вычитание, нужно всегда придерживаться правил.

Так, для операции сложения и вычитания следует найти дополнительный множитель, чтобы привести выражения к общему знаменателю. Если изначально дроби даны с одинаковыми выражениями Q, то нужно опустить этот пункт. Когда общий знаменатель найден, как решать алгебраические дроби? Нужно сложить или вычесть числители. Но! Нужно помнить, что при наличии знака «-» перед дробью все знаки в числителе меняются на противоположные. Иногда не следует производить каких-либо подстановок и математических операций. Достаточно поменять знак перед дробью.

Часто используется такое понятие, как сокращение дробей . Это означает следующее: если числитель и знаменатель разделить на отличное от единицы выражение (одинаковое для обеих частей), то получается новая дробь. Делимое и делитель меньше прежних, но в силу основного правила дробей остаются равными изначальному примеру.

Целью этой операции является получение нового несократимого выражения. Решить данную задачу можно, если сократить числитель и знаменатель на наибольший общий делитель. Алгоритм операции состоит из двух пунктов:

1. Нахождение НОД для обеих частей дроби.
2. Деление числителя и знаменателя на найденное выражение и получение несократимой дроби, равной предшествующей.

Ниже показана таблица, в которой расписаны формулы. Для удобства ее можно распечатать и носить с собой в тетради. Однако, чтобы в будущем при решении контрольной или экзамена не возникло трудностей в вопросе, как решать алгебраические дроби, указанные формулы нужно выучить наизусть.

Несколько примеров с решениями

С теоретической точки зрения рассмотрен вопрос, как решать алгебраические дроби. Примеры, приведенные в статье, помогут лучше усвоить материал.

1. Преобразовать дроби и привести их к общему знаменателю.

2. Преобразовать дроби и привести их к общему знаменателю.

После изучения теоретической части и расссмотрения практической вопросов больше возникнуть не должно.

Но в то время мы его сформулировали в «упрощенной» форме, удобной и достаточной для работы с обыкновенными дробями. В этой статье мы взглянем на основное свойство дроби применительно к алгебраическим дробям (то есть, к дробям, числителем и знаменателем которых являются многочлены, в некоторых учебниках алгебры такие дроби называют не алгебраическими, а рациональными дробями). Сначала сформулируем основное свойство алгебраической дроби , обоснуем его, а после этого перечислим основные области его применения.

Навигация по странице.

Формулировка и обоснование

Для начала напомним, как было сформулировано основное свойство дроби для обыкновенных дробей: если одновременно числитель и знаменатель обыкновенной дроби умножить или разделить на некоторое натуральное число, то значение дроби не изменится. Этому утверждению отвечают равенства и (которые справедливы и с переставленными частями в виде и ), где a , b и m – некоторые .

Фактически про деление числителя и знаменателя на число можно не говорить – этот случай покрывается равенством вида . Например, равенство можно обосновать через деление с использованием равенства как , но его же можно обосновать и на основании равенства как . Поэтому дальше мы будем ассоциировать основное свойство дроби с равенством (и ), и не будем останавливаться на равенстве (и ).

Теперь покажем, что основное свойство дроби распространяется и на дроби, числителем и знаменателем которых являются . Для этого докажем, что записанное равенство справедливо не только для натуральных чисел, но и для любых действительных чисел. Иными словами, докажем, что равенство справедливо для любых действительных чисел a , b и m , причем b и m – отличны от нуля (иначе мы столкнемся с делением на нуль).

Пусть дробь a/b является записью числа z , то есть, . Докажем, что дробь также отвечает числу z , то есть, докажем, что . Это будет доказывать равенство .

Стоит отметить, что если алгебраическая дробь имеет дробные коэффициенты, то умножение ее числителя и знаменателя не некоторое число позволяет перейти к целым коэффициентам, и тем самым упростить ее вид. К примеру, . А на умножении числителя и знаменателя на минус единицу основаны правила изменения знаков у членов алгебраической дроби .

Вторая важнейшая сфера применения основного свойства дроби – это сокращение алгебраических дробей . Сокращение в общем случае проводится в два этапа: сначала числитель и знаменатель раскладываются на множители, что позволяет отыскать общий множитель m , а дальше на базе равенства осуществляется переход к дроби вида a/b без этого общего множителя. Например, алгебраическая дробь после разложения числителя и знаменателя на множители принимает вид www.сайт , включая внутренние материалы и внешнее оформление, нельзя воспроизводить в какой-либо форме или использовать без предварительного письменного разрешения правообладателя.

На данном уроке рассматривается понятие алгебраической дроби. С дробями человек встречается в самых простых жизненных ситуациях: когда необходимо разделить некий объект на несколько частей, например, разрезать торт поровну на десять человек. Очевидно, что каждому достанется почасти торта. В указанном случае мы сталкиваемся с понятием числовой дроби, однако возможна ситуация, когда объект делится на неизвестное количество частей, например, на x. В таком случае возникает понятие дробного выражения. С целыми выражениями (не содержащими деление на выражения с переменными) и их свойствами вы уже познакомились в 7 классе. Далее мы рассмотрим понятие рациональной дроби, а также допустимых значений переменных.

Рациональные выражения делятся на целые и дробные выражения .

Определение. Рациональная дробь - дробное выражение вида , где - многочлены. - числитель, - знаменатель.

Примеры рациональных выражений: - дробные выражения; - целые выражения. В первом выражении, к примеру, в роли числителя выступает , а знаменателя - .

Значение алгебраической дроби , как и любого алгебраического выражения , зависит от численного значения тех переменных, которые в него входят. В частности, в первом примере значение дроби зависит от значений переменных и , а во втором только от значения переменной .

Рассмотрим первую типовую задачу: вычисление значения рациональной дроби при различных значениях входящих в нее переменных.

Пример 1. Вычислить значение дроби при а) , б) , в)

Решение. Подставим значения переменных в указанную дробь: а) , б) , в) - не существует (т. к. на ноль делить нельзя).

Ответ: а) 3; б) 1; в) не существует.

Как видим, возникает две типовые задачи для любой дроби: 1) вычисление дроби, 2) нахождение допустимых и недопустимых значений буквенных переменных.

Определение. Допустимые значения переменных - значения переменных, при которых выражение имеет смысл. Множество всех допустимых значений переменных называется ОДЗ или область определения .

Значение буквенных переменных может оказаться недопустимым, если знаменатель дроби при этих значениях равен нулю. Во всех остальных случаях значение переменных являются допустимыми, т. к. дробь можно вычислить.

Пример 2.

Решение. Чтобы данное выражение имело смысл, необходимо и достаточно, чтобы знаменатель дроби не равнялся нулю. Таким образом, недопустимыми будут только те значения переменной, при которых знаменатель будет равняться нулю. Знаменатель дроби , поэтому решим линейное уравнение:

Следовательно, при значении переменной дробь не имеет смысла.

Ответ: -5.

Из решения примера вытекает правило нахождения недопустимых значений переменных - знаменатель дроби приравнивается к нулю и находятся корни соответствующего уравнения.

Рассмотрим несколько аналогичных примеров.

Пример 3. Установить, при каких значениях переменной не имеет смысла дробь.

Решение. .

Ответ. .

Пример 4. Установить, при каких значениях переменной не имеет смысла дробь .

Решение. .

Встречаются и другие формулировки данной задачи - найти область определения или область допустимых значений выражения (ОДЗ) . Это означает - найти все допустимые значения переменных. В нашем примере - это все значения, кроме . Область определения удобно изображать на числовой оси.

Для этого на ней выколем точку , как это указано на рисунке:

Рис. 1

Таким образом, областью определения дроби будут все числа, кроме 3.

Ответ. .

Пример 5. Установить, при каких значениях переменной не имеет смысла дробь .

Решение. .

Изобразим полученное решение на числовой оси:

Рис. 2

Ответ. .

Пример 6.

Решение. . Мы получили равенство двух переменных, приведем числовые примеры: или и т. д.

Изобразим это решение на графике в декартовой системе координат:

Рис. 3. График функции

Координаты любой точки, лежащей на данном графике, не входят в область допустимых значений дроби.

Ответ. .

В рассмотренных примерах мы сталкивались с ситуацией, когда возникало деление на ноль. Теперь рассмотрим случай, когда возникает более интересная ситуация с делением типа .

Пример 7. Установить, при каких значениях переменных не имеет смысла дробь .

Решение. .

Получается, что дробь не имеет смысла при . Но можно возразить, что это не так, потому что: .

Может показаться, что если конечное выражение равно 8 при , то и исходное тоже возможно вычислить, а, следовательно, имеет смысл при . Однако, если подставить в исходное выражение, то получим - не имеет смысла.

Ответ. .

Чтобы подробнее разобраться с этим примером, решим следующую задачу: при каких значениях указанная дробь равна нулю?

§ 1 Понятие алгебраической дроби

Алгебраической дробью называют выражение

где Р и Q —многочлены; Р — числитель алгебраической дроби, Q — знаменатель алгебраической дроби.

Вот примеры алгебраических дробей:

Любой многочлен - это частный случай алгебраической дроби, потому что любой многочлен можно записать в виде

Например:

Значение алгебраической дроби зависит от значения переменных.

Например, вычислим значение дроби

1)

2)

В первом случае получаем:

Заметим, данную дробь можно сократить:

Таким образом, вычисление значения алгебраической дроби упрощается. Воспользуемся этим.

Во втором случае получим:

Как видно, с изменением значений переменных изменилось значение алгебраической дроби.

§ 2 Допустимые значения переменных алгебраической дроби

Рассмотрим алгебраическую дробь

Значение x = -1 является недопустимым для данной дроби, т.к. знаменатель дроби при таком значении х обращается в нуль. При этом значении переменной алгебраическая дробь не имеет смысла.

Таким образом, допустимыми значениями переменных алгебраической дроби являются такие значения переменных, при которых знаменатель дроби не обращается в нуль.

Решим несколько примеров.

При каких значениях переменной не имеет смысла алгебраическая дробь:

Для нахождения недопустимых значений переменных знаменатель дроби приравнивается к нулю, и находятся корни соответствующего уравнения.

При каких значениях переменной равна нулю алгебраическая дробь:

Дробь равна нулю, если числитель равен нулю. Приравняем к нулю числитель нашей дроби и найдем корни получившегося уравнения:

Таким образом, при x = 0 и x= 3 данная алгебраическая дробь не имеет смысла, а значит, мы должны исключить эти значения переменной из ответа.

Итак, на этом уроке Вы изучили основные понятия алгебраической дроби: числитель и знаменатель дроби, а также допустимые значения переменных алгебраической дроби.

Список использованной литературы:

1. Мордкович А.Г. «Алгебра» 8 класс. В 2 ч. Ч.1 Учебник для общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович. – 9-е изд., перераб. – М.: Мнемозина, 2007. – 215 с.: ил.
2. Мордкович А.Г. «Алгебра» 8 класс. В 2 ч. Ч.2 Задачник для общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская. – 8-е изд., – М.: Мнемозина, 2006 – 239с.
3. Алгебра. 8 класс. Контрольные работы для учащихся образовательных учреждений Л.А. Александрова под ред. А.Г. Мордковича 2-е изд., стер. - М.: Мнемозина 2009. - 40с.
4. Алгебра. 8 класс. Самостоятельные работы для учащихся образовательных учреждений: к учебнику А.Г. Мордковича, Л.А. Александрова под ред. А.Г. Мордковича. 9-е изд., стер. - М.: Мнемозина 2013. - 112с.