Шаповалова Л.А. (ст. Егорлыкская, МБОУ ЕСОШ № 11)
1. Глейзер Г.И. История математики в школе VII – VIII классы, пособие для учителей, – М: Просвещение, 1982.
2. Демпан И.Я., Виленкин Н.Я. «За страницами учебника математики» Пособие для учащихся 5-6 классов. – М.: Просвещение, 1989.
3. Зенкевич И.Г. «Эстетика урока математики». – М.: Просвещение, 1981.
4. Литцман В. Теорема Пифагора. – М., 1960.
5. Волошинов А.В. «Пифагор». – М., 1993.
6. Пичурин Л.Ф. «За страницами учебника алгебры». – М., 1990.
7. Земляков А.Н. «Геометрия в 10 классе». – М., 1986.
8. Газета «Математика» 17/1996.
9. Газета «Математика» 3/1997.
10. Антонов Н.П., Выгодский М.Я., Никитин В.В., Санкин А.И. «Сборник задач по элементарной математики». – М., 1963.
11. Дорофеев Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х. «Пособие по математике». – М., 1973.
12. Щетников А.И. «Пифагорейское учение о числе и величине». – Новосибирск, 1997.
13. «Действительные числа. Иррациональные выражения» 8 класс. Издательство Томского университета. – Томск, 1997.
14. Атанасян М.С. «Геометрия» 7-9 класс. – М.: Просвещение, 1991.
15. URL: www.moypifagor.narod.ru/
16. URL: http://www.zaitseva-irina.ru/html/f1103454849.html.
В этом учебном году я познакомились с интересной теоремой, известной, как оказалось с древнейших времён:
«Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника равновелик сумме квадратов построенных на катетах».
Обычно открытие этого утверждения приписывают древнегреческому философу и математику Пифагору (VI век до н.э). Но изучение древних рукописей показало, что это утверждение было известно задолго до рождения Пифагора.
Я заинтересовались, почему в таком случае её связывают с именем Пифагора.
Актуальность темы: Теорема Пифагора имеет огромное значение: применяется в геометрии буквально на каждом шагу. Я считаю, что труды Пифагора до сих пор актуальны, ведь куда бы мы ни посмотрели, везде можно увидеть плоды его великих идей, воплощенные в различные отрасли современной жизни.
Целью моего исследования было: узнать, кто такой был Пифагор, и какое отношение он имеет к этой теореме.
Изучая историю теоремы, я решила выяснить:
Существуют ли другие доказательства этой теоремы?
Каково значение этой теоремы в жизни людей?
Какую роль сыграл Пифагор в развитии математики?
Из биографии Пифагора
Пифагор Самосский - великий греческий учёный. Его известность связана с названием теоремы Пифагора. Хотя сейчас уже мы знаем, что эта теорема была известна в древнем Вавилоне за 1200 лет до Пифагора, а в Египте за 2000 лет до него был известен прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5, мы по-прежнему называем её по имени этого древнего учёного.
Про жизнь Пифагора достоверно почти ничего неизвестно, но с его именем связано большое количество легенд.
Пифагор родился в 570 году до н.э на острове Самос.
Пифагор имел красивую внешность, носил длинную бороду, а на голове золотую диадему. Пифагор - это не имя, а прозвище, которое философ получил за то, что всегда говорил верно и убедительно, как греческий оракул. (Пифагор - «убеждающий речью»).
В 550 году до н.э Пифагор принимает решение и отправляется в Египет. Итак, перед Пифагором открывается неизвестная страна и неведомая культура. Многое поражало и удивляло Пифагора в этой стране, и после некоторых наблюдений за жизнью египтян Пифагор понял, что путь к знаниям, охраняемым кастой жрецов, лежит через религию.
После одиннадцати лет обучения в Египте Пифагор отправляется на родину, где по пути попадает в Вавилонский плен. Там он знакомится с вавилонской наукой, которая была более развита, чем египетская. Вавилоняне умели решать линейные, квадратные и некоторые виды кубических уравнений. Сбежав из плена, он не смог долго оставаться на родине из-за царившей там атмосферы насилия и тирании. Он решил переселиться в Кротон (греческая колония на севере Италии).
Именно в Кротоне начинается самый славный период в жизни Пифагора. Там он учредил нечто вроде религиозно-этического братства или тайного монашеского ордена, члены которого обязывались вести так называемый пифагорейский образ жизни.
Пифагор и пифагорейцы
Пифагор организовал в греческой колонии на юге Апенинского полуострова религиозно-этическое братство, типа монашеского ордена, который впоследствии назовут пифагорейским союзом. Члены союза должны были придерживаться определённых принципов: во-первых, стремиться к прекрасному и славному, во-вторых, быть полезными, в-третьих, стремиться к высокому наслаждению.
Система морально-этических правил, завещанная Пифагором своим ученикам, была собрана в своеобразный моральный кодекс пифагорейцев «Золотые стихи», которые пользовались большой популярностью в эпоху Античности, эпоху Средневековья и эпоху Возрождения.
Пифагорейская система занятий состояла из трёх разделов:
Учения о числах - арифметике,
Учения о фигурах - геометрии,
Учения о строении Вселенной - астрономии.
Система образования, заложенная Пифагором, просуществовала много веков.
Школа Пифагора много сделала, чтобы придать геометрии характер науки. Основной особенностью метода Пифагора было объединение геометрии с арифметикой.
Пифагор много занимался пропорциями и прогрессиями и, вероятно, подобием фигур, так как ему приписывают решение задачи: «По данным двум фигурам построить третью, равновеликую одной из данных и подобную второй».
Пифагор и его ученики ввели понятие о многоугольных, дружественных, совершенных числах и изучали их свойства. Арифметика как практика вычислений не интересовала Пифагора, и он с гордостью заявил, что «поставил арифметику выше интересов торговца».
Членами пифагорейского союза были жители многих городов Греции.
В своё общество пифагорейцы принимали и женщин. Союз процветал более двадцати лет, а потом начались гонения на его членов, многие из учеников были убиты.
О смерти самого Пифагора ходило много самых разных легенд. Но учение Пифагора и его учеников продолжало жить.
Из истории создания теоремы Пифагора
В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта Пифагором. Однако одни полагают, что именно Пифагор первым дал ее полноценное доказательство, а другие отказывают ему и в этой заслуге. Некоторые приписывают Пифагору доказательство, которое Евклид приводит в первой книге своих «Начал». С другой стороны, Прокл утверждает, что доказательство в «Началах» принадлежит самому Евклиду. Как мы видим, история математики почти не сохранила достоверных конкретных данных о жизни Пифагора и его математической деятельности.
Исторический обзор теоремы Пифагора начнем с древнего Китая. Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чу-пей. В этом сочинении так говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5:
«Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4».
Очень легко можно воспроизвести их способ построения. Возьмем веревку длиною в 12 м. и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3м. от одного конца и 4 метра от другого. Прямой угол окажется заключенным между сторонами длиной в 3 и 4 метра.
Геометрия у индусов была тесно связана с культом. Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около 8 века до нашей эры. Наряду с чисто ритуальными предписаниями, существуют и сочинения геометрически теологического характера. В этих сочинениях, относящихся к 4 или 5 веку до нашей эры, мы встречаемся с построением прямого угла при помощи треугольника со сторонами 15, 36, 39.
В средние века теорема Пифагора определяла границу, если не наибольших возможных, то, по крайней мере, хороших математических знаний. Характерный чертеж теоремы Пифагора, который ныне иногда превращается школьниками, например, в облаченного в мантию профессора или человека цилиндре, в те времена нередко употреблялся как символ математики.
В заключение приведем различные формулировки теоремы Пифагора в переводе с греческого, латинского и немецкого языков.
Евклида эта теорема гласит (дословный перевод):
«В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол».
Как видим, в разных странах и разных языках существуют различные варианты формулировки знакомой нам теоремы. Созданные в разное время и в разных языках, они отражают суть одной математической закономерности, доказательство которой также имеет несколько вариантов.
Пять способов доказательства теоремы Пифагора
Древнекитайское доказательство
На древнекитайском чертеже четыре равных прямоугольных треугольника с катетами a, b и гипотенузой с уложены так, что их внешний контур образует квадрат со стороной a + b, а внутренний - квадрат со стороной с, построенный на гипотенузе
a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab
Доказательство Дж. Гардфилда (1882 г.)
Расположим два равных прямоугольных треугольника так, чтобы катет одного из них был продолжением другого.
Площадь рассматриваемой трапеции находится как произведение полусуммы оснований на высоту
C другой стороны, площадь трапеции равна сумме площадей полученных треугольников:
Приравнивая данные выражения, получаем:
Доказательство простейшее
Это доказательство получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника.
Вероятно, с него и начиналась теорема.
В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы.
Например, для треугольника АВС: квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах, - по два. Теорема доказана.
Доказательство древних индусов
Квадрат со стороной (a + b), можно разбить на части либо как на рис. 12. а, либо как на рис. 12, б. Ясно, что части 1, 2, 3, 4 на обоих рисунках одинаковы. А если от равных (площадей) отнять равные, то и останутся равные, т.е. с2 = а2 + b2.
Доказательство Евклида
В течение двух тысячелетий наиболее распространенным было доказательство теоремы Пифагора, придуманное Евклидом. Оно помещено в его знаменитой книге «Начала».
Евклид опускал высоту BН из вершины прямого угла на гипотенузу и доказывал, что её продолжение делит достроенный на гипотенузе квадрат на два прямоугольника, площади которых равны площадям соответствующих квадратов, построенных на катетах.
Чертёж, применяемый при доказательстве этой теоремы, в шутку называют «пифагоровы штаны». В течение долгого времени он считался одним из символов математической науки.
Применение теоремы Пифагора
Значение теоремы Пифагора состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии и решить множество задач. Кроме этого, практическое значение теоремы Пифагора и обратной ему теоремы заключается в том, что с их помощью можно найти длины отрезков, не измеряя самих отрезков. Это как бы открывает путь от прямой к плоскости, от плоскости к объемному пространству и дальше. Именно по этой причине теорема Пифагора так важна для человечества, которое стремится открывать все больше измерений и создавать технологии в этих измерениях.
Заключение
Теорема Пифагора настолько известна, что трудно представить себе человека, не слышавшего о ней. Я узнала, что существует несколько способов доказательства теоремы Пифагора. Я изучила ряд исторических и математических источников, в том числе информацию в Интернете, и поняла, что теорема Пифагора интересна не только своей историей, но и тем, что она занимает важное место в жизни и науке. Об этом свидетельствуют приведённые мной в данной работе различные трактовки текста этой теоремы и пути её доказательств.
Итак, теорема Пифагора - одна из главных и, можно сказать, самая главная теорема геометрии. Значение ее состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии. Теорема Пифагора замечательна и тем, что сама по себе она вовсе не очевидна. Например, свойства равнобедренного треугольника можно видеть непосредственно на чертеже. Но сколько ни смотри на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что между его сторонами есть простое соотношение: c2 = a2 + b2. Поэтому для её доказательства часто используют наглядность. Заслуга же Пифагора состояла в том, что он дал полноценное научное доказательство этой теоремы. Интересна личность самого учёного, память о котором неслучайно сохранила эта теорема. Пифагор - замечательный оратор, учитель и воспитатель, организатор своей школы, ориентированной на гармонию музыки и чисел, добра и справедливости, на знания и здоровый образ жизни. Он вполне может служить примером для нас, далёких потомков.
Библиографическая ссылка
Туманова С.В. НЕСКОЛЬКО СПОСОБОВ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА // Старт в науке. – 2016. – № 2. – С. 91-95;URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=44 (дата обращения: 28.02.2020).
По мнению Ван-дер-Вардена , очень вероятно, что соотношение в общем виде было известно в Вавилоне уже около XVIII века до н. э.
Приблизительно в 400 году до н. э., согласно Проклу, Платон дал метод нахождения пифагоровых троек, сочетающий алгебру и геометрию. Около в 300 года до н. э. в «Началах» Евклида появилось старейшее аксиоматическое доказательство теоремы Пифагора .
Формулировки
Основная формулировка содержит алгебраические действия - в прямоугольном треугольнике, длины катетов которого равны a {\displaystyle a} и b {\displaystyle b} , а длина гипотенузы - c {\displaystyle c} , выполнено соотношение:
.Возможна и эквивалентная геометрическая формулировка, прибегающая к понятию площади фигуры : в прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах. В таком виде теорема сформулирована в Началах Евклида.
Обратная теорема Пифагора - утверждение о прямоугольности всякого треугольника, длины сторон которого связаны соотношением a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}} . Как следствие, для всякой тройки положительных чисел a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} и c {\displaystyle c} , такой, что a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}} , существует прямоугольный треугольник с катетами a {\displaystyle a} и b {\displaystyle b} и гипотенузой c {\displaystyle c} .
Доказательства
В научной литературе зафиксировано не менее 400 доказательств теоремы Пифагора , что объясняется как фундаментальным значением для геометрии, так и элементарностью результата. Основные направления доказательств: алгебраическое использование соотношений элементов треугольника (таков, например, популярный метод подобия ), метод площадей , существуют также различные экзотические доказательства (например, с помощью дифференциальных уравнений).
Через подобные треугольники
Классическое доказательство Евклида направлено на установление равенства площадей между прямоугольниками, образованными из рассечения квадрата над гипотенузой высотой из прямого угла с квадратами над катетами.
Конструкция, используемая для доказательства следующая: для прямоугольного треугольника с прямым углом C {\displaystyle C} , квадратов над катетами и и квадрата над гипотенузой A B I K {\displaystyle ABIK} строится высота C H {\displaystyle CH} и продолжающий её луч s {\displaystyle s} , разбивающий квадрат над гипотенузой на два прямоугольника и . Доказательство нацелено на установление равенства площадей прямоугольника A H J K {\displaystyle AHJK} с квадратом над катетом A C {\displaystyle AC} ; равенство площадей второго прямоугольника, составляющего квадрат над гипотенузой, и прямоугольника над другим катетом устанавливается аналогичным образом.
Равенство площадей прямоугольника A H J K {\displaystyle AHJK} и A C E D {\displaystyle ACED} устанавливается через конгруэнтность треугольников △ A C K {\displaystyle \triangle ACK} и △ A B D {\displaystyle \triangle ABD} , площадь каждого из которых равна половине площади квадратов A H J K {\displaystyle AHJK} и A C E D {\displaystyle ACED} соответственно в связи со следующим свойством: площадь треугольника равна половине площади прямоугольника, если у фигур есть общая сторона, а высота треугольника к общей стороне является другой стороной прямоугольника. Конгруэнтность треугольников следует из равенства двух сторон (стороны квадратов) и углу между ними (составленного из прямой угла и угла при A {\displaystyle A} .
Таким образом, доказательством устанавливается, что площадь квадрата над гипотенузой, составленного из прямоугольников A H J K {\displaystyle AHJK} и B H J I {\displaystyle BHJI} , равна сумме площадей квадратов над катетами.
Доказательство Леонардо да Винчи
К методу площадей относится также доказательство, найденное Леонардо да Винчи . Пусть дан прямоугольный треугольник △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} с прямым углом C {\displaystyle C} и квадраты A C E D {\displaystyle ACED} , B C F G {\displaystyle BCFG} и A B H J {\displaystyle ABHJ} (см. рисунок). В этом доказательстве на стороне H J {\displaystyle HJ} последнего во внешнюю сторону строится треугольник, конгруэнтный △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} , притом отражённый как относительно гипотенузы, так и относительно высоты к ней (то есть J I = B C {\displaystyle JI=BC} и H I = A C {\displaystyle HI=AC} ). Прямая C I {\displaystyle CI} разбивает квадрат, построенный на гипотенузе на две равные части, поскольку треугольники △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} и △ J H I {\displaystyle \triangle JHI} равны по построению. Доказательство устанавливает конгруэнтность четырёхугольников C A J I {\displaystyle CAJI} и D A B G {\displaystyle DABG} , площадь каждого из которых, оказывается, с одной стороны, равной сумме половин площадей квадратов на катетах и площади исходного треугольника, с другой стороны - половине площади квадрата на гипотенузе плюс площадь исходного треугольника. Итого, половина суммы площадей квадратов над катетами равна половине площади квадрата над гипотенузой, что равносильно геометрической формулировке теоремы Пифагора.
Доказательство методом бесконечно малых
Существует несколько доказательств, прибегающих к технике дифференциальных уравнений . В частности, Харди приписывается доказательство, использующее бесконечно малые приращения катетов a {\displaystyle a} и b {\displaystyle b} и гипотенузы c {\displaystyle c} , и сохраняющие подобие с исходным прямоугольником, то есть, обеспечивающие выполнение следующих дифференциальных соотношений:
d a d c = c a {\displaystyle {\frac {da}{dc}}={\frac {c}{a}}} , d b d c = c b {\displaystyle {\frac {db}{dc}}={\frac {c}{b}}} .Методом разделения переменных из них выводится дифференциальное уравнение c d c = a d a + b d b {\displaystyle c\ dc=a\,da+b\,db} , интегрирование которого даёт соотношение c 2 = a 2 + b 2 + C o n s t {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}+\mathrm {Const} } . Применение начальных условий a = b = c = 0 {\displaystyle a=b=c=0} определяет константу как 0, что в результате даёт утверждение теоремы.
Квадратичная зависимость в окончательной формуле появляется благодаря линейной пропорциональности между сторонами треугольника и приращениями, тогда как сумма связана с независимыми вкладами от приращения разных катетов.
Вариации и обобщения
Подобные геометрические фигуры на трёх сторонах
Важное геометрическое обобщение теоремы Пифагора дал Евклид в «Началах », перейдя от площадей квадратов на сторонах к площадям произвольных подобных геометрических фигур : сумма площадей таких фигур, построенных на катетах, будет равна площади подобной им фигуры, построенной на гипотенузе.
Главная идея этого обобщения заключается в том, что площадь подобной геометрической фигуры пропорциональна квадрату любого своего линейного размера и в частности квадрату длины любой стороны. Следовательно, для подобных фигур с площадями A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} и C {\displaystyle C} , построенных на катетах с длинами a {\displaystyle a} и b {\displaystyle b} и гипотенузе c {\displaystyle c} соответственно, имеет место соотношение:
A a 2 = B b 2 = C c 2 ⇒ A + B = a 2 c 2 C + b 2 c 2 C {\displaystyle {\frac {A}{a^{2}}}={\frac {B}{b^{2}}}={\frac {C}{c^{2}}}\,\Rightarrow \,A+B={\frac {a^{2}}{c^{2}}}C+{\frac {b^{2}}{c^{2}}}C} .Так как по теореме Пифагора a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}} , то выполнено .
Кроме того, если возможно доказать без привлечения теоремы Пифагора, что для площадей трёх подобных геометрических фигур на сторонах прямоугольного треугольника выполнено соотношение A + B = C {\displaystyle A+B=C} , то с использованием обратного хода доказательства обобщения Евклида можно вывести доказательство теоремы Пифагора. Например, если на гипотенузе построить конгруэтный начальному прямоугольный треугольник площадью C {\displaystyle C} , а на катетах - два подобных ему прямоугольных треугольника с площадями A {\displaystyle A} и B {\displaystyle B} , то оказывается, что треугольники на катетах образуются в результате деления начального треугольника его высотой, то есть сумма двух меньших площадей треугольников равна площади третьего, таким образом A + B = C {\displaystyle A+B=C} и, применяя соотношение для подобных фигур, выводится теорема Пифагора.
Теорема косинусов
Теорема Пифагора - это частный случай более общей теоремы косинусов, которая связывает длины сторон в произвольном треугольнике :
a 2 + b 2 − 2 a b cos θ = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\cos {\theta }=c^{2}} ,где - угол между сторонами a {\displaystyle a} и b {\displaystyle b} . Если угол равен 90°, то cos θ = 0 {\displaystyle \cos \theta =0} , и формула упрощается до обычной теоремы Пифагора.
Произвольный треугольник
Существует обобщение теоремы Пифагора на произвольный треугольник, оперирующее исключительно соотношением длин сторон, считается, что оно впервые было установлено сабийским астрономом Сабитом ибн Куррой . В нём для произвольного треугольника со сторонами в него вписывается равнобедренный треугольник с основанием на стороне c {\displaystyle c} , вершиной, совпадающей с вершиной исходного треугольника, противолежащей стороне c {\displaystyle c} и углами при основании, равными углу θ {\displaystyle \theta } , противолежащему стороне c {\displaystyle c} . В результате образуются два треугольника, подобных исходному: первый - со сторонами a {\displaystyle a} , дальней от неё боковой стороной вписанного равнобедренного треугольника, и r {\displaystyle r} - части стороны c {\displaystyle c} ; второй - симметрично к нему от стороны b {\displaystyle b} со стороной s {\displaystyle s} - соответствующей частью стороны c {\displaystyle c} . В результате оказывается выполнено соотношение :
a 2 + b 2 = c (r + s) {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c(r+s)} ,вырождающееся в теорему Пифагора при θ = π / 2 {\displaystyle \theta =\pi /2} . Соотношение является следствием подобия образованных треугольников:
c a = a r , c b = b s ⇒ c r + c s = a 2 + b 2 {\displaystyle {\frac {c}{a}}={\frac {a}{r}},\,{\frac {c}{b}}={\frac {b}{s}}\,\Rightarrow \,cr+cs=a^{2}+b^{2}} .Теорема Паппа о площадях
Неевклидова геометрия
Теорема Пифагора выводится из аксиом евклидовой геометрии и недействительна для неевклидовой геометрии - выполнение теоремы Пифагора равносильно постулату Евклида о параллельности .
В неевклидовой геометрии соотношение между сторонами прямоугольного треугольника обязательно будет в форме, отличной от теоремы Пифагора. Например, в сферической геометрии все три стороны прямоугольного треугольника, которые ограничивают собой октант единичной сферы, имеют длину π / 2 {\displaystyle \pi /2} , что противоречит теореме Пифагора.
При этом теорема Пифагора справедлива в гиперболической и эллиптической геометрии, если требование о прямоугольности треугольника заменить условием, что сумма двух углов треугольника должна равняться третьему .
Сферическая геометрия
Для любого прямоугольного треугольника на сфере радиусом R {\displaystyle R} (например, если угол в треугольнике прямой) со сторонами a , b , c {\displaystyle a,b,c} соотношение между сторонами имеет вид :
cos (c R) = cos (a R) ⋅ cos (b R) {\displaystyle \cos \left({\frac {c}{R}}\right)=\cos \left({\frac {a}{R}}\right)\cdot \cos \left({\frac {b}{R}}\right)} .Это равенство может быть выведено как особый случай сферической теоремы косинусов , которая справедлива для всех сферических треугольников:
cos (c R) = cos (a R) ⋅ cos (b R) + sin (a R) ⋅ sin (b R) ⋅ cos γ {\displaystyle \cos \left({\frac {c}{R}}\right)=\cos \left({\frac {a}{R}}\right)\cdot \cos \left({\frac {b}{R}}\right)+\sin \left({\frac {a}{R}}\right)\cdot \sin \left({\frac {b}{R}}\right)\cdot \cos \gamma } . ch c = ch a ⋅ ch b {\displaystyle \operatorname {ch} c=\operatorname {ch} a\cdot \operatorname {ch} b} ,где ch {\displaystyle \operatorname {ch} } - гиперболический косинус . Эта формула является частным случаем гиперболической теоремы косинусов, которая справедлива для всех треугольников :
ch c = ch a ⋅ ch b − sh a ⋅ sh b ⋅ cos γ {\displaystyle \operatorname {ch} c=\operatorname {ch} a\cdot \operatorname {ch} b-\operatorname {sh} a\cdot \operatorname {sh} b\cdot \cos \gamma } ,где γ {\displaystyle \gamma } - угол, вершина которого противоположна стороне c {\displaystyle c} .
Используя ряд Тейлора для гиперболического косинуса ( ch x ≈ 1 + x 2 / 2 {\displaystyle \operatorname {ch} x\approx 1+x^{2}/2} ) можно показать, что если гиперболический треугольник уменьшается (то есть, когда a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} и c {\displaystyle c} стремятся к нулю), то гиперболические соотношения в прямоугольном треугольнике приближаются к соотношению классической теоремы Пифагора.
Применение
Расстояние в двумерных прямоугольных системах
Важнейшее применение теоремы Пифагора - определение расстояния между двумя точками в прямоугольной системе координат : расстояние s {\displaystyle s} между точками с координатами (a , b) {\displaystyle (a,b)} и (c , d) {\displaystyle (c,d)} равно:
s = (a − c) 2 + (b − d) 2 {\displaystyle s={\sqrt {(a-c)^{2}+(b-d)^{2}}}} .Для комплексных чисел теорема Пифагора даёт естественную формулу для нахождения модуля комплексного числа - для z = x + y i {\displaystyle z=x+yi} он равен длине
Каждый школьник знает, что всегда квадрат гипотенузы равен сумме катетов, каждый из которых возведен в квадрат. Эта утверждение носит название теоремы Пифагора. Она является одной из самых известных теорем тригонометрии и математики в целом. Рассмотрим ее подробнее.
Понятие о прямоугольном треугольнике
Перед тем, как переходить к рассмотрению теоремы Пифагора, в которой квадрат гипотенузы равен сумме катетов, которые возведены в квадрат, следует рассмотреть понятие и свойства прямоугольного треугольника, для которого справедлива теорема.
Треугольник - плоская фигура, имеющая три угла и три стороны. Прямоугольный же треугольник, как следует из его названия, имеет один прямой угол, то есть этот угол равен 90 o .
Из общих свойств для всех треугольников известно, что сумма всех трех углов этой фигуры равна 180 o , а это означает, что для прямоугольного треугольника сумма двух углов, которые не являются прямыми, составляет 180 o - 90 o = 90 o . Последний факт означает, что любой угол в прямоугольном треугольнике, который не является прямым, будет всегда меньше 90 o .
Сторону, которая лежит против прямого угла, принято называть гипотенузой. Две же другие стороны являются катетами треугольника, они могут быть равны между собой, а могут и отличаться. Из тригонометрии известно, что чем больше угол, против которого лежит сторона в треугольнике, тем больше длина этой стороны. Это означает, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза (лежит против угла 90 o) будет всегда больше любого из катетов (лежат против углов < 90 o).
Математическая запись теоремы Пифагора
Эта теорема гласит, что квадрату гипотенузы равна сумма катетов, каждый из которых предварительно возведен в квадрат. Чтобы математически записать эту формулировку, рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором стороны a, b и c являются двумя катетами и гипотенузой, соответственно. В этом случае теорема, которая формулируется, как квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, формулой следующей может быть представлена: c 2 = a 2 + b 2 . Отсюда могут быть получены другие важные для практики формулы: a = √(c 2 - b 2), b = √(c 2 - a 2) и c = √(a 2 + b 2).
Отметим, что в случае прямоугольного равностороннего треугольника, то есть a = b, формулировка: квадрат гипотенузы равен сумме катетов, каждый из которых возведен в квадрат, математически запишется так: c 2 = a 2 + b 2 = 2a 2 , откуда вытекает равенство: c = a√2.
Историческая справка
Теорема Пифагора, гласящая, что квадрату гипотенузы равна сумма катетов, каждый из которых возведен в квадрат, была известна задолго до того, когда на нее обратил внимание знаменитый греческий философ. Многие папирусы Древнего Египта, а также глиняные таблички Вавилонян подтверждают, что эти народы использовали отмеченное свойство сторон прямоугольного треугольника. Например, одна из первых египетских пирамид, пирамида Хефрена, строительство которой относится к XXVI веку до нашей эры (за 2000 лет до жизни Пифагора), была построена, исходя из знания соотношения сторон в прямоугольном треугольнике 3x4x5.
Почему же тогда в настоящее время теорема носит имя грека? Ответ прост: Пифагор является первым, кто математически доказал эту теорему. В сохранившихся вавилонских и египетских письменных источниках говорится лишь об ее использовании, но не приводится никакого математического доказательства.
Считается, что Пифагор доказал рассматриваемую теорему путем использования свойств подобных треугольников, которые он получил, проведя высоту в прямоугольном треугольнике из угла 90 o к гипотенузе.
Пример использования теоремы Пифагора
Рассмотрим простую задачу: необходимо определить длину наклонной лестницы L, если известно, что она имеет высоту H = 3 метра, и расстояние от стены, в которую упирается лестница, до ее подножия равно P = 2,5 метра.
В данном случае H и P - это катеты, а L - гипотенуза. Поскольку длина гипотенузы равна сумме квадратов катетов, получаем: L 2 = H 2 + P 2 , откуда L = √(H 2 + P 2) = √(3 2 + 2,5 2) = 3,905 метра или 3 м и 90,5 см.
Потенциал к творчеству обычно приписывают гуманитарным дисциплинам, естественно научным оставляя анализ, практический подход и сухой язык формул и цифр. Математику к гуманитарным предметам никак не отнесешь. Но без творчеств в «царице всех наук» далеко не уедешь – об этом людям известно с давних пор. Со времен Пифагора, например.
Школьные учебники, к сожалению, обычно не объясняют, что в математике важно не только зубрить теоремы, аксиомы и формулы. Важно понимать и чувствовать ее фундаментальные принципы. И при этом попробовать освободить свой ум от штампов и азбучных истин – только в таких условиях рождаются все великие открытия.
К таким открытиям можно отнести и то, которое сегодня мы знаем как теорему Пифагора. С его помощью мы попробуем показать, что математика не только может, но и должна быть увлекательной. И что это приключение подходит не только ботаникам в толстых очках, а всем, кто крепок умом и силен духом.
Из истории вопроса
Строго говоря, хоть теорема и называется «теоремой Пифагора», сам Пифагор ее не открывал. Прямоугольный треугольник и его особенные свойства изучались задолго до него. Есть две полярных точки зрения на этот вопрос. По одной версии Пифагор первым нашел полноценное доказательство теоремы. По другой доказательство не принадлежит авторству Пифагора.
Сегодня уже не проверишь, кто прав, а кто заблуждается. Известно лишь, что доказательства Пифагора, если оно когда-либо существовало, не сохранилось. Впрочем, высказываются предположения, что знаменитое доказательство из «Начал» Евклида может принадлежать как раз Пифагору, и Евклид его только зафиксировал.
Также сегодня известно, что задачи о прямоугольном треугольнике встречаются в египетских источниках времен фараона Аменемхета I, на вавилонских глиняных табличках периода правления царя Хаммурапи, в древнеиндийском трактате «Сульва сутра» и древнекитайском сочинении «Чжоу-би суань цзинь».
Как видите, теорема Пифагора занимала умы математиков с древнейших времен. Подтверждением служит и около 367 разнообразных доказательств, существующих сегодня. В этом с ней не может тягаться ни одна другая теорема. Среди знаменитых авторов доказательств можно вспомнить Леонардо да Винчи и двадцатого президента США Джеймса Гарфилда. Все это говорит о чрезвычайной важности этой теоремы для математики: из нее выводится или так или иначе с нею связано большинство теорем геометрии.
Доказательства теоремы Пифагора
В школьных учебниках в основном приводят алгебраические доказательства. Но суть теоремы в геометрии, так что давайте рассмотрим в первую очередь те доказателства знаменитой теоремы, которые опираются на эту науку.
Доказательство 1
Для самого простого доказательства теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника нужно задать идеальные условия: пусть треугольник будет не только прямоугольным, но и равнобедренным. Есть основания полагать, что именно такой треугольник первоначально рассматривали математики древности.
Утверждение «квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах» можно проиллюстрировать следующим чертежом:
Посмотрите на равнобедренный прямоугольный треугольник ABC: На гипотенузе АС можно построить квадрат, состоящий из четырех треугольников, равных исходному АВС. А на катетах АВ и ВС построено по квадрату, каждый из которых содержит по два аналогичных треугольника.
Кстати, этот чертеж лег в основу многочисленных анекдотов и карикатур, посвященных теореме Пифагора. Самый знаменитый, пожалуй, это «Пифагоровы штаны во все стороны равны» :
Доказательство 2
Этот метод сочетает в себе алгебру и геометрию и может рассматриваться как вариант древнеиндийского доказательства математика Бхаскари.
Постройте прямоугольный треугольник со сторонами a, b и c (рис.1). Затем постройте два квадрата со сторонами, равными сумме длин двух катетов, – (a+b) . В каждом из квадратов выполните построения, как на рисунках 2 и 3.
В первом квадрате постройте четыре таких же треугольника, как на рисунке 1. В результате получаться два квадрата: один со стороной a, второй со стороной b .
Во втором квадрате четыре построенных аналогичных треугольника образуют квадрат со стороной, равной гипотенузе c .
Сумма площадей построенных квадратов на рис.2 равна площади построенного нами квадрата со стороной с на рис.3. Это легко проверить, высчитав площади квадратов на рис. 2 по формуле. А площадь вписанного квадрата на рисунке 3. путем вычитания площадей четырех равных между собой вписанных в квадрат прямоугольных треугольников из площади большого квадрата со стороной (a+b) .
Записав все это, имеем: a 2 +b 2 =(a+b) 2 – 2ab . Раскройте скобки, проведите все необходимые алгебраические вычисления и получите, что a 2 +b 2 = a 2 +b 2 . При этом площадь вписанного на рис.3. квадрата можно вычислить и по традиционной формуле S=c 2 . Т.е. a 2 +b 2 =c 2 – вы доказали теорему Пифагора.
Доказательство 3
Само же древнеиндийское доказательство описано в XII веке в трактате «Венец знания» («Сиддханта широмани») и в качестве главного аргумента автор использует призыв, обращенный к математическим талантам и наблюдательности учеников и последователей: «Смотри!».
Но мы разберем это доказательство более подробно:
Внутри квадрата постройте четыре прямоугольных треугольника так, как это обозначено на чертеже. Сторону большого квадрата, она же гипотенуза, обозначим с . Катеты треугольника назовем а и b . В соответствии с чертежом сторона внутреннего квадрата это (a-b) .
Используйте формулу площади квадрата S=c 2 , чтобы вычислить площадь внешнего квадрата. И одновременно высчитайте ту же величину, сложив площадь внутреннего квадрата и площади всех четырех прямоугольных треугольников: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b .
Вы можете использовать оба варианта вычисления площади квадрата, чтобы убедиться: они дадут одинаковый результат. И это дает вам право записать, что c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b . В результате решения вы получите формулу теоремы Пифагора c 2 =a 2 +b 2 . Теорема доказана.
Доказательство 4
Это любопытное древнекитайское доказательство получило название «Стул невесты» - из-за похожей на стул фигуры, которая получается в результате всех построений:
В нем используется чертеж, который мы уже видели на рис.3 во втором доказательстве. А внутренний квадрат со стороной с построен так же, как в древнеиндийском доказательстве, приведенном выше.
Если мысленно отрезать от чертежа на рис.1 два зеленых прямоугольных треугольника, перенести их к противоположным сторонам квадрата со стороной с и гипотенузами приложить к гипотенузам сиреневых треугольников, получится фигура под названием «стул невесты» (рис.2). Для наглядности можно то же самое проделать с бумажными квадратами и треугольниками. Вы убедитесь, что «стул невесты» образуют два квадрата: маленькие со стороной b и большой со стороной a .
Эти построения позволили древнекитайским математикам и нам вслед за ними прийти к выводу, что c 2 =a 2 +b 2 .
Доказательство 5
Это еще один способ найти решение для теоремы Пифагора, опираясь на геометрию. Называется он «Метод Гарфилда».
Постройте прямоугольный треугольник АВС . Нам надо доказать, что ВС 2 =АС 2 +АВ 2 .
Для этого продолжите катет АС и постройте отрезок CD , который равен катету АВ . Опустите перпендикулярный AD отрезок ED . Отрезки ED и АС равны. Соедините точки Е и В , а также Е и С и получите чертеж, как на рисунке ниже:
Чтобы доказать терему, мы вновь прибегаем к уже опробованному нами способу: найдем площадь получившейся фигуры двумя способами и приравняем выражения друг к другу.
Найти площадь многоугольника ABED можно, сложив площади трех треугольников, которые ее образуют. Причем один из них, ЕСВ , является не только прямоугольным, но и равнобедренным. Не забываем также, что АВ=CD , АС=ED и ВС=СЕ – это позволит нам упростить запись и не перегружать ее. Итак, S ABED =2*1/2(AB*AC)+1/2ВС 2 .
При этом очевидно, что ABED – это трапеция. Поэтому вычисляем ее площадь по формуле: S ABED =(DE+AB)*1/2AD . Для наших вычислений удобней и наглядней представить отрезок AD как сумму отрезков АС и CD .
Запишем оба способа вычислить площадь фигуры, поставив между ними знак равенства: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD) . Используем уже известное нам и описанное выше равенство отрезков, чтобы упростить правую часть записи: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(АВ+АС) 2 . А теперь раскроем скобки и преобразуем равенство: AB*AC+1/2BC 2 =1/2АС 2 +2*1/2(АВ*АС)+1/2АВ 2 . Закончив все преобразования, получим именно то, что нам и надо: ВС 2 =АС 2 +АВ 2 . Мы доказали теорему.
Конечно, этот список доказательств далеко не полный. Теорему Пифагора также можно доказать с помощью векторов, комплексных чисел, дифференциальный уравнений, стереометрии и т.п. И даже физики: если, например, в аналогичные представленным на чертежах квадратные и треугольные объемы залить жидкость. Переливая жидкость, можно доказать равенство площадей и саму теорему в итоге.
Пару слов о Пифагоровых тройках
Этот вопрос мало или вообще не изучается в школьной программе. А между тем он является очень интересным и имеет большое значение в геометрии. Пифагоровы тройки применяются для решения многих математических задач. Представление о них может пригодиться вам в дальнейшем образовании.
Так что же такое Пифагоровы тройки? Так называют натуральные числа, собранные по трое, сумма квадратов двух из которых равна третьему числу в квадрате.
Пифагоровы тройки могут быть:
- примитивными (все три числа – взаимно простые);
- не примитивными (если каждое число тройки умножить на одно и то же число, получится новая тройка, которая не является примитивной).
Еще до нашей эры древних египтян завораживала мания чисел Пифагоровых троек: в задачах они рассматривали прямоугольный треугольник со сторонами 3,4 и 5 единиц. К слову, любой треугольник, стороны которого равны числам из пифагоровой тройки, по умолчанию является прямоугольным.
Примеры Пифагоровых троек: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50) и т.д.
Практическое применение теоремы
Теорема Пифагора находит применение не только в математике, но и в архитектуре и строительстве, астрономии и даже литературе.
Сначала про строительство: теорема Пифагора находит в нем широкое применение в задачах разного уровня сложности. Например, посмотрите на окно в романском стиле:
Обозначим ширину окна как b , тогда радиус большой полуокружности можно обозначить как R и выразить через b: R=b/2 . Радиус меньших полуокружностей также выразим через b: r=b/4 . В этой задаче нас интересует радиус внутренней окружности окна (назовем его p ).
Теорема Пифагора как раз и пригодиться, чтобы вычислить р . Для этого используем прямоугольный треугольник, который на рисунке обозначен пунктиром. Гипотенуза треугольника состоит из двух радиусов: b/4+p . Один катет представляет собой радиус b/4 , другой b/2-p . Используя теорему Пифагора, запишем: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2 . Далее раскроем скобки и получим b 2 /16+ bp/2+p 2 =b 2 /16+b 2 /4-bp+p 2 . Преобразуем это выражение в bp/2=b 2 /4-bp . А затем разделим все члены на b , приведем подобные, чтобы получить 3/2*p=b/4 . И в итоге найдем, что p=b/6 – что нам и требовалось.
С помощью теоремы можно вычислить длину стропила для двускатной крыши. Определить, какой высоты вышка мобильной связи нужна, чтобы сигнал достигал определенного населенного пункта. И даже устойчиво установить новогоднюю елку на городской площади. Как видите, эта теорема живет не только на страницах учебников, но и часто бывает полезна в реальной жизни.
Что касается литературы, то теорема Пифагора вдохновляла писателей со времен античности и продолжает это делать в наше время. Например, немецкого писателя девятнадцатого века Адельберта фон Шамиссо она вдохновила на написание сонета:
Свет истины рассеется не скоро,
Но, воссияв, рассеется навряд
И, как тысячелетия назад,
Не вызовет сомнения и спора.
Мудрейшие, когда коснется взора
Свет истины, богов благодарят;
И сто быков, заколоты, лежат –
Ответный дар счастливца Пифагора.
С тех пор быки отчаянно ревут:
Навеки всполошило бычье племя
Событие, помянутое тут.
Им кажется: вот-вот настанет время,
И сызнова их в жертву принесут
Какой-нибудь великой теореме.
(перевод Виктора Топорова)
А в двадцатом веке советский писатель Евгений Велтистов в книге «Приключения Электроника» доказательствам теоремы Пифагора отвел целую главу. И еще полглавы рассказу о двухмерном мире, какой мог бы существовать, если бы теорема Пифагора стала основополагающим законом и даже религией для отдельно взятого мира. Жить в нем было бы гораздо проще, но и гораздо скучнее: например, там никто не понимает значения слов «круглый» и «пушистый».
А еще в книге «Приключения Электроника» автор устами учителя математики Таратара говорит: «Главное в математике – движение мысли, новые идеи». Именно этот творческий полет мысли порождает теорема Пифагора – не зря у нее столько разнообразных доказательств. Она помогает выйти за границы привычного, и на знакомые вещи посмотреть по-новому.
Заключение
Эта статья создана, чтобы вы могли заглянуть за пределы школьной программы по математике и узнать не только те доказательства теоремы Пифагора, которые приведены в учебниках «Геометрия 7-9» (Л.С. Атанасян, В.Н. Руденко) и «Геометрия 7-11» (А.В. Погорелов), но и другие любопытные способы доказать знаменитую теорему. А также увидеть примеры, как теорема Пифагора может применяться в обычной жизни.
Во-первых, эта информация позволит вам претендовать на более высокие баллы на уроках математики – сведения по предмету из дополнительных источников всегда высоко оцениваются.
Во-вторых, нам хотелось помочь вам прочувствовать, насколько математика интересная наука. Убедиться на конкретных примерах, что в ней всегда есть место творчеству. Мы надеемся, что теорема Пифагора и эта статья вдохновят вас на самостоятельные поиски и волнующие открытия в математике и других науках.
Расскажите нам в комментариях, показались ли вам приведенные в статье доказательства интересными. Пригодились ли вам эти сведения в учебе. Напишите нам, что думаете о теореме Пифагора и этой статье – нам будет приятно обсудить все это с вами.
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Различные способы доказательства теоремы Пифагора
учащаяся 9 «А» класса
МОУ СОШ №8
Научный руководитель:
учитель математики,
МОУ СОШ №8
ст. Новорождественской
Краснодарского края.
Ст. Новорождественская
АННОТАЦИЯ.
Теорема Пифагора по праву считается самой важной в курсе геометрии и заслуживает пристального внимания. Она является основой решения множества геометрических задач, базой для изучения теоретического и практического курса геометрии в дальнейшем. Теорема окружена богатейшим историческим материалом, связанным с её появлением и способами доказательства. Изучение истории развития геометрии прививает любовь к данному предмету, способствует развитию познавательного интереса, общей культуры и творчества, а так же развивает навыки научно-исследовательской работы .
В результате поисковой деятельности была достигнута цель работы, заключающаяся в пополнении и обобщении знаний по доказательству теоремы Пифагора. Удалось найти и рассмотреть различные способы доказательства и углубить знания по теме, выйдя за страницы школьного учебника.
Собранный материал ещё больше убеждает в том, что теорема Пифагора является великой теоремой геометрии, имеет огромное теоретическое и практическое значение.
Введение. Историческая справка 5 Основная часть 8
3. Заключение 19
4. Используемая литература 20
1. ВВЕДЕНИЕ. ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА.
Суть истины вся в том, что нам она - навечно,
Когда хоть раз в прозрении ее увидим свет,
И теорема Пифагора через столько лет
Для нас, как для него, бесспорна, безупречна.
На радостях богам был Пифагором дан обет:
За то, что мудрости коснулся бесконечной,
Он сто быков заклал, благодаря предвечных;
Моленья и хвалы вознес он жертве вслед.
С тех пор быки, когда учуят, тужась,
Что к новой истине людей опять подводит след,
Ревут остервенело, так что слушать мочи нет,
Такой в них Пифагор вселил навеки ужас.
Быкам, бессильным новой правде противостоять,
Что остается? - Лишь глаза закрыв, реветь, дрожать.
Неизвестно, каким способом доказывал Пифагор свою теорему. Несомненно лишь то, что он открыл ее под сильным влиянием египетской науки. Частный случай теоремы Пифагора - свойства треугольника со сторонами 3, 4 и 5 - был известен строителям пирамид задолго до рождения Пифагора, сам же он более 20 лет обучался у египетских жрецов. Сохранилась легенда, которая гласит, что, доказав свою знаменитую теорему, Пифагор принес богам в жертву быка, а по другим источникам, даже 100 быков. Это, однако, противоречит сведениям о моральных и религиозных воззрениях Пифагора. В литературных источниках можно прочитать, что он «запрещал даже убивать животных, а тем более ими кормиться, ибо животные имеют душу, как и мы». Пифагор питался только медом, хлебом, овощами и изредка рыбой. В связи со всем этим более правдоподобной можно считать следующую запись: «...и даже когда он открыл, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза имеет соответствие с катетами, он принес в жертву быка, сделанного из пшеничного теста».
Популярность теоремы Пифагора столь велика, что ее доказательства встречаются даже в художественной литературе , например, в рассказе известного английского писателя Хаксли «Юный Архимед». Такое же Доказательство, но для частного случая равнобедренного прямоугольного треугольника приводится в диалоге Платона «Менон».
Сказка «Дом».
«Далеко-далеко, куда не летают даже самолеты, находится страна Геометрия. В этой необычной стране был один удивительный город - город Теорем. Однажды в этот город пришла красивая девочка по имени Гипотенуза. Она попробовала снять комнату, но куда бы она ни обращалась, ей всюду отказывали. Наконец она подошла к покосившемуся домику и постучала. Ей открыл мужчина, назвавший себя Прямым Углом, и он предложил Гипотенузе поселиться у него. Гипотенуза осталась в доме, в котором жили Прямой Угол и два его маленьких сына по имени Катеты. С тех пор жизнь в доме Прямого Угла пошла по-новому. На окошке гипотенуза посадила цветы, а в палисаднике развела красные розы. Дом принял форму прямоугольного треугольника. Обоим катетам Гипотенуза очень понравилась и они попросили ее остаться навсегда в их доме. Ло вечерам эта дружная семья собирается за семейным столом. Иногда Прямой Угол играет со своими детишками в прятки. Чаще всего искать приходится ему, а Гипотенуза прячется так искусно, что найти ее бывает очень трудно. Однажды во время игры Прямой Угол подметил интересное свойство: если ему удается найти катеты, то отыскать Гипотенузу не составляет труда. Так Прямой Угол пользуется этой закономерностью, надо сказать, очень успешно. На свойстве этого прямоугольного треугольника и основана теорема Пифагора.»
(Из книги А. Окунева «Спасибо за урок, дети»).
Шутливая формулировка теоремы:
Если дан нам треугольник
И притом с прямым углом,
То квадрат гипотенузы
Мы всегда легко найдем:
Катеты в квадрат возводим,
Сумму степеней находим –
И таким простым путем
К результату мы придем.
Изучая алгебру и начала анализа и геометрию в 10 классе , я убедилась в том, что кроме рассмотренного в 8 классе способа доказательства теоремы Пифагора существуют и другие способы доказательства. Представляю их на ваше обозрение.
2. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ.
Теорема. В прямоугольном треугольнике квадрат
гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
1 СПОСОБ.
Пользуясь свойствами площадей многоугольников, установим замечательное соотношение между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника.
Доказательство.
а, в
и гипотенузой с
(рис.1, а).
Докажем, что с²=а²+в² .
Доказательство.
Достроим треугольник до квадрата со стороной а + в так, как показано на рис. 1, б. Площадь S этого квадрата равна (а + в)² . С другой стороны, этот квадрат составлен из четырех равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна ½ав , и квадрата со стороной с, поэтому S= 4 * ½ав + с ² = 2ав + с ².
Таким образом,
(а + в )² = 2ав + с ²,
с²=а²+в² .
Теорема доказана.
2 СПОСОБ.
После изучения темы «Подобные треугольники» я выяснила, что можно применить подобие треугольников к доказательству теоремы Пифагора. А именно, я воспользовалась утверждением о том, что катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключённого между катетом и высотой, проведённой из вершины прямого угла.
Рассмотрим прямоугольный треугольник с прямым углом С, СD– высота (рис. 2). Докажем, что АС
² +СВ
² = АВ
²
.
Доказательство.
На основании утверждения о катете прямоугольного треугольника:
АС = , СВ = .
Возведем в квадрат и сложим полученные равенства:
АС² = АВ * АD, СВ² = АВ * DВ;
АС² + СВ² = АВ * (АD + DВ), где АD+DB=AB, тогда
АС² + СВ² = АВ * АВ,
АС² + СВ² = АВ².
Доказательство закончено.
3 СПОСОБ.
К доказательству теоремы Пифагора можно применить определение косинуса острого угла прямоугольного треугольника. Рассмотрим рис. 3.
Доказательство:
Пусть АВС – данный прямоугольный треугольник с прямым углом С. Проведем высоту СD из вершины прямого угла С.
По определению косинуса угла:
cos А = АD/АС = АС/АВ. Отсюда АВ * АD = АС²
Аналогично,
cos В = ВD/ВС = ВС/АВ.
Отсюда АВ * ВD = ВС² .
Складывая полученные равенства почленно и замечая, что АD + DВ = АВ, получим:
АС ² + ВС ² = АВ (АD + DВ) = АВ ²
Доказательство закончено.
4 СПОСОБ.
Изучив тему «Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника», я думаю, что теорему Пифагора можно доказать ещё одним способом.
Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами а, в и гипотенузой с . (рис. 4).
Докажем, что с²=а²+в².
Доказательство.
sinВ= в/с ; cosВ= a/с, то, возведя в квадрат полученные равенства, получим:
sin²В= в²/с²; cos²В = а²/с².
Сложив их, получим:
sin²В + cos²В= в²/с²+ а²/с², где sin²В + cos²В=1,
1= (в²+ а²) / с², следовательно,
с²= а² + в².
Доказательство закончено.
5 СПОСОБ.
Данное доказательство основано на разрезании квадратов, построенных на катетах (рис. 5), и укладывании полученных частей на квадрате, построенном на гипотенузе.
6 СПОСОБ.
Для доказательства на катете ВС строим BCD ABC (рис.6). Мы знаем, что площади подобных фигур относятся как квадраты их сходственных линейных размеров:
Вычитая из первого равенства второе, получим
с2 = а2 + b2.
Доказательство закончено.
7 СПОСОБ.
Дано (рис. 7):
ABС, = 90°, ВС = а, АС= b, АВ = с.
Доказать: с2 = а2 + b2 .
Доказательство.
Пусть катет b а. Продолжим отрезок СВ за точку В и построим треугольник BMD так, чтобы точки М и А лежали по одну сторону от прямой CD и, кроме того, BD = b, BDM = 90°, DM = a, тогда BMD = ABC по двум сторонам и углу между ними. Точки А и М соединим отрезками AM. Имеем MD CD и AC CD, значит, прямая АС параллельна прямой MD. Так как MD < АС, то прямые CD и AM не параллельны. Следовательно, AMDC - прямоугольная трапеция.
В прямоугольных треугольниках ABC и BMD 1 + 2 = 90° и 3 + 4 = 90°, но так как = =, то 3 + 2 = 90°; тогда АВМ =180° - 90° = 90°. Оказалось, что трапеция AMDC разбита на три неперекрывающихся прямоугольных треугольника, тогда по аксиомам площадей
(a+b)(a+b)
Разделив все члены неравенства на , получим
а b + с2 + а b = (а + b) , 2 ab + с2 = а2 + 2а b + b2,
с2 = а2 + b2.
Доказательство закончено.
8 СПОСОБ.
Данный способ основывается на гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника ABC. Он строит соответствующие квадраты и доказывает, что квадрат, построенный на гипотенузе, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах (рис. 8).
Доказательство.
1) DBC = FBA = 90°;
DBC + ABC = FBA + ABC, значит, FBC = DBA.
Таким образом, FBC =ABD (по двум сторонам и углу между ними).
2) 
,
где AL DE, так как BD - общее основание, DL -
общая высота.
3) 
, так как FB –снование, АВ
- общая высота.
4) 
5) Аналогично можно доказать, что 
6) Складывая почленно, получаем:
, ВС2
= АВ2 + АС2
.
Доказательство закончено.
9 СПОСОБ.
Доказательство.
1) Пусть ABDE - квадрат (рис. 9), сторона которого равна гипотенузе прямоугольного треугольника ABC (АВ = с, ВС = а, АС = b).
2) Пусть DK BC и DK = ВС, так как 1 + 2 = 90° (как острые углы прямоугольного треугольника), 3 + 2 = 90° (как угол квадрата), АВ = BD (стороны квадрата).
Значит, ABC = BDK (по гипотенузе и острому углу).
3)Пусть EL DK, AM EL. Можно легко доказать, что ABC = BDK =DEL = ЕАМ (с катетами а и b). Тогда КС = СМ = ML = LK = а - b.
4) SKB = 4S + SKLMC = 2ab + (a - b), с 2 = 2ab + a2 - 2ab + b2, c2 = a2 + b2 .
Доказательство закончено.
10 СПОСОБ.
Доказательство может быть проведено на фигуре, в шутке называемой «Пифагоровы штаны» (рис. 10). Идея его состоит в преобразовании квадратов, построенных на катетах, в равновеликие треугольники, составляющие вместе квадрат гипотенузы.
ABC сдвигаем, как показано стрелкой, и он занимает положение KDN. Оставшаяся часть фигуры AKDCB равновелика площади квадрата AKDC – это параллелограмм AKNB.
Сделана модель параллелограмма AKNB
. Параллелограмм перекладываем так, как зарисовано в содержании работы. Чтобы показать преобразование параллелограмма в равновеликий треугольник, на глазах учащихся отрезаем на модели треугольник и перекладываем его вниз. Таким образом, площадь квадрата AKDC
получилась равна площади прямоугольника. Аналогично преобразуем площадь квадрата в площадь прямоугольника.
Произведем преобразование для квадрата, построенного на катете а (рис. 11,а):
а) квадрат преобразуется в равновеликий параллелограмм (рис. 11,6):
б) параллелограмм поворачивается на четверть оборота (рис. 12):
в) параллелограмм преобразуется в равновеликий прямоугольник (рис. 13): 11 СПОСОБ.
Доказательство:
PCL – прямая (Рис. 14);
KLOA = ACPF = ACED = а2;
LGBO = СВМР = CBNQ = b2;
AKGB = AKLO + LGBO = с2;
с2 = а2 + b2.
Доказательство окончено.
12 СПОСОБ.
Рис. 15 иллюстрирует еще одно оригинальное доказательство теоремы Пифагора.
Здесь: треугольник ABC с прямым углом С; отрезок BF перпендикулярен СВ и равен ему, отрезок BE перпендикулярен АВ и равен ему, отрезок AD перпендикулярен АС и равен ему; точки F, С, D принадлежат одной прямой; четырехугольники ADFB и АСВЕ равновелики, так как ABF = ЕСВ; треугольники ADF и АСЕ равновелики; отнимем от обоих равновеликих четырехугольников общий для них треугольник ABC, получим
, с2 = а2 +
b2.
Доказательство закончено.
13 СПОСОБ.
Площадь данного прямоугольного треугольника, с одной стороны, равна ,
с другой, ,
3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ.
В результате поисковой деятельности была достигнута цель работы, заключающаяся в пополнении и обобщении знаний по доказательству теоремы Пифагора. Удалось найти и рассмотреть различные способы её доказательства и углубить знания по теме, выйдя за страницы школьного учебника.
Собранный мною материал ещё больше убеждает в том, что теорема Пифагора является великой теоремой геометрии, имеет огромное теоретическое и практическое значение. В завершении хотелось бы сказать: причина популярности теоремы Пифагора триедина - это красота, простота и значимость!
4. ИСПОЛЬЗУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА.
1. Занимательная алгебра. . Москва «Наука», 1978.
2. Еженедельное учебно-методическое приложение к газете «Первое сентября», 24/2001.
3. Геометрия 7-9. и др.
4. Геометрия 7-9. и др.
